Análisis de Casos de Éxito en el Desarrollo de Software, Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga Análisis de Casos de Éxito en el Desarrollo de Software y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity! Lara aaa UNIVERSITAT DE BARCELONA. FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA Y ORGANIZACIÓN DE EMPRESAS NUEVAS EXTENSIONES A LOS OPERADORES OWA Y SU APLICACIÓN EN LOS MÉTODOS DE DECISIÓN Doctorando José M. Merigó Lindahl Directoras de la Tesis Doctoral: Montserrat Casanovas Ramón Anna M. Gil Lafuente Doctorado en Estudios Empresariales Marco estratégico de la empresa Bienio: 2005-2007 Diciembre 2008 A mi familia. Martínez López de la Universidad de Jaén, a Enrique Herrera Viedma y a Francisco Herrera Trigueros de la Universidad de Granada, a Kurt Engemann del lona College de Nueva York (Estados Unidos), a Luigi Troiano de la Universidad de Sannio (Italia), a Jordi Nin del Insituto de Investigación en Inteligencia Artificial del CSIC en Barcelona, a Radko Mesiar de la Universidad de Tecnología de Eslovaquia y a José Luis García Lapresta de la Universidad de Valladolid. Finalmente, quiero dar las gracias a mi familia y a mis amigos por todo el apoyo que me han dado a lo largo de todo este tiempo que he estado elaborando la Tesis Doctoral. En especial, quiero dar las gracias a mis padres José M. y Bárbara, y a mi hemana Carolina por todo el apoyo que me han dado. Por último, no quisiera finalizar los agradecimientos sin decir que todas las personas que en algún momento dado me han ayudado, espero que hayan sido incluidas en alguno de los agradecimientos pero sino, simplemente decir: Muchas Gracias. ÍNDICE SINTÉTICO 1. Introducción ....oooomomnsrenonoseosnconsrerorenenoonccrr cerco rcrroroonornss 20 2. Estado de la cuestión... ... 44 3. Introducción a la teoría de la decisión en la incertidumbre ........... 68 4. Introducción a los operadores OWA ..occooconoononocrocooncncraccoconocnconos 146 5. Generalizaciones procedentes de la noción de media ......oo.oooooooo 252 6. Operadores OWA en la noción de distancia ..... ..366 7. Operadores OWA en los índices de selección ....ooomoomoommomms 416 8. Operadores OWA en la noción de media ponderada .......oomomomooo 450 9. Operadores OWA en la noción de probabilidad..........o.ooomoooooooo 524 10. Unificación entre operadores OWA, medias ponderadas y probabilidades: POWA WA OperatoF ..oooommmmms*”¡*s***s”s. 568 11. Aplicabilidad de los operadores OWA .ococononoonononnononocicnncoconoosos 644 12. Conclusiones .... .. 694 13. Bibliografía ....oooooommsmmss. 716 14. Anexo: Publicaciones sobre las aportaciones ....omooososomoo 740 4. Introducción a los operadores OWA vocococcnononconooonononcnocorosos 1A6 4.1. Introducción al modelo original de Yager (1988) 4.1.1. Introducción ...occccocinnnnoninnnnnconoconncno ocn ono ronin raro crnnanoos 4.1.2, Tipos de operadores OWA.. 4.1.3. Ejemplo ilustrativo: Selección de inve: 4.2. Extensiones a los operadores OWA 4.2.1. Induced OWA operator. 4.2.1.1. Introducción 4.2.1.2. Tipos de IOWA operators 4.2.1.3. Ejemplo ilustrativo: Selec 4.2.2. Linguistic OWA operator ............. 4.2.2.1. Introducción al modelo de Herrera et al. (1995) . 4.2.2.2. Introducción al modelo de Herrera y Martínez (2000a) 4.2.2.3. Introducción al modelo de Xu (2004a) 4.2.2.4. Tipos de LOWA operators. 4.2.2.4. Ejemplo ilustrativo: Selecci 4.2.3. Heavy OWA operator 4.2.3.1. Introducción........ 4.2.3.2. Tipos de HOWA operato 4.2.4. Hybrid Averaging . 4.2.4.1. Introducción... 4.2.4.2, Tipos de HA operators ... 4.2.4.3. Ejemplo ilustrativo: Selección de inmovilizad 4.2.5. Uncertain OWA operator ....... 4.2.5.1. Introducción................ 4.2.5.2. Tipos de UOWA operato 4.2.5.3. Ejemplo ilustrativo: Selección de 4.2.6. Fuzzy OWA operator 4.2.6.1. Introducción... 4.2.6.2. Tipos de FOWA operators. 4.2.6.3. Ejemplo ilustrativo: Selección de deporti 4.2.7. Otras extensiones de nivel 1 ..... 4.3. Extensiones de nivel 2 ............ 4.3.1. Induced linguistic OWA operator. 4.3.2. Induced 2-tuple OWA operator 4.3.3. Induced heavy OWA operator 4.3.4. Induced hybrid averaging... 4.3.5. Uncertain induced OWA operator. 4.3.6. Fuzzy induced OWA operator .. 4.3.7. Uncertain linguistic OWA operator 4.3.8. Linguistic hybrid averaging ..... 4.3.9. Uncertain hybrid OWA operato, 4.3.10. Fuzzy hybrid averaging ........... 4.3.11. Uncertain heavy OWA operator... 4.3.12. Fuzzy heavy OWA operator... 4.3.13. Otras extensiones de nivel 2 4.4. Extensiones de nivel 3 ......... 4.4.1. Induced linguistic hybrid averaging........... 4.4.2. Uncertain induced linguistic OWA operator. 10 4.4.3. Uncertain induced heavy OWA operator 4.4.4. Fuzzy induced heavy OWA operator ....... 4.4.5. Uncertain induced hybrid averaging.. 4.4.6. Uncertain linguistic hybrid averaging 4.4.7. Fuzzy induced hybrid averaging .. 4.4.8. Otras extensiones de nivel 3 4.5. Extensiones de nivel N ..... 4.5.1. Introducción.............. 4.5.2. Uncertain induced ling stic hybrid averaging 5. Generalizaciones procedentes de la noción de media 5.1. Introducción al Generalized OWA OperatOT.....cociciicinincnnnnos 5.1.1. Introducción ...cncomoo 5.1.2. Tipos de GOWA operator: 5.1.2.1. Casos procedentes del vector de ponderaciones 5.1.2.2. Casos procedentes del parámetro A... 5.1.3. Generalización mediante el uso de medias cuasi-aritmétic 5.1.4. Ejemplo ilustrativo: Selección de recursos humanos 5.2. Extensiones a los GOWA operatorS ....ccoocono.o.. 5.2.1. Induced generalized OWA operator 5.2.1.1. Introducción. ...ciocmo.o. 5.2.1.2. Tipos de IGOWA operators 5.2.1.2.1. Casos procedentes del vector de ponderaciones 5.2.1.2.2. Casos procedentes del parámetro A ...ccicnnc.o. 5.2.1.3. Quasi-IOWA operator .. .0.. 5.2.1.4. Ejemplo ilustrativo: Selección de 5.2.2. Linguistic generalized OWA operator... 5.2.2.1. Introducción. ...cocnooo. 5.2.2.2. Tipos de LGOWA operators 5.2.2.2.1. Casos procedentes del vector de ponderaci 5.2.2.2.2. Casos procedentes del parámetro A. 5.2.2.3. Quasi-LOWA operator .... 5.2.2.4. Ejemplo ilustrativo: Selección de automóviles 5.2.3. Uncertain generalized OWA operator 5.2.3.1. Introducción. ..oncnccnncnnnornnroroos 5.2.3.2. Tipos de UGOWA operato?s .ooncincanioaoaoooo 5.2.3.2.1. Casos procedentes del vector de pondera 5.2.3.2.2. Casos procedentes del parámetro A. 5.2.3.3. Quasi-UOWA operator... 5.2.3.4. Ejemplo ilustrativo: Selec 5.2.4. Fuzzy generalized OWA operator 5.2.4.1. Introducción. ..mcoocnoo. 5.2.4.2. Tipos de FGOWA operator: 5.2.4.2.1. Casos procedentes del vector de ponderaciones 5.2.4.2.2. Casos procedentes del parámetro A ...ccicnic... 5.2.4.3. Quasi-FOWA Operator ..c.conmooo 5.2.5. Generalized hybrid averaging operator. 5.2.5.1. Introducción ..oococioncnnonnrncocorroos . 5.2.5.2. Tipos de GHA Operators oommmoconinnranmncnacannaranacan ano rerr arranco carr arcos 322 11 5.2.5.2.1. Casos procedentes del vector de ponderaci 5.2.5.2.2. Casos procedentes del parámetro A. 5.2.5.3. Quasi-HA OperatOF ...cmono... 