Formas Cuadráticas en Espacios Vectoriales: Matrices, Expresiones y Valoración - Prof. 559, Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga Formas Cuadráticas en Espacios Vectoriales: Matrices, Expresiones y Valoración - Prof. 559 y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity! Practice 1.3: Quadratic Forms on Vector Spaces 1. Determine: i. The associated matrix to the quadratic form: ( ) 2 2, , 2 4 3 6 8Q x y z x y xy xz yz= + − + − . ii. The analytical expression of the quadratic form with a matrix 2 3 1 3 5 2 1 2 4 A    =    −  . SOLUTION: (i) 2 1.5 3 1.5 4 4 3 4 0 A −   = − −   −  . (ii) ( ) 2 2 2, , 2 5 4 6 2 4Q x y z x y z xy xz yz= + − + + + . 2. Determine the sign of the following quadratic forms: i. ( ) 2 2, , 2 4 3 6 8Q x y z x y xy xz yz= + − + − . ii. ( ) 2 2 2, , 6 2 31 2Q x y z xy yz x y z= + − − − . iii. With associated matrix 3 1 0 1 4 /3 2 0 2 4 A    =       . SOLUTION: (i) Indefinite. (ii) Negative definite. (iii) Positive semidefinite. 3. Determine the values of k∈R so the quadratic form: ( ) 2 2 2, , 2 4 2 2 6Q x y z x y kz xy xz= + + + + is positive semidefinite. SOLUTION: 6k = . 4. Given the benefit function: ( ) 2 2 2, , 2 3 0.5 2B x y z x xy y z kyz= + + + − of a firm that produces three commodities in quantities x, y and z, prove that this firm does not have losses in case of 2 1k ≤ . SOLUTION: In this case the benefit function would be a quadratic form positive definite or semidefinite.