singularidades, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga singularidades y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! CAPÍTULO 8 Ceros y singularidades. Series de Laurent. 8.1 INTRODUCCIÓN Los polinomios son el ejemplo extremo de la importancia que puede llegar a tener el conocimiento de los ceros de una función en la determinación y el manejo de la misma. Sin llegar a tanto, para las funciones holomorfas el estudio de sus ceros es también un aspecto importante de su tratamiento, y en la primera sección de este capı́tulo recogeremos información ya conocida (para funciones analı́ticas, que como sabemos coinciden con las holomorfas), añadiendo algunas propiedades sencillas que no agotan el tema: especialmente para funciones enteras, quedan pen- dientes resultados importantes, algunos de los cuales se tratarán el curso próximo. Estamos constatando a lo largo de todo el curso que las funciones holomorfas se comportan maravillosamente si las comparamos con las funciones a las que nos hemos enfrentado en cursos anteriores. ¿Podemos seguir sacando partido de nues- tros métodos actuales si permitimos que las funciones presenten alguna ‘anomalı́a’ en algunos puntos? ¿Qué se mantiene y cuánto se pierde? Contestar a esta pregunta es el propósito del estudio de los puntos singulares aislados de las funciones holo- morfas. Nos limitaremos primero a establecer una clasificación de los mismos en tres tipos, viendo de qué manera tan distinta afecta al comportamiento local de la función la presencia de una singularidad aislada de cada uno de estos tipos. Un ejemplo de funciones que tienen solamente singularidades aisladas en un abierto son los cocientes de funciones holomorfas (supuesto que el denominador no se anule en ninguna componente conexa). Este es un caso particular impor- tante de función meromorfa, concepto que introducimos en la siguiente sección, examinando de momento únicamente sus propiedades algebraicas. Estudio aparte merece el punto del infinito. Para las funciones holomorfas que tienen una singularidad aislada en ∞, averiguaremos cómo su comportamiento en este punto puede en algunos casos suministrar una información adicional intere- sante sobre la función. Por último, en la parte final de este capı́tulo, veremos un importante teorema de Laurent que generaliza el desarrollo en serie de Taylor de una función holomorfa en un disco, probando que si una función es holomorfa en una corona circular (en 112 Ceros y singularidades. Series de Laurent. 113 particular, en un disco privado de su centro), la función se puede representar como suma de una serie de Laurent, que es una serie de potencias con exponentes enteros cualesquiera y no sólo con exponentes enteros no negativos, como son las series de Taylor. Comprobaremos que las series de Laurent permiten ası́ mismo caracterizar los diferentes tipos de singularidades aisladas, y concluiremos con unos ejercicios que muestran cómo hallar desarrollos de Laurent de algunas funciones concretas, un buen banco de pruebas para los recursos adquiridos hasta el momento. Referencias básicas: — Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). — Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968). — Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). 