5.2.6. Otras extensiones de nivel 1 en los GOWA operators 5.3. Extensiones de nivel 2 en los GOWA operators 5.3.1. Induced linguistic generalized OWA operator. 5.3.2. Uncertain induced generalized OWA operator 5.3.3. Fuzzy induced generalized OWA operator... 5.3.4. Uncertain linguistic generalized OWA operator. 5.3.5. Induced generalized hybrid averaging ... 5.3.6. Linguistic generalized hybrid averaging 5.3.7. Uncertain generalized hybrid averaging 5.3.8. Fuzzy generalized hybrid averaging cuco. 5.3.9. Otras extensiones de nivel 2 en los GOWA operators 5.4. Extensiones de nivel 3 en los GOWA operators 5.4.1. Induced linguistic generalized hybrid averaging .... 5.4.2. Uncertain induced linguistic generalized OWA operator. 5.4.3. Uncertain induced generalized hybrid averaging 5.4.4. Fuzzy induced generalized hybrid averaging ....... 5.4.5. Otras extensiones de nivel 3 en los GOWA operators 5.5. Extensiones de nivel N en los GOWA operators 5.5.1. Uncertain induced linguistic generalized hybrid averaging 5.5.2. Otras extensiones de nivel N en los GOWA operators ....... 6. Operadores OWA en la noción de distancia 6.1. Introducción ........... 6.1.1. Aspectos introductorios 6.1.2. OWA distance operator 6.1.2.1. Introducción........... 6.1.2.2. Tipos de OWAD operators ........ 6.2. Introducción al Minkowski OWA distance operator. 6.2.1. Nociones básicas 6.2.2. Tipos de GOWAD operator. 6.2.2.1. Análisis del parámetro 4. 6.2.2.2. Análisis del vector de ponderaciones W.. 6.2.3. Quasi-OWAD operator... 6.2.4. Ejemplo numérico: selección de es 6.3. Extensiones al GOWAD operator 6.3.1. Introducción 6.3.2. Extensiones de nivel 1. 6.3.2.1. Induced GOWAD operator 6.3.2.2. Linguistic GOWAD operator. 6.3.2.3. Uncertain GOWAD operator.. 6.3.2.4. Fuzzy GOWAD operator ... 6.3.2.5. Otras extensiones de nivel 1 6.3.3. Extensiones de nivel 2............ 6.3.3.1. Induced linguistic GOWAD operator. “. 6.3.3.2. Uncertain induced GOWAD Operator ..omocininoninnaninncinnancisnacacicncnns 401 12 9.3.5.5. Fuzzy PGOWA operator. 9.3.5.6. Extensiones de nivel 2 y N 9.4. Operador POWA en la noción de distancia 9.4.1. IntroducciÓN ...oconcononinnoninnanocionacinnanos 9.4.2. POWA distance operator....... 9.4.3. Probabilistic generalized OWA distance operato, 9.4.4. Probabilistic induced generalized OWA distance operator .. 9.4.5. Probabilistic linguistic generalized OWA distance operator... 9.4.6. Probabilistic uncertain generalized OWA distance operator . 9.5. Otras extensiOMES coocccocincnnononononcnncnnono nono non nnnnn coco nnnn non nnnnn no nn anar ncnonans "565 10. Unificación entre operadores OWA, medias ponderadas y probabilidades: POWAWA operatoF ..momommmmmmsmm”m” D68 10.1. Introducción al POWAWA operator 10.1.1. Conceptos básicos ............ 10.1.2. Tipos de POWAWA operato. 10.1.3. Ejemplo ilustrativo: Selección de inversion 10.2. Extensiones a los POWAWA operator: 10.2.1. Introducción........oninonoc.. 10.2.2. Induced POWAWA operator 10.2.3. Linguistic POWAWA operator 10.2.4. Uncertain POWAWA operator 10.2.5. Fuzzy POWAWA operator... 10.2.6. Probabilistic weighted averaging operator y sus extensiones 10.2.6.1. Introducción............... 10.2.6.2. Linguistic PWA operato: 10.2.6.3. Uncertain PWA operato. 10.2.6.4. Fuzzy PWA operator... 10.2.7. Extensiones de nivel 2....... 9.2.6.1. Probabilistic induced linguistic OWAWA operator 9.2.6.2. Probabilistic uncertain induced OWAWA operator 9.2.6.3. Probabilistic fuzzy induced OWAWA operator 10.2.8. Otras extensiONeS ..ococonononnononcnnoncnnononcononrnraninnanos 10.3. Generalizaciones a los POWAWA operators. 10.3.1. Introducción al generalized POWAWA operato! 10.3.2. Induced generalized POWAWA operator ........... 10.3.3. Linguistic generalized POWAWA operator. 10.3.4. Uncertain generalized POWAWA operator 10.3.5. Fuzzy generalized POWAWA operator 10.3.6. Generalized PWA operator y 10.3.6.1. Introducción............... 10.3.6.2. Linguistic generalized PWA operator .. 10.3.6.3. Uncertain generalized PWA operato 10.3.6.4. Fuzzy generalized PWA operator ..... 10.3.7. Extensiones de nivel 2 10.3.7.1. Introducción....... 10.3.7.2. Induced linguistic generalized POWAWA operator. 10.3.7.3. Uncertain induced generalized POWAWA operator 15 10.3.7.4. Fuzzy induced generalized POWAWA operator... 10.4. Operadores POWAWA en la noción de distanc 10.4.1. Introducción al POWAWA distance operator. 10.4.2. Generalized POWAWA distance operator ..... 10.4.3. Induced generalized POWAWA distance operator .. 10.4.4. Linguistic generalized POWAWA distance operator 10.4.5. Uncertain generalized POWAWA distance operator 10.4.6. Generalized PWA distance operator y sus extensiones .. 10.4.6.1. Probabilistic weighted averaging distance operator 10.4.6.2. Generalized probabilistic weighted averaging distance OPTA concianioninorianananician aran 10.4.6.3. Uncertain generalized probab, distance operator. 10.4.7. Otras extensiones 10.5. Otras consideraciones generales. 11. Aplicabilidad de los operadores OWA ..oconcononcnoconnssononoo 6044 11.1. Introducción ......... 11.1.3. Aplicabilidad de los OWA en las ciencias en genera! 11.2. Aplicabilidad en los métodos de gestión empres 11.2.1. Esquema general........... 11.2.2. Operadores OWA en la ge 11.2.3. Operadores OWA en la gestión financiera... 11.2.4. Operadores OWA en la gestión de los recu 11.2.5. Operadores OWA en la gestión de productos en general 11.2.6. Operadores OWA en la gestión de la empresa en general . 11.2.7. Operadores OWA en otros problemas de decisión........... 11.3. Aplicabilidad en otros métodos de decisión 11.3.1. Operador OWA en la teoría de la evidenci 11.3.2. Operador OWA en el método de minimización del 11.3.3. Operador OWA en el Analytic Hierarchy Process (AHP). 11.3.4. Operador OWA en el TOPSIS ... 11.3.5. Operador OWA en la toma de de: 11.3.6. Operador OWA en las decisiones secuenciale 11.3.7. Operador OWA en el concepto de utilidad . 11.3.8. Operador OWA en los procesos de asignación y agrupación 11.3.9. Otros métodos de decisión con el operador OWA ............. 12. Conclusiones 12.1. Conclusiones por capítulo: 12.1.1. Conclusiones del capítulo 2. 12.1.2. Conclusiones del capítulo 3. 12.1.3. Conclusiones del capítulo 4. 12.1.4. Conclusiones del capítulo 5. 12.1.5. Conclusiones del capítulo 6. 12.1.6. Conclusiones del capítulo 7. 12.1.7. Conclusiones del capítulo 8. 12.1.8. Conclusiones del capítulo 9. 12.1.9. Conclusiones del capítulo 10... 12.1.10. Conclusiones del capítulo 11 12.1.11. Conclusiones de los artículos del anexo 12.2. Conclusiones generales... 707 12,3. Líneas futuras de investigación ....oconcncconnnninoninnncn cano roncconacanonanonanos 713 13. Bibliografía .....o.oomommmmsrsmss. 716 14. Anexo: Publicaciones sobre las aportaciones 14.1. Artículos de CONYr€sSO .ccoococooncnnncononnncnnncncnnnanonnnnon 14.1. 17 l. 14.1.2. 14.1.3. 14.1.4. 14.1.5. 14.1.6. 14.1.7. 