Resúmenes de la introducción a la clase de variable compleja., Apuntes de Física

¡Descarga Resúmenes de la introducción a la clase de variable compleja. y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity! Definición de números complejos, plano complejo y forma polar Prof. Axel Cruz January 23, 2022 1 Definición y propiedades básicas de los números complejos Definición 1. Un número complejo es cualquier número de la forma z = a+ ib donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. Recordemos que i = √ −1 e i2 = −1. a es la parte real de z y se denota como Re(z) = a. b es la parte imaginaria y, escribimos, Im(z) = b. Definición 2. Los números complejos z1 = a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2 son iguales, z1 = z2, si a1 = a2 y b1 = b2. Operaciones aritméticas Suma: z1 + z2 = (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2) Resta: z1 + z2 = (a1 + ib1)− (a2 + ib2) = (a1 − a2) + i(b1 − b2) Multiplicación: z1 · z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 − b1b2 + i(b1a2 + a1b2) División: z1 z2 = a1 + ib1 a2 + ib2 = a1a2 + b1b2 a22 + b22 + i b1a2 − a1b2 a22 + b22 Además, se cumplen la ley conmutativa y la ley distributiva para la suma y la multiplicación. También se cumple la ley distributiva. Unidad y cero Cero: 0 + 0i Unidad: 1 + 0i Definición 3. Si z = a+ ib entonces su conjugado es z = a− ib Además, z1 + z2 = z1 + z2, z1 − z2 = z1 − z2, z1 · z2 = z1 · z2, ( z1 z2 ) = z1 z2 , zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 + y2. 1 Probemos la primera de ellas: z1 + z2 = a+ ib+ c+ id = a+ c+ i(b+ d) = a+ c− i(b+ d) = a− ib+ c− id = z1 + z2 2 El plano complejo Los números complejos pueden verse como puntos en un plano. También pueden verse como vectores. Definición 4. El módulo de un número complejo z = x+ iy, es el número real |z| = √ x2 + y2 Propiedades: • |z|2 = zz y |z| = √ zz • |z1z2| = |z1||z2| y ∣∣∣z1 z2 ∣∣∣ = |z1| |z2| • |z2| = |z|2 Notemos, además, que |z2 − z1| = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. Desigualdades Primero, hemos de notar que no hay un orden en Z aśı como el de R. Pero śı podemos tener que |z1| < |z2| o viceversa. Además, tenemos las siguientes desigualdades: • |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| • |z1| − |z2| ≤ |z1 + z2|, puesto que z1 = z1 + z2 + (−z2), lo que produce |z1| = |z1 + z2 + (−z2)| ≤ |z1 + z2|+ |z2| • ||z1| − |z2|| ≤ |z1 + z2| • |z1 − z2| ≤ |z1|+ |z2| Ejercicios: Ejercicio 1. Exprese |z + 5z|. Solución: |z + 5z| = |x+ iy + 5(x− iy)| = |6x− 4yi| = √ (6x)2 + (−4y)2 = √ 36x2 + 16y2 2 = tan−1 (√ 3 ) = π 3 pero, en realidad tenemos que: θ = 4π 3 y el argumento en general es θ = arg (z) = 4π 3 + 2nπ ; n ∈ Z Luego z = 4 ( cos ( 4π 3 ) + i sin ( 4π 3 )) • Usando el argumento principal z = 4 ( cos ( −2π 3 ) + i sin ( −2π 3 )) Multiplicación y división Dados dos números complejos z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) y z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2), tenemos que: z1z2 = r1r2[cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2)] que da como resultado: z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)] De la misma forma: z1 z2 = r1 r2 [cos (θ1 − θ2) + i sin (θ1 − θ2)] Podemos entonces decir que: arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) y arg ( z1 z2 ) = arg(z1) - arg(z2). Ejemplo 2. Efectúe (4 + 4i)(−1 + i) en forma polar Solución: 4 + 4i = √ 32 ( cos (π 4 ) + i sin (π 4 )) y 5 −1 + i = √ 2 ( cos ( 3π 4 ) + i sin ( 3π 4 )) Luego, (4 + 4i)(−1 + i) = √ 32 ( cos (π 4 ) + i sin (π 4 )) · √ 2 ( cos ( 3π 4 ) + i sin ( 3π 4 )) = √ 64 (cos(π) + i sin(π)) = −8 Potencias enteras z: Si z = r(cos θ + i sin θ), con z1 = z2 = z, tenemos que: z2 = r2[cos (θ + θ) + i sin (θ + θ)] = r2[cos (2θ) + i sin (2θ)] Y si hacemos que arg(1) = 0, tenemos: 1 z2 = z−2 = r−2[cos (−2θ) + i sin (−2θ)] En general: zn = rn(cosnθ + i sinnθ) Fórmula de De Moivre Si z = cos θ + i sin θ, r = |z| = √ cos2 θ + sin2 θ = 1. Entonces, (cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ que es lo que se conoce como la fórmula de De Moivre Ejercicios Ejercicio 6. Use la fórmula de De Moivre con n = 2 para encontrar identidades trigonométricas para cos 2θ y sin 2θ. Solución (cos θ + i sin θ)2 = cos 2θ + i sin 2θ cos2 θ + 2i sin θ cos θ − sin2 θ = cos 2θ + i sin 2θ cos2 θ − sin2 θ + i2 sin θ cos θ = cos 2θ + i sin 2θ Igualamos partes reales y partes imaginarias cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ y sin 2θ = 2 sin θ cos θ 6 Ejercicio 7. Encuentre un entero positivo n para el que ( − √ 2 2 + √ 2 2 i )n = 1 Solución: ( cos ( 3π 4 ) + i sin ( 3π 4 ))n = 1 cos ( 3nπ 4 ) + i sin ( 3nπ 4 ) = 1 cos ( 3nπ 4 ) = 1 3nπ 4 = 6π n = 8 4 Potencias y ráıces Suponga que z = r(cos θ+ i sin θ) y w = ρ(cosφ+ i sinφ) son la forma polar de z y w. Entonces, la ecuación wn = z se convierte en ρn(cosnφ+ i sinnφ) = r(cos θ + i sin θ) . De esto concluimos que ρn = r y cosnφ+ i sinnφ = cos θ + i sin θ. Por tanto, ρ = n √ r donde r es la única ráız positiva del número real r. De la definición de igualdad de números complejos observamos que cosnφ = cos θ and sinnφ = sin θ. Estas desigualdades indican que θ and φ están relacionadas por nφ = θ + 2kπ, donde k es un entero. Aśı que, φ = θ + 2kπ n A medida que k toma valores enteros sucesivos k = 0, 1, 2, ..., n−1, obtenemos n ráıces n-ésimas distintas de z; estas ráıces tienen el mismo módulo n √ r pero distintos argumentos. Note que para k ≥ n obtenemos las mismas ráıces porque el seno y el coseno son funciones periódicas, con peŕıodo 2π. Para ver esto, suponga que k = n+m, donde m = 0, 1, 2, ..., entonces φ = θ + 2(m+ n)π n = θ + 2mπ n + 2π y sinφ = sin ( θ + 2mπ n ) , cosφ = cos ( θ + 2mπ n ) 7 3. A 0 < |z − z0| < ρ le llamamos una vecindad excluyente de z0. 4. Se dice que un punto z0 es un punto interior de un conjunto S del plano complejo si existe alguna vecindad de z0 que se encuentra completamente dentro de S. 5. Si cada punto z de un conjunto S es un punto interior, entonces se dice que S es un conjunto abierto. 6. Si cada vecindad de un punto z0 de un conjunto S contiene al menos un punto de S y al menos un punto que no está en S, entonces se dice que z0 es un punto frontera de S. 7. La colección de puntos frontera de un conjunto S se llama la frontera de S. 8. Un punto z que no es un punto interior ni un punto frontera de un conjunto S se dice que es un punto exterior de S. 9. El conjunto definido por ρ1 < |z − z0| < ρ2 se llama anillo circular abierto. 