RUTA DE APRENDIZAJE VII CICLO MATEMÁTICAS, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

¡Descarga RUTA DE APRENDIZAJE VII CICLO MATEMÁTICAS y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity! 1TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS Tercero, cuarto y quinto grados de Educación Secundaria Hoy el Perú tiene un comPromiso: mejorar los aPrendizajes Todos podemos aprender, nadie se queda aTrás Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes número y operaciones cambio y relaciones vii ciclo Fascículo 1 ¿Qué y cómo aprenden nuestros adolescentes? 2 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes MinisTerio de edUcación Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja Lima, Perú Teléfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versión 1.0 Tiraje: 51 800 ejemplares Emma Patricia Salas O’Brien Ministra de educación José Martín Vegas Torres viceministro de Gestión pedagógica equipo coordinador de las rutas del aprendizaje: Ana Patricia Andrade Pacora, Directora General de Educación Básica Regular Neky Vanetty Molinero Nano, Directora de Educación Inicial Flor Aidee Pablo Medina, Directora de Educación Primaria Darío Abelardo Ugarte Pareja, Director de Educación Secundaria asesor general de las rutas del aprendizaje: Luis Alfredo Guerrero Ortiz equipo pedagógico: Róger Saavedra Salas Pedro David Collanqui Díaz Daniel José Arroyo Guzmán Holger Saavedra Salas, asesor Antonieta de Ferro, asesora agradecimientos: Agradecemos la colaboración del equipo de especialistas de IPEBA y UMC por su participación en la revisión del documento. corrección de estilo: Jorge Coaguila Quispe diseño gráfico y diagramación: Haydé Pumacayo Condori ilustraciones: Haydé Pumacayo Condori equipo editor: Juan Enrique Corvera Ormeño, Carmen Rosa León Ezcurra, Luis Fernando Ortiz Zevallos impreso por: Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 Km 2 Santa Anita – Lima 43 RUC 20347258611 distribuido gratuitamente por el Ministerio de educación. prohibida su venta. Hecho el depósito legal en la Biblioteca nacional del perú: n.º 2013-01775 Impreso en el Perú / Printed in Peru 5TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 5 Introducción 7 i. ¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática? 9 ii. ¿Qué aprenden nuestros adolescentes? 15 iii. ¿cómo podemos facilitar estos aprendizajes? 21 3.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje 21 3.2 Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VII ciclo de la EBR 22 3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos 25 3.4 Reconociendo escenarios, herramientas y condiciones didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas 27 3.5 Promoviendo tareas matemáticas articuladas 33 3.6 Resolviendo problemas 34 3.7 Fases de la resolución de problemas 35 3.8 Promoviendo el trabajo cooperativo 36 iv. ¿cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto al número real? 37 4.1 Algunas situaciones de aprendizaje 38 4.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a números reales 50 v. ¿cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a las funciones cuadráticas? 61 5.1 Algunas situaciones de aprendizaje 62 5.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a las funciones cuadráticas 77 vi. ¿cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a sucesiones con números reales y programación lineal? 89 6.1 Algunas situaciones de aprendizaje 90 Bibliografía 99 Índice 6 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes 7TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 7 introducción El Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratégico, la necesidad de transformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que asegure una educación pertinente y de calidad, en la que todos los niños, niñas y adolescentes puedan realizar sus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social. Es en este marco que el Ministerio de Educación, como una de sus políticas priorizadas, busca asegurar que: Todos y todas logran aprendizajes de calidad con énfasis en comunicación, matemática, ciudadanía, ciencia, tecnología y productividad. En el ámbito de la matemática, nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. Es decir, como un medio para comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas, haciendo uso de conceptos, procedimientos y herramientas matemáticas. Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo, que llega hoy a tus manos, como parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta para que nuestros estudiantes puedan aprender. En él se formulan seis capacidades matemáticas que permiten hacer más visible el desarrollo de la competencia matemática y trabajarla de forma integral. Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir de una situación problemática, se desarrollan las seis capacidades matemáticas, en forma simultánea, configurando el desarrollo de la competencia. En este fascículo encontrarás: • Algunas creencias que aún tenemos los docentes en nuestras prácticas educativas y que, con espíritu innovador, tenemos que corregir. • Los estándares de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término de los ciclos VI y VII de la Educación Básica Regular, en dos dominios: número y operaciones, cambio y relaciones. 10 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes Los veo preocupados. ¿Qué dificultades tienen? Salen dos soluciones, profe. Una es positiva y otra negativa: 90 y -120. ¿La medida puede ser un número negativo? Entonces los 10 800 m2 de césped donado por el alcalde alcanzarán para cubrir el campo deportivo con las dimensiones que han calculado. Profesor, tengo una pregunta: ¿es la única forma de resolver la ecuación cuadrática? Profesor, yo tengo otra pregunta: ¿hay otras aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado? Jóvenes, hay otras formas de resolver las ecuaciones de segundo grado, como también existen muchas aplicaciones, pero el tiempo nos ha ganado. La próxima clase desarrollaremos otras aplicaciones y otras formas de resolver estas ecuaciones. El alcalde del distrito de San Pablo dona 10 800 m2 de gras natural para cubrir el campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del campo deportivo para que pueda usarse todo el gras donado? Bien, muchacho, justo esperaba escuchar eso. Es cierto lo que dices, pero todos saben factorizar polinomios. No, profe, entonces la solución de la ecuación es 90; es decir, el ancho mediría 90 metros y el largo 120 metros. Ahora, ¿qué valores han obtenido? Jóvenes, hoy resolveremos un problema aplicando lo que han aprendido de ecuaciones. Escribiré el enunciado del problema en la pizarra. Mientras tanto, formen grupos de tres, elijan con quiénes desean trabajar. El alcalde del distrito de San Pablo dona 10 800 m2 de gras natural para cubrir el campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del campo deportivo para que pueda usarse todo el gras donado? El alcalde del distrito de San Pablo dona 10 800 m2 de gras natural para cubrir el campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del campo deportivo para que pueda usarse todo el gras donado? Profe, este problema no lo podremos resolver. Sale una ecuación cuadrática y usted enseñó solo cuaciones lineales. 11TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS ¿cuáles son las creencias que tienen los docentes respecto a la enseñanza de ecuaciones? El informe pedagógico de los resultados de la evaluación nacional de estudiantes de Educación Secundaria evidencia deficiencias en el desarrollo de aprendizajes en Matemática. Los estudiantes tienen serias dificultades para hacer tareas tan elementales como la aplicación de algoritmos algebraicos, como el cálculo del conjunto solución de ecuaciones (EN 2004- UMC). Solo el 2,9 % de los estudiantes evaluados está en capacidad de describir en términos matemáticos una situación de la vida real; por ejemplo, en situaciones como las descritas anteriormente, se observa que para lograr desarrollar esta capacidad es necesario promover situaciones de aprendizaje como Roberto. Estos resultados se explican en parte porque los profesores resuelven ejercicios algorítmicos sin relacionarlos con el contexto de la vida diaria de sus estudiantes, tal como muestra la experiencia de Luisa. Tales prácticas pedagógicas reducen el interés de los estudiantes y son pocos los docentes que consiguen motivarlos mediante actividades más significativas como las planteadas por Roberto. ¿por qué es importante contextualizar los contenidos matemáticos a partir de la resolución de problemas? La competencia no encierra en sí misma los conocimientos, la capacidad o la actitud para aprender; requiere de la movilización de estos contenidos y de su contextualización (Perrenoud, 1999). Necesitamos, pues, promover el uso de los conocimientos, más que memorizarlos o aplicarlos mecánicamente. Y esto se logra centrando la actividad de la clase en la resolución de problemas contextualizados. Además, los datos del contexto del problema que se quiere resolver demandan que se empleen operaciones mentales complejas. El desarrollo de conceptos matemáticos necesita partir de las situaciones relacionadas con la vida de los estudiantes, en los contextos donde se desenvuelven. En el relato anterior, el recubrimiento del campo de fútbol con gras natural responde a los intereses de los estudiantes. “MaTeMÁTica es MÁs QUe resolver ecUaciones” Lo felicito por su clase, profesor Roberto. Hasta ahora pensaba que solo se podía enseñar a resolver problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas después de haber enseñado todos los algoritmos de su resolución. Además, usted me ha demostrado que pueden aprender estos algoritmos en el contexto de la resolución de problemas. Gracias, profesora Luisa, formular un problema de aplicación de ecuaciones cuadráticas lleva tiempo. Por ello, al igual que muchos docentes, elegimos lo más sencillo y rápido: resolver ejercicios mecánicamente sin que estos aporten a la solución de un problema; pero así los estudiantes pierden interés por la matemática. 12 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes creencia: se usan materiales concretos para enseñar matemática solo en primaria o inicial; en secundaria no es necesario. Me parece interesante trabajar con hojas. Pero creo difícil conseguirlo. Muchachos, hoy les tengo un desafío. ¿Doblando una hoja de papel A4 podemos llegar a la Luna? Los estudiantes al usar hojas A4 para la técnica del doblado de papel reconocen también la utilidad de la “notación científica”. Saquen una hoja y procedan a doblar en partes iguales tantas veces como sea necesario hasta alcanzar la distancia a la Luna. Muy bien, recuerden que tenemos que pensar en actividades o tareas que permitan a los estudiantes desarrollar sus capacidades para resolver problemas. Yo voy a iniciar con la técnica del doblado de papel. Ese tema es fácil, voy a refrescar a mis estudiantes con la siguiente operación: Profesora, ¿cuánto mide el grosor de una hoja de papel A4? Creo que podemos averiguarlo a partir de la medida del grosor de un paquete de 100 hojas de papel tamaño A4. Claro, tendríamos que dividirlo entre 100. A ver, ¿cuánto sale? Enseñaré primero recordando la definición de la potenciación y luego las propiedades 4 ... 2 2 2 2 2 16 na a a n = × × = × × × = 4 43( 2) 5(4 9)− + − = En esta unidad enseñaremos la notación científica y empezaré recordando la potenciación con exponente negativo en Q. 15TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS ii. ¿qué aprenden nuestros adolescentes? Interpreta el número irracional como un decimal infinito y sin periodo. Argumenta por qué los números racionales pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Interpreta y representa cantidades y magnitudes mediante la notación científica. Registra medidas en magnitudes de masa, tiempo y temperatura según distintos niveles de exactitud requeridos, y distingue cuando es apropiado realizar una medición estimada o una exacta. Resuelve y formula situaciones problemáticas de diversos contextos referidas a determinar tasa de interés, relacionar hasta tres magnitudes proporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qué las usó. Relaciona diferentes fuentes de información. Interpreta las relaciones entre las distintas operaciones (Mapa de Progreso de Matemática: Número y operaciones). El fin de la educación es lograr que los estudiantes desarrollen competencias, las cuales son definidas como un saber actuar en un contexto particular, en función de un objetivo o la solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de la situación y a la finalidad de nuestra acción. Para tal fin, se selecciona o se ponen en acción las diversas capacidades y recursos del entorno. En este fascículo se trabajan dos competencias matemáticas relacionadas con: Resolución de situaciones problemáticas en número y operaciones Resolución de situaciones problemáticas en cambio y relaciones En número y operaciones se desarrolla la siguiente competencia: resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la construcción del significado y el uso de los números y sus operaciones, empleando diversas estrategias de solución, justificando y valorando sus procedimientos y resultados. El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VII ciclo es: En este fascículo, un indicador se relaciona con más de una capacidad. Por lo tanto, para dar cuenta del logro de las capacidades matemáticas, se requiere hacer una lectura del conjunto de indicadores. competencia, capacidades e indicadores en número y operaciones 16 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes CA PA CI D A D ES G EN ER A LE S N Ú M ER O Y O PE RA CI O N ES - V II CI CL O IN D IC A D O RE S TE RC ER G RA D O D E SE CU N D A RI A CU A RT O G RA D O D E SE CU N D A RI A Q U IN TO G RA D O D E SE CU N D A RI A M at em at iz a si tu ac io ne s qu e in vo lu cr an ca nt id ad es y m ag ni tu de s en d iv er so s co nt ex to s. Re pr es en ta si tu ac io ne s qu e in vo lu cr an ca nt id ad es y m ag ni tu de s en d iv er so s co nt ex to s. Co m un ic a si tu ac io ne s qu e in vo lu cr an ca nt id ad es y m ag ni tu de s en d iv er so s co nt ex to s. Co ns tr uc ci ón d el s ig ni fic ad o y us o de lo s nú m er os r ac io na le s e ir ra ci on al es e n si tu ac io ne s pr ob le m át ic as c on c an ti da de s, gr an de s y pe qu eñ as • D es cr ib e si tu ac io ne s de m ed id as e n di ve rs os co nt ex to s pa ra e xp re sa r nú m er os r ac io na le s en s u no ta ci ón d ec im al , ci en tí fic a e in te rv al os . • D es cr ib e la s es tr at eg ia s ut ili za da s co n la s op er ac io ne s en in te rv al os p ar a re so lv er si tu ac io ne s pr ob le m át ic as . • Ex pr es a lo s nú m er os r ac io na le s m ed ia nt e no ta ci ón c ie nt ífi ca . • O rd en a da to s en e sq ue m as d e or ga ni za ci ón qu e re pr es en ta n lo s nú m er os r ac io na le s y su s op er ac io ne s co n in te rv al os . • Fo rm ul a es tr at eg ia s de e st im ac ió n de m ed id as o c an ti da de s pa ra o rd en ar n úm er os ra ci on al es e n la r ec ta r ea l. • Ap lic a va ri ad as e st ra te gi as c on n úm er os ra ci on al es , in te rv al os y p ro po rc io ne s de ha st a do s m ag ni tu de s e in te ré s co m pu es to . • U sa lo s sí m bo lo s de = , >, < , ≤, ≥ , co rc he te s, un ió n, in te rs ec ci ón , pa ra c om pa ra r y or de na r do s o m ás c an ti da de s. • U ti liz a co ns tr uc ci on es c on r eg la o co m pá s pa ra u bi ca r nú m er os r ac io na le s e ir ra ci on al es e n la r ec ta r ea l. • Ex pl ic a la e xi st en ci a de lo s nú m er os ir ra ci on al es c om o de ci m al es n o pe ri ód ic os a pa rt ir d e si tu ac io ne s de m ed id as d e lo ng it ud es y á re as d e al gu na s fig ur as . ge om ét ri ca s pl an as Co ns tr uc ci ón d el s ig ni fic ad o y us o de n úm er os r ea le s en s it ua ci on es pr ob le m át ic as c on c an ti da de s co nt in ua s, gr an de s y pe qu eñ as • Pr op on e si tu ac io ne s de m ed id a co n m úl ti pl os y s ub m úl ti pl os d e un id ad es d e m ag ni tu de s pa ra e xp re sa r nú m er os r ea le s m ed ia nt e no ta ci ón c ie nt ífi ca . • O rd en a da to s en e sq ue m as d e or ga ni za ci ón qu e ex pr es an n úm er os r ea le s. • U ti liz a la s fo rm as g rá fic as y s im bó lic as d e in te rv al os p ar a re pr es en ta r in fo rm ac ió n. • Ex pr es a si tu ac io ne s de m ed id a de te m pe ra tu ra s, ín di ce s fin an ci er os , ta lla s, et c. , qu e im pl ic an e l u so d e lo s nú m er os re al es m ed ia nt e in te rv al os e n su f or m a gr áfi ca y s im bó lic a. • Ap lic a va ri ad as e st ra te gi as c on n úm er os re al es , in te rv al os y p ro po rc io ne s de h as ta do s m ag ni tu de s e in te ré s co m pu es to . • U ti liz a in te rv al os y e xp re si on es d e no ta ci ón ci en tí fic a co n nú m er os r ea le s. • Ex pl ic a la u ti lid ad d e la n ot ac ió n ci en tí fic a y lo s in te rv al os . • Ex pl ic a la s co nd ic io ne s de d en si da d de lo s nú m er os r ea le s ex pr es ad os e n la r ec ta nu m ér ic a. • Ex pl ic a la s di st in ci on es e nt re lo s nú m er os ra ci on al es e ir ra ci on al es . Co ns tr uc ci ón d el s ig ni fic ad o y us o de n úm er os r ea le s en s it ua ci on es pr ob le m át ic as c on c an ti da de s, co nt in ua s gr an de s y pe qu eñ as • M od el a in fo rm ac ió n de c an ti da de s co nt in ua s y di sc re ta s de s u en to rn o, us an do in te rv al os d e nú m er os r ea le s. • Pl an te a si tu ac io ne s de p ro du ct os y co ci en te s de m ag ni tu de s qu e da n ot ra s m ag ni tu de s pa ra e xp re sa r nú m er os r ea le s m ed ia nt e no ta ci ón ci en tí fic a. • Ex pl ic a pr oc ed im ie nt os d ed uc ti vo s al re so lv er s it ua ci on es c om er ci al es d e au m en to s y de sc ue nt os s uc es iv os y fin an ci er as d e in te ré s co m pu es to . • D es cr ib e la s es tr at eg ia s de es ti m ac ió n de m ed id as o c an ti da de s pa ra o rd en ar n úm er os r ea le s en la re ct a re al . • Fo rm ul a es tr at eg ia s de e st im ac ió n de m ed id as o c an ti da de s pa ra o rd en ar nú m er os r ac io na le s e ir ra ci on al es e n la r ec ta r ea l. • Ex pl ic a la s co nd ic io ne s de d en si da d y co m pl et it ud d e lo s nú m er os r ea le s en la r ec ta n um ér ic a. 17TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS El ab or a es tr at eg ia s ha ci en do u so d e lo s nú m er os y su s op er ac io ne s pa ra r es ol ve r pr ob le m as . U ti liz a ex pr es io ne s si m bó lic as , té cn ic as y fo rm al es d e lo s nú m er os y la s op er ac io ne s en la r es ol uc ió n de pr ob le m as . Ar gu m en ta e l u so de lo s nú m er os y su s op er ac io ne s en la r es ol uc ió n de pr ob le m as . Co ns tr uc ci ón d el s ig ni fic ad o y us o de la s op er ac io ne s co n nú m er os r ac io na le s e ir ra ci on al es e n si tu ac io ne s pr ob le m át ic as co n ca nt id ad es c on ti nu as , gr an de s y pe qu eñ as • Fo rm ul a es tr at eg ia s de e st im ac ió n de m ed id as o c an ti da de s pa ra o rd en ar n úm er os ir ra ci on al es e n la r ec ta r ea l. • Ap lic a op er ac io ne s co n nú m er os , in te rv al os y pr op or ci on es c on r ac io na le s pa ra r es ol ve r si tu ac io ne s fin an ci er as y c om er ci al es . • D es cr ib e la s es tr at eg ia s ut ili za da s co n la s op er ac io ne s y pr op or ci on es c on r ac io na le s pa ra r es ol ve r si tu ac io ne s de p or ce nt aj es , in te ré s y de g an an ci as y p ér di da s. • U sa lo s po rc en ta je s e in te ré s si m pl e en la re so lu ci ón p ro bl em as d e te xt os d is co nt in uo s. • Ju st ifi ca e l u so d e la s op er ac io ne s co n ra ci on al es e xp re sa do s en n ot ac io ne s fr ac ci on ar ia s, d ec im al es y c ie nt ífi ca s pa ra re so lv er s it ua ci on es d e co nt ex to s va ri ad os . • Ex pl ic a la im po si bi lid ad d e re pr es en ta r lo s ir ra ci on al es e n de ci m al es p er ió di co s pu ro s, m ix to s y no p er ió di co s pa ra e xt en de r lo s nú m er os r ac io na le s a lo s ir ra ci on al es . • El ab or a es tr at eg ia s he ur ís ti ca s (e ns ay o er ro r , h ac er u na li st a si st em át ic a, e m pe za r po r el fi na l, e st ab le ce r su bt em as , su po ne r el p ro bl em a re su el to ) . • U sa lo s sí m bo lo s de in te rv al os , co m o co rc he te s, d es ig ua ld ad es o g rá fic as s ob re la re ct a, p ar a re so lv er o pe ra ci on es d e un ió n, in te rs ec ci ón , di fe re nc ia y c om pl em en to d e co nj un to s de n úm er os r ea le s. • Ap lic a la s pr op ie da de s de la s op er ac io ne s ad it iv as , m ul ti pl ic at iv as y p ot en ci as c on ra ci on al es e ir ra ci on al es . • Ex pl ic a es tr at eg ia s de r es ol uc ió n de pr ob le m as . • U ti liz a la p ot en ci ac ió n y la r ad ic ac ió n co m o op er ac io ne s in ve rs as p ar a ca lc ul ar la s ra íc es d e nú m er os n at ur al es q ue e xp re sa n nú m er os ir ra ci on al es . Co ns tr uc ci ón d el s ig ni fic ad o y us o de la s op er ac io ne s co n nú m er os r ea le s en si tu ac io ne s pr ob le m át ic as c on c an ti da de s co nt in ua s, g ra nd es y p eq ue ña s • D es cr ib e pr oc ed im ie nt os d ed uc ti vo s al re so lv er s it ua ci on es d e in te ré s co m pu es to ha st a co n tr es m ag ni tu de s en p ro ce so s de si tu ac io ne s co m er ci al es , fin an ci er as y o tr as . • D es cr ib e si tu ac io ne s ci en tí fic as c on ca nt id ad es m uy g ra nd es y m uy p eq ue ña s (p or e je m pl o, e n la n an ot ec no lo gí a o la s di st an ci as e st el ar es ). • U sa la s di fe re nt es r ep re se nt ac io ne s gr áfi ca s o si m bó lic as p ar a re pr es en ta r y op er ar c on in te rv al os . • Ex pl ic a es tr at eg ia s de r es ol uc ió n de pr ob le m as s im ul ad os y r ea le s de v ar ia s et ap as a pl ic an do la s pr op ie da de s de la s op er ac io ne s ad it iv as m ul ti pl ic at iv as y po te nc ia s co n nú m er os r ea le s. • El ab or a es tr at eg ia s pa ra e nc on tr ar n úm er os re al es e nt re d os n úm er os d ad os . • Fo rm ul a es tr at eg ia s de e st im ac ió n de m ed id as p ar a or de na r nú m er os r ea le s en la re ct a re al . • Ap lic a va ri ad as e st ra te gi as h eu rí st ic as (e ns ay o y er ro r, h ac er u na li st a si st em át ic a, em pe za r po r el fi na l, e st ab le ce r su bt em as , su po ne r el p ro bl em a re su el to ) pa ra re so lv er s it ua ci on es la bo ra le s, fi na nc ie ra s, et c, s ob re p ro po rc io ne s de h as ta t re s m ag ni tu de s e in te ré s co m pu es to . • Ap lic a op er ac io ne s y pr op or ci on es c on nú m er os r ea le s pa ra r es ol ve r si tu ac io ne s fin an ci er as , co m er ci al es y o tr as s ob re po rc en ta je s e in te ré s co m pu es to . • U sa lo s sí m bo lo s de la r ep re se nt ac ió n de in te rv al os s ob re la r ec ta p ar a re so lv er op er ac io ne s de u ni ón , in te rs ec ci ón , di fe re nc ia y c om pl em en to d e nú m er os re al es . Co ns tr uc ci ón d el s ig ni fic ad o y us o de la s op er ac io ne s co n nú m er os re al es e n si tu ac io ne s pr ob le m át ic as co n ca nt id ad es c on ti nu as , gr an de s y pe qu eñ as • Re la ci on a lo s nú m er os r ea le s y su s op er ac io ne s co m o un m ed io p ar a re so lv er s it ua ci on es fi na nc ie ra s y co m er ci al es s ob re t as as , in te re se s y au m en to s o de sc ue nt os s uc es iv os . • Re la ci on a la s pr op ie da de s de la s op er ac io ne s en lo s nú m er os re al es p ar a re so lv er p ro bl em as d e en un ci ad o ve rb al y s im bó lic o co n nú m er os r ea le s. • Pr op on e es tr at eg ia s pa ra r es ol ve r op er ac io ne s de v ar ia s et ap as re sp et an do la j er ar qu ía d e la s op er ac io ne s, a pl ic an do la s pr op ie da de s de la s op er ac io ne s co n nú m er os r ea le s. • Fo rm ul a va ri ad as e st ra te gi as he ur ís ti ca s (e ns ay o y er ro r, h ac er un a lis ta s is te m át ic a, e m pe za r po r el fin al , es ta bl ec er s ub te m as , su po ne r el p ro bl em a re su el to ) pa ra r es ol ve r pr ob le m as c on lo s nú m er os r ea le s. • U sa lo s nú m er os r ea le s y su s op er ac io ne s pa ra r es ol ve r si tu ac io ne s fin an ci er as y c om er ci al es s ob re t as as e in te ré s co m pu es to , au m en to s o de sc ue nt os s im pl es y s uc es iv os . • D em ue st ra c on je tu ra s pl an te ad as a pa rt ir d e la r es ol uc ió n de l p ro bl em a pa ra s it ua ci on es fi na nc ie ra s y co m er ci al es s ob re t as as e in te ré s co m pu es to , au m en to s o de sc ue nt os si m pl es y s uc es iv os . 20 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes El ab or a es tr at eg ia s ha ci en do u so de p at ro ne s, re la ci on es y fu nc io ne s pa ra r es ol ve r pr ob le m as . U ti liz a ex pr es io ne s si m bó lic as , té cn ic as y fo rm al es d e pa tr on es , re la ci on es y fu nc io ne s en la re so lu ci ón d e pr ob le m as . Ar gu m en ta e l us o de p at ro ne s, re la ci on es y fu nc io ne s pa ra r es ol ve r pr ob le m as . • Em pl ea m ét od os d e re so lu ci ón ( re du cc ió n, su st it uc ió n, g rá fic o, ig ua la ci ón ) pa ra r es ol ve r pr ob le m as q ue in vo lu cr an s is te m a de e cu ac io ne s lin ea le s co n do s va ri ab le s. • U ti liz a op er ac io ne s ad it iv as y m ul ti pl ic at iv as d e ex pr es io ne s al ge br ai ca s pa ra r es ol ve r si tu ac io ne s pr ob le m át ic as q ue im pl ic an s is te m as d e ec ua ci on es li ne al es c on d os v ar ia bl es . • U ti liz a el s is te m a de c oo rd en ad as c ar te si an as pa ra r es ol ve r pr ob le m as q ue im pl ic an s is te m as d e ec ua ci on es li ne al es d e do s va ri ab le s. • U ti liz a fa ct or iz ac ió n, p ro du ct os y c oc ie nt es no ta bl es p ar a si m pl ifi ca r ex pr es io ne s al ge br ai ca s y co m pr ob ar e qu iv al en ci as . • Ju st ifi ca m ed ia nt e pr oc ed im ie nt os a lg eb ra ic os o gr áfi co s qu e la e cu ac ió n cu ad rá ti ca d e la f or m a ax ² + bx + c = 0 , o su s ex pr es io ne s eq ui va le nt es , m od el a un a si tu ac ió n pr ob le m át ic a da da . Co ns tr uc ci ón d el s ig ni fic ad o y us o de f un ci on es cu ad rá ti ca s en s it ua ci on es p ro bl em át ic as d e ca m bi o • El ab or a m od el os a p ar ti r de s it ua ci on es d e ca m bi o us an do la s fu nc io ne s cu ad rá ti ca s co n co efi ci en te s na tu ra le s y en te ro s. • O rd en a da to s en e sq ue m as p ar a or ga ni za r si tu ac io ne s de c am bi o m ed ia nt e fu nc io ne s cu ad rá ti ca s. • G ra fic a en e l p la no c ar te si an o di ve rs os v al or es a pa rt ir d e la o rg an iz ac ió n de d at os p ar a re so lv er pr ob le m as d e ca m bi o qu e im pl iq ue n fu nc io ne s cu ad rá ti ca s. • In te rv ie ne y o pi na r es pe ct o al p ro ce so d e re so lu ci ón d e pr ob le m as q ue im pl ic an u sa r fu nc io ne s cu ad rá ti ca s. • El ab or a es tr at eg ia s he ur ís ti ca s pa ra r es ol ve r pr ob le m as q ue in vo lu cr an f un ci on es c ua dr át ic as . • U ti liz a la g rá fic a de la f un ci ón c ua dr át ic a pa ra de te rm in ar lo s va lo re s m áx im os y m ín im os y lo s pu nt os d e in te rs ec ci ón c on lo s ej es c oo rd en ad os pa ra d et er m in ar la s ol uc ió n de la e cu ac ió n cu ad rá ti ca im pl ic ad a en e l p ro bl em a. • Ju st ifi ca m ed ia nt e pr oc ed im ie nt os g rá fic os o al ge br ai co s qu e la f un ci ón c ua dr át ic a de la fo rm a f( x) = a x² + b x + c, o s us e xp re si on es eq ui va le nt es , m od el a la s it ua ci ón p ro bl em át ic a da da . • El ab or a es tr at eg ia s he ur ís ti ca s pa ra r es ol ve r pr ob le m as q ue in vo lu cr an in ec ua ci on es cu ad rá ti ca s y si st em a de e cu ac io ne s lin ea le s co n tr es v ar ia bl es . • Em pl ea m ét od os d e re so lu ci ón ( re du cc ió n, su st it uc ió n, g rá fic o, ig ua la ci ón ) pa ra r es ol ve r pr ob le m as q ue in vo lu cr an s is te m a de e cu ac io ne s lin ea le s co n tr es v ar ia bl es . • U sa e l m ét od o de in te rv al os y d e pu nt os c rí ti co s pa ra e nc on tr ar la s so lu ci on es d e in ec ua ci on es cu ad rá ti ca s. • U ti liz a gr áfi co s de r ec ta s en e l s is te m a de co or de na da s ca rt es ia na s pa ra r es ol ve r pr ob le m as qu e im pl ic an s is te m a de e cu ac io ne s lin ea le s de tr es v ar ia bl es . • Ju st ifi ca m ed ia nt e pr oc ed im ie nt os g rá fic os o al ge br ai co s qu e la in ec ua ci ón c ua dr át ic a de la f or m a ax ² + bx + c < 0 , o su s ex pr es io ne s eq ui va le nt es , m od el a la s it ua ci ón p ro bl em át ic a da da . Co ns tr uc ci ón d el s ig ni fic ad o y us o de f un ci on es cu ad rá ti ca s en s it ua ci on es p ro bl em át ic as d e ca m bi o • D is eñ a m od el os d e si tu ac io ne s de c am bi o m ed ia nt e fu nc io ne s cu ad rá ti ca s co n co efi ci en te s na tu ra le s y en te ro s. • O rd en a da to s en e sq ue m as p ar a or ga ni za r si tu ac io ne s de c am bi o m