14.1.8. 14.1.9. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 14.1. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31 32. 33. VOLUMEN II Artículo de congreso 1. — Publicado en CLADEA 2006. Artículo de congreso 2. — Publicado en CLADEA 2006. Artículo de congreso 3. — Publicado en AMSE 2006... Artículo de congreso 4. — Publicado en AMSE 2006. Artículo de congreso 5. — Publicado en SIGEF 2006 Artículo de congreso 6. — Publicado en SIGEF 2006 Artículo de congreso 7. — Publicado en SIGEF 2006...... Artículo de congreso 8. — Publicado en EUSFLAT 2007 Artículo de congreso 9.-— En preparación ..cmmcnm... Artículo de congreso 10. — Publicado en AMSE 2007 Algeri: Artículo de congreso 11. -— Publicado en AMSE 2007 Algeria Artículo de congreso 12. — Publicado en AMSE 2007 Algeria Artículo de congreso 13. — Publicado en AEDEM 2007 Artículo de congreso 14. — Publicado en AGOP 2007... Artículo de congreso 15. -— Publicado en AEDEM 2007... Artículo de congreso 16. — Publicado en AMSE 2007 Italia Artículo de congreso 17. — Publicado en AMSE 2007 Italia Artículo de congreso 18. — Publicado en AMSE 2007 Italia Artículo de congreso 19. — Publicado en SIGEF 2007... Artículo de congreso 20. — Publicado en SIGEF 200' Artículo de congreso 21. -— Publicado en SIGEF 200' Artículo de congreso 22. — Publicado en ICEIS 2008... Artículo de congreso 23. — Publicado en ICEIS 2008 Artículo de congreso 24. — Publicado en ICEIS 2008 Artículo de congreso 25. — Publicado en ASEPELT 2008 Artículo de congreso 26. — Publicado en ASEPELT 2008 Artículo de congreso 27. — Publicado en ASEPELT 2008 Artículo de congreso 28. — Publicado en AEDEM 200 Artículo de congreso 29. — Publicado en AEDEM 200: Artículo de congreso 30. — Publicado en AMSE 200: . Artículo de congreso 31. — Publicado en AMSE 200: Artículo de congreso 32. — Publicado en IPMU 2008 Artículo de congreso 33. — Publicado en FUR 2008. 1. Introducción 1.1. Presentación La teoría de la decisión en la incertidumbre es un área de las ciencias sociales y de las ciencias en general que siempre ha suscitado gran interés. Pero es especialmente en los últimos 50 años cuando toma una increíble importancia en el mundo científico. Gran número de cuestiones surgen en estos años como son la teoría de la utilidad, la teoría de juegos o la teoría de los subconjuntos borrosos. En este estudio, se hace especial referencia a 2 de estas teorías. Una, propuesta por Zadeh (1965) en la cual se introduce el concepto de los conjuntos borrosos y otra, propuesta por Yager (1988) en la cual se introduce el concepto de Ordered Weighted Averaging (OWA) operator. Con estas 2 teorías, junto con las aportaciones desarrolladas en el ámbito empresarial por Kaufmann y Gil-Aluja (1986; 1987), se tratará de analizar la situación actual en esta área sobre la teoría de la decisión y se analizará qué diferentes aportaciones se podrán realizar en la investigación. La investigación del doctorando empezó ya hace mucho tiempo cuando era un estudiante de empresariales. La verdad es que desde siempre he sido un gran aficionado a la ciencia y a la investigación en general. Pero los temas de teoría de la decisión cogieron importancia para mí, a partir del tercer curso, en el año 2000-2001, en la asignatura de dirección financiera 1. En esta asignatura se propuso hacer un trabajo y aprovechando mi afán por investigar intenté hacer un trabajo con cierto contenido investigador. Aun así, era un trabajo aficionado, pero ya mostraba mis grandes intereses por investigar. Concretamente, diseñé lo que creía que era un nuevo modelo de decisión pero con los años, me di cuenta que lo que había descubierto no era nada más y nada menos que el operador OWA que ya se estudiaba en la comunidad científica desde el año 1988 cuando Yager publicó su primer trabajo sobre estos temas. Aun así, algunas de las extensiones que diseñé, sí que eran novedosas como el uso de esta metodología en el criterio de Savage de minimización del coste o el uso de información incierta representada mediante intervalos de confianza o números borrosos (NBs). Estas ideas ya han sido publicadas en revistas internacionales por lo que la idea originaria a pesar de que la desarrollé antes de su publicación, a día de hoy ya es conocida. Por lo menos, esto quedó como consuelo en el sentido de que sin conocer los operadores OWA, había sido capaz de crearlos y llegar a crear aportaciones que sí eran novedosas y que se publicaban en revistas internacionales. En cualquier caso, nada de esta investigación que desarrollé desde octubre de 2000 hasta mayo de 2001 ha sido publicado ya que el trabajo era un trabajo de un estudiante aficionado a la investigación pero no de un profesional. Por tanto, la investigación a pesar de ser muy original, tenía muchas carencias como desconocimiento de la bibliografía, desarrollo metodológico de las ideas, etc. Durante un tiempo, este trabajo quedó aparcado hasta que decidí hacer el doctorado. Después de haber estudiado en el extranjero, empecé el doctorado el curso 2005-2006 y desde entonces he estado constantemente desarrollando nuevas ideas sobre este trabajo que inicié en el 2000, pero ahora siguiendo con la metodología que se sigue en la 20 investigación profesional. Ahora, poco a poco la investigación ya está introduciéndose en la comunidad científica con el desarrollo de un gran número de aportaciones relacionadas con los operadores OWA y la teoría de la decisión en general. Todavía queda mucho camino por recorrer, en especial, para consolidarse como una autoridad en esta área de investigación en relación a publicaciones en las revistas de mayor prestigio internacional. No obstante, ya se están consiguiendo resultados muy buenos, incluyendo publicaciones en las revistas de mayor prestigio internacional por lo que se prevé que la línea ascendente que está consiguiendo el doctorando, seguirá después de la tesis doctoral hasta consolidarse como uno de los principales investigadores internacionales en esta especialidad. El desarrollo de esta investigación ha contado con la suerte de que en el departamento de economía y organización de empresas de la universidad de Barcelona existe uno de los principales grupos de investigación en relación al estudio de la incertidumbre y las decisiones en el ámbito empresarial. Por eso, el doctorando ha contado con mucha información adicional (en especial, la procedente de las investigaciones desarrolladas por Kaufmann y Gil-Aluja) que le ha permitido alcanzar una formación mucho más sólida en este ámbito, lo cual puede ser decisivo en el futuro para poder desarrollar nuevas aportaciones. En cualquier caso, en la actualidad este hecho ha facilitado mucho que el doctorando haya podido hacer un gran número de las aportaciones que se han presentado en esta tesis. Además se ha alcanzado un nivel de conocimientos que se consideran muy buenos para poder hacer aportaciones a la comunidad científica internacional