8.2 CEROS DE UNA FUNCIÓN HOLOMORFA Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser idénticamente nulo. La situación es algo menos drástica cuando pasamos a funciones holomorfas: conocemos fun- ciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. Esto no significa que no haya restricciones severas sobre los posibles ceros de una función holomorfa no nula. Una vez que hemos probado la identidad entre las funciones holomorfas y las funciones analı́ticas, el principio de prolongación analı́tica nos informa de que el conjunto de ceros de una función holomorfa no nula, si su do- minio es conexo, no puede poseer puntos de acumulación dentro del dominio. Esto no significa que no pueda haber puntos de acumulación de ceros: por ejemplo, la función sen(π/z) es holomorfa en C \ {0} y se anula en los puntos 1/k, k ∈ Z (en este caso 0 es un punto de acumulación de ceros); lo que sucede es que, si el conjunto de ceros tiene puntos de acumulación, éstos deberán estar en la frontera del dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho. Proposición 8.1. Sea  una región de C y f ∈ H() no idénticamente nula. Denotemos por Z f el conjunto de ceros de f , es decir, Z f = f −1(0). Entonces (1) Z f es un conjunto discreto. (2) Para cualquier conjunto compacto K ⊆ , Z f ∩ K es finito o vacı́o. (3) Z f es un conjunto contable (finito o numerable). Demostración. (1) Que Z f es un conjunto discreto significa que para cada punto a de Z f se puede encontrar un r > 0 tal que z /∈ Z f si 0 < |z − a| < r , o lo que es igual, que ningún punto de Z f es punto de acumulación de Z f . 116 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Proposición 8.5. Sea  un abierto no vacı́o de C, a ∈  y f ∈ H( \ {a}). Entonces (1) Si a es una singularidad evitable de f , la función f̃ definida por f̃ (z) = { f (z) si z ∈  \ {a} limz→a f (z) si z = a es holomorfa en . Recı́procamente, si f admite una extensión holomorfa en , tiene en a una singularidad evitable. (2) Si para algún r > 0 la función f se mantiene acotada en D∗(a; r) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r}, entonces f tiene una singularidad evitable en f . Demostración. (1) f̃ es holomorfa en  \ {a} y continua en , luego holomorfa en . El recı́proco es obvio. (2) Ya se probó que, en estas condiciones, f admite una extensión holomorfa en D(a; r). La primera parte de la proposición anterior justifica el nombre de singularidad evitable. Nótese que si f tiene en a una singularidad evitable, o bien f no está definida en a o bien f no es continua en a. Definición 8.6. (Orden de un polo). Sea a un polo de una función f . Entonces la función 1 f tiene en a una singularidad evitable y lı́mite nulo, de manera que para algún δ > 0 la función h(z) = { 1/ f (z) si 0 < |z − a| < δ 0 si z = a es holomorfa en D(a; δ). Si h tiene en a un cero de orden k, diremos que f tiene en a un polo de orden k o que a es un un polo de orden k de f . Los polos de orden 1 se llaman polos simples; los de orden mayor que 1, polos múltiples (dobles, triples, . . . ) Proposición 8.7. Sea  un abierto no vacı́o de C, a ∈  y f ∈ H( \ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f tiene en a un polo de orden k; (2) existe limz→a(z − a)k f (z) ∈ C \ {0}, y en consecuencia { limz→a(z − a)n f (z) = ∞ si 0 ≤ n < k, limz→a(z − a)n f (z) = 0 si n > k; Ceros y singularidades. Series de Laurent. 