ed ia nt e fu nc io ne s cu ad rá ti ca s. • D es cr ib e pr oc ed im ie nt os d ed uc ti vo s en la re so lu ci ón d e pr ob le m as q ue im pl ic an u sa r fu nc io ne s cu ad rá ti ca s • G ra fic a en e l p la no c ar te si an o di ve rs os v al or es a pa rt ir d e la o rg an iz ac ió n de d at os p ar a re so lv er pr ob le m as d e ca m bi o qu e im pl iq ue n fu nc io ne s cu ad rá ti ca s. • El ab or a es tr at eg ia s he ur ís ti ca s pa ra r es ol ve r pr ob le m as q ue in vo lu cr an f un ci on es c ua dr át ic as • U ti liz a la g rá fic a de la f un ci ón c ua dr át ic a pa ra de te rm in ar lo s va lo re s m áx im os y m ín im os y lo s pu nt os d e in te rs ec ci ón c on lo s ej es c oo rd en ad os pa ra d et er m in ar la s ol uc ió n de la e cu ac ió n cu ad rá ti ca im pl ic ad a en e l p ro bl em a. • Ju st ifi ca m ed ia nt e pr oc ed im ie nt os g rá fic os o al ge br ai co s qu e la f un ci ón c ua dr át ic a de la f or m a f( x) = a x² + b x + c, o s us e xp re si on es e qu iv al en te s, m od el a la s it ua ci ón p ro bl em át ic a da da . • El ab or a es tr at eg ia s he ur ís ti ca s pa ra re so lv er p ro bl em as q ue in vo lu cr an si st em as d e in ec ua ci on es li ne al es c on do s va ri ab le s. • Em pl ea m ét od os d e re so lu ci ón p ar a re so lv er p ro bl em as q ue in vo lu cr an si st em as d e in ec ua ci on es li ne al es c on do s va ri ab le s. • U ti liz a el s is te m a de c oo rd en ad as ca rt es ia na s pa ra r es ol ve r pr ob le m as qu e im pl ic an s is te m a de in ec ua ci on es lin ea le s de t re s va ri ab le s. • Ju st ifi ca m ed ia nt e pr oc ed im ie nt os gr áfi co s o al ge br ai co s el u so d e m ét od os d e op ti m iz ac ió n lin ea l d e do s va ri ab le s pa ra r es ol ve r pr ob le m as . Co ns tr uc ci ón d el s ig ni fic ad o y us o de fu nc ió n ex po ne nc ia l e n si tu ac io ne s pr ob le m át ic as d e ca m bi o • D is eñ a si tu ac io ne s de c am bi o re al es o si m ul ad as m ed ia nt e fu nc io ne s ex po ne nc ia le s. • G ra fic a en e l p la no c ar te si an o di ve rs os va lo re s a pa rt ir d e la o rg an iz ac ió n de d at os p ar a re so lv er p ro bl em as de c am bi o qu e im pl iq ue n fu nc io ne s ex po ne nc ia le s. • O rd en a da to s en e sq ue m as p ar a or ga ni za r si tu ac io ne s de c am bi o m ed ia nt e fu nc io ne s ex po ne nc ia le s. • Re su m e in te rv en ci on es r es pe ct o al pr oc es o de r es ol uc ió n de p ro bl em as qu e in vo lu cr an m od el os e xp on en ci al es . • El ab or a es tr at eg ia s he ur ís ti ca s pa ra re so lv er p ro bl em as q ue in vo lu cr an fu nc io ne s ex po ne nc ia le s. • U ti liz a la g rá fic a de la f un ci ón ex po ne nc ia l e n el p la no c ar te si an o pa ra d et er m in ar la s re la ci on es e nt re va lo re s de v ar ia bl es d e si tu ac io ne s m od el ad as p or e st a fu nc ió n. • Ju st ifi ca m ed ia nt e pr oc ed im ie nt os gr áfi co s o al ge br ai co s qu e la f un ci ón ex po ne nc ia l d e la f or m a y = ax , o s us ex pr es io ne s eq ui va le nt es , m od el an la si tu ac ió n pr ob le m át ic a da da . 21TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS iii. ¿Cómo podemos facilitar estos aprendizajes? En esta sección desarrollaremos algunas actividades que nos ayudarán a mejorar nuestro trabajo como docentes para que nuestros estudiantes logren sus aprendizajes. 3.1 desarrollando escenarios de aprendizaje La competencia matemática de resolución de problemas se desarrolla mediante la movilización sistémica de capacidades, conocimientos y actitudes. Esta movilización es apropiada solo cuando está contextualizada. Por ello, se han seleccionado tres contextos o escenarios en los que comúnmente se organizan y desarrollan las actividades de aprendizaje. A estos escenarios los llamaremos: Sesión laboratorio matemático, Sesión taller matemático y Proyecto matemático. Además de ser complementarios entre sí, una característica fundamental de estos escenarios es que deben recrear situaciones en las que la competencia matemática tenga sentido. A continuación, describimos cada uno de estos escenarios de aprendizaje: a) sesión laboratorio matemático Escenario donde el estudiante, a partir de actividades vivenciales, lúdicas y de experimentación, llega a construir conceptos y propiedades matemáticas. En este escenario el estudiante busca regularidades para generalizar el conocimiento matemático, profundiza o moviliza los conocimientos aprendidos o construye nuevos aprendizajes para resolver problemas. b) sesión taller matemático Escenario donde el estudiante usa aquellos aprendizajes que ha ido desarrollando en un periodo de sesiones de aprendizaje. El estudiante despliega diversos recursos (técnicos, procedimentales y cognitivos) con la intención de resolver situaciones problemáticas usando diversas estrategias de solución. c) proyecto matemático Escenario que tiene por finalidad contribuir con la solución de un problema social, económico, productivo o científico de interés de los estudiantes, de la institución educativa o de su comunidad. Para esto, requieren usar sus capacidades y conocimientos matemáticos. El producto es la contribución de la clase con la solución del problema. sesión laboratorio matemático sesión taller matemático proyecto matemático 22 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes 3.2 articulando la progresión del conocimiento matemático en el vii ciclo de la eBr La competencia de resolución de problemas promueve el desarrollo de las capacidades y conocimientos matemáticos de número y sus operaciones. Los estudiantes adquieren y construyen estos conocimientos en forma progresiva. En primaria y en el primer grado de secundaria se enfatiza en los números naturales. En secundaria se inicia con el estudio de los números enteros y racionales, y se culmina con la construcción de los números reales. Por ello, en los espacios pedagógicos se establecen conexiones entre estos conocimientos. Hoy estos conocimientos adquieren importancia debido a la gran cantidad de información que recibimos en tablas, expresiones porcentuales, infografías con datos numéricos, etc. Por ello, es significativo usar adecuadamente estos conocimientos matemáticos en diversos contextos. Por ejemplo, usar la notación científica de los números se realiza en mediciones de magnitudes grandes, como la menor distancia entre la Tierra y Marte (102 × 109 m) o magnitudes muy pequeñas, como las que se realizan en la nanotecnología cuando estudia partículas tan pequeñas como los átomos y moléculas (100 × 10-9 m). De la misma manera los conoci- mientos de patrones, ecuaciones y funciones están mutuamente relacionados y son adquiridos en forma progresiva desde la infancia, donde se desarrollan las nociones básicas, y a través de los diferentes niveles de la Educación Básica. DESARROLLO DE LOS CONOCIMIENTOS EN TORNO A NÚMERO Y OPERACIONES VI CICLO VII CICLO 2.º 3.º 4.º 5.º Porcentajes como la expresión de parte-todo Número racional como expresión fraccionaria, decimal y porcentual para expresar cantidades continuas y discretas Propiedades de los números racionales Potenciación con base fraccionaria y exponente entero Potenciación y radicación como operaciones inversas Operaciones con los números racionales Representación, comparación y orden en los números racionales a partir de cantidades continuas Irracionales en situaciones geométricas Irracionales en la recta numérica (recta real) Notación científica en situaciones de medición de longitud, masa y tiempo Notación científica en situaciones de medición de superficie y volumen Notación científica en situaciones que involucran magnitudes físicas y químicas Interés simple en contextos financieros Interés simple y compuesto en contextos financieros Densidad de los números reales Operaciones con números reales Relaciones entre los sistemas numéricos Completitud de los números reales CICLOS Y GRADOSCONSTRUCCIÓN DEL SIGNIFICADO Y USO DE CONOCIMIENTOS 25TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 3.3 planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos A continuación, presentamos un modelo para la organización de una unidad de aprendizaje y una sesión de aprendizaje, tomando como recurso la matriz de indicadores, correspondien- te al cuarto grado de Secundaria. Capacidades generales Indicadores Escenarios y actividades Tiempo Matematiza situaciones de cambio en diversos contextos. Representa situaciones de cambio en diversos contextos. Comunica situaciones de cambio en diversos contextos. Elabora diversas estrategias para resolver problemas. Utiliza expresiones simbólicas y formales de relaciones y funciones para resolver problemas. Argumenta el uso de relaciones y funciones para resolver problemas de diversos contextos. Diseña modelos de situaciones de cambio usando funciones cuadráticas. Ordena datos en esquemas para resolver problemas de situaciones de cambio que implican funciones cuadráticas. Interviene y opina respecto al proceso de resolución de problemas que implican usar funciones cuadráticas. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones cuadráticas. Establece relaciones de dependencia entre magnitudes para resolver problemas que involucran funciones cuadráticas. Justifica mediante ejemplos que la función cuadrática de la forma , o sus expresiones equivalentes, modela una situación problemática. Justifica mediante procedimientos gráficos que la función cuadrática de la forma , o sus expresiones equivalentes, modela la situación problemática dada. Proyecto matemático: Funciones cuadráticas que abaratan costos de viaje de promoción. Constituir ocho equipos de trabajo de cinco estudiantes para desarrollar las tareas por comisiones. Realizar el estudio de costos de pasajes para transportar a los estudiantes a la ciudad de Cusco, ida y vuelta. Evaluar todas las ofertas propuestas por las empresas de transporte con la finalidad de abaratar costos. Si amerita, proponer a la junta directiva de la otra promoción incluirlos en la excursión. En caso de aceptar la oferta de la empresa de transportes Cruz Azul, calcular el número de estudiantes adicionales que viajen con la promoción, de manera que no se supere el monto máximo asignado para solventar el costo de pasajes con el presupuesto a recaudarse. Sesión taller matemático Funciones cuadráticas que previenen el envenenamiento. Sesión laboratorio matemático Haciendo cohetes interespaciales. Sesión de 2 semanas Sesión de 90 minutos Dos sesiones de 90 minutos Unidad de aprendizaje = + +2y ax bx c = + +2y ax bx c 26 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes Para la presentación de las actividades, es pertinente mostrarlas de forma global; deben permitir el aprendizaje autónomo de los estudiantes, evitando de esta forma un proceso rígido, secuencial y directivo en el desarrollo de los aprendizajes. Tales actividades son: de indagación y experimentación; de registro de experiencias, datos y prácticas; de reflexión, y de resolución de situaciones problemáticas. Pudiéndose ser otras que el docente considere para el desarrollo de las capacidades y competencia matemática. Sesión Capacidades Indicadores Actividades de enseñanza y aprendizaje Funciones cuadráticas que previenen el envenenamiento Matematiza situaciones de cambio en diversos contextos. Representa situaciones de cambio en diversos contextos. Comunica situaciones de cambio en diversos contextos. Elabora diversas estrategias para resolver problemas. Utiliza expresiones simbólicas y formales de relaciones y funciones para resolver problemas. Argumenta el uso de relaciones y funciones para resolver problemas de diversos contextos. Elabora modelos de situaciones de cambio usando funciones cuadráticas. Ordena datos en esquemas (tablas de doble entrada, plano cartesiano) para resolver problemas de situaciones de cambio que implican funciones cuadráticas. Interviene y opina respecto al proceso de resolución de problemas que implican usar funciones cuadráticas. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones cuadráticas. Establece relaciones de dependencia entre magnitudes para resolver problemas que involucran funciones cuadráticas. Justifica mediante ejemplos que la función cuadrática de la forma , o sus expresiones equivalentes, modela una situación problemática. Justifica mediante procedimientos gráficos que la función cuadrática de la forma , o sus expresiones equivalentes, modela la situación problemática dada. Actividades para comprender el problema Actividades para elaborar el plan Actividades para ejecutar el plan Actividades para la reflexión y metacognición Sesión taller matemático = + +2y ax bx c = + +2y ax bx c 27TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 3.4 reconociendo escenarios, herramientas y condiciones didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas a. MaTeMaTizar Matematizar implica interpretar un problema definido en la realidad o parte de ella y transformarlo en una forma matemática, interpretar o evaluar un resultado o un modelo matemático en relación con el problema original. Se refiere también a tener la disposición de razonar matemáticamente para enfrentar una situación problemática y resolverla. A continuación, proponemos actividades y características que favorecen la matematización. las actividades vivenciales del entorno Son actividades en las que el estudiante entra en contacto directo con situaciones problemáticas reales del entorno. En ellas los estudiantes interpretan la realidad y le dan atributos matemáticos para atender esa problemática. En el nivel secundario, los proyectos matemáticos son actividades vivenciales que expresan con más claridad la matematización. Algunos procesos característicos para matematizar en la escuela son: Realizar medidas. Elaborar diseños gráficos o informativos. Hacer sociodramas que recojan aspectos de la realidad. Planificar y desarrollar diseños de implicancia tecnológica. las actividades lúdicas Consisten en producir resultados matemáticos a partir de retos y reglas de juego con los que se enfrentra el estudiante. Requieren analizar e interpretar el entorno y las condiciones en que se suscita el juego. Son características: Reconocer las condiciones del juego. Experimentar siguiendo las reglas del juego. Modificar las reglas de juego. Emplear estrategias que ayuden a ganar el juego. actividades apoyadas en esquemas gráficos respecto a la realidad Hoy estamos rodeados de información que tiene expresiones simbólicas que se asocian de forma directa con aspectos de la realidad. Por ejemplo: un ícono puede hacer referencia a un hospital, una alerta, una condición, etc. Dar solución a problemas a partir de esta información requiere de habilidades para reconocer en ellos aspectos de implicancia matemática. Estos esquemas informativos lo podemos reconocer en: Recortes periodísticos. Afiches de promoción e infografías. Cuadros estadísticos, etc. Estas actividades propician acciones de indagación, experimentación y simulación. 