de la mejor forma posible. Con todo esto, la elección del tema de investigación no fue difícil ya que antes de empezar el doctorado ya tenía claro que quería mejorar estas ideas que había empezado unos años atrás. A partir de aquí, simplemente consistió en dedicar el tiempo necesario para adquirir la información básica de partida y poco a poco empezar a realizar aportaciones mediante el desarrollo de artículos de congreso y de revista sobre el tema escogido, es decir, aportaciones a los operadores OWA. Al inicio, fue divertido aunque no fue fácil el acostumbrarse a escribir artículos ya que para poder publicar en revistas internacionales se requiere de un trabajo muy laborioso en el que se ha considerado hasta el más mínimo detalle. Por tanto, el inicio consistió en ir poco a poco desarrollando artículos de congresos y a medida que se iba cogiendo más experiencia, se empezó a desarrollar artículos de revista. A día de hoy, el proceso de formación sigue porque como es bien sabido, la formación de un investigador nunca termina porque siempre podrá aprender un poco más. Este es un hecho importante cuando se investiga a nivel internacional porque siempre hay que estar actualizándose ya que cada año aparecen nuevas aportaciones que se tienen que conocer si se quiere ser uno de lo mejores investigadores en esta área de investigación. El operador OWA es un tipo de media que proporciona una familia parametrizada de operadores de agregación que fluctúan entre el máximo y el mínimo. Por tanto, de entrada es una herramienta estadística. Pero a día de hoy, a donde más relevancia se le ha dado es en la resolución de problemas de teoría de la decisión ya que este operador unifica a los criterios clásicos de decisión. Es decir, unifica al criterio optimista, pesimista, de Laplace y de Hurwicz en un único modelo a partir del cual el resto de casos son casos particulares de adoptar una postura concreta en dicha unificación. Además, otros criterios clásicos como el criterio de Savage también pueden ser 21 utilizados con este operador aunque no se consiga una unificación natural como se había conseguido con los otros cuatro criterios. Los operadores OWA han sido fuente de numerosas extensiones. Constantemente van apareciendo nuevos enfoques sobre distintos aspectos teóricos que amplían su conocimiento. Por ejemplo, se puede mencionar el induced OWA (10WA) operator de Yager y Filev (1999) en donde se proponía utilizar un proceso de reordenación de mayor complejidad basado en variables inducidas. En (Herrera et al., 1995; 1996a) se propuso un operador OWA que podía tratar con información lingúística. Este modelo ha sido posteriormente mejorado por Herrera y Martínez (2000a) a través de un modelo lingúístico más completo basado en 2-tuplas a partir de las cuales no se pierde información en el proceso de agregación. También en Xu (2004a) se ha desarrollado un nuevo modelo lingiístico para tratar situaciones con elevados grados de incertidumbre. Otro tipo de modelos que han sido tratados mediante los operadores OWA son aquellos que utilizan información imprecisa representada mediante intervalos de confianza. A este operador se le ha denominado uncertain OWA (UVOWA) operator (Xu y Da, 2002). Además, también se han desarrollado extensiones similares mediante números borrosos (Canfora y Troiano, 2001; S.J. Chen y S.M. Chen, 2003). Una de las extensiones más relevantes es aquella que generaliza los operadores OWA a través de la noción de media. Esta generalización se ha conseguido desde dos perspectivas. Una primera vertiente es aquella que generaliza los operadores OWA mediante la media generalizada (Dujmovic, 1974; Dyckhoff y Pedrycz, 1984). A esta generalización se le conoce como generalized OWA (GOWA) operator (Karayiamnis, 2000; Karayiannis y Randolph-Gips, 2005; Yager, 2004b). De esta forma, aparte de obtener el operador OWA como un caso particular, se consigue una versión OWA de la media geométrica, harmónica, cuadrática, etc. Una segunda vertiente es aquella que generaliza a los operadores OWA mediante las medias cuasi-aritméticas (Nagumo, 1930; Kolmogoroff, 1930; Hardy et al., 1934). A esta generalización se le denomina Quasi-OWA operator (Fodor et al., 1995; Calvo et al., 2002). Cabe destacar que el operador GOWA es un caso particular del Quasi-OWA (Beliakov, 2005). En la actualidad, la mayoría de las extensiones desarrolladas se han dirigido exclusivamente a los operadores OWA. En cambio, diferentes generalizaciones como el operador GOWA o el uso de medidas de distancia que son generalizaciones a los operadores OWA, no han recibido dema: la atención. En la mayoría de casos, resulta posible desarrollar extensiones similares en ambas situaciones. Debido a esto, en esta investigación se pretenderá explorar la posible generalización de estas extensiones mediante el uso de medias y distancias generalizadas y cuasi-aritméticas. Además, también se introducirá un nuevo modelo unificador entre el operador OWA, la media ponderada y la probabilidad. En este modelo se conseguirán casos particulares de gran interés porque además de estos tres casos, también se obtendrán otros casos parciales como el operador que unifica al operador OWA con la probabilidad, al que unifica la media ponderada con la probabilidad y al que unifica al operador OWA con la media ponderada. Todos estos casos serán estudiados desde su perspectiva simplificada y mediante el desarrollo de diferentes extensiones y generalizaciones según lo explicado en los párrafos anteriores. 22 modelos de decisión empresarial mediante la utilización de dichos operadores. Se destacarán diferentes problemas empresariales concretos, como por ejemplo, en la administración de recursos humanos, en la gestión financiera, en la gestión de las inversiones, en la administración del activo y el pasivo de la empresa, en la gestión estratégica, en la administración de productos y recursos en general, etc. Cabe destacar que se considerarán un gran número de nuevas aportaciones a los operadores OWA mediante el desarrollo de diferentes extensiones y generalizaciones. No obstante, las aplicaciones se realizarán únicamente en casos muy concretos y no para todos los operadores que se proponen ya que sino se entraría en una excesiva redundancia a pesar de considerar diferentes problemas empresariales. La razón por la cual resulta interesante utilizar los operadores OWA en los métodos de decisión empresarial es por la posibilidad de alterar el carácter actitudinal del decisor. Esto sucede porque tradicionalmente, los métodos de decisión empresarial han sido neutros respecto al grado de optimismo del decisor. Es decir, el modelo decisional no ha considerado que algunos decisores son más reacios que otros a la hora de estudiar un problema decisional en incertidumbre en el cual existen una serie de riesgos a los cuales se tiene que hacer frente si se desea obtener grandes beneficios. Por tanto, los operadores OWA permiten solucionar este problema considerando diferentes grados de optimismo-pesimismo según quién tome la decisión. Evidentemente, esto llevará a que las decisiones sean diferentes según qué decisor tome dicha decisión. Cabe destacar que esta problemática se ha considerado en algunos problemas decisionales en donde el decisor se encontraba en una situación de riesgo. Es decir, en una situación en donde existe incertidumbre sobre lo que sucederá en el futuro pero se dispone de una serie de probabilidades que permiten modelizar el problema. Pero en situaciones de incertidumbre total (o ignorancia) este problema no se ha estudiado con el suficiente detalle. A partir de este análisis se irá perfeccionando lo máximo posible el operador OWA incorporando diferentes aspectos y proponiendo un nuevo modelo unificador que englobará a la probabilidad, a la media ponderada y al operador OWA como casos particulares. 