10. Si cualquier par de puntos z1 y z2 en un conjunto S se puede conectar con una recta poligonal que consiste de un número finito de segmentos de rectas unidos por los extremos encontrados totalmente en el conjunto, entonces se dice que el conjunto S es conexo. 11. Un conjunto conexo abierto se llama dominio. 12. Una región que contiene todos los puntos frontera se dice que es cerrada. 13. Decimos que un conjunto S en el plano complejo está acotado si existe un número real R > 0 tal que |z| < R para cada z en S. Ejercicio 12. Bosqueje la gráfica de z2 + z2 = 2 en el plano complejo. Solución: (x+ iy)2 + (x− iy)2 = 2 x2 + 2xyi− y2 + x2 − 2xyi− y2 = 2 2x2 − 2y2 = 2 x2 − y2 = 1 Ejercicio 13. Bosqueje la gráfica de arg(z) = π 4 en el plano complejo. Solución: θ = tan−1 y x = π 4 y x = tan π 4 10 y x = 1 y = x, x > 0 Ejercicio 14. Bosqueje el conjunto de puntos que se da en el plano complejo que satisfacen Re(z) > 2. Además, determine si el conjunto es abierto, cerrado, un dominio, acotado o conexo. Solución: Re(x+ iy) > 2 x > 2 Ejercicio 15. Bosqueje el conjunto de puntos que se da en el plano complejo que satisfacen 2 < |z − i| < 3. Además, determine si el conjunto es abierto, cerrado, un dominio, acotado o conexo. Solución: 2 < |x+ iy − i| < 3 2 < |x+ i(y − 1)| < 3 2 < √ x2 + (y − 1)2 < 3 4 < x2 + (y − 1)2 < 9 Ejercicio 16. Considere el disco centrado en z0 definido por |z − z0| ≤ ρ. Demuestre que este conjunto está acotado encontrando un R > 0 tal que todos los puntos z en el disco satisfacen |z| < R. Solución: Sea R = ρ+ |z0|+ 1. Sea w ∈ |z − z0| ≤ ρ, entonces |w − z0| ≤ ρ. Luego, |w| − | − z0| = |w| − |z0| ≤ |w + (−z0)| = |w − z0| ≤ ρ < ρ+ 1 Lo que produce, |w| = |w|−|z0|+|z0| ≤ |w+(−z0)|+|z0| = |w−z0|+|z0| ≤ ρ+|z0| < ρ+|z0|+1 = R Es decir, |w| < ρ+ |z0|+1 = R. En otras palabras, w está en el disco abierto con radio R centrado en el origen. Como esto es aśı para todos los puntos en |z − z0| ≤ ρ entonces es un conjunto acotado. Ejercicio 17. a. Para z 6= 1, verifique la identidad 1 + z + z2 + · · · + zn = 1− zn+1 1− z Solución: Para esto debemos notar que 1− zn+1 = (1− z)(1 + z + z2 + · · ·+ zn) 11 b. Establezca que 1 + cos θ + cos 2θ + · · ·+ cosnθ = 1 2 + sin ( n+ 1 2 ) θ 2 sin 1 2θ para 0 < θ < 2π Solución: Haremos z = cos θ + i sin θ y sustituiremos en la identidad del inciso a. 1+cos θ+i sin θ+(cos θ+i sin θ)2+· · ·+(cos θ+i sin θ)n = 1− (cos θ + i sin θ)n+1 1− (cos θ + i sin θ) 1+cos θ+i sin θ+cos 2θ+i sin 2θ+· · ·+cosnθ+i sinnθ = 1− (cos(n+ 1)θ + i sin(n+ 1)θ) 1− cos θ − i sin θ 1 + cos θ + cos 2θ + · · ·+ cosnθ + i(sin θ + sin 2θ + · · ·+ sinnθ) = 1− (cos(n+ 1)θ + i sin(n+ 1)θ) 1− cos θ − i sin θ · 1− cos θ + i sin θ 1− cos θ + i sin θ 1 + cos θ + cos 2θ + · · ·+ cosnθ + i(sin θ + sin 2θ + · · ·+ sinnθ) = 1− cos θ + i sin θ − cos(n+ 1)θ + cos(n+ 1)θ cos θ − i cos(n+ 1)θ sin θ − i sin(n+ 1)θ (1− cos θ)2 + sin2 θ −i sin(n+ 1)θ cos θ + sin(n+ 1)θ sin θ (1− cos θ)2 + sin2 θ Igualamos partes reales, 1 + cos θ + cos 2θ + · · ·+ cosnθ = 1− cos θ − cos(n+ 1)θ + cosnθ 1− 2 cos θ + cos2 θ + sin2 θ 1 + cos θ + cos 2θ + · · ·+ cosnθ = 1− cos θ − cos(n+ 1)θ + cosnθ 2(1− cos θ) 1 + cos θ + cos 2θ + · · ·+ cosnθ = 1 2 + cosnθ − cos(n+ 1)θ 4(1− cos θ) 2 12