30 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes d. elaBorar diversas esTraTeGias para resolver proBleMas Esta capacidad consiste en seleccionar o elaborar un plan o estrategia sobre cómo utilizar las matemáticas para resolver problemas de la vida cotidiana y cómo irla implementando en el tiempo. Los saberes previos del estudiante de los primeros grados son limitados respecto al manejo de estrategias heurísticas, por lo que desde el aula debemos darle la oportunidad de apropiarse de variadas estrategias. En la siguiente tabla se describen las estrategias que frecuentemente se elaboran en la resolución de problemas. Estrategias heurísticas 1. Ensayo-error Tantear es una estrategia muy útil cuando se realiza de forma organizada y evaluando cada vez los ensayos que se hacen. En realidad, algunos métodos específicos de solución, como el de regulación o el de aproximaciones sucesivas, se basan en el uso sistemático de numerosos ensayos y sus respectivas correcciones. La idea es que cada rectificación conduzca a un ensayo que se acerque más a la respuesta. 2. Hacer una lista sistemática En los casos en que requiere la enumeración de objetos matemáticos, es conveniente realizar un conteo o listado organizado, con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad. Esta estrategia es muy útil al buscar soluciones en una ecuación, para encontrar espacios muestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones. 3. Empezar por el final La estrategia de utilizar el pensamiento regresivo se utiliza mayormente en problemas en los cuales tenemos información de una situación final; también para demostrar desigualdades. La combinación de métodos progresivos y regresivos es una potencia técnica para demostrar teoremas. 4. Razonar lógicamente El razonamiento lógico es muy importante al resolver problemas, pues gracias a él podemos engarzar los pasos y comprender las secuencias y cadenas de razonamiento que se producen en el desarrollo de su solución. 5. Particularizar Conviene siempre utilizar casos particulares para familiarizarse con el problema. Así, es posible observar algún método que guíe hacia la solución de un problema genérico. 6. Generalizar En algunos problemas puede ser muy útil simbolizar las expresiones o averiguar si lo que se pide se refiere a un caso particular de alguna propiedad general. A esto se le conoce como la paradoja del inventor. A veces es conveniente investigar más de lo que piden. 7. Buscar patrones En algunos problemas es necesario experimentar con varios casos con el fin de encontrar pautas o regularidades que después se podrían emplear para llegar a la solución. 8. Plantear una ecuación Lo primordial para poder aplicarla con éxito es el entrenamiento en la traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. 9. Resolver un problema semejante pero más simple Algunas veces, utilizar un método que nos dio resultado con un problema más simple y relacionado con el que tenemos nos conduce a la solución del problema. Fuente: Manual del docente, Resolvamos 1 y 2, Ministerio de Educación, 2012 31TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS e. UTilizar eXpresiones siMBólicas, TÉcnicas Y ForMales para resolver proBleMas Implica comprender, interpretar, manipular y usar expresiones simbólicas (incluidas las expresiones y las operaciones aritméticas) que se rigen por reglas y convenciones matemáticas, dentro de un contexto matemático. Implica también usar algoritmos. Igualmente, abarca comprender y usar construcciones formales basadas en definiciones, normas y sistemas formales. Los símbolos, normas y sistemas utilizados pueden variar según qué conocimiento matemático particular es necesario para una tarea específica, con la finalidad de formular, resolver e interpretar la matemática. El uso de las expresiones y símbolos matemáticos ayuda a comprender las ideas matemáticas; sin embargo, estas expresiones no son fáciles de generar debido a la complejidad de los procesos de simbolización. En el desarrollo de los aprendizajes, los estudiantes requieren previamente vivir experiencias y realizar inducciones usando lenguajes que vayan de lo coloquial a lo simbólico, transformándose posteriormente en un lenguaje técnico y formal, que se da con cierta intensidad y énfasis. S I T U A C I O N E S C O T I D I A N A S Situación experimental Lenguaje simbólico Situación matemática Lenguaje técnico - formal Situación vivencial Trá nsi to del len gua je ma tem áti co Lenguaje coloquial 32 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes F. arGUMenTar La actividad matemática involucra emplear objetos, procedimientos y conceptos matemáticos. Los procesos del pensamiento lógico dan sentido a una situación y determinan, por aproximaciones sucesivas, llegar a la situación óptima. Argumentar implica varias acciones: cuestionarse sobre cómo conectar diferentes partes de la información para llegar a una solución, analizar la información para crear un argumento de varios pasos, establecer vínculos o respetar restricciones entre diferentes variables, reflexionar sobre las fuentes de información relacionadas o hacer generalizaciones y combinar múltiples elementos de información. Se reconocen cinco escenarios que propician formas de razonamiento y argumentación: Estrategias Características Escenarios de exposición Una manera eficaz de estructurar los conocimientos para una exposición o discusión son los organizadores visuales.Escenarios de discusión Escenarios de indagación Plantear interrogantes, seguido tentativamente de respuestas, implica establecer conjeturas para su posterior validez (justificación) a partir de procedimientos: Experimentales. Formulación de contraejemplos. Escenarios que promueven prácticas inductivas Propician una serie de situaciones representativas para establecer relaciones de generalización o particularización. Pueden ser: Estudios de casos. Modelos que posibilitan visualizar lo que no podemos observar directamente. Simulaciones como formas de ejemplificar. Escenarios integrativos Gran parte de los conocimientos matemáticos están organizados de forma integral: se combinan hechos, procedimientos, formas de representación, conceptos y relaciones entre ellos. Una actividad propia de este desarrollo son los mapas mentales 35TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS Las investigaciones demuestran que los buenos resolutores de problemas invierten más tiempo en dos procesos: la comprensión y la metacognición o evaluación de sus resultados. Esto implica reconocer que resolver un problema con calidad requiere más tiempo. d) desarrollo de capacidades Un ejercicio tiene por objetivo que el estudiante replique conocimientos aprendidos. En cambio, un problema es un reto para el estudiante, promueve la investigación, la experimentación, la búsqueda de regularidades y el desarrollo de estrategias de resolución. e) desarrollo de cualidades personales Un ejercicio implica reproducir conocimientos, procedimientos, técnicas y métodos dentro de rutinas establecidas, lo que puede generar que el estudiante actúe automáticamente, sin dar significatividad al desarrollo. Una situación problemática, por el contrario, despierta una fuerte carga de participación del estudiante por querer resolver el problema. En ella moviliza experiencias previas y conocimientos adquiridos, hace supuestos, traza planes y, por último, siente la satisfacción de haber solucionado el problema. 3.7 Fases de la resolución de problemas En la resolución de problemas existen varios esquemas que presentan el orden más adecuado para situaciones novedosas. A continuación, presentamos el esquema propuesto por George Pólya (1945), que describe las actividades fundamentales que se realizan en el proceso de resolución de cualquier problema matemático en general. Este esquema muestra cuatro pasos para resolver el problema: comprender, diseñar una estrategia, ejecutar el plan y desarrollar una visión estratégica. A la nomenclatura formal de cada fase se ha propuesto un nombre coloquial, de manera que facilite su comprensión: Modelo teórico Para los estudiantes Comprender el problema Antes de hacer, vamos a entender Búsqueda de estrategias y elaboración de un plan Elaboramos un plan de acción Ejecutar el plan Desarrollamos el plan Desarrollar una visión estratégica Le sacamos el jugo a la experiencia En el manual del docente de los módulos Resolvamos 1 y 2 se puede profundizar la información correspondiente. 36 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes El número de integrantes en los trabajos de grupo depende del criterio del docente; sin embargo, lo conveniente es un promedio de tres o cuatro integrantes. 3.8 promoviendo el trabajo cooperativo El trabajo en equipo permite intercambiar opiniones entre estudiantes, impulsa el planteamiento de distintas estrategias de resolución y puede ayudar a comprender mejor el problema. Respecto a las diversas propuestas dinámicas de trabajo cooperativo en la enseñanza y el aprendizaje, se recomienda revisar el documento Orientaciones para el Trabajo Pedagógico del Área de Matemática (MED, 2010). A continuación presentamos planes de organización que podrían acompañar tales dinámicas: a) Trabajo simultáneo con equipos En este esquema de organización, el docente asume un rol mediador con todos los equipos de trabajo; asimismo, permite que los estudiantes intercambien ideas entre los grupos. b) Trabajo diferenciado con equipos En esta organización, el docente focaliza el trabajo mediador en el grupo que lo considere necesario; asimismo, deja en libertad a los otros grupos en el desarrollo de la resolución de problemas. c) Trabajo diferenciado con monitores de equipo En esta organización, el docente delega el liderazgo a un monitor responsable por cada grupo de trabajo. Los monitores tienen el rol de dirigir y orientar el proceso de la resolución de problemas, en el cual participan todos los integrantes. 37TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS iV. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto al número real? Hemos reconocido los escenarios de aprendizaje, la progresión de los conocimientos matemáticos, las orientaciones para desarrollar las capacidades matemáticas, la promoción de tareas matemáticas y la resolución de problemas. A continuación, mostraremos situaciones que permiten integrar los temas que hemos abordado: se desarrollan las situaciones de un proyecto, de un laboratorio y de un taller de matemática. recuerda: El concepto de ‘número real’ involucra dos procesos de representación claves para su desarrollo, significado y uso. Estos son las notaciones numéricas y los modelos geométricos, y entre ellos se establecen conexiones y relaciones que se dan de forma complementaria y progresiva. En el estudio de los números reales es preciso afianzar la notación decimal de los números reales, su orden y densidad por medio de la expresión decimal y fraccionaria, realizar aproximaciones con números decimales, establecer la correspondencia entre el número real y la recta numérica, así como realizar medidas de longitudes. Para ello, es importante mostrar un desarrollo en la comprensión de este campo numérico a partir de situaciones vivenciales, para luego ir formalizando y constituyéndolo como un aspecto que moviliza la competencia matemática en los estudiantes, en los diversos escenarios de la vida cotidiana. Sesión laboratorio matemático: Intervalos que sí cuentan Sesión laboratorio matemático: Haciendo operaciones con intervalos Proyecto matemático: Cómo ser un comprador informado Sesión taller matemático: Intervalos y sus operaciones 40 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes 5. El profesor plantea las siguientes interrogantes: 6. Alonso plantea lo siguiente: si incorporamos a más estudiantes en la tabla, no será posible expresar estaturas entre 1,55 y 1,56 cm, debido a que son números consecutivos. ¿Este razonamiento es cierto? Justifiquen su respuesta usando la recta numérica. 7. El profesor observa la justificación de sus estudiantes y les plantea un reto. ¿Cómo usando la recta numérica se puede representar lo desarrollado anteriormente? Entre los estudiantes, ¿quién o quiénes tienen una estatura...? Nombre de estudiantes mayor que 1,37 y menor que 1,45 m menor que 1,56 y mayor que 1,42 m mayor que 1,54 m mayor o igual que 1,48 y menor que 1,50 m mayor o igual que 1,35 y menor o igual que 1,55 m mayor que 1,37 y menor que 1,42 m Expresión literal Expresión en la recta numérica mayor que 1,37 y menor que 1,45 m mayor que 1,54 m mayor o igual que 1,48 y menor que 1,50 m mayor o igual que 1,35 y menor o igual que 1,55 m menor que 1,56 y mayor que 1,42 m mayor que 1,37 y menor que 1,42 m En pareja 41TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS actividad n.° 2 reflexionen y respondan Entre dos puntos de la recta numérica correspondientes a dos números reales diferentes, existen números reales que tienen la característica de ser infinitos (recuerden lo que encontraron en la tarea n.° 7 de la actividad anterior). Esto hace que pensemos en subconjuntos de � que en adelante llamaremos intervalos. Podemos representar, por ejemplo, el intervalo de números reales comprendidos entre – 5 y +1, incluidos estos extremos. A continuación, para desarrollar las preguntas 1 y 2, debemos considerar lo siguiente: nota: Ver texto de tercer grado de Secundaria, pág. 21. 1. ¿Cómo expresarían mediante intervalos usando la representación gráfica? 2. ¿Cómo expresarían mediante intervalos usando la representación simbólica? En pareja Cuando decimos que es mayor que 1,37 m, el subconjunto de los reales expresado en el intervalo no considera dicho número. Cuando decimos que es menor o igual a 1,56 m, el subconjunto de los reales expresado en el intervalo considera dicho número. 1,37 m 1,56 m Expresión literal Representación gráfica con intervalos mayor que 1,37 y menor que 1,45 m mayor que 1,54 m mayor o igual que 1,48 y menor que 1,50 m mayor o igual que 1,35 y menor o igual que 1,55 m menor que 1,56 y mayor que 1,42 m mayor que 1,37 y menor que 1,42 m Expresión literal Representación simbólica con intervalos mayor que 1,37 y menor que 1,45 m mayor que 1,54 m mayor o igual que 1,48 y menor que 1,50 m mayor o igual que 1,35 y menor o igual que 1,55 m menor que 1,56 y mayor que 1,42 m mayor que 1,37 y menor que 1,42 m 42 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes actividad n.