25 1.3. Objetivos Esta investigación tiene 3 objetivos fundamentales que son: 1. Aspectos introductorios sobre la teoría de la decisión y la incertidumbre. extensiones y generalizaciones a los operadores OWA. s de la aplicabilidad del operador OWA. 1- El primer objetivo consiste en realizar un análisis sobre el estado de la cuestión. Este objetivo se consigue mediante una investigación bibliográfica sobre la teoría de la decisión en la incertidumbre, poniendo especial énfasis en las recientes contribuciones hechas sobre los operadores OWA y sus diferentes extensiones. Esta investigación bibliográfica estará orientada en tres direcciones: (1) En primer lugar, se analizará el estado de la cuestión desde un punto de vista estadístico. Es decir, se estudiará el número de publicaciones que han tratado estos temas. Debido a que el número de publicaciones sobre un área tan amplia como la teoría de la borrosidad es prácticamente incalculable, se acotará el número a través de utilizar como soporte la 15] Web of Knowledge. A partir de este soporte, se estudiarán algunos aspectos genéricos como cuáles son los artículos de mayor impacto, cuáles son las revi y autores con mayor número de publicaciones, cuál ha sido la evolución histórica, y qué países tienen mayor importancia en esta área de investigación. Cabe destacar que este análisis se dividirá en una perspectiva genérica sobre la teoría de la borrosidad y una perspectiva específica sobre los operadores OWA. (2) En segundo lugar, se tratarán los conceptos b: sobre la teoría de la decisión en la incertidumbre. Es decir, se estudiarán los aspectos fundamentales relacionados con la toma de decisiones en situaciones de incertidumbre. Para ello, se estudiarán los criterios clásicos de decisión como son el criterio optimista, el pesimista, el de Laplace, el de Hurwicz y el de Savage. También se desarrollará otra gran variedad de criterios generalmente aceptados como son el WSM, el WPM, el AHP y el TOPSIS, entre otros. También se considerarán diferentes instrumentos para el tratamiento de la incertidumbre como es la valuación, los intervalos de confianza, los subconjuntos borrosos, los NBs, la noción de distancia y los expertones. Además, también se mencionarán otros elementos para la toma de decisiones como la relación, la asignación, la agrupación y la ordenación. (3) En tercer lugar, se desarrollará una introducción a los conceptos básicos sobre los operadores OWA. En este capítulo se estudiará la definición, las principales propiedades, los casos particulares, las medidas que caracterizan el vector de ponderaciones y los diferentes métodos para la fijación de dichas ponderaciones. Además, también se estudiará una amplia gama de extensiones que se han desarrollado sobre los operadores OWA. Entre las distintas extensiones que se analizarán, podemos destacar el Induced OWA (10WA) operator, el Linguistic OWA (LOWA) operator, el Generalized OWA (GOWA) operator, el Heavy OWA (HOWA) operator, el Uncertain OWA (UOWA) operator, y muchos otros más. 2- El segundo objetivo es el principal en la tesis y está dirigido a desarrollar nuevas aportaciones al conocimiento teórico de los operadores OWA. Es decir, a elaborar 26 nuevos modelos que aporten nuevas ideas sobre dichos operadores. Como ya se ha comentado en el capítulo de los antecedentes, la investigación ya ha empezado a dar sus frutos en este sentido (véase el capítulo 14 de anexo). Las principales líneas de investigación para conseguir aportaciones teóricas sobre los operadores OWA irán encaminadas en las siguientes direcciones: (1) Estudio de los operadores OWA a partir de las generalizaciones procedentes de la noción de media: Se analizará la generalización de Yager (2004b) a los operadores OWA a partir de la noción de media. En esta generalización, se podrá estudiar una gran variedad de casos particulares como por ejemplo, el ordered weighted geometric (OWG) operator, el ordered weighted harmonic averaging (OWHA) operator y el ordered weighted quadratic averaging (OWQA) operator. Además, también se propondrán toda una nueva serie de extensiones a esta generalización como podrán ser el induced generalized OWA operator, el linguistic generalized OWA operator, el 2-tuple linguistic generalized OWA operator, y el uncertain generalized OWA operator. Cabe destacar que esta línea de investigación está empezando a dar sus frutos (Merigó y Casanovas, 2007a; 2007d; 2008h; 2008i; 2008; 2008k; 20081; 2008n; 2008t; 2008v; Merigó y A.M. Gil-Lafuente, 2007c; 2008€e; 2008h; 2008n; 2008r; 2009a). (2) Utilización de los operadores OWA en la noción de distancia: Se propondrán unas medidas de distancia en las cuales se introducirá el operador OWA para así poder manipular el carácter actitudinal del decisor. Básicamente, se propondrá utilizar el operador OWA en la distancia de Hamming, en la de Euclides, en la de Minkowski, en la geométrica y en la harmónica. Además, también se elaborarán toda una serie de extensiones a estos modelos primarios mediante la utilización de variables de ordenación inducidas (Induced OWA distance (10WAD) operator), mediante la utilización de variables linguísticas (Linguistic OWA distance (LOWAD) operator), mediante la utilización de relajaciones en el vector de pesos (Heavy OWA distance (HOWAD) operator), mediante la utilización de mezclas entre el weighted average y el operador OWA (Weighted OWA distance (WOWAD) operator), mediante la utilización de coeficientes negativos (Nonmonotonic OWA distance (NOMMOWAD) operator), y muchas otras variantes más. En esta línea de investigación ya se han empezado a conseguir resultados, como se puede observar en (Merigó y Casanovas, 20080; 2008q; 2008r, 2008u; Merigó y A.M. Gil-Lafuente, 2006a; 2006b; 2006d; 2006e; 2007b; 2007d; 2007e; 2007f; 20072; 2007h; 2008a; 2008b; 2008c; 2008d; 2008f, 2008i; 2008k; 20085). (3) Utilización de los operadores OWA en los diferentes índices de selección empresarial: Se propondrá la utilización de los operadores OWA en los diferentes índices de selección existentes. Entre estos índices, podemos destacar el coeficiente de adecuación (Kaufmann y Gil-Aluja, 1986), el índice del máximo y el mínimo nivel (J. Gil-Lafuente, 2001) y el índice por eliminación- descartes (J. Gil-Lafuente, 2004). Además de proponer la utilización de los operadores OWA, también se propondrá la utilización de las diferentes variantes a los operadores OWA en dichos índices de selec: En esta línea de investigación, se pueden destacar algunas aplicaciones ya hechas con estos índices (A.M. Gil-Lafuente y Merigó, 2006; Merigó y A.M. Gil-Lafuente, 2006a; 2006b; 2006d; 2006e; 2007f; 2007g; 2007h; 2007i, 2008a; 2008f; 2008g; 2008i; 2008j; 2008k; 20081; 2008m; 20080; 2008p; 2008q; 2008s). 