¡Descarga resumen algebra 2 bac y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! IES O Couto. Matemáticas II Repaso del Bloque de Álgebra. Curso 2019-2020 Matrices A = á a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... . . . ... am1 am2 . . . amn ë ∈Mm×n(R). Abreviadamente A = (aij)m×n Matriz o vector fila: A ∈M1×n(R); Matriz o vector columna: A ∈Mm×1(R) Matriz cuadrada: A ∈Mn×n(R) =Mn(R). Matriz triangular superior: Todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos. Matriz triangular inferior: Todos los elementos sobre la diagonal principal son nulos. Matriz diagonal: Todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos. • Matriz escalar: Todos los elementos de la diagonal principal son iguales. • Matriz identidad, o unitaria, I: Todos los elementos de la diagonal principal son 1. Operaciones con matrices Suma: A, B ∈Mm×n(R), A+B = (aij + bij)m×n Resta: A, B ∈Mm×n(R), A−B = (aij − bij)m×n Producto por un escalar: k ∈ R, A ∈Mm×n(R), k ·A = (kaij)m×n Producto de matrices: A ∈Mm×p(R), B ∈Mp×n(R) A ·B = (cij)m×n, cij = p∑ k=1 aik · bkj Propiedades de las operaciones con matrices Siempre que las operaciones indicadas sean posibles: A+B = B +A A+ (B + C) = (A+B) + C A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB +AC k(A+B) = kA+ kB k(λ)A = (kλ)A (k + λ)A = kA+ λA AB 6= BA Matriz Nula O = (0)m×n: A+O = O +A = A, ∀A ∈Mm×n(R) Matriz opuesta de A, −A = (−aij)m×n: A+ (−A) = −A+A = O Matriz identidad o unitaria I: AI = IA = A Matriz inversa de A ∈Mn(R): Si existe, es una matriz A−1 tal que A ·A−1 = A−1 ·A = I Dada A ∈Mn(R): ß ∃A−1 =⇒ A se dice regular o inversible ∃A−1 =⇒ A se dice singular Propiedades de las matrices inversibles A ∈Mn(R): (A−1)−1 = A A, B ∈Mn(R): (AB)−1 = B−1A−1 Potencias de expresiones con matrices Como consecuencia de la no conmutatividad del producto: (A+B)2 = A2 +AB +BA+B2 (A−B)2 = A2 −AB −BA+B2 (A−B)(A+B) = A2 +AB −BA−B2 Como la matriz I conmuta con cualquier otra para el producto: (A+ I)n = n∑ k=0 Ç n k å Ak Matriz idempotente: A ∈Mn(R) idempotente ⇐⇒ A2 = A Matriz Traspuesta Dada A ∈ Mm×n(R), su matriz traspuesta At es la matriz At = (aji)n×m ∈ Mn×m(R) que se obtiene al intercambiar las filas de A por sus columnas. Matriz simétrica: A ∈Mn(R) simétrica ⇐⇒ At = A Matriz antisimétrica: A ∈Mn(R) antisimétrica ⇐⇒ At = −A Matriz ortogonal: A ∈Mn(R) ortogonal ⇐⇒ ∃A−1, y A−1 = At Propiedades de la trasposición de matrices (At)t = A (A+B)t = At +Bt (AB)t = BtAt (kA)t = kAt Determinantes Determinantes de orden 2 A ∈M2(R) : det(A) = |A| = ∣∣∣∣a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 Determinantes de orden 3 (Regla de Sarrus) A ∈M3(R) : det(A) = |A| = ∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣∣∣∣∣∣ = = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 Determinantes de orden n (desarrollo por una fila, o columna) Dada A ∈Mn(R): det(A) = |A| = n∑ j=1 akjAkj (desarrollo por la fila k) Análogamente det(A) = |A| = n∑ i=1 aikAik (desarrollo por la columna k) Donde Aij es el Adjunto de aij , con Aij = (−1)i+jMij