117 (3) existe una función g ∈ H() tal que g(a) = 0 y f (z) = g(z) (z − a)k para cada z ∈  \ {a}; (4) existen coeficientes Aj (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ {0}), unı́vocamente deter- minados, con Ak = 0, y un r > 0, tales que f (z) = Ak (z − a)k + · · · + A2 (z − a)2 + A1 z − a + ∞∑ n=0 an (z − a)n siempre que 0 < |z − a| < r . (La función racional S( f ; a)(z) = Ak (z − a)k +· · ·+ A2 (z − a)2 + A1 z − a se denomina parte singular o parte principal de f en a.) Demostración. (1) ⇒ (2) Yendo a la definición, h(z) = (z − a)k g(z) para alguna función g holomorfa en D(a; δ) con g(a) = 0, y limz→a(z − a)k f (z) = 1/g(a). (2) ⇒ (1) Si h es como en la definición, resulta h(z) = (z − a)k g(z) para g dada por g(z) =    h(z) (z − a)k = 1 (z − a)k f (z) si 0 < |z − a| < δ 1/ ( limz→a(z − a)k f (z) ) si z = a, que es holomorfa en D(a; δ) y no nula en a. (2) ⇒ (3) La función dada por (z − a)k f (z) tiene una singularidad evitable en a. (3) ⇒ (4) Para algún r > 0 puede ponerse g(z) = ∞∑ n=0 cn (z − a)n, |z − a| < r, luego f (z) = c0 (z − a)k + · · · + ck−2 (z − a)2 + ck−1 z − a + ∞∑ n=0 ck+n (z − a)n siempre que 0 < |z − a| < r . Puesto que g está unı́vocamente determinada por f , hay unicidad para los coeficientes. (4) ⇒ (2) Evidente. Observación. Según el resultado anterior, la función f − S( f ; a) tiene en a una singularidad evitable. Además, el orden de a como polo de f es el menor valor de n tal que (z − a)n f (z) tiene una singularidad evitable en a. 118 Ceros y singularidades. Series de Laurent. NOTA. Cuando f es una función racional, sólo tiene en C un número finito de singularidades que son polos. Separando repetidamente la parte singular en cada uno de ellos, encontramos la descomposición de f en fracciones simples (v. detalles en Conway, ob. cit., pp. 105–106.) Finalmente, para singularidades esenciales, tenemos la siguiente caracteri- zación en términos de los valores de la función: Teorema 8.8. (Teorema de Casorati-Weierstrass). Sea  un abierto no vacı́o de C, a ∈  y f ∈ H( \ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) a es una singularidad esencial de f . (2) f (U ) = C para todo entorno reducido U ⊆  \ {a} de a. (3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (zn) en  \ {a} tal que zn → a y f (zn) → w. Demostración. (1) ⇒ (2) En caso contrario existirı́an r > 0, δ > 0 y w ∈ C tales que | f (z)−w| > δ para todo z ∈ D∗(a; r). Entonces, la función g dada por g(z) = 1 f (z) − w, z ∈ D∗(a; r), es holomofa y acotada en D∗(a; r), con lo cual puede extenderse a una función g̃ holomorfa en D(a; r). Si fuese g̃(a) = 0, se deduce que f estarı́a acotada en un entorno de a, y en consecuencia a serı́a una singularidad evitable de f . Pero si g̃ tiene en a un cero de orden k ≥ 1, podrı́amos escribir g̃(z) = (z − a)k g1(z), z ∈ D(a; r), para una función g1 holomorfa en D(a; r) con g1(a) = 0; por tanto lim z→a ( (z − a)k f (z)) = lim z→a ( (z − a)k w + 1 g1(z) ) = 1 g1(a) ∈ C \ {0}, con lo cual a serı́a un polo de orden k de f . (2) ⇒ (3) Evidente. (3) ⇒ (1) Es claro que en esta hipótesis no existe limz→a f (z), ni finito ni infinito. Se sabe