27 + Aplicación en las ciencias en general. Un objetivo fundamental de esta tesis es mostrar que la aplicabilidad de los operadores OWA y la incertidumbre en general es ilimitada. Por tanto, resulta evidente que pueden ser utilizados en una gran variedad de aplicaciones de entre los cuales se destaca la estadística. En cuanto al uso de estos operadores en el ámbito de la empresa se desarrollarán aplicaciones empresariales mediante el uso de los operadores OWA. Con esto, se quiere mostrar la utilidad de dichos operadores en el ámbito empresarial. De forma general, al ser los operadores OWA unas técnicas modernas de decisión, se puede decir que dichos operadores serán útiles en todo lo que esté relacionado con la toma de decisiones empresariales. Además, al tratarse de un operador de agregación, también resultará útil en muchas situaciones empresariales en donde se desee agregar la información. Dejando aparte los trabajos previos realizados por otros investigadores, las principales líneas de investigación para conseguir modelos empresariales de decisión irán encaminadas en las siguientes direcciones: Utilización de los operadores OWA en la gestión de estrategias. Utilización de los operadores OWA en la gestión de recursos humanos. Utilización de los operadores OWA en la gestión financiera. Utilización de los operadores OWA en la gestión de inversiones. Utilización de los operadores OWA en la gestión de inmovilizado. Utilización de los operadores OWA en la gestión comercial. Utilización de los operadores OWA en la gestión de productos en general. Utilización de los operadores OWA en otros procesos de decisión empresarial. Utilización de los operadores OWA en otros procesos de decisión en general. Cabe señalar que a lo largo de la tesis se irán presentando diferentes aplicaciones sobre los nuevos operadores OWA en distintos problemas empresariales como los mencionados anteriormente. Además, se tiene que resaltar que en la investigación, también se mencionará la utilización de los operadores OWA en los distintos procesos de asignación, agrupación y ordenación (Gil-Aluja, 1999). Cabe destacar que este tercer objetivo también está empezando a dar sus frutos ya que en la mayoría de los artículos elaborados para congresos o revistas se ha desarrollado una aplicación sobre las nuevas aportaciones en un problema de toma de decisiones en el ámbito empresarial. 30 1.4. Metodología La metodología utilizada en este trabajo está basada principalmente en la teoría de los subconjuntos borrosos introducida por Zadeh (1965) y en la teoría de la decisión en incertidumbre, dentro de la cual destacan los operadores OWA de Yager (1988). También se ha seguido desde el punto de vista empresarial con la metodología desarrollada por Kaufmann y Gil-Aluja (1986; 1987). En este trabajo se desarrollan diferentes extensiones a los operadores OWA. Estas extensiones se presentan desde una perspectiva matemática en la cual se define el concepto, se estudian las propiedades y se analizan diferentes casos particulares del modelo. Cabe destacar que todas las extensiones han seguido esta misma estructura ya que desde un punto de vista matemático se ha considerado lo más adecuado. A pesar de ello, en algunos casos el trabajo podría parecer algo repetitivo pero es importante remarcar la necesidad de seguir esta metodología por dos razones. En primer lugar, cada extensión se espera que se pueda materializar en un artículo de investigación. Por tanto, es importante considerar todos los aspectos fundamentales de estas extensiones para la futura elaboración de dichos artículos”. Desde un punto de vista matemático, cada extensión implica el desarrollo de un modelo decisional diferente. Por tanto, aunque las extensiones se parezcan, se tiene que estudiar cada caso desde un punto de vista individual”. En las extensiones más genéricas, después del análisis matemático se presenta un ejemplo ilustrativo sobre su aplicación en un problema empresarial. Para no caer en la redundancia, cada ejemplo ilustrativo ha ido destinado a tratar diferentes problemas empresariales como por ejemplo los recursos humanos, las finanzas, las inversiones, las estrategias, el inmovilizado, etc. Pero cabe destacar que todas las extensiones podrían utilizarse en cualquiera de los modelos de decisión empresarial”. Además, esta misma metodología se ha seguido para todos los capítulos sobre los operadores OWA, es decir, desde el capítulo 4 hasta el 10. La razón reside en la i ar con claridad la similitud del proceso en estos casos. Cabe acar que esto ha sido posible debido a que el operador OWA es un caso particular de las siguientes extensiones o generalizaciones. En cuanto al proceso de referenciación se tiene que destacar que se ha utilizado un método ligeramente diferente del habitual. A lo largo de la tesis se ha utilizado un método tradicional de citación basado en las citas según autor y año. La diferencia reside en la bibliografía en el sentido de que a pesar que se han ordenado alfabéticamente, no se han presentado a través de su apellido sino que las diferentes referencias han sido numeradas de uno hacia adelante. Esto se ha hecho así porque se ! Cabe destacar que en algunos casos, para las extensiones de nivel 2, 3 y N, puede que se agrupen dos o tres extensiones en un mismo artículo. ? Un buen ejemplo para entender esta problemática es a través de comparar los artículos elaborados para el operador IGOWA y para el operador UGOWA (En el anexo, artículos de congreso 8 y 13 respectivamente). Como se puede observar, cada artículo implica una nueva aportación aunque ambos modelos se presenten de la misma forma. 3 Aún así, para evitar una excesiva redundancia, únicamente se han estudiado con detalle las extensiones de nivel 1, mientras que el resto de extensiones se han comentado de forma resumida. * Siempre teniendo en cuenta el significado que se le da a cada extensión. 