Repaso Distribuciones Continuas, Ejercicios de Estadística

¡Descarga Repaso Distribuciones Continuas y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity! DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Las más importantes son: Distribución de probabilidad Uniforme continua, Distribución de probabilidad Normal o de Gauss, Distribución exponencial, Distribución Beta, Distribución Gamma, Distribución de Weibull. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME CONTINUA Si a<b, se dice que una variable aleatoria Y tiene una DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME CONTINUA en el intervalo [a, b] si, y sólo si, la función de densidad de Y es: 1 _ <y< y =b-a paraa<y<b 0 en otros casos Notación: Y — Unif (a, b). Demostremos que: a) f(Y) es una densidad. ay b) EY 21D Var(Y) “by? 2 12 Ejemplo: 1.- Sea Y una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [0, 4]. ¿Cuál es la probabilidad de que Y tome un valor que se encuentre entre la media y la media más la varianza? Problema: Un científico cree que en su laboratorio están naciendo insectos con pesos muy variables. El peso es una variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200 gramos. Cualquier insecto que pese menos de 160 gramos deberá excluirlo de la muestra, pues no sirve para los objetivos de la investigación que el científico piensa realizar. Calcular la fracción de insectos nacidos en el laboratorio que no se incluyen en el estudio. DISTRUBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL O DE GAUSS La distribución de probabilidad continua que se utiliza más extensamente es la Normal, también llamada Distribución de Gauss (1777-1855), su gráfica tiene forma acampanada, y hay muchas variables aleatorias en la naturaleza que se rigen por ella. (Abrahan De Moivre, 1667-1754). Función de densidad: (yw? a 1 20? f(y, 1, O o , =0<y<o0 EY =15 Var(y)=02 Notación: Y — N (u, 02). Teorema: Si Y es una variable aleatoria normal de parámetros u y «?, Y-u O entonces: Z= es una variable aleatoria normal de parámetros u=0 09 AAA DA a > EEETE .u'mQu PERE LS os P PA 0.7F po1 ] 06 + po] ] D5st 04? 03H 02p ol F PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR: L.- P(Z>z)=P(Z<-2) 2.-P(Z>-z) =P(Z<z) 3.-Pa<Z<-b)=P(b<Z<a) 4.- P(a <Z <b)=P(Z > a) -P(Z > b) 5.- P(Z < 0) P(Z> 0) = 0,5 6.-P(-a <Z<a)=1-2P(Z> a) 7.-P(- 1<Z<1)=0.6827 P(-2<Z <2)=0.9545 P(- 3 <Z <3)=0.9973 ¿CÓMO USAR LA TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR? Sea Z - N(O0, 1). Calcular: 1.-P(Z> 2) 2.- P(Z > 2.1) 3.- P(Z > 2.16) 4.- P(Z > 0.01) 5.- P(Z<0.01) 6.- P(2< Z < 2) 7.-P(0<Z<1.27) 8.- Calcular ztal que: P(Z > z) = 0.0274 9.- Calcular ztal que: P(Z < z) = 0.975 10.- Calcular z tal que: P(Z > z)= 0.9713 11.- Calcular z tal que: P(Z < z) = 0.9713 Respuestas: 1)0.0228; 2)0.0179; 3)0.0154; 4)0.4960; 5)0.51; 6)0.9544; 7)0.398; 8)1.92; 9)1,96; 10)-1.9. PROBLEMAS 1)Si la cantidad de radiación cósmica a la que una persona está expuesta mientras viaja en avión por una zona determinada es una variable aleatoria con distribución Normal con media 4.35 y desviación estándar 0.59. Calcular las probabilidades de que la cantidad de radiación cósmica a la cual un viajero queda expuesto en tal vuelo este: a)Entre 4 y 5; b)Sea al menos de 5.5. 2)La cantidad de café instantáneo que una máquina vierte en frascos de 4 onzas es una variable aleatoria Normal con desviación estándar de 0.04 onzas. Si sólo el 2% de los frascos contiene menos de 4 onzas, ¿Cuál es la media de los frascos que se han llenado? 3)El diámetro de un eje metálico empleado en la unidad de disco de una computadora tiene distribución Normal con media de 0.2508 pulg. y desviación estándar de 0.0005 pulg. Se han determinado las especificaciones para el eje como 0.25 + 0.0015 pulg. Se quiere determinar la proporción de los ejes producidos que cumplen con las especificaciones. 4)Un estudio experimental ha confirmado que las horas semanales de estudio dedicadas por los 500 estudiantes de primer semestre de una Escuela de Ingeniería se distribuyen normalmente con media 25 y desviación típica 9. Determinar: a)¿Qué porcentaje de alumnos dedica al estudio entre 18 y 32 horas semanales?; b)¿Cuántos alumnos estudian semanalmente mas de 35 horas?. 