Resolución de problemas, Apuntes de Ecuaciones Diferenciales

¡Descarga Resolución de problemas y más Apuntes en PDF de Ecuaciones Diferenciales solo en Docsity! Criterios de comparación para el estudio de la convergencia de integrales impropias. Teorema 1. Dadas f(x) y g(x) funciones continuas en [a,+∞) tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) en algún intervalo [c,+∞) con c ≥ a. Entonces si la integral ∫ +∞ a g(x) dx es convergente entonces la integral ∫ +∞ a f(x) dx también lo es. Teorema 2. Dadas f(x) y g(x) funciones continuas en [a,+∞) con f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 en algún intervalo [c,+∞) con c ≥ a. Sea lim x→+∞ f(x) g(x) = ρ a) En el caso que 0 < ρ < +∞ entonces:∫ +∞ a g(x) dx es convergente si y sólo si ∫ +∞ a f(x) dx es convergente b) En el caso que ρ = 0 entonces: Si ∫ +∞ a g(x) dx es convergente entonces ∫ +∞ a f(x) dx es convergente c) En el caso que ρ = +∞ entonces: Si ∫ +∞ a g(x) dx es divergente entonces ∫ +∞ a f(x) dx es divergente Observación 3. Ambos criterios pueden plantearse en forma análoga para integrales de la forma ∫ b −∞ f(x) dx. Teorema 4. Dadas f(x) y g(x) funciones continuas y no negativas en [a, b) tales que f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b). Entonces si la integral ∫ b a g(x) dx es convergente entonces la integral ∫ b a f(x) dx también lo es. Teorema 5. Dadas f(x) y g(x) funciones continuas y no negativas en [a, b) con g(x) 6= 0 para todo x ∈ [a, b). Sea lim x→b− f(x) g(x) = ρ a) En el caso que 0 < ρ < +∞ entonces:∫ b a g(x) dx es convergente si y sólo si ∫ b a f(x) dx es convergente b) En el caso que ρ = 0 entonces: Si ∫ b a g(x) dx es convergente entonces ∫ b a f(x) dx es convergente c) En el caso que ρ = +∞ entonces: Si ∫ b a g(x) dx es divergente entonces ∫ b a f(x) dx es divergente Observación 6. Ambos criterios pueden plantearse en forma análoga para integrales de la forma ∫ b a f(x) dx donde f(x) es continua en (a, b]. 1