31 han utilizado aproximadamente 400 referencias y se ha considerado que la ordenación alfabética mediante un sistema numérico es más adecuada para mostrar tantas referencias. La ordenación es la misma con la diferencia de que cada referencia lleva asociada una numeración. Independientemente del número asociado, en la tesis las referencias se han presentado mediante el sistema autor — año. Cabe destacar que esto se hace de esta forma porque en la mayoría de revistas SCI en donde se están enviando artículos, no suelen utilizar el ema autor — año sino que utilizan la ordenación numérica, aunque en muchos casos esta puede ser alfabética o sino, por orden de aparición en el texto. Finalmente, decir que también se ha adjuntado en la parte final del trabajo un anexo con todos los artículos de congreso y de revista que el doctorando ha hecho a lo largo de este periodo como estudiante de doctorado. El principal aspecto a destacar sobre este anexo es la posibilidad de mostrar desde un punto de vista mucho más amplio cuáles son las líneas de investigación que se están siguiendo. Aun así se tiene que decir que es incompleto en el sentido que sólo recoge algunos de los casos y los avances más recientes (capítulos 8 — 10) no se recogen en este apartado ya que estos avances no se presentarán en congresos y en revistas hasta bien entrado el año 2009 cuando el doctorando ya haya finalizado la tesis doctoral. 32 3) J.M. Merigó, M. Casanovas, L. Martínez, Linguistic aggregation operators for linguistic decision making based on the Dempster-Shafer theory of evidence, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems (2008a - submitted — SCI Journal). 4) J.M. Merigó, M. Casanovas, The fuzzy generalized OWA operator and its application in strategic decision making, Cybernetics and Systems (2008h - submitted — SCI Journal). 5) J.M. Merigó, M. Casanovas, The generalized hybrid averaging operator and its application in decision making, Knowledge Based Systems (20081 - submitted — SCI Journal). 6) M. Casanovas, J.M. Merigó, Fuzzy aggregation operators in decision making with Dempster-Shafer belief structure, International Journal of Approximate Reasoning (2008b - submitted — SCI Journal). 7) J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, A generalization of the linguistic aggregation operators and its application in decision making, Information Fusion, (2008h - submitted — SCI Journal). 8) J.M. Merigó, M. Casanovas, The uncertain generalized OWA operator and its application in financial decision making, International Journal of Information Technology and Decision Making (2008j - submitted — SCI Journal). 9) J.M. Merigó, M. Casanovas, The fuzzy generalized hybrid averaging operator, International Journal of Fuzzy Systems (2008k - submitted — SCI Journal). 10)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, Decision making techniques for the selection of financial products, Information Sciences, (20081 - submitted — SCI Journal). 11)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, OWA operators in human resource management, Cuadernos de Gestión (2008k - submitted). 12)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, A method for decision making based on the OWA operator, Knowledge Based Systems, (20081 — submitted). 13)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, A general method for decision making based on generalized OWA operators, European Journal of Operational Research, (2008m — submitted). Artículos de revista (En preparación): Obsérvese que una versión extendida de revista se realizará para la mayor parte de los artículos de congreso. 35 1) J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, The induced linguistic generalized OWA operator, Fuzzy Optimization and Decision Making (2009a - SCI Journal - in preparation for a special issue of the FLINS 2008 conference). 2) J.M. Merigó, M. Casanovas, Decision making with distance measures and induced aggregation operators, TOP (2009a - SCI Journal - in preparation for a special issue of the FLINS 2008 conference). 3) J.M. Merigó, M. Casanovas, Decision making with Dempster-Shafer theory using the 2-tuple linguistic representation model, Journal of Universal Computer Science (2009b - SCI Journal - in preparation for a special issue of the FLINS 2008 conference). 4) Etc. Working papers: D 2) 3) J.M. Merigó, M. Casanovas, Induced aggregation operators in decision making with Dempster-Shafer belief structure, Working Papers in Economics, E07/184, University of Barcelona, Spain, 2007. J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, The generalized index of maximum and minimum level and its application in decision making, Working Papers in Economics, E08/203, University of Barcelona, Spain, 2008. Etc. Artículos de congreso (Publicados): D 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, Using the OWA operators in the selection of financial products, Proceedings of the 41th CLADEA Conference, Montpellier, France, 2006b, CD-ROM Proceedings. J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, Unification point in methods for the selection of financial products, Proceedings of the 4lth CLADEA Conference, Montpellier, France, 2006c, CD-ROM Proceedings. J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, Acquisition of financial products that adapt to different environments, Proceedings of the AMSE International Conference on Modelling and Simulation, Konya, Turkey, 2006d, 719-723. J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, Using the OWG operators in the selection of financial products, Proceedings of the AMSE International Conference on Modelling and Simulation, Konya, Turkey, 2006e, pp. 725-728. J.M. Merigó, M. Casanovas, Ordered weighted geometric operators in decision making with Dempster-Shafer belief structure, Proceedings of the 13th SIGEF Congress, Hammamet, Tunisia, 2006a, pp.709-727. J.M. Merigó, M. Casanovas, Induced and Uncertain Heavy OWA operators, Proceedings of the 13th SIGEF Congress, Hammamet, Tunisia, 2006b, pp.728- 746. J.M. Merigó, M. Casanovas, Methods for decision making using minimization of regret, Proceedings of the 13th SIGEF Congress, Hammamet, Tunisia, 2006c, pp-747-763. J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, The induced generalized OWA operator, Proceedings of the 5th EUSFLAT Conference, Ostrava, Czech Republic, 2007c, vol. 2, pp. 463-470. J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, The ordered weighted averaging distance operator, AMSE International Conference on Modelling and Simulation, Alger, Algeria, 2007d, CD-ROM Proceedings. 10)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, On the use of the OWA operator in the Euclidean distance, AMSE International Conference on Modelling and Simulation, Alger, Algeria, 2007e, CD-ROM Proceedings. 11)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, Using the OWG operators in the selection of human resources, AMSE International Conference on Modelling and Simulation, Alger, Algeria, 2007f, CD-ROM Proceedings. 12)J.M. Merigó, M. Casanovas, The uncertain generalized OWA operator, Proceedings of the AEDEM International Conference, Krakow, Poland, 2007a, pp. 547-556. 