Segundo parcial algebra curso 2023/24, Exámenes de Álgebra Lineal

¡Descarga Segundo parcial algebra curso 2023/24 y más Exámenes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Álgebra y Estadística Examen Evaluación Continua - 13 de Diciembre de 2023 Apellidos....................................................................................... Nombre.......................................... Grupo...................... D.N.I...................... Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4 TOTAL (2 ptos) (3 ptos) (4 ptos) (1 ptos) (2 ptos.) 1. En R4 se considera el conjunto S = {(1, 1,−1, 1), (1, 1, 0, 2), (1, 1, 2, 4)} y sea U el espacio generado por S. a) Halla una base B1 de U contenida en S. b) Encuentra una base ortonormal B2 de U . c) Halla la matriz de cambio de coordenadas de la base B1 a la base B2. d) Determina las coordenadas de u = (3, 3,−7,−1) respecto de B1 y respecto de B2. (3 ptos.) 2. Sea f : R4 → R4 la aplicación lineal que cumple: f  2 1 0 0  =  1 0 1 1  , f  1 1 0 0  =  1 1 0 1  , f  0 0 −1 1  =  0 −1 1 0  , f  0 0 2 −1  =  2 1 1 2  . a) Halla la matriz asociada a f respecto de la base canónica de R4. b) Calcula la dimensión y una base del núcleo y de la imagen de f . c) ¾Es f un isomorsmo? Justica la respuesta. (4 ptos.) 3. Dada la matriz A =  1 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 1 1 1 1 1  ∈ M4×4(R), se pide: a) Calcular los autovalores de A y sus multiplicidades algebraicas. b) Hallar, si es posible, una matriz inversible P ∈ M4×4(R) y una matriz diagonal D ∈ M4×4(R) tales que P−1AP = D. c) Sea ω : R4 → R la forma cuadrática cuya matriz asociada es A. d.1) Clasicar ω, indicando también su rango, su signatura y diciendo si es degenerada o no. d.2) Calcular ω  1 1 1 1  y estudiar si es posible encontrar un vector x ∈ R4 tal que ω(x) < 0. (1 ptos.) 4. Responde razonadamente a las sigientes cuestiones a) Una matriz 4×4 tiene por autovalores −1 y 1, ambos con multiplicidad algebraica igual a dos. ¾Cuál es su rango? b) Sean v1, v2, v3 ∈ R3 tales que rango{v1, v2, v3} = 2. ¾Es siempre posible encontrar v4 ∈ R3 tal que {v1, v2, v4} sea una base de R3?