° 3 reflexionen y respondan 1. Expresen mediante intervalos la altura máxima y mínima de la tabla de datos respecto a la altura de los estudiantes. 2. Daniel ha comprado un CD de música y Karla le pregunta ¿cuánto dura una canción? Él expresa que una canción dura entre 3 y 5 minutos. ¿Cómo lo representarían en intervalos? 3. En un centro de salud, de todos los niños que se atendieron el jueves, resultó que la mayor temperatura registrada fue de 40,8 ºC y la menor temperatura, 36,1 ºC. Expresen de tres maneras distintas las temperaturas de cualquier niño atendido ese día. Estudiantes Talla Justiniano, Antonio 1,45 m Laguna, Alexander 1,43 m Mejía, Luis 1,59 m Mercado, Rebeca 1,69 m Molina, Esmeralda 1,52 m Palacios, Eduardo 1,59 m Príncipe, Joseph 1,63 m Quintana, Alejandra 1,57 m Quispe, Fredy 1,67 m Tarazona, Fernanda 1,49 m Valdez, Miranda 1,39 m Venegas, Belén 1,45 m En grupo En estas actividades, los estudiantes parten de una situación problemática: ellos expresan las medidas presentadas en una línea recta, las interrogantes los van orientando a responder con la representación gráfica que han elaborado. El objetivo es que los estudiantes adquieran la noción del intervalo a partir de la actividad de experimentación, para pasar de expresar de forma coloquial a formalizar la presentación de los intervalos. Asimismo, esto implica que ellos desarrollen estrategias de solución de problemas asociadas a este tipo de conocimiento. La primera actividad puede plantearse en una variante, los estudiantes pueden empezar haciendo un cuadro de datos de las estaturas del mismo grado o grupo de estudiantes. 45TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS actividad n.° 2 reflexionen y respondan Con los intervalos se realizan diversas operaciones, como: Completen la información a partir de la experiencia realizada. En grupo Operaciones de Color que expresan Expresión gráfica Expresión simbólica Unión Intersección Diferencia 2L 1L 210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9 210-1 3 4 5 2 3 4 5 7 6 2L 1L 210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9 210-1 3 4 5 2 3 4 5 7 6 2L 1L 2 3 4 65 7 210-1 3 4 5 6 210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9 2L 1L 210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9 10-1 2 3 4 5 7 6 2L 1L 210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9 10-1 2 3 4 5 7 6 2L 1L 2 3 4 65 7 10-1 210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9 2L 1L 210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9 210-1 3 4 5 2 3 4 5 7 6 2L 1L 210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9 210-1 3 4 5 2 3 4 5 7 6 2L 1L 2 3 4 65 7 210-1 3 4 5 6 210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9 Unión de intervalos: La unión de dos intervalos y es el conjunto de números reales que pertenecen al menos a uno de los dos intervalos. intersección de intervalos: La intersección de dos intervalos es el conjunto de los números reales que pertenecen a la vez a los dos intervalos. diferencia de intervalos: La diferencia del intervalo y es el conjunto de los números reales que pertenecen al intervalo y no pertenecen al intervalo . 1 2;6L =    2 1;8L =    2L 2L 1L 1L 1 2 2;6 1;8 2;1L L− = − − = −           Usar como materiales de consulta y apoyo para desarrollar los aprendizajes en el estudiante los textos distribuidos por el Ministerio de Educación en el 2012. (Por ejemplo, ver el libro de tercer grado, pág. 23). ∩ = − ∩ =          1 2 2;6 1;8 1;6L L ∪ = − ∪ = −          1 2 2;6 1;8 2;8L L 46 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes actividad n.° 3 Para usar expresiones simbólicas Representen en sus cuadernos, en forma gráfica y usando colores, las siguientes operaciones con intervalos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. actividad n.° 4 1. El supervisor de una tienda de golosinas realiza su inventario el 20 de diciembre del 2012. Observa que en el ingreso de productos hay un lote de 200 cajas de galletas que tienen fecha de fabricación 1 de noviembre del 2012 y vencimiento 1 de febrero del 2013. Además, observa que hay un segundo lote de 300 cajas del mismo producto que tiene fecha de fabricación 15 de noviembre del 2012 y fecha de vencimiento 15 de febrero del 2013. Utilicen la gráfica de intervalos en una recta para representar las fechas de fabricación y vencimiento de cada lote, y respondan a las siguientes preguntas: 1) ¿Entre qué fechas podrá vender galletas de los dos lotes? 2) ¿En qué fechas ha vendido o venderá solo galletas del primer lote? 3) ¿En qué fechas podrá vender solo galletas del segundo lote? 2. En una avenida que atraviesa tres distritos y que tiene 52 cuadras de largo, dos de los distritos han acordado colocar luminarias tipo colonial desde el inicio hasta el final de la cuadra 32. Pero uno de los anteriores con el tercer distrito han acordado construir una ciclovía desde el inicio de la cuadra 23 hasta finalizar la cuadra 52. Utilizando las representaciones de intervalos, realicen lo siguiente: 1) Expresen las cuadras que solo tienen luminarias. 2) Expresen las cuadras que tendrán luminarias y ciclovía. 3) Expresen las cuadras que tendrán solo ciclovía. En pareja En pareja En estas actividades, los estudiantes parten de trabajar con material concreto, reconocen el nuevo color que se genera a partir de la intersección de las tiras de colores. En la realización posterior de las tareas, van desarrollando sus capacidades en torno a resolver el problema, lo que los lleva a atribuir el significado de las operaciones con intervalos como resultado de la unión, intersección y diferencia. El objetivo no es que el estudiante acabe por realizar procesos netamente matemáticos; por el contrario, es importante que el estudiante resuelva problemas que requieren una interpretación adecuada a diversos tipos de problemas. ( ) ) ( ) ( 6,7 7, 8,4 5,13 8,4 2,11 − ∪ ∞ − ∩  − −   ( ) ) ( ) ( ) , 4 3, ,1 1, , 1 5, −∞ − ∪ ∞ −∞ ∩ − ∞  −∞ − − − ∞  ( ) ) ) ) ) ) 3,9 2, 3,7 7,12 3,9 7,10 ∪ ∞  − ∩   − −  47TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS Los estudiantes atribuyen el signo positivo o negativo cuando se percatan de que dos objetos tienen la misma distancia, pero son opuestos con relación al “sobre” y debajo”; en el desarrollo comprenden que es necesario atribuir un símbolo que los diferencie. Posteriormente, en “Reflexionen y respondan” los estudiantes llegan a un acuerdo respecto al significado del “+” y “-”, nociones que utilizarán cuando resuelvan problemas. situación 3 Proyecto matemático Cómo ser un comprador informado SITUACIÓN PROBLEMÁTICA En muchas ocasiones tomamos la decisión de hacer compras de diversos productos, sin estar informados de las condiciones que aquellos tienen. Un caso particular ocurre con los productos alimenticios que tienen una fecha de producción y una de vencimiento. Sin embargo, esta información muchas veces no se toma en cuenta a la hora de adquirir las promociones que se ofrecen. En este proyecto conoceremos las características asociadas a las fechas de producción y vencimiento. Indicadores Describe situaciones de medidas en diversos contextos para expresar números racionales en su notación decimal e intervalos. Aplica variadas estrategias con números racionales e intervalos. Ordena datos en esquemas de organización que representan los números racionales y sus operaciones con intervalos. Describe las estrategias utilizadas con las operaciones en intervalos para resolver situaciones problemáticas. Usa los símbolos de intervalos como corchetes, desigualdades o gráficas sobre la recta para resolver problemas que involucran operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento de reales. Justifica el uso de las operaciones con intervalos para resolver situaciones de contextos variados. Contexto Económico, comercial y social Áreas afines Historia, Geografía y Economía Conocimiento Porcentajes e interés simple Grado 3º. de Secundaria Propósito Investigar sobre los diferentes tipos de impuestos a la renta y cómo calcular el impuesto de la cuarta categoría. Investigar sobre los tipos de rentas de la Comunidad Andina. Conocimientos previos Operaciones con números enteros Cálculo de porcentajes Tiempo 2 sesiones de 90 minutos Actividades 1) Constituir equipos de trabajo, proyectar las tareas a desarrollar. 2) Elaborar una ficha de entrevista a un funcionario de la Sunat y otras instituciones. 3) Visitar la oficina de la Sunat para investigar sobre ¿qué es un impuesto a la renta?, ¿qué tipos de rentas existen?, ¿qué es el IGV?, entre otras informaciones. 4) Averiguar, en especial, ¿cómo se calcula el impuesto a la cuarta categoría? Productos parciales/totales de los estudiantes Cronograma de actividades Fichas de entrevista a funcionario de la Sunat para recojo de datos Papelotes con las tareas 1, 2 y 3 50 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes 4.2 algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a números reales a. reconociendo alGUnas acTividades para el desarrollo de la capacidad de MaTeMaTizar Respecto a los números reales, es importante reconocer que estos están conformados por el conjunto de los números racionales e irracionales. Asimismo, los intervalos expresan un subconjunto de los números reales, con características de reconocer, en aquellos, infinitos números reales. Un buen recurso para iniciar las actividades matemáticas y orientarnos a desarrollar la capacidad de matematizar es recurrir a esquemas informativos. A continuación, se muestra un ejemplo: Ojo con este dato Una tarea matemática es una propuesta de acción que los docentes plantean a sus estudiantes para desarrollar sus capacidades matemáticas. En ellas se pueden realizar varias capacidades de forma dinámica y variada. En un aula de tercer grado de Secundaria de la IE Fidel Olivas, el docente busca representar las estaturas de todos sus estudiantes de una forma simple. A continuación, presentamos el cuadro con las tallas obtenidas. 1. Usando la cinta métrica, marquen las medidas de las estaturas encontradas. 2. Usando una hoja milimetrada, representen la talla de cada estudiante. Estudiante Estatura Acosta, Alonso 1,42 m Aranda, Rocío 1,37 m Arias, Jean 1,56 m Barrenechea, Renato 1,67 m Cermeño, José 1,55 m Checa, Fernanda 1,51 m Cruz, Eduardo 1,48 m Donayre, Alexandra 1,57 m García, Fredy 1,68 m Huerta, José 1,35 m Irribarren, Arturo 1,45 m Jaramillo, Jessica 1,45 m Los problemas propuestos en estas tareas no se pueden re- solver con los números ra- cionales ni sus operaciones. Por ejemplo: ¿cuánto mide el lado de un cuadrado que se forma con dos cuadrados? 51TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS A continuación, mostramos otro ejemplo, en que el estudiante, a partir de un desafío matemático, realiza procesos de construcción geométrica para reconocer los números irracionales. ¿Qué pasaría si en la secuencia tendríamos que hallar la longitud del lado de un cuadrado que se forma con dos, tres, cinco o seis cuadrados según la secuencia anterior? ¿Cuántos casilleros hay en cada lado? Tarea 3: ¿Cómo construir un cuadrado con dos cuadrados? 1.º Se entrega a cada alumno dos cuadrados de colores diferentes. 2.º ¿Cómo deberían cortar los cuadrados para formar con todas las piezas un cuadrado grande? 3.º Peguen las piezas en su cuaderno. 4.º Si formaron un cuadrado con dos cuadrados, ¿cuánto mide su lado, según la lógica anterior? Tarea 4: Ahora, construyan un cuadrado con cinco cuadrados de una unidad cualquiera de lado e indiquen la medida de su lado. Las tareas mate- máticas tienen distintos niveles de complejidad. De acuerdo con Stein, hay dos grupos de tareas según su deman- da cognitiva. Uno de baja deman- da cognitiva, en que se encuen- tran tareas de memorización y procedimientos sin conexiones. El otro grupo es de alta deman- da cognitiva, en que los procedi- mientos requie- ren establecer conexiones. En este último gru- po de tareas, los estudiantes mo- vilizan varias de sus capacidades matemáticas. 52 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes B. reconociendo alGUnas acTividades para desarrollar la capacidad de represenTación Es necesario comprender los números reales por medio de representaciones con material concreto. Por ejemplo, medir objetos, establecer relaciones entre sus medidas, graficarlos, ubicarlos en la recta numérica y simbolizarlos. Se pueden usar recursos manipulativos, como reglas, compases y otros instrumentos que permiten varias posibilidades de representación de los números reales y sus operaciones. El uso de esquemas gráficos, como cuadros y tablas, permite establecer un puente entre la situación problemática y el lenguaje de las matemáticas. A continuación, mostramos cómo partiendo de actividades de medida se expresan en la recta numérica, números racionales como un proceso de entrada a la construcción del significado y uso de los intervalos. En un aula de tercer grado de Secundaria de la IE Fidel Olivas, el docente busca representar las estaturas de todos sus estudiantes de una forma simple. A continuación, presentamos el cuadro con las tallas obtenidas. 1. Usando la cinta métrica, marcquen las medidas de las tallas encontradas. 2. Usando una hoja milimetrada, representen la talla de cada estudiante. Estudiante Estatura Acosta, Alonso 1,42 m Aranda, Rocío 1,37 m Arias, Jean 1,56 m Barrenechea, Renato 1,67 m Cermeño, José 1,55 m Checa, Fernanda 1,51 m Cruz, Eduardo 1,48 m Donayre, Alexandra 1,57 m García, Fredy 1,68 m Huerta, José 1,35 m Irribarren, Arturo 1,45 m Jaramillo, Jessica 1,45 m 55TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS d. reconociendo alGUnas acTividades en Torno a la capacidad: elaBora esTraTeGias para resolver proBleMas El estudiante necesita ser expuesto a verdaderas situaciones problemáticas que le permitan usar diversas estrategias. Para resolver problemas con números reales, necesitamos el apoyo de la recta numérica, las operaciones, los materiales concretos y los esquemas para organizar los datos, además de un panorama de la situación planteada. Otra estrategia a desarrollar es la ubicación de números reales sobre la recta numérica. Para comprender esto, usamos gráficos construidos con regla y compás. En los siguientes ejemplos se muestra cómo la recta numérica se puede utilizar como una estrategia para comparar u ordenar números reales. Asimismo, una estrategia importante en la búsqueda de soluciones es representar el problema mediante algún organizador visual. En los siguientes ejemplos se muestra cómo el estudiante representa el problema en una recta numérica y a partir de ella se encuentra la solución. Tarea 1: Observen el cuadro y completen. Tarea 2: ¿Qué estrategias han utilizado para ubicar los números de cada grupo en la recta real? Pedro tiene el siguiente grupo de números que debe ubicarlos en la recta real. Gaby tiene este otro grupo de números que debe ubicarlos en la recta real. ¿Qué número del grupo de Pedro estará más alejado del cero? ¿Qué número de este grupo estará más cerca del cero? 3 1 2 9 2; 10; ; ; 3 2 4 − 14 22 5,4; ; ; 18; 32 3 5 − − − 56 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes la solución del problema planteado en la actividad 4 del laboratorio matemático “Haciendo operaciones con intervalos” permite visualizar cómo el estudiante puede utilizar la recta numérica para resolver esta situación problemática. 57TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS e. reconociendo alGUnas acTividades soBre el Uso de eXpresiones siMBólicas, TÉcnicas Y ForMales El estudiante, mediante de experiencias vivenciales, empieza a dar sentido a la construcción de expresiones asociadas a los intervalos y a comprender que estos se pueden representar por medio de expresiones gráficas y simbólicas; asimismo, que en un lenguaje coloquial adquieren cierto significado en las diversas actividades que realizamos. Por ello, es importante reconocer que el estudiante en su vida cotidiana emplea los intervalos en un lenguaje coloquial; en ese sentido, las actividades lo deben conducir al manejo adecuado del lenguaje simbólico y formal. El profesor plantea las siguientes interrogantes: Qué estudiante o estudiantes tienen una estatura... Nombre de estudiantes mayor que 1,37 y menor que 1,45 m menor que 1,56 y mayor que 1,42 m mayor que 1,54 m mayor o igual que 1.48 y menor que 1,50 m mayor o igual 1,35 y menor o igual que 1,55 m mayor que 1,37 y menor que 1,42 m 60 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes situación 3 Proyecto matemático Título: Cómo ser un comprador informado Representen, de forma gráfica y simbólica, los intervalos para expresar las fechas de producción y vencimiento de los productos seleccionados. Un empresario quiere invertir un producto alimenticio. Ustedes, como asesores de inversiones, usando la tabla de intervalos, elaboren una ficha informativa para asesorar en el producto a invertir. Como compradores de productos alimenticios, ¿qué criterios relacionados con la matemática deben considerar a la hora de tomar decisiones? Justifiquen su respuesta. situación 2 Sesión laboratorio matemático Título: Haciendo operaciones con intervalos Usando una recta numérica, peguen encima de ella un tira de papel celofán que exprese el intervalo del lote 1. Repitan similar situación para el lote 2. Nota: dibujen las características de representación de los intervalos en los extremos de las tiras (se pinta, según sea el caso, el interior de los círculos para expresar intervalos abiertos o cerrados). Dibujen el procedimiento que realizaron. ¿Qué subconjunto representa la tira del celofán amarillo? ¿Qué subconjunto representa la tira del celofán azul? ¿Qué subconjunto representa la tira del celofán verde (resultado de los dos colores)? ¿Cómo expresarían el tiempo que tardaría la producción del lote 1 o del lote 2? Justifiquen su respuesta usando las tiras de celofán. 61TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS V. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a las funciones cuadráticas? Una de las mayores dificultades para abordar las funciones cuadráticas a partir de la resolución de situaciones problemáticas es que estas funciones se asocian comúnmente a contenidos de la Física, sobre los cuales no tienen dominio los estudiantes del grado correspondiente. Sin embargo, tal como lo hizo Galileo en el siglo XVII, es posible estudiar las funciones cuadráticas a partir de situaciones que pueden ser modeladas con estas funciones y no en camino inverso. La falta de conocimientos previos del estudiante para resolver la ecuación del movimiento de proyectiles se puede superar realizando las sesiones correspondientes, en forma paralela, con el docente de Ciencia, Tecnología y Ambiente. Cuando no sea posible, es recomendable que el docente de Matemática aborde, en forma simultánea, ambos contenidos en la misma sesión. Esto es viable por la formación de la mayoría de docentes de Matemática. Por otro lado, las funciones cuadráticas pueden ser abordadas mediante el desarrollo de proyectos de aprendizaje. El propósito fundamental de los proyectos es resolver una situación problemá- tica real con la participación de los estudiantes. La dificultad radica en la selección de un proyecto, cuya problemática esté asociada a un conocimiento particular, como, en este caso, a las funciones cuadráticas. Sin embargo, la abundante información que se tiene, por ejemplo, usando el recurso de Internet, facilita encontrar una situación problemática adecuada a las necesidades e intereses de los estudiantes. Proyecto matemático: Funciones cuadráticas que abaratan costos de viaje de promoción Sesión laboratorio matemático: Haciendo cohetes interespaciales Sesión taller matemático: Funciones cuadráticas que previenen el envenenamiento A continuación, presentamos una unidad didáctica compuesta por taller, proyecto y laboratorio matemáticos. Todos parten de contextos de la vida de los estudiantes o cercanas a ella. Implican el uso de las funciones cuadráticas o la construcción de estos conocimientos en el contexto de la resolución de situaciones problemáticas. importante Para ampliar estudios respecto a las funciones, se recomienda visitar: Aspectos metodológicos en el aprendizaje de funciones en secundaria http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/ fasc_mat/04_mat_d_s2_f3.pdf 62 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Este año los estudiantes de la promoción Mario Vargas Llosa de la IE Santa Isabel de Huancayo tienen planificado viajar a la majestuosa ciudadela de Machu Picchu. Por ello, realizan todas las gestiones posibles para que este anhelo se haga realidad con dos años de anticipación; inclusive, ya reservaron hospedaje. Sin embargo, temen no poder hacer el añorado viaje por los altos costos de pasajes que suben a fin de año. Y ni pensar viajar en avión. El tutor de la promoción les comunica que el pasaje de ida debe estar alrededor de S/.70 por estudiante. Solo una empresa, Cielo Azul, tiene la siguiente oferta: por cada estudiante adicional que viaje, el costo de pasajes por estudiante bajará en S/.1. Por ello, el tutor ha solicitado buscar alguna estrategia para abaratar costos de manera que no supere los S/.3000, monto que se recaudará con la cotización mensual de los padres de familia hasta 15 días antes del viaje. Además, ha pedido que no deje de asistir ningún estudiante, y, si es posible, incluir a algunos de la otra sección que solo tendrán fiesta de promoción. Indicadores Elabora modelos a partir de situaciones de cambio usando las funciones cuadráticas con coeficiente naturales y enteros. Ordena datos en esquemas para organizar situaciones de cambio mediante funciones cuadráticas. Grafica en el plano cartesiano diversos valores a partir de la organización de datos para resolver problemas de cambio que impliquen funciones cuadráticas. Interviene y opina respecto al proceso de resolución de problemas que implican usar funciones cuadráticas. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones cuadráticas. Utiliza la gráfica de la función cuadrática para determinar los valores máximos y mínimos y los puntos de intersección con los ejes coordenados para determinar la solución de la ecuación cuadrática implicada en el problema. Justifica mediante procedimientos gráficos o algebraicos que la función cuadrática de la forma f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones equivalentes, modela la situación problemática dada. Contexto Contexto social Duración El tiempo estimado es de tres semanas y cinco días 5.1 algunas situaciones de aprendizaje situación 1 Proyecto matemático Funciones que abaratan costos de viaje de promoción 65TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS actividad n.° 3 1. Determinar el número de estudiantes que viajarán, de manera que puedan incluirse los de la otra sección para que el costo de los pasajes no supere el monto estimado de recaudación que ascenderá a S/.3000. En pareja Este proyecto permite al estudiante realizar un estudio de costos. En esta actividad, los estudiantes modelarán la situación planteada para analizar la oferta que facilite la selección de la empresa de transportes. recuerda: Para desarrollar el proyecto, se sugiere una secuencia de actividades ordenadas en función de la información requerida. Este orden puede cambiar, así como la forma de desarrollar las tareas, lo que depende de muchos factores; por ejemplo, de hábitos y estilos de aprendizaje de los estudiantes, de las estrategias metodológicas y didácticas que usualmente pone en práctica el docente en el desarrollo de la sesión de aprendizaje y, fundamentalmente, del contexto cultural que influye en la forma de resolver un problema. importante REFERENCIAS E INSTITUCIONES Manual del docente del texto de Matemática del tercer grado de Secundaria (pág. 129). Grupo Editorial Norma S. A. C. Lima, 2012. 2. Formular la función precio como que modele el costo total de pasajes (en S/.), incluido IGV. 3. Determinar el valor del número de estudiantes, para el cual la función precio total de pasajes tiene un valor máximo. ( )P f x= ( )P f x= 66 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes situación 2 Sesión laboratorio matemático Haciendo cohetes interespaciales SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Los cohetes espaciales requieren de combustible suficiente para alcanzar la aceleración que les permita escapar de las fuerzas de atracción gravitacional. Un problema que debió ser resuelto por los científicos y los ingenieros que participaron en el diseño y construcción de estos vehículos fue la relación entre el peso de la nave y la fuerza de empuje. Esta última debe ser mayor para que la nave se pueda elevar. El análisis de algunas de las variables que intervienen en un proceso es determinante para obtener los resultados que deseamos; por ejemplo, en el caso planteado, nos interesa conocer cuál es la potencia máxima alcanzada con el mínimo de combustible. Por ello, construiremos un cohete hidrodinámico y experimentaremos con él. Así podríamos saber cuál es el mínimo requerido de combustible para alcanzar la máxima altura. Indicadores Elabora modelos a partir de situaciones de cambio usando las funciones cuadráticas con coeficientes naturales y enteros. Ordena datos en esquemas para organizar situaciones de cambio mediante funciones cuadráticas. Grafica en el plano cartesiano diversos valores a partir de la organización de datos para resolver problemas de cambio que impliquen funciones cuadráticas. Interviene y opina respecto al proceso de resolución de problemas que implican usar funciones cuadráticas. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones cuadráticas. Utiliza la gráfica de la función cuadrática para determinar los valores máximos y mínimos y los puntos de intersección con los ejes coordenados para determinar la solución de la ecuación cuadrática implicada en el problema. Justifica mediante procedimientos gráficos o algebraicos que la función cuadrática de la forma f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones equivalentes, modela la situación problemática dada. Contexto El contexto es científico Áreas afines Ciencia, Tecnología y Ambiente Conocimiento Función cuadrática de la forma y=ax2+bx+c Grado 4.º de Secundaria Propósito Desarrollar la comprensión de la función cuadrática a partir de su uso para resolver un problema mediante experimentación. Tiempo Dos sesiones de 90 minutos ¿Qué necesitas? Conocimientos previos Ecuación Nociones de gravedad y de aceleración Botella de plástico con capacidad máxima de dos litros Tapón de caucho o corcho que cierre herméticamente la boca de la botella Cartón o plástico rígido Pegamento o cinta adhesiva Válvula para inflar pelotas Probeta de 1000 ml graduada Cronómetro Papel milimetrado 67TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS actividad n.° 1 reflexionen y respondan 1. Lo primero es verificar que el tapón se ajuste perfectamente a la boca de la botella. Luego perfórenlo insertando en él una válvula. 2. La botella se convertirá en el cuerpo del cohete; su base será la delantera, por lo que deben modificarla a fin de reducir la resistencia del aire al movimiento. Por ello, pueden construir un cono de cartulina o mica que encaje perfectamente en el diámetro de la base. Usen pegamento o cinta adhesiva para pegar las piezas. 3. Después deberán construir la base del cohete, utilizando mica o cartón, con lo que se formarán las alas que le darán estabilidad a la nave durante el vuelo; estas irán pegadas a los costados de la boca de la botella, tal como se muestra en la figura adjunta. Pueden optar por cualquier diseño. ¡Solo asegúrense de que queden bien pegadas! Tomen en cuenta que debajo debe quedar un espacio de 10 cm para conectar la manguera a la bomba y a la válvula introducida en el tapón. Ahora que han terminado de armar el cohete, píntelo o decórenlo a su gusto. 4. Para iniciar la cuenta regresiva, lo primero que deben hacer es colocarse en un área más o menos despejada; enseguida, llenar la botella con 200 ml de agua. A continuación, coloquen firmemente el tapón con la válvula puesta. Es importante que quede lo más apretada posible, pues mientras más presión soporte el cohete, la altura alcanzada será mayor. Ahora solo necesitamos conectar En grupo 10 cm Adaptación: Ocampo, O. Un dúo dinámico: Física y Química. UNAM. Págs. 6-7 la válvula de la base del cohete a la bomba de aire para comenzar a bombear hasta que la presión expulse el tapón de caucho y el cohete salga disparado. Asegúrense de que esté dirigido verticalmente hacia arriba y... ¡fuera...! 5. Deben tomar el tiempo que el cohete permanece en el aire para después calcular la altura alcanzada. Hay que poner mucha atención para activar el cronómetro justo cuando el cohete salga disparado y detenerlo en el momento en que este toque el piso. Después irán aumentando en 200 ml el volumen del agua para determinar el tiempo de vuelo. 