Semana 1 Algebra lineal, Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga Semana 1 Algebra lineal y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Definición de transformación lineal Sean V y W espacios vectoriales. La función T.V>W se llama transformación lineal de V en W si las dos propiedades siguientes son verdaderas para todo u y v en V y para cualquier escalar c 1. T(u + v) = 7(u) + 7(v) 2. T(cu) = cT7(u) Ejemplo 2: Comprobación de una transformación lineal de R? a R? Demuestre que la función dada en el ejemplo 1 es una transformación lineal de R?a R. Tv, va) = (0, = va, v1 + 2v)) Solución: Para demostrar que la función Tes una transformación lineal es necesario probar que conserva la suma vectorial y la multiplicación escalar. Sean v = (vs, v2) y u = (u,, u2) dos vectores en R? y sea c cualquier número real. Entonces, con las propiedades de suma vectorial y de multiplicación escalar se tiene lo siguiente. 1. Dado que u + v = (4,4) + (y, v)) = (u, + v,, u, + v)), se tiene Tlu + y) = Tlu, + v,. 4, + va) = ((u, + v) — (u, + v)), (u, + v) + 2u, + v))) = ((u, — 49) + (v, — 1), (u, + 24) + (v, + 2v,)) = (u, — 47, 4, + 24)) + (v, — va, v, + 2v,) = Tlu) + 7(v). 2. Dado que cu = c(u,, u,) = (cu, cu,), se tiene T(cu) = Tlcu,, cu>) = (cu, — cuz cu, + 2cu,) clu, — uz, 4, + 2u,) cT(u). Por consiguiente, Tes una transformación lineal. tl  TEOREMA 5.1 Propiedades de las transformaciones lineales Sea T una transformación lineal de V en W, donde u y yv están en V. Entonces, las propiedades siguientes son verdaderas. 1. 7(0) =0 2. T(=v) = Mv) 3. Tlu — v) = T(u) — 7(v) 4. Siv=C¡v, + C7V7 ++ “c+ CV, entonces Tv) = Tlc,v, + 071, + > > + +C,v,) = c¡T(v,) + c¿T(v,) +: + + +<,T(v,). Ejemplo 4: Transformaciones lineales y bases Sea T: R? — R? una transformación lineal tal que T(1, 0, 0) T(0, 1, 0) y 3 T(0, 0, 1) = (0,3, 1). Determine T(2, 3, -2). Solución: Dado que (2, 3, -2) = 2(1, O, 0) + 3(0, 1, 0) — 2(0, O, 1), entonces la propiedad 4 del teorema 5.1 se puede usar para escribir T(2, 3, —2) = 27(1, 0,0) + 37(0, 1, 0) — 27(0, 0, 1) = 2(2, —1, 4) + 3(1. 5, -2) — 2(0, 3, 1) = (7,7, 0). Ejemplo 5: Determinación del kernel de una transformación lineal Encuentre el kernel de la transformación lineal T: R?— R? definida por T(x) = Ax, donde lo =1 -2 a=[_; 2 3) Solución: El kernel de Tes el conjunto de todos los x = (xi, x», Xa) en R* tales que TlX1, X2, Xa) = (0, 0). A partir de esta ecuación se obtiene el siguiente sistema homogéneo. 1-1 291 fo 1 x= 2%3=0 21. 2 a 2 "lol 7% —x +20+3x,=0 43 Al escribir la matriz aumentada de este sistema en forma escalonada reducida se obtiene A 0. 1. 10 X= —M Con el parámetro t = xa se obtiene la familia de soluciones xy 1 1 a |=|=1|=8-1 Xy 1 1 Por tanto, el kernel de Tes ker(T) = ((1, -1, 1): tes un número real) = gen ((1, -1, 1)). (Ver Figura) TEOREMA 5.4 El alcance de Tes un subespacio de W El rango de una transformación lineal 7: V => Wes un subespacio de W. Defini Sea T: V => W una transformación lineal. La dimensión del kernel de 7 se llama nulidad de 7 y se denota como nulidad (7). La dimensión del alcance de Tse deno- mina rango de T y se denota como rango (7). n del rango y la nulidad de una transformación lineal EJEMPLO 8: Determinación del rango y la nulidad de una transformación lineal Encuentre el rango y la nulidad de 7. Sea T: R? — R? una transformación lineal definida por la matriz 1 o -2 A=]|0 1 1 o. 0 0 Demostración: Dado que A está en forma escalonada por renglones y contiene dos renglones diferentes de cero, su rango es igual a 2. Así el rango de Tes 2 y Nulidad(T) = dim(dominio) — rango=3-2=1 TEOREMA 5.6 Transformaciones lineales uno a uno Sea T: V — W una transformación lineal. Entonces Tes uno a uno si y sólo si ker(7) = (0). TEOREMA 5.7 Transformaciones lineales sobre Sea T: V—= W una transformación lineal, donde W es de dimensión finita. Entonces Tes sobre si y sólo si el rango de Tes igual a la dimensión de W. TEOREMA 5.8 Transformaciones lineales uno a uno y sobre Sea T: V => W una transformación lineal en la que tanto el espacio vectorial Y como W son de dimensión 1. Entonces Tes uno a uno si y sólo si es sobre. EJEMPLO 11: Resumen de varios resultados La transformación lineal T: R” — R” está definida por T(x) = Ax. Encuentre la nulidad y el rango de T y determine si T es uno a uno, sobre o ninguna de las dos. 1.2.0 1 2 aA=|0 1 1 bA=|0 1 0.0.1 0.0 ii 2 e a=|; : : da. A=|[0 11 0.0.0 Solución: Observe que cada matriz ya está en forma escalonada, de modo que el rango puede determinarse por inspección. Dim(rango) Dim(kernel) T:R"=>R" Dim(dominio) Rango(T) Nulidad(T) Unoauno Sobre a TIR=ZR> 3 3 0 Sí Sí b. T:R2>R? 2 2 0 Sí No e TIRI=R? 3 2 1 No Sí d. TERR 3 2 1 No No Definición de isomorfismo Una transformación lineal T. V > W que es uno a uno y sobre se denomina isomor- fismo. Además, si V y W son espacios vectoriales tales que existen un isomorfismo de V a W, entonces se dice que V y W son isomorfos entre sí. TEOREMIA 5.9 Espacios isomorfos y dimensión Dos espacios vectoriales de dimensión finita, V y W, son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.