Rentas Constantes, Apuntes de Matemática Financiera

¡Descarga Rentas Constantes y más Apuntes en PDF de Matemática Financiera solo en Docsity! Dpto. Economía Financiera y Contabilidad “MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS” TEMAS 4: “RENTAS DE TERMINOS CONSTANTES, ANUALES y FRACCIONADAS” Prof. María Jesús Hernández García 1 1 4.0.-INTRODUCCION : Generalmente, una renta, se entiende simplemente, como un conjunto de capitales financieros, finito ó infinito numerable : { (C1 , t1 ), (C2 , t2),.., (Cj , tj ),..., (Cn , tn )} , n € N (1) Sin embargo, en Matemática Financiera, a estos conjuntos se le exigen, una serie de propiedades, para poderlos considerar propiamente “rentas financieras”. 4.1.-CONDICIONES,PROPIEDADESY ANOTACIONES : 1).-La existencia de una sucesión de capitales financieros. 2).- La existencia de un intervalo I = [ to , tn ], particionado en subintervalos Ij , (j=1,2,...,n), todos del mismo “tamaño” , de modo que los vencimientos de los capitales financieros estén asociados a dichos intervalos. *Toda renta puede representarse en un esquema gráfico u horizonte económico: C1 C2 Cj-1 Cj Cj+1 … Cn-1 Cn -------------------------------------------------------- t0 t1 t2 ... tj-1 tj tj+1 ... tn-1 tn Siendo tj ε Ij , el vencimiento del capital de cuantía Cj, (para todo j, j=1,2,3…) 4.1.1.-DENOMINACION Y ANOTACIONES DE LOS COMPONENTES DE UNA RENTA:
Término de la renta ó cuantía del capital financiero Cj , (para todo j, j=1,2,3,…)
Periodo de maduración: Cada uno de los subintervalos de tiempo Ij , (para todo j, j=1,2,3,…)
Origen de la renta: Extremo inferior del primer subintervalo I1, anotación, to ó 0
Final de la renta: Extremo superior del intervalo In, anotación tn ó n
Duración: Tiempo que media entre el origen y el final : (n-0) = n. Dpto. Economía Financiera y Contabilidad “MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS” TEMAS 4: “RENTAS DE TERMINOS CONSTANTES, ANUALES y FRACCIONADAS” Prof. María Jesús Hernández García 2 2 4.2.-VALORACION DE RENTAS El problema más importante, a tratar, en la teoría de rentas es su valoración, para ello, previamente hay que definir claramente sus componentes y elegir una ley financiera de valoración. 4.2.1.-DEFINICIONES :
Se denomina valor actual de una renta, a la suma financiera del valor de todos los capitales que la forman, referidos al momento inicial to y se anota, en principio, V0 .
Se denomina valor final, si la valoración anterior, se realiza en tn , es decir, en el momento final de la duración de la renta y se anota, en principio, Vn . 4.3.-CLASIFICACION DE LAS RENTAS Las rentas se pueden clasificar atendiendo a distintos criterios, según las características de los elementos que la integran : 1).- Según la naturaleza de los términos que definen la renta : a) Rentas ciertas. Todos sus términos son capitales financieros ciertos b) Rentas aleatorias. Cuando alguno de los términos (cuantía y/o vencimiento), son aleatorios. 2).- Según la cuantía de los términos : a) Rentas constantes: Todas las cuantías de los términos son iguales entre sí C1 = C2 =...= Cn = C. (Cuando, C = 1 u.m, es la renta unitaria) b) Rentas variables: Cuando las cuantías de sus términos no son iguales, entre las más destacables :
La cuantía de los términos varía en progresión geométrica : Cj = q × Cj-1, para todo j, j = 1,2,3,...