mucho más: si a es una singularidad esencial de f , en cualquier entorno reducido de a la función f alcanza todos los valores complejos, excepto uno a lo más. Este es el llamado ‘teorema grande de Picard’, ver Rudin, ob. cit., pp. 376–377. (Más fácil de probar es el ‘teorema pequeño de Picard’, que establece que cada función entera no constante alcanza cualquier valor complejo, excepto uno a lo más. La función exponencial ilustra que este es el mejor resultado esperable.) Las demostraciones de estos teoremas requieren herramientas más poderosas que las que disponemos por ahora. Ceros y singularidades. Series de Laurent. 121 Como consecuencia de las definiciones y de los resultados previos sobre polos, podemos enunciar: Proposición 8.15. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una función f . Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) f tiene en ∞ un polo de orden k; (2) existe limz→∞ f (z) zk ∈ C \ {0}; (3) existen un R > 0 y una función g holomorfa en AR = {z ∈ C : |z| > R} con limz→∞ g(z) ∈ C \ {0} y que verifica f (z) = zk g(z) para cada z ∈ AR. (4) existen coeficientes Aj (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ {0}), con Ak = 0, unı́vocamente determinados, y un R > 0, tales que f (z) = Ak zk + · · · + A1 z + ∞∑ n=0 an zn siempre que |z| > R. (El polinomio Ak zk + · · · + A1 z se denomina parte singular o parte principal de f en ∞.) Teorema 8.16. (de Casorati-Weierstrass para singularidad infinita). Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para una función f . Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) ∞ es una singularidad esencial de f . (2) f (U ) = C para todo entorno reducido U de ∞. (3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (zn) en el dominio de f tal que zn → ∞ y f (zn) → w. Es conveniente extender el concepto de función meromorfa a funciones defini- das en abiertos del plano complejo ampliado C∞ que contengan al punto del infinito. Definición 8.17. Sea  un abierto de C tal que C\D(0; R) ⊆  para algún R > 0, es decir, tal que ∞ =  ∪ {∞} sea un abierto en C∞. Diremos que f :  → C es meromorfa en ∞, en sı́mbolos f ∈ M(∞), si f es meromorfa en  y tiene en ∞ una singularidad evitable o un polo. Proposición 8.18. (1) Si f es una función entera y meromorfa en C∞, entonces f es un polinomio. (2) f ∈ M(C∞) si y sólo si f es una función racional. 122 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Demostración. (1) Si ∞ es una singularidad evitable, f serı́a constante por el teorema de Liouville. Supongamos, pues, que es un polo de orden k. Entonces lim z→∞ f (z) zk ∈ C \ {0} y por tanto existen R, M > 0 tales que | f (z)| ≤ M |z|k, |z| > R; en consecuencia (generalización del teorema de Liouville) f es un polinomio de grado ≤ k. (2) Observemos primero que si f ∈ M(C∞), sólo puede tener un número finito de polos en C para que ∞ sea una singularidad aislada. Sean, pues, a1, . . . , an los polos finitos de f y k1, . . . , kn sus respectivos órdenes y sea ∞ un polo de orden k0 para f . Se sigue que la función (z − a1)k1 · · · (z − an)kn f (z) se puede extender a una función g holomorfa en C (es decir, entera) que tendrá en ∞ un polo de orden k = k0 + k1 +· · ·+ kn , con lo cual g es un polinomio de grado ≤ k según acabamos de