Taller algebra lineal, Ejercicios de Álgebra Lineal

¡Descarga Taller algebra lineal y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Pf.Martha C. Moreno ALGEBRA LINEAL Taller 4 Espacios Vectoriales Octubre de 2013 I. En los siguientes ejercicios se da un conjunto de elementos, junto con ope- raciones de adición y multiplicación por escalar. Determinar cuáles son espacios vectoriales bajo las operaciones dadas. Para aquellos que no sean espacios vectoriales, enumerar los axiomas que no se cumplen. 1. El conjunto de los numeros reales positivos con las operaciones x ⊕ y = xy y k ⊙ x = xk 2. En R2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente por: (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) α ⊙ (x, y) = (α+ αx− 1, α+ αy − 1) 3. En R2, con las siguientes operaciones (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2 + 1) k ⊙ (x, y) = (kx, ky + k − 1) II. Determinar si el conjunto W con las operaciones usuales es un subespacio del espacio vectorial V. 1. W = { [ a b c d ] | ad = 0}, V=M2×2 2. W = {S ∈ Mn×n | S es simétrica}, V=Mn×n. 3. W = {p(x) ∈ P4 | p(0) = 0},V = P4. 4. W = {−→v ∈ Rn | −→v es ortogonal al vector fijo−→u }, V=Rn. 5. W = {A ∈ Mn×n | det(A) = 1}, V=Mn×n. 6. W = {A ∈ M2×2 | A2 = A}, V= M2×2. 7. W = {A ∈ Mn×n | tr(A) = 0}, V= Mn×n 8. W = {X ∈ Rm |AX = O , A es una matriz fija de tamaño n×m}, V=Rm. 1 III. Determine si el vector dado está en el espacio generado por los vectores dados: 1. (1,−2, 2, 3); {(1, 0, 1, 0), (1, 0,−2, 1), (2, 0, 1, 2)}. 2. 2t2 + t+ 3 ; {t2 + t− 4, t− 8, 3t2 + 5} 3. [ 1 3 0 −1 ] ; {[ 0 1 −3 1 ] , [ 1 0 0 −1 ] , [ 2 3 5 0 ] , [ 4 1 0 0 ]} IV. Diga si el conjunto dado genera el espacio vectorial V: 1. {(2, 2, 2), (0, 0, 3), (0, 1, 1)}; V= R3 2. {2t2 − t+ 1, t+ 3, 4t2 − t+ 5, 2t2 − 2t− 2}; V= P2 3. {[ 3 2 4 1 ] , [ 2 0 1 0 ] , [ 3 −2 0 1 ]} ; V= M2×2 V. Clasifique los siguientes conjuntos como L.I. o L.D. 1. { ( −1 2 1 3 ) , ( 1 0 −1 1 ) , ( 1 2 −1 5 ) } 2. {(2, 2, 2), (0, 0, 3), (0, 1, 1)} 3. {4t2 − t, 2t2 + 6t+ 3,−4t2 + 10t+ 2} VI. Resolver. 1. Para qué valores de x y y el vector (2, x, 3,−y) ∈ gen{(2, 3, 1,−5), (0, 2,−1, 3)} 2. Para qué valores de a los siguientes vectores forman una base de R3 {(a2, 0, 1), (0, a, 2), (1, 0, 1)} 3. Demostrar que para cualquier terna de vectores u, v, w, los vectores u− v, v − w, w − u forman un conjunto L.D. VII. Demuestre que el conjunto B es una base del espacio vectorial V y encuen- tre el vector de coordenadas de u con respecto a la base B ([u]B) 1. B = {(3, 2, 2), (−1, 2, 1), (0, 1, 0)} V = R3, u = (5, 3, 1) 2. B = {t2 + t, t− 1, t+ 1} V = P2, u = 3t2 − t+ 2 3. B = {[ 1 1 0 0 ] , [ 0 0 1 1 ] , [ 1 0 0 1 ] , [ 0 1 1 1 ]} V= M2×2, u = ( 3 −1 4 2 ) VIII. Determine una base y la dimensión de los subespacios W dados: 1. W = {(x, y, z)| 3x− 5y + 2z = 0} 2. W = {ax2 + bx+ c| c = 2a− 3b} 3. W = { X ∈ M2×2 | [ 1 1 0 0 ] X = X [ 1 1 0 0 ]} 4. W = L ∩ M , donde L = {p(x) ∈ P4 : p(1) = 0} y M = {p(x) ∈ P4 : p(0) = 0} 2