La cuantía de los términos varía en progresión aritmética : Cj = p + Cj-1 para todo j, j = 1,2,3,... (Anotamos q y p las razones de la progresión geométrica y aritmética respectivamente. 3).- Según el vencimiento de los términos: a) Prepagables, los vencimientos de todos los términos, tienen lugar en el extremo inferior, (inicio), del intervalo asociado. Dpto. Economía Financiera y Contabilidad “MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS” TEMAS 4: “RENTAS DE TERMINOS CONSTANTES, ANUALES y FRACCIONADAS” Prof. María Jesús Hernández García 5 5
Expresiónvalor final : Sn i = a [((1+i) n – 1) / i]
Valor final renta unitaria, siendo, a = 1: sn i = [(1- (1+i ) -n) /i] (1+i)n = [((1+i)n – 1) / i] 4.4.1.-VALOR ACTUAL DE LA RENTA INMEDIATA, CONSTANTE, PERPETUA, ANUAL Y POSPAGABLE HORIZONTE ECONÓMICO: a a ... a T.A.E i  ----- ---- ---- ---- --- ------------------→ 0 1 2 ... j ∞
EL VALOR INICIAL, es el paso al límite, cuando, n→∞, de A n i , es decir, A∞ i = lim An i n→∞
Expresión valor inicial : A∞ i = lim An i = a (1/ i). n→∞
Valor inicial renta unitaria: a = 1 y a∞ i = 1/ i . 4.5.-VALORACION RENTA, INMEDIATA, CONSTANTE, TEMPORAL Y PREPAGABLE DE n TERMINOS ANUALES HORIZONTE ECONÓMICO: a a a ... a … a T.A.E i  ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 0 1 2 ... j … n-1 n Dpto. Economía Financiera y Contabilidad “MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS” TEMAS 4: “RENTAS DE TERMINOS CONSTANTES, ANUALES y FRACCIONADAS” Prof. María Jesús Hernández García 6 6
VALOR INICIAL : La renta “prepagable” anterior, se puede transforma en una renta “pospagable” de término ä = a (1+i), financieramente equivalente a la pospagable: HORIZONTE ECONÓMICO: ä ä ... ä … ä ä T.A.E i  ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 0 1 2 ... j … n-1 n
Expresión valor inicial: Än i = a(1+i) [ (1-(1+i) -n)/ i ] = (1+i) An i
Valor inicial renta unitaria, a =1 y än i = (1+ i) an i
VALOR FINAL : Se obtiene capitalizando el valor inicial, Än i , desde 0, hasta n : S •• n i = Än i (1+i) n
Expresión valor final: S •• n i =a (1+i) [ ((1+i) –1) / i] = (1+i) Sn i Esquema gráfico de la capitalización del valor inicial para obtener el valor final de una renta : (1+i)n Ä n i ────────────► S •• n i ---------------------------- 0 1 2 ... j ... n
Valor final renta unitaria, a=1 y ¨s n i = (1+i) sn i . Dpto. Economía Financiera y Contabilidad “MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS” TEMAS 4: “RENTAS DE TERMINOS CONSTANTES, ANUALES y FRACCIONADAS” Prof. María Jesús Hernández García 7 7 4.5.1.-VALOR INICIAL, RENTA INMEDIATA, CONSTANTE, PERPETUA, ANUAL Y PREPAGABLE HORIZONTE ECONÓMICO : a a a ... a T.A.E i  ---- ---- ---- ------------------→ 0 1 2 ... j ∞
VALOR INICIAL : Ä ∞ i = (1+i) A∞ i = a (1+i) (1/i) = a [1 + (1/ i)]
Expresión valor inicial : Ä ∞ I = a [1 + (1/ i)]
Valor inicial renta unitaria , a = 1 y ä ∞ i = 1 + (1/ i) 4.6.-RENTA DIFERIDA h PERIODOS ANUALES, CONSTANTE, TEMPORAL Y POSPAGABLE DE n TERMINOS ANUALES” HORIZONTE ECONÓMICO : a a ... a ... a T.A.E i ---------------->------------------------ 0 1 2 ... h h+1 h+2 ... h+j ... h+n
VALOR INICIAL: 1ª)Nos situamos en h y calculamos el valor inicial de la renta inmediata constante, temporal y pospagable de n términos anuales, Ani , este valor tiene vencimiento en h, con lo cuál hay que actualizarlo hasta 0 multiplicándolo por (1+i)-h Esquema gráfico de la capitalización del valor inicial en h, para obtener el valor inicial en 0 de una renta diferida: (1+i)-h h/ An i ◄───── Ani a a ... a ... a T.A.E i ---------------->------------------------ 0 1 2 ... h h+1 h+2 ... h+j ... h+n Dpto. Economía Financiera y Contabilidad “MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS” TEMAS 4: “RENTAS DE TERMINOS CONSTANTES, ANUALES y FRACCIONADAS” Prof. María Jesús Hernández García 10 10
VALOR INICIAL : 1ª) Nos situamos en h y calculamos el valor inicial de la renta inmediata constante, temporal y prepagable, de n términos anuales : Än i , este valor tiene vencimiento en h, con lo cuál hay que actualizarlo hasta 0 multiplicándolo por (1+ i)-h. 2ª) El valor inicial, es, el de la renta financieramente equivalente, inmediata constante temporal y prepagable de término, a’ = a (1+ i)-h
Expresión valor inicial: h/ Än i = (1+i) -h Än i = (1+i) -h (1+i) a [ (1-(1+i)-n )/ i ] = = (1+ i)-h (1+i) An  i
VALOR FINAL: Lo obtenemos capitalizando el valor inicial, h/ Än i , desde 0, hasta h+n: h/ S •• n i = (1+i) h+n ( h/Än i ) = =(1+i)h+n (1+i)-h (1+i) a [1- (1+i)-n /i]= (1+1)n Ä n i =S •• n i “RENTA DIFERIDA h PERIODOS ANUALES, CONSTANTE, PERPETUA, ANUAL Y PREPAGABLE” Horizonte económico : a a a ... a ... T.A.E i ---------------->------------------------> 0 1 2 ... h h+1 h+2 ... h+j ... ∞
VALOR INICIAL: h/ Ä∞  i = lim (h / Än i ) = (1+ i) -h (1+i) a (1/i) = n→∞ Dpto. Economía Financiera y Contabilidad “MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS” TEMAS 4: “RENTAS DE TERMINOS CONSTANTES, ANUALES y FRACCIONADAS” Prof. María Jesús Hernández García 11 11 = (1+i)-h Ä ∞ i = (1+i) -h a (1 + (1/i))