probar, luego f (z) = g(z) (z − a1)k1 · · · (z − an)kn es una función racional. Corolario 8.19. Si f es una función entera, o es constante o f (C) = C. Demostración. Si f es entera, ∞ es evidentemente una singularidad aislada para f . — Si ∞ es evitable, de modo que existe limz→∞ f (z) ∈ C, f es constante por el teorema de Liouville. — Si ∞ es un polo, f es un polinomio (resultado anterior) y f (C) = C. — Si ∞ es una singularidad esencial, f (C) = C por el teorema de Casorati- Weierstrass. NOTA. De hecho, como ya hemos comentado, si f es una función entera no constante es cierto que su imagen f (C) es todo C salvo un punto a lo más. Ceros y singularidades. Series de Laurent. 123 8.6 SERIES DE LAURENT Fijemos la notación D(a; r, R) para la corona {z : r < |z − a| < R}, donde 0 ≤ r < R ≤ +∞. Lema 8.20. Sea (an) una sucesión de números complejos y r = lim sup n √|an|. Entonces (1) la serie ∞∑ n=1 an(z − a)−n es absolutamente convergente en cada punto de la corona D(a; r, +∞) y converge uniformemente en los subconjuntos com- pactos de D(a; r, +∞); (2) en el disco D(a; r) la serie no converge (en a ni siquiera está definida); (3) la función f definida en D(a; r, +∞) por f (z) = ∞∑ n=1 an(z − a)−n es holomorfa. Demostración. Sabemos que la serie ∞∑ n=1 an w n converge absolutamente en cada w ∈ D(0; 1/r), no converge si |w| > 1/r , y que define en D(0; 1/r) una función holomorfa g(w). Tomando w = 1/(z−a), se deducen las tesis del enunciado salvo la convergencia uniforme sobre compactos de D(a; r, +∞). Pero si K es un sub- conjunto compacto de D(a; r, +∞), existirá un R > r tal que K ⊆ D(a; R, +∞) (¿por qué?), de manera que para todo z ∈ K será ∞∑ n=1 ∣∣an(z − a)−n ∣∣ ≤ ∞∑ n=1 |an| R−n < +∞, luego la serie converge uniformemente en K por el criterio M de Weierstrass. NOTA. Si r = +∞, la serie no converge en ningún punto. Si r = 0, converge en C \ {a}. Definición 8.21. (Series doblemente infinitas). Dada una sucesión (zn)n∈Z de números complejos, si las series ∞∑ n=0 zn y ∞∑ n=1 z−n convergen, diremos que la serie ∞∑ n=−∞ zn converge, en cuyo caso su suma es el número complejo ∞∑ n=−∞ zn = ∞∑ n=0 zn + ∞∑ n=1 z−n. 126 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Demostración. (Cf. Conway, ob. cit., pp. 107–108.) Unicidad. Si existe la representación de (1), D(a; R1, R2) estará contenida en la corona de convergencia de la serie, y ésta convergerá uniformemente en cada compacto contenido en D(a; R1, R2). Si γ = ∂ D(a; r) con R1 < r < R2, sop γ es uno de tales compactos, luego podremos integrar la serie término a término para obtener ∫ γ f (z) dz = ∞∑ n=−∞ an ∫ γ (z − a)n dz = 2π i a−1, y, en general, para cada n ∈ Z, de modo similar, ∫ γ f (z) (z − a)n+1 dz = ∞∑ k=−∞ ak ∫ γ (z − a)k−n−1 dz = 2π i an, luego los coeficientes del desarrollo están unı́vocamente determinados por la suma de la serie. Existencia. Comencemos por señalar que si R1 < r1 < r2 < R2 y γ1, γ2 son, respectivamente, las circunferencias de centro a y radios r1, r2 (orientadas positiva- mente), entonces γ1 y γ2 son homólogas respecto de D(a; R1, R2) (comprobarlo). Por el teorema homológico de Cauchy se tiene, pues, que para toda función g holomorfa en D(a; R1, R2) es ∫ γ1 g(w) dw = ∫ γ2 g(w) dw. En particular, tomando g(w) = 1 2π i f (w) (w − a)n+1 , n ∈ Z, se deduce que 1 2π i ∫ γ1 f (w) (w − a)n+1 dw = 1 2π i ∫ γ2 f (w) (w − a)n+1 dw da el mismo valor para cualquier circunferencia de centro a interior a la corona, es un complejo independiente de cuál sea el radio que se considere. Definamos, pues, para cada n ∈ Z, an = 1 2π i ∫ γ f (w) (w − a)n+1 dw, Ceros y singularidades. Series de Laurent. 