70 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes El siguiente paso será representar estos datos en el plano cartesiano: A partir de la experiencia realizada, expresarla de forma tabular, gráfica y simbólica, reconociendo a su vez el dominio y el rango de la función. El dominio de la función estaría constituido por todos los valores que puede tomar “x”. Asimismo, el rango de la función estaría conformado por todos aquellos resultado de “f(x)”. actividad n.° 4 resolver problemas 1. Este gráfico muestra una parte de una parábola, que representa la posición de un zambullidor (la distancia horizontal y vertical) en el borde de un fondo y cómo él se zambulle a una distancia de 5 metros de largo y 25 metros respecto al nivel del agua. x y 4 3 2 1 -1 1 2-2 x y 4 3 2 1 -1 1 2-2 35 30 25 20 15 10 5 10 15 20 5 0 x y Distancia horizontal D is ta nc ia v er ti ca l 2y x= 2y x=El gráfico obtenido para se denomina parábola, al igual que el gráfico de cualquier función cuadrática. Observemos que el menor valor que toma y es 0, cuando x=0, y que y no puede tomar valores negativos pues es de la forma . El punto (0;0) se denomina vértice de la parábola. Es el punto en el que la parábola alcanza un valor máximo o uno mínimo. 2y x= 71TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS a) Identifiquen puntos sobre el gráfico que representan cuando el zambullidor inicia su salto. Identifiquen el punto cuando él alcanza su altura máxima y cuando entra en el agua. b) Bosquejen un gráfico de la posición del zambullidor si él se zambulle desde una base de 10 metros de largo y 10 metros por encima del nivel del agua. (Asuman que él inicia su salto en el mismo ángulo y con la misma fuerza). 2. La altura a metros de una pelota lanzada verticalmente, t segundos después del lanzamiento, está dada por . a) Organicen los datos de forma tabular y gráfica. b) Expresen el dominio y el rango de la función. c) ¿Cuánto se demora la pelota en alcanzar la máxima altura? d) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza la pelota? e) ¿Cuánto se demora la pelota en llegar nuevamente al suelo? 3. La temperatura Tº (expresada en grados Celsius) en un invernadero, t horas después del anochecer (7 p. m.), está dada por a) Organicen los datos de forma tabular y gráfica b) Expresen el dominio y el rango de la función c) ¿Cuál es la temperatura en el invernadero al anochecer? d) Un cierto tipo de geranio no sobrevive en temperaturas menores a 2 ºC. Entonces, ¿se pueden cultivar estas plantas en el invernadero? Expliquen. e) ¿A qué hora la temperatura en el invernadero es de 9 ºC? importante Las calculadoras estimulan la actividad matemática. Mediante el empleo de esta herramienta, los estudiantes tienen mayores posibilidades para tomar una decisión, discutir con mayor libertad, etc. Incluso aumenta la motivación de los niños por la matemática (Fielker, 1986). Se descarta así la creencia de que la calculadora reduzca la comprensión matemática por parte de la persona que la emplea (Cockcroft, 1982). Se recomienda visitar: Uso de los recursos tecnológicos en el aprendizaje de la matemática http://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s1_f6.pdf 21( ) 5 30, ( 20)4T t t t t= − + ≤ 2( ) 36A t t t= − 72 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes situación 3 Sesión taller matemático Funciones cuadráticas que previenen el envenenamiento SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Una persona se ha intoxicado al ingerir accidentalmente un medicamento vencido. Se estima que el porcentaje de sangre contaminada, horas después de ocurrida la intoxicación, está dada por la función cuadrática . Halla el valor máximo de la función e interprétala. Indicadores Elabora modelos a partir de situaciones de cambio usando las funciones cuadráticas con coeficientes naturales y enteros. Ordena datos en esquemas para organizar situaciones de cambio mediante funciones cuadráticas. Grafica en el plano cartesiano diversos valores a partir de la organización de datos para resolver problemas de cambio que impliquen funciones cuadráticas. Interviene y opina respecto al proceso de resolución de problemas que implican usar funciones cuadráticas. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones cuadráticas. Utiliza la gráfica de la función cuadrática para determinar los valores máximos y mínimos y los puntos de intersección con los ejes coordenados para determinar la solución de la ecuación cuadrática implicada en el problema. Justifica mediante procedimientos gráficos o algebraicos que la función cuadrática de la forma f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones equivalentes, modela la situación problemática dada. Contexto Científico Conocimiento Función cuadrática de la forma Grado 4.º de Secundaria ¿Cuándo desarrollarla? Es recomendable resolver problemas que involucren funciones cuadráticas cuando los estudiantes hayan adquirido nociones de funciones lineales y funciones lineales afines, correspondientes al primer y segundo grados de Secundaria, respectivamente. La actividad se desencadena a partir de preguntas que al ser respondidas por los estudiantes en forma grupal promueven la comprensión del problema, la elaboración del plan de resolución, la ejecución del plan y, finalmente, la reflexión y la autoevaluación del estudiante. Sirve para: Resolver situaciones problemáticas de contexto real que impliquen aplicar funciones cuadráticas. Desarrollar estrategias de resolución de situaciones modeladas por funciones cuadráticas. ¿Qué necesitas? Texto distribuido por el Ministerio de Educación para el tercer y cuarto grados de Secundaria y otros textos de consulta que contengan la descripción de situaciones problemáticas que involucren la aplicación de funciones cuadráticas. Papel cuadriculado o milimetrado para construir la función cuadrática. Si tienes una calculadora que grafica funciones, puedes utilizarla. Conocimientos previos Números racionales, representación y equivalencias t 2( ) 20 10g t t t= − + 75TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS iv. sÁcale el jUGo a TU eXperiencia 1. ¿Cuál es la estrategia que les ayudó a resolver el problema? Justifiquen su respuesta. 2. Si se considera al paciente en riesgo vital cuando el porcentaje de sangre contaminada es más de 74 %, ¿en qué tiempo ocurre la situación? Justifiquen su respuesta. En pareja importante El programa Excel es un paquete informático que, a pesar de no ser diseñado específicamente para la educación, es muy útil, pues integra tres ambientes propios de la actividad matemática, que permiten: 1) La posibilidad de inscribir numerosos datos y relacionarlos con funciones, fórmulas y operadores, mediante una hoja de cálculo 2) La posibilidad de organizar los datos de forma sistemática en filas y columnas 3) La posibilidad de graficar la información proporcionada por la base de datos En los nuevos textos de Matemática, pueden encontrar actividades en Excel. Por ejemplo: en el libro de primer grado de Secundaria, pág. 153. Proponemos este taller para estudiantes de cuarto grado porque la resolución del problema implica usar inecuaciones cuadráticas. Sin embargo, la actividad puede ser desarrollada por estudiantes del tercer grado, y en el contexto de la resolución del problema se pueden abordar inecuaciones cuadráticas. reFerencias Manual del docente del texto de Matemática del tercer grado de Secundaria (pág. 130). Grupo Editorial Norma S. A. C. Lima, 2012. 76 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes situación 3 Sesión taller matemático Indicadores Elabora modelos a partir de situaciones de cambio usando las funciones cuadráticas con coeficientes naturales y enteros. Ordena datos en esquemas para organizar situaciones de cambio mediante funciones cuadráticas. Grafica en el plano cartesiano diversos valores a partir de la organización de datos para resolver problemas de cambio que impliquen funciones cuadráticas. Interviene y opina respecto al proceso de resolución de problemas que implican usar funciones cuadráticas. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones cuadráticas. Utiliza la gráfica de la función cuadrática para determinar los valores máximos y mínimos y los puntos de intersección con los ejes coordenados para determinar la solución de la ecuación cuadrática implicada en el problema. Justifica mediante procedimientos gráficos o algebraicos que la función cuadrática de la forma f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones equivalentes, modela la situación problemática dada. Contexto Científico Conocimiento Funciones cuadráticas Grado 3.º de Secundaria ¿Cómo hacerlo? Los estudiantes emplearán los textos del tercer grado distribuidos por el Ministerio de Educación, para resolver planteamientos problemáticos propuestos por niveles de complejidad. Sirve para: Resolver problemas que implican usar funciones cuadráticas. ¿Qué necesitas? Texto del tercer grado de Secundaria distribuido por el Ministerio de Educación Conocimientos previos Función cuadrática ¿Qué ha ocurrido respecto a las situaciones planteadas en torno a la función cuadrática? Los estudiantes, a partir de una actividad vivencial, han realizado mediciones. Posteriormente, a partir de una actividad lúdica, establecieron equivalencias entre las diversas expresiones con los números racionales. Asimismo, han resuelto problemas aditivos, apoyados en un recurso gráfico. Finalmente, se propuso una actividad taller donde los estudiantes desplegaron sus capacidades en torno a la resolución del problema. 77TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 5.2 algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a las funciones cuadráticas a. reconociendo alGUnas acTividades para desarrollar la capacidad de MaTeMaTizar Mediante las funciones cuadráticas, se pueden expresar procesos y fenómenos del mundo real. Por ejemplo, se explicita la capacidad de matematización en lo siguiente: Medición de áreas de superficies rectangulares para determinar el área máxima, que se expresa en el vértice de la parábola generada. Movimiento de cuerpos en campo de fuerza uniforme. Se destacan aquellos en los que el campo de fuerza es la gravedad o un campo eléctrico uniforme. Superficies reflectantes con sección parabólica. Son fenómenos en que el foco capta o envía rayos que se reflejan en una superficie parabólica. El proceso de matematización que se inicia para el estudio de estos fenómenos incluye los relacionados con espejos, lentes, antenas parabólicas y lámparas. Movimiento variado de cuerpos. Se destacan aquellos que están relacionados con la aceleración constante que experimentan los cuerpos . Relación entre ingresos y descuentos para determinar cuánto deben ser mis ingresos máximos que debo tener para evitar el descuento de mi monto. A continuación, presentamos algunas orientaciones sobre cómo propiciar escenarios adecuados en torno a la matematización. situación problemática Altos costos de pasajes que suben a fin de año. propósito Buscar alguna estrategia para abaratar costos de manera que no supere los S/.3000, monto que se recaudará con la cotización mensual de los padres de familia hasta 15 días antes del viaje. actividades producto Optar por la propuesta de viaje que más convenga. Realizar el estudio de costos de pasajes para el transporte de los estudiantes a la ciudad de Cusco, ida y vuelta. Evaluar todas las ofertas propuestas por las empresas de transporte con la finalidad de abaratar costos. Si amerita, proponer a la junta directiva de la otra promoción incluirla en la excursión. En esta unidad se propone em- pezar el estudio de las funciones cuadráticas con una actividad vivencial. En ella los estu- diantes regis- tran datos a partir de un contexto co- mercial en que reconocen con- diciones de un viaje de pro- moción sobre la base de la cantidad de es- tudiantes que participan. 80 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes c. reconociendo alGUnas acTividades en Torno a la capacidad de coMUnicación La comunicación matemática es una de las capacidades fundamentales e inherentes a la competencia de resolución de problemas. Se manifiesta en cada momento del desarrollo de las actividades de aprendizaje. ¿Cómo se manifiesta la capacidad de comunicación en las actividades anteriores? escenario: Taller matemático TÍTUlo: Funciones cuadráticas que previenen el envenenamiento Esta capacidad se manifiesta: Desde la comprensión del enunciado del problema, pues para ello el estudiante tiene que leer. Para evidenciar la comprensión, se formulan preguntas como las referidas en la sección “Antes de hacer, trata de entender”. I. Antes de hacer, trata de entender 1) ¿De qué trata el problema? 2) ¿Qué conocimiento necesitas saber para resolver este problema? 3) ¿El porcentaje de sangre contaminada está en función de qué variable? Cuando interactúan los estudiantes al trabajar en grupo, emplean el lenguaje oral o escrito en cada una de las etapas de la resolución del problema. Cuando se solicita a los estudiantes la presentación de los resultados o los procesos de resolución del problema en forma oral o escrita. 81TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS d. reconociendo alGUnas acTividades en Torno a la capacidad Y esTraTeGias para resolver proBleMas escenario: Laboratorio matemático TÍTUlo: Funciones cuadráticas para diseñar cohetes interespaciales Esta capacidad se manifiesta: En la interacción entre estudiantes y entre estos con el docente. La naturaleza propia del laboratorio matemático promueve esta relación. En el laboratorio descrito no solamente se pone a prueba la validez de una ley física, sino fundamentalmente se manipulan objetos concretos para la comprensión y la formulación de un problema, y esta forma de hacer matemática implica interacción mediante la comunicación. En la comprensión de las instrucciones, sea a partir de la lectura de material escrito o a partir de la comprensión de las indicaciones que da el docente en forma oral. En la descripción oral o escrita del procedimiento para aplicar la función cuadrática que describe el movimiento vertical de los cuerpos. Por ello, se recomienda que las actividades sean realizadas en grupo para asegurar la comunicación en forma explícita. escenario: Proyecto matemático TÍTUlo: Funciones cuadráticas que abaratan costos de viaje de promoción Los proyectos matemáticos implican desarrollar la capacidad de comunicación, pues estas son propiamente actividades grupales. Esta capacidad se manifiesta: Cuando el docente formula la situación problemática de buscar estrategias para abaratar los costos de pasajes. Los estudiantes deben comprender la situación, así como las indicaciones que proporciona el docente. Al elaborar en forma oral o escrita los informes intermedios del proyecto. En estos informes necesariamente se presentan datos y resultados de cálculos. Durante la búsqueda de información de las propuestas de las empresas de transporte. En esta actividad los estudiantes tienen que recoger información en forma escrita u oral. 82 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes 220 10 74t t− + ≥ escenario: Taller matemático TÍTUlo: Funciones cuadráticas que previenen el envenenamiento Esta capacidad se manifiesta: Durante todo el taller, pues este consiste en resolver una situación problemática. Se sugiere seguir procedimientos de varios pasos que conducen a la solución matemática, para activar mecanismos de control eficaces y sostenidos. Al formular preguntas durante la última fase del proceso de resolución del problema, a fin de que los estudiantes interpreten, evalúen y validen la solución obtenida. Por ejemplo, se plantea la estrategia de reflexión modificando las condiciones o los datos del problema y resolver uno nuevo. Este es el caso de la pregunta: ¿cómo cambia la condición del problema, si representamos la situación problemática por la inecuación ? Cuando los estudiantes seleccionan una estrategia para determinar el tiempo transcurrido desde el consumo del medicamento. Para ello, pueden realizar un gráfico en el plano cartesiano, organizar los datos en tablas o usar una calculadora, tal como se observa en el siguiente ejemplo. Sí se considera al paciente en riesgo vital cuando el porcentaje de sangre contaminada es más de un 74 %, ¿en qué tiempo ocurre la situación? 85TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 2 ih Vt gt= ± escenario: Proyecto matemático TÍTUlo: Funciones cuadráticas que abaratan costos de viaje de promoción Esta capacidad se manifiesta: Cuando se determina la variación del pasaje en función del aumento del número de estudiantes, pues se está utilizando la operación de adición, que explicita el desarrollo de esta capacidad. Para definir la función cuadrática que describe la propuesta de la empresa Cruz Azul, pues para ello se necesita usar expresiones algebraicas que generalizan el número de estudiantes y la correspondiente expresión general de costo del pasaje. Cuando se realiza la tarea de determinar el valor del número de estudiantes para el cual la función precio total de pasajes tiene un valor máximo, pues se está recurriendo a expresiones matemáticas sujetas a convenciones matemáticas. escenario: Laboratorio matemático TÍTUlo: Funciones cuadráticas para diseñar cohetes interespaciales Esta capacidad se manifiesta: Cuando el estudiante responde a la pregunta: ¿por qué debemos considerar como negativo el valor de la aceleración gravitacional cuando el movimiento es hacia arriba?, pues está usando expresiones simbólicas que se rigen por convenciones matemáticas. Cuando aplica la ley del movimiento con aceleración constante definida por la ecuación , pues implica usar expresiones algebraicas que se rigen por convenciones matemáticas. Cuando determina la altura alcanzada en función del tiempo de vuelo, tiene que reemplazar los valores del tiempo de vuelo registrados mediante el uso del cronómetro. Esto implica usar convenciones matemáticas; es decir, la sustitución de los valores del tiempo se realiza considerando que la variable independiente es el tiempo y la altura es la variable dependiente. 86 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes F. reconociendo alGUnas acTividades en Torno a la capacidad de arGUMenTar ( )P f x= escenario: Taller matemático TÍTUlo: Funciones cuadráticas que previenen el envenenamiento Esta capacidad se manifiesta: En cada uno de los pasos que sigue el estudiante en la resolución del problema, pues tiene que justificarse utilizando un lenguaje natural o planteando un argumento matemático. Por ejemplo, en la respuesta a la pregunta: ¿cómo se puede calcular el valor máximo que puede asumir la variable de una función cuadrática?, tiene que dar una justificación. Al justificar matemáticamente cómo halla una repuesta. Por ejemplo, cómo determina el valor del número de estudiantes x para el cual la función precio total de pasajes tiene un valor máximo. La siguiente tarea es otro ejemplo del uso de esta capacidad: ¿Cómo se puede calcular el valor máximo que puede asumir la variable de una función cuadrática? Si la inecuación anterior tiene dos soluciones, ¿ambas representan la solución del problema? ¿Cuál es el criterio para elegir una de las soluciones de la inecuación cuadrática? 87TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS escenario: Laboratorio matemático TÍTUlo: Funciones cuadráticas para diseñar cohetes interespaciales Esta capacidad se manifiesta: Cuando responde a la pregunta: ¿por qué debemos considerar como negativo el valor de la aceleración gravitacional cuando el movimiento es hacia arriba?, pues tiene que dar una argumentación matemática a su respuesta. Al justificar la selección de estrategias para encontrar la solución al problema. El estudiante puede emplear un razonamiento puramente lógico o utilizar un procedimiento estrictamente matemático. Al justificar las condiciones para que el cohete despegue de la Tierra. Puede hacerse recurriendo a principios físicos y en forma verbal, pero también se puede solicitar al estudiante la justificación matemática de su respuesta utilizando ecuaciones. escenario: Proyecto matemático TÍTUlo: Funciones cuadráticas que abaratan costos de viaje de promoción Esta capacidad se manifiesta: Para justificar la conveniencia de optar por la alternativa propuesta por la empresa Cruz Azul. Esto implica analizar el comportamiento de la función cuadrática. Hay un incremento en los pasajes a medida que aumenta la cantidad de estudiantes; pero a partir de cierto número de ellos la función alcanza un valor máximo y luego empieza a disminuir. Utilizar este comportamiento de la función para la elección de esta empresa es una justificación estrictamente matemática. En el desarrollo del proyecto donde el estudiante tiene que resolver un problema matemático justificando sus procedimientos y resultados. 90 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes 6.1 algunas situaciones de aprendizaje situación 1 Sesión laboratorio matemático: Sucesiones de diagonales en la naturaleza SITUACIÓN PROBLEMÁTICA ¿Es posible reconocer regularidades en la naturaleza? Por ejemplo, en las semillas de eucalipto hay formas muy peculiares de presentarse. Indicadores Plantea modelos de una sucesión creciente o decreciente a partir de regularidades reales o simuladas. Ordena datos en esquemas para organizar regularidades mediante sucesiones crecientes y decrecientes. Interviene y opina presentando ejemplos y contraejemplos sobre los resultados de un modelo de sucesión creciente y decreciente. Elabora estrategias heurísticas (ensayo-error, hacer una lista sistemática, empezar por el final, diagrama de tiras, establecer sus metas, suponer el problema resuelto, reducir el problema a uno más simple) para resolver problemas que involucran sucesiones crecientes y decrecientes. Utiliza expresiones algebraicas para generalizar sucesiones crecientes y decrecientes. Justifica procedimientos y posibles resultados a partir de una regla que genera sucesiones crecientes y decrecientes con números reales. Contexto Científico Áreas afines Ciencia, Tecnología y Ambiente Conocimiento Sucesiones crecientes con números reales Grado 5.º de Secundaria ¿Cuándo hacerla? Al iniciar las actividades de sucesiones crecientes. Tiempo Sesión de 90 minutos Sirve para: Modelar situaciones de la naturaleza mediante sucesiones crecientes ¿Qué necesitas? Regla Fotocopias de las imágenes de las semillas de eucaliptos para cada grupo Conocimientos previos Sucesiones con números racionales 91TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS Se propone modelar estas aberturas como polígonos y a su vez se plantea el reto de averiguar: ¿cuántas diagonales tendrá un polígono de cincuenta vértices? Formen un polígono y diagonales a partir de las semillas de eucalipto. Con los trazos realizados, completen el cuadro. 1. ¿Cómo se puede expresar más reducida la suma de (n - 3) + (n - 3) + (n - 4) + (n - 5) + (n - 6) + ... + 1? Para resolver esta tarea, primero recordemos ¿cómo hallar la suma de números naturales consecutivos?, ya que desde (n - 3) hasta + 1 son números consecutivos. 2. Veamos la famosa anécdota de la infancia de Gauss, en la que su profesor le planteó que hallara la suma de los cien primeros números naturales: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 + 51 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = ¿Cuánto es la suma total? Figura N.° de vértices N.º de diagonales por colores Triángulo 3 0 Cuadrilátero 4 1 + 1 Pentágono 5 2 + 2 + 1 Hexágono Heptágono ... ¿Qué relación existe entre el número de vértices y el número con el que empiezan las sumas? Polígono de 50 lados 50 47 + 46 + 45 + 44 + 43 + ... + 4 + 3 + 2 + 1 En general Polígono convexo de n lados n (n - 3) + (n - 3) + (n - 4) + (n - 5) + (n - 6) + ... + 1 actividad n.° 1 En pareja 92 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes 3. En general: la suma de números consecutivos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = 4. Regresando al punto 1, reduzcan la suma (n - 3) + (n - 3) + (n - 4) + (n - 5) + (n - 6) + ... + 1 5. Expresen la generalización para hallar el número de diagonales de un polígono convexo dependiendo del número de vértices. 6. Ahora respondan la pregunta inicial: ¿cuántas diagonales tendrá un polígono convexo de cincuenta vértices? actividad n.° 2 actividad n.° 3 reflexionen y respondan situaciones problemáticas Expliquen los procesos que han seguido para obtener la relación que permite calcular el número de diagonales de un polígono en función del número de vértices o lados. Resuelvan los problemas 1, 2 y 3 de la página 93 del libro Matemática 5 de Secundaria. En grupo En pareja 95TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS actividad n.° 4 reflexionen y respondan Si se construyera un juego con nueve ranas de cada color, ¿cuántos movimientos mínimos se darían para lograr el objetivo de trasladar las ranas de un color hacia el lugar de las del otro color y viceversa? En grupo actividad n.° 1 1. Completen la tabla y respondan: 2. ¿Cuál es el orden de los movimientos mínimos que se realizan para cambiar las ranas de color gris a las de color rojo en los casos que faltan? Inicien con una rana gris. 3. ¿Cuántos movimientos se realizarán como mínimo para cambiar de ubicación una cantidad cualquiera de ranas ‘n’ en función del número de ranas de cada color? 4. Expresen la generalización del número de movimientos mínimos en función del número de ranas de cada color. En pareja N.° de figura N.° de ranas de cada color Orden del movimiento de las ranas según el color N.º de movimientos mínimos B 1 GRG 111 3 = 4 - 1 = 22 - 1 C 2 GRRGGRRG 1 2 2 2 1 8 = 9 - 1 = 32 - 1 D 3 A 4 . . . . . . n 96 Movilización nacional por la Mejora de los aprendizajes situación 3 Sesión taller matemático Optimizando ganancias en el negocio de muebles SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Una fábrica de muebles produce dos tipos de sillones: Relax y Elegant. La fábrica cuenta con dos secciones: carpintería y tapicería. Para hacer un sillón de tipo Relax, requiere una hora de carpintería y dos de tapicería; mientras que uno de tipo Elegant requiere tres horas de carpintería y una de tapicería. El personal de tapicería trabaja un total de 80 horas y el de carpintería, 90. Las ganancias por las ventas por un Relax o Elegant son, respectivamente, S/.180 y S/.150. Calcular cuántos sillones de cada tipo hay que hacer para maximizar las ganancias. Indicador Diseña modelos de situaciones reales o simuladas mediante sistemas de inecuaciones lineales de dos variables con coeficientes reales. Elabora modelos de situaciones que requieren de optimización mediante el uso de la programación lineal. Ordena datos en esquemas para establecer equivalencias mediante sistemas de inecuaciones lineales. Grafica en el plano cartesiano las regiones que expresan todos los posibles valores que pueden asumir las variables de un sistema de inecuaciones. Resume intervenciones respecto al proceso de resolución de problemas que implican usar métodos de optimización lineal Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran sistemas de inecuaciones lineales con dos variables. Utiliza el sistema de coordenadas cartesianas para resolver problemas que implican sistema de inecuaciones lineales de tres variables. Justifica mediante procedimientos gráficos o algebraicos el uso de métodos de optimización lineal de dos variables para resolver problemas. Contexto Laboral Áreas afines Educación para el Trabajo Conocimiento Introducción a la programación lineal Grado 5.º de Secundaria ¿Cuándo hacerla? Después de resolver sistemas de inecuaciones lineales con dos variables Sirve para: Optimizar situaciones económicas de producciones, transporte, etc. ¿Qué necesitas? Regla Hojas de papel milimetrado Conocimientos previos Inecuaciones lineales con dos variables Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables 97TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS actividad n.° 1 resuelvan el siguiente problema Una fábrica de muebles elabora dos tipos de sillones: Relax y Elegant. La fábrica cuenta con dos secciones: carpintería y tapicería. Hacer un sillón de tipo Relax requiere una hora de carpintería y dos de tapicería; mientras que uno de tipo Elegant necesita tres horas de carpintería y una de tapicería. El personal de tapicería trabaja un total de 80 horas, y el de carpintería, 90. Las ganancias por las ventas por un Relax o Elegant son, respectivamente, S/.180 y S/.150. Calcular cuántos sillones de cada tipo hay que hacer para maximizar las ganancias. 1. ¿De qué trata el problema? 2. ¿Cuáles son las variables que se tienen que considerar para resolver el problema? 3. Utilicen las variables identificadas y formulen la función-objetivo que dependa de estas variables. 4. Completen datos en la siguiente tabla utilizando las variables para representar las horas que demora producir una cantidad de sillones de cada tipo. 5. Escriban las restricciones necesarias mediante inecuaciones. Del tiempo en la carpintería de los dos tipos de sillones: _______________ Del tiempo en la tapicería de los dos tipos de sillones: _______________ Como la cantidad de sillones no es negativa, tenemos: _______________ En pareja N.° de figura Sección de producción Relax Elegant Horas disponibles Carpintería Tapicería