5)El tiempo necesario para finalizar un examen sigue una distribución normal con media 70 minutos y desviación típica 12 minutos. Obtener: a)El tiempo que debe durar el examen para que el 75% de las personas lo terminen; b)El porcentaje de personas que lo terminarán antes de 80 minutos. 6)Una de las primeras aplicaciones de la curva Normal fue debida al astrónomo F. W: Bessel en 1818, que comprobó que los errores de medida de 300 medidas astronómicas, coincidían con bastante aproximación con los previstos por Gauss con la curva Normal. Suponiendo que la media de estos errores es cero y la desviación típica 4 grados, Calcular: a)La probabilidad de que un error no sea mayor que 6 grados; b)La probabilidad de que sea por defecto y mayor que 8 grados; c)S1 se llama “pequeños” a los errores menores que 7 grados y “grandes” a los mayores que 7 grados, el número esperado de errores grandes y pequeños en 300 observaciones. 7)Un fabricante de carros garantiza la carrocería de los vehículos por 5 años. Considerando que la carrocería se mantiene en buen estado siguiendo una ley normal de esperanza 6 años, con una desviación típica de 120 días. ¿Qué probabilidad hay de que un carro tenga que ser restaurado antes de acabar su garantía? S)La resistencia a la tensión de una pieza metálica está distribuida normalmente con media de 40 Ib. y desviación estándar de 8 lb. Si se producen 50000 piezas, ¿Cuántas no satisfarán un límite de especificación mínimo de 34 lb. como resistencia a la tensión? ¿Cuántas tendrán resistencia superior a 48 1b.? 9)Encuentre el valor de y si Y está distribuida normalmente, con media u y desviación estándar 4, y dado que la probabilidad de que Y sea menor que 32 es 0.0228. DISTRIBUCIÓN GAMMA La función de densidad de la distribución Gamma viene dada por: dal para x>0,0>0,P8>0 PoT(a) f(x) = 0 en Otros casos EX) =4=0f8 02 =ap? Donde: I'(a) es el valor de la función Gamma definida como: 00 T(a)=f xl ¿ox gy 0 Observación: Se puede demostrar, resolviendo por partes, que: T(a)=(a—1)T(a—1) para cualquier a >1, y sia. es entero positivo (a) =(a.—1)! PROBLEMAS 1.-Sea X una v. a. Con distribución Gamma con 02 y P=1. Calcular: P(1.5<x <2.3). 2.-En una ciudad determinada, el consumo diario de energía eléctrica (en millones de kilowatt-hora) puede considerarse como una v. a. que tiene distribución Gamma con 0.=3 y P=2. Si la planta de energía de esa ciudad tiene una capacidad diaria de 12 millones de kilowatt-hora, ¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimiento de energía sea insuficiente un dia cualquiera? DISTRIBUCIÓN BETA Una v. a. Tiene distribución Beta si su densidad es: T+P) 01 _ PB para0<x<l, a>0, B>0 CN) 109 = 0 en otro caso _ 2 2_ op 4= Po A a+P (a+ PB a+p+1) PROBLEMAS 1.-En cierto país, la proporción de tramos de autopista que requieren reparación en un año determinado es una v. a. Con distribución Beta, con a=3 y P=2. Calcular: a)En promedio, ¿qué porcentaje de tramos en autopista requieren reparación en un año cualquiera? b)La probabilidad de que a lo sumo la mitad de los tramos de autopista requieren reparación en un año cualquiera. 2.-Los códigos de los artículos, en una caja registradora, son iluminados con luz láser y posteriormente leídos por un lector óptico. La fracción de luz que llega al lector óptico sigue una distribución f(3,2). La lectura sólo es válida cuando la cantidad de luz recogida por el lector es superior al 30% de la emitida por el láser. ¿Cuál es la probabilidad de que la lectura de un código sea correcta? DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL La distribución de Weibull fue deducida por el físico sueco Waloddi Weibull en 1939 en un estudio de resistencia de materiales, en donde el problema estribaba en encontrar el elemento más débil. Este es un caso en particular de determinación de valores extremos, un campo de especial interés en el estudio de inundaciones y de hidrología en general. En los últimos años, se ha utilizado ampliamente en ingeniería de confiabilidad como modelo del tiempo hasta la falla en componentes y sistemas electrónicos y mecánicos. Función de densidad: agxP1 ¿ox parax>0,0>0,P>0 f(x)= 0 en otro caso ras) y8 > , 2 = 27 n= E oó=a ES) ¿NB pl Observación: la distribución de Weibull es muy flexible, y mediante una elección adecuada de los parámetros, puede tomar una gran variedad de formas.