127 donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radio estrictamente mayor que R1 y estrictamente menor que R2. Comprobaremos a continuación que para todo z ∈ D(a; R1, R2) la serie ∞∑ n=−∞ an(z − a)n (i) es convergente y (ii) tiene por suma f (z). Esto basta para demostrar el teorema (¿POR QUÉ?) Sea, pues, z ∈ D(a; R1, R2). Elegimos r , s de manera que R1 < r < |z − a| < s < R2 y denotamos con γr , γs las circunferencias de centro a y radios r , s orientadas positivamente. Poniendo Ms = max{| f (w)| : |w − a| = s}, como para todo w tal que |w − a| = s (> |z − a|) y para todo entero n ≥ 0 es ∣∣∣∣ f (w) (z − a)n (w − a)n+1 ∣∣∣∣ ≤ Ms |z − a|n sn+1 = Ms s ( |z − a| s )n , aplicando el criterio M de Weierstrass y la posibilidad de integrar término a término las series uniformemente convergentes resulta 1 2π i ∫ γs f (w) w − z dw = 1 2π i ∫ γs ( ∞∑ n=0 f (w) (z − a)n (w − a)n+1 ) dw = ∞∑ n=0 ( 1 2π i ∫ γs f (w) (w − a)n+1 dw ) (z − a)n = ∞∑ n=0 an (z − a)n. De manera similar, si Mr = max{| f (w)| : |w −a| = r} y w es tal que |w −a| = r (< |z − a|), de ∣∣∣∣ f (w) (w − a)n−1 (z − a)n ∣∣∣∣ ≤ Mr rn−1 |z − a|n = Mr |z − a| ( r |z − a| )n−1 , n ∈ N, se sigue análogamente 1 2π i ∫ γr f (w) z − w dw = 1 2π i ∫ γr ( ∞∑ n=1 f (w) (w − a)n−1 (z − a)n ) dw = ∞∑ n=1 ( 1 2π i ∫ γr f (w) (w − a)n−1 dw ) (z − a)−n = ∞∑ n=1 a−n (z − a)−n. 128 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Hemos probado, por tanto, que la serie converge con suma ∞∑ n=−∞ an(z − a)n = 1 2π i ∫ γs f (w) w − z dw + 1 2π i ∫ γr f (w) z − w dw, y ası́ tenemos (i). Pero además  = [γs, −γr ] es un ciclo homólogo a 0 respecto de D(a; R1, R2) para el que Ind(z) = 1 (comprobarlo), y aplicando la fórmula de Cauchy, f (z) = 1 2π i ∫  f (w) w − z dw = 1 2π i ∫ γs f (w) w − z dw − 1 2π i ∫ γr f (w) w − z dw = ∞∑ n=−∞ an(z − a)n, lo que demuestra (ii). Disponemos ahora de otro útil para analizar las singularidades aisladas. Si a es una singularidad aislada de una función f , ésta será holomorfa en alguna corona D∗(a; R) = D(a; 0, R), y será por tanto desarrollable en serie de Laurent en dicho conjunto. El examen de los coeficientes nulos permite decidir el tipo de singularidad que presenta f en a. Corolario 8.25. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una función f , holomorfa en D∗(a; R) = D(a; 0, R) para algún R > 0, y sea f (z) = ∞∑ n=−∞ an(z − a)n su desarrollo en serie de Laurent en D(a; 0, R). Entonces: (1) a es una singularidad evitable si y sólo si an = 0 para todo n < 0; (2) a es un polo de orden k si y sólo si a−k = 0 y an = 0 para todo n < −k; (3) a es una singularidad esencial si y sólo si an = 0 para infinitos valores negativos de n. Demostración. Conway, ob. cit., Cor. 1.18, p. 109. En el punto del infinito ‘se invierten los términos’, como cabı́a esperar. Si una función f tiene una singularidad aislada en ∞, será holomorfa en D(0; R, +∞) para algún R > 0, y según el teorema de Laurent f (z) = ∞∑ n=−∞ an z n, z ∈ D(0; R, +∞). Denominaremos a esta serie el desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito. Ceros y singularidades. Series de Laurent. 