¡Descarga resumen de introducción al pensamiento científico y más Apuntes en PDF de Historia del Pensamiento Político solo en Docsity! Geometrías no Euclideanas Carl Friedrich Gauss* *Un postulado o axioma es independiente cuando no puede deducirse de los demás postulados del sist. → Matemático alemán (1777 - 1855) → Gauss reemplazó el quinto postulado de Euclides por el siguiente: Por un punto exterior a una recta, pueden tragarse infinitas paralelas a dicha recta. → La nueva geometría desarrollado por Gauss demuestra teoremas distintos a los de la geometría eudídea. Geometría hiperbólica. • Gauss • Bolyai • Lobachevski Trabajan con una de las suposiciones de Saccheri y con los 4 postulados de Euclides. En el 5° postulado usan la hipótesis 2. * RESULTADO: • Infinitas paralelas ● La suma de los ángulos interiores de menos de 180° ● Recta infinita. → La geometría hiperbólica incluye teorema que son comunes con los de la geometría eudídea (todos aquellos que se deducen sólo de los 4 primeros axiomas) y otros que no lo son (aquellos que se demuestran usando el quinto postulado; entre los últimos encuentra el de la suma de los ángulos interiores de un triángulo) Geometría elíptica. • Riemann Modifica el 2° postulado, junto los 4 postulados con la hipótesis 1. * RESULTADO: • Ninguna paralela. ● La suma de los ángulos de mayor a 180° ● Recta cerrada. → La GEOMETRÍA ELÍPTICA implica otras modificaciones además de la del quinto postulado. En resumen: TIPO DE GEOMETRÍA CANTIDAD DE PARALELAS SUMA DE LOS ÁNGULOS RECTA EUCLIDES Una 180° Infinita LOBACHEVSKI (HIPERBÓLICA) Infinitas Menor que 180° Infinita RIEMMAN (ELÍPTICA) Ninguna Mayor que 180° Cerrada Estos sistemas axiomaticos son llamados SISTEMAS FORMALES, que, partiendo de ciertos enunciados, permitían concluir sistemas coherentes. Por ejemplo, el régimen democrático de EE. UU. no sirve para Argentina pero aún así sigue siendo una estructura coherente. La geometría euclidiana siguió siendo la más importante hasta principios del S.XX cuando llega Eindtein con la teoría de la relatividad y necesitaba recurrir a las geometrías no euclidianas → A partir de esto ya no podía decirse que la geometría no euclídeanas eran menos juegos de símbolos y loros reuníficantes como una teoría que describieron el espacio físico real (la física). Sistemas axiomáticos desde una perspectiva contemporánea. * En un sistema axiomático se encuentra 2 tipos o categorías de enunciados: • Axiomas: son los enunciados que aceptan sin demostración y constituyen los puntos de partida de las demostraciones (aquellos que eran denominados POSTULADOS por Euclides). No se exige que los axiomas sean verdaderos evidentes; los axiomas son ahora enunciados que se adaptan como Punto de partida del sistema. Los axiomas no refieren a entidades especificas, si son menos constructos formales, no cabe ni siquiera predicar de ellos verdad o falsedad y mucho menos exigirla. • Teoremas: son enunciados que se demuestran, es decir, se obtienen deductivamente, a partir de otros enunciados mediante REGLAS DE INFERENCIA (conclusiones que se detienen a partir de los axiomas) Los sistemas axiomáticos también deben incluir de modo explícito las REGLAS DE INFERENCIA que se utilizan para demostrar teoremas, garantizan que si se parte de enunciados verdaderos, las conclusiones también serán verdaderas. Si se admiten los axiomas como verdaderos los teoremas también lo serán. • Demostraciones: parten de axiomas o de teoremas y/o demostrados perdidamente, y por aplicación de las reglas de inferencia permiten obtener nuevos teoremas. Los axiomas de una demostración juegan un papel similar de las premisas de una deducción, y los teoremas (último nunciado de una demostración) pueden ser asimilados a su conclusión. Una demostracion es una secuencia finita de pasos en donde cada uno se deriva de un enunciado anterior, que es o bien un axioma, o bien otro teorema que ya ha sido demostrado. Todos estos enunciados están compuestos por términos (expresiones lingüísticas con significado) y se pueden distinguir entre estos 2 tipos. * Términos lógicos: expresiones como todos, son, pasan, por, sí… entonces, y,o, etc,). * Términos no lógicos: por ejemplo en el caso de la geometría se refieren a entes geométricos (recta, triángulo, círculo, ángulo, etc).