131 Respuesta. A la vista del ejercicio anterior, es fácil probar que f será holomorfa justamente en  = C \ ([−i, i] ∪ {2}). Además, sabemos que (a) Log z − i z + i = ∞∑ n=0 (−i)n − i n n 1 zn si |z| > 1; (b) 1 z − 2 = − ∞∑ n=0 zn 2n+1 si |z| < 2; (c) 1 z − 2 = ∞∑ n=0 2n zn+1 si |z| > 2. Multiplicando (a) por (b) se obtiene, siempre que 1 < |z| < 2: 1 z − 2 Log z − i z + i = − ∞∑ k=−∞   ∑ −n+m=k n≥1,m≥0 (−i)n − i n n 1 2m+1   zk . Cuando k ≥ −1, el coeficiente de zk resulta ser ak = ∞∑ n=1 (−i)n − i n n 1 2k+n+1 = 1 2k+1 ∞∑ n=1 (−i)n − i n n 1 2n = 1 2k+1 Log 2 − i 2 + i = − i 2k Arc tg 1 2 , mientras que el coeficiente de 1 zk si k ≥ 2 es a−k = 1 2k+1 ∞∑ n=k (−i)n − i n n 1 2n , con lo cual, siempre que n ≥ 1, a−2n = 22k i ( Arc tg 1 2 − k−1∑ m=0 (−1)m (2m + 1)22m+1 ) , a−(2n+1) = 22k+1 i ( Arc tg 1 2 − k−1∑ m=0 (−1)m (2m + 1)22m+1 ) . Para |z| > 2, multiplicando (a) por (c) llegamos a f (z) = ∑∞n=2 bn z−n , donde bn = n−1∑ k=1 (−i)k − i k k 2n−k−1 = 2n−1 n−1∑ k=1 (−i)k − i k k 2−k = 2n−1 n−1∑ k=1 (−i/2)k − (i/2)k k . 132 Ceros y singularidades. Series de Laurent. Otra respuesta (mediante integración). Sea, como antes,  = C \ ([−i, i] ∪{2}), y sean    f (z) = ∞∑ n=−∞ an z n, 1 < |z| < 2; f (z) = ∞∑ n=−∞ cn z n, |z| > 2, los correspondientes desarrollos de Laurent de f en las coronas indicadas. Poniendo γr = ∂ D(0; r) para 1 < r < 2; γε = ∂ D(2; ε) para 0 < ε < 2; γR = ∂ D(0; R) para R > 2, es [γr ] ∼ [γR, −γε] (), luego aplicando suce- sivamente el teorema de Laurent y el teorema homológico de Cauchy podemos deducir an = 1 2π i ∫ γr f (w) wn+1 dw = 1 2π i ∫ γR f (w) wn+1 dw − 1 2π i ∫ γε f (w) wn+1 dw = cn − 1 2π i ∫ γε f (w) wn+1 dw. Pero la función g(w) = 1 wn+1 Log w − i w + i es holomorfa en D(2; 2), luego aplicando la fórmula de Cauchy en discos resulta 1 2π i ∫ γε f (w) wn+1 dw = − 1 2π i ∫ γε 1 wn+1 Log w − i w + i w − 2 dw = 1 2π i ∫ γε g(w) w − 2 dw = g(2) = 1 2n+1 Log 2 − i 2 + i = − i 2n Arc tg 1 2 . Por otra parte, como lim z→∞ z f (z) = 0, siempre que n ≥ −1 se sigue cn = lim R→+∞ 1 2π i ∫ γR f (w) wn+1 dw = 0 (sin más que usar la acotación habitual de la integral). Para n ≤ −2, sea k = −n Ceros y singularidades. Series de Laurent. 133 (con lo cual k ≥ 2) y bk = c−k = cn . Entonces bk = 1 2π i ∫ γR wk−1 f (w) dw = 1 2π i ∫ γR wk−1 w − 2 Log w − i w + i dw = 1 2π i ∫ γR ( wk−1 − 2k−1 w − 2 + 2k−1 w − 2 ) Log w − i w + i dw = 1 2π i ∫ γR ( wk−2 + 2wk−3 + · · · + 2k−3w + 2k−2) Log w − i w + i dw + 2k−1 · 1 2π i ∫ γR 1 w − 2 Log w − i w + i dw = 1 2π i ∫ γR ( wk−2 + 2wk−3 + · · · + 2k−3w + 2k−2) Log w − i w + i dw + 2k−1 · c−1 = 1 2π i ∫ γR ( wk−2 + 2wk−3 + · · · + 2k−3w + 2k−2) Log w − i w + i dw. El polinomio del integrando es la derivada del polinomio P(w) = 1 k − 1 w k−1 + 2 k − 2 w k−2 + · · · + 2 k−3 2 w2 + 2k−2 w, que es obviamente holomorfo en todo C, luego integrando por partes y aplicando la fórmula de Cauchy llegamos a bk = 1 2π i ∫ γR P(w) ( 1 w − i − 1 w + i ) dw = P(i) − P(−i) = k−1∑ m=1 2m−1 k − m ( i k−m − (−i)k−m) , que puede reescribirse en la forma vista anteriormente.