36 37 13) M. Casanovas, J.M. Merigó, Using fuzzy OWA operators in decision making with Dempster-Shafer belief structure, Proceedings of the AEDEM International Conference, Krakow, Poland, 2007, pp. 475-486. 14)J.M. Merigó, M. Casanovas, Decision making with Dempster-Shafer theory using induced aggregation operators, International Summer School on Aggregation Operators (AGOP), Ghent, Belgium, 2007b, pp. 95-100. 15)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, Analysing the unification point in methods for the selection of polyvalent financial products, AMSE International Conference on Modelling and Simulation, Terni, Italy, 20072, CD-ROM Proceedings. 16)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, Using the OWA operators in the selection of human resources, AMSE International Conference on Modelling and Simulation, Terni, Italy, 2007h, CD-ROM Proceedings. 17)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, On the use of the OWA operator in the adequacy coefficient, AMSE International Conference on Modelling and Simulation, Terni, Italy, 2007i, CD-ROM Proceedings. 18)J.M. Merigó, M. Casanovas, Decision making using maximization of negret, Proceedings of the 14th SIGEF Congress, Poiana-Brasov, Romania, 2007c, pp. 518-530. 19)J.M. Merigó, M. Casanovas, The fuzzy generalized ordered weighted averaging operator, Proceedings of the 14th SIGEF Congress, Poiana-Brasov, Romania, 2007d, pp. 504-517. 20)J.M. Merigó, M. Casanovas, L. Martínez, Linguistic decision making using Dempster-Shafer theory of evidence, Proceedings of the 14th SIGEF Congress, Poiana-Brasov, Romania, 2007, pp. 658-671. 21)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, The linguistic generalized OWA operator and its application in strategic decision making, /CEIS 2008, Barcelona, Spain, 2008n, pp. 219-224 (ISI Proceedings). 22)J.M. Merigó, M. Casanovas, The generalized hybrid averaging operator and its application in financial decision making, /CEIS 2008, Barcelona, Spain, 20081, pp. 467-471 (ISI Proceedings). 23)J.M. Merigó, M. Casanovas, Fuzzy induced aggregation operators in decision making with Dempster-Shafer belief structure, /CEIS 2008, Barcelona, Spain, 2008m, pp. 548-552 (ISI Proceedings). 24)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, The generalized adequacy coefficient, AMSE 2008, Mallorca, Spain, 20080, pp. 243-254. 25)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, On the use of the OWA operator in the index of maximum and minimum level, AMSE 2008, Mallorca, Spain, 2008p, pp. 233- 242. 26)J.M. Merigó, M. Casanovas, The induced generalized hybrid averaging operator and its application in financial decision making, /ABD — AEDEM 2008, Salamanca, Spain, 2008n, CD-ROM Proceedings. 27) M. Casanovas, J.M. Merigó, Decision making with Dempster-Shafer theory and uncertain induced aggregation operators, /ABD — AEDEM 2008, Salamanca, Spain, 2008c, CD-ROM Proceedings. 28)J.M. Merigó, M. Casanovas, Linguistic decision making with distance measures, ASEPELT 2008, Barcelona, Spain, 20080, pp. 1621-1634. 29)J.M. Merigó, Using immediate probabilities in fuzzy decision making, ASEPELT 2008, Barcelona, Spain, 2008, pp. 1650-1664. 30)J.M. Merigó, A.M. Gil-Lafuente, The generalized index of maximum and minimum level, ASEPELT 2008, Barcelona, Spain, 2008q, pp. 1685-1701. En el quinto capítulo se introducirá el operador GOWA y se propondrá un gran número de nuevas extensiones a los operadores GOWA. En primer lugar, se estudiará el modelo original que generaliza al operador OWA y tiene como casos particulares a la versión OWA geométrica, harmónica, cuadrática, etc. A continuación, se estudiarán las nuevas extensiones propuestas en este capítulo. Inicialmente, se desarrollarán las extensiones de nivel 1 que consistirán en generalizar mediante el uso de medias generalizadas y cuasi- aritméti: a las extensiones comentadas en los operadores OWA. Posteriormente, se estudiarán las extensiones de nivel 2 y 3 respectivamente. Este capítulo finalizará con un breve apartado sobre posibles extensiones de nivel superior. En el sexto capítulo se analiza la utilización de los operadores OWA en las medidas de de distancia. Esto lleva a proponer un gran número de nuevas medidas de distancia basadas en el operador OWA. La medida básica será el operador OWAD a partir del cual se desarrollarán diferentes extensiones. Como el operador GOWAD incluye al operador OWAD como un caso particular y abarca mucho más, el desarrollo de las extensiones se realizará a partir de dicha generalización. Cabe destacar que esta generalización es una versión OWA de la distancia de Minkowski. También se presentará una aplicación de los operadores OWAD en un problema decisional de selección de estrategias. Las extensiones también se subdividirán en extensiones de nivel 1, de nivel 2 y de nivel N. Cabe destacar que en el último apartado también se comentará brevemente una nueva forma de ver la información lingúística mediante el análisis de las variables lingúís desde una perspectiva externa, lo cual lleva a proponer un gran número de conceptos como por ejemplo el número borroso lingúíístico. En el séptimo capítulo se analiza la util n de los operadores OWA en diferentes índices de selección. En términos generales, se propone la utilización de los operadores OWA y sus extensiones en el coeficiente de adecuación y en el índice del máximo y el mínimo nivel. Después de una introducción general, este apartado se divide en cuatro grandes bloques según las cuatro principales aportaciones de este capítulo que son el operador OWAAC, el coeficiente de adecuación generalizado, el operador OWAIMAM y el índice del máximo y el mínimo nivel generalizado. En el octavo capítulo se presenta un nuevo modelo que unifica la media ponderada y el operador OWA en una misma formulación. Para llevar a cabo el análisis, este capítulo se subdivide en cinco bloques. El primer bloque analiza los conceptos básicos de esta nueva unificación. En el segundo bloque se desarrollan algunas extensiones fundamentales al nuevo operador OWAWA como el IOWAWA, el LOWAWA, el UOWAWA, el FOWAWA, el ILOWAWA, el UOWAWA y el FIOWAWA. En el tercer bloque se presenta un modelo generalizador del anterior mediante el uso de medias generalizadas y cuasi-aritméticas obteniéndose así el operador GOWAWA y Quasi-OWAWA. En el cuarto bloque se introducen diferentes extensiones a los operadores GOWAWA y Quasi-OWAWA siguiendo con una metodología similar a la desarrollada en el segundo bloque. El último bloque hace referencia a otras extensiones en donde se analizan principalmente las extensiones surgidas de utilizar la noción de distan y los índices de selección explicados en el sexto y séptimo capítulos respectivamente, en el operador OWAWA y en sus extensiones. En el noveno capítulo se propone un nuevo modelo que unifica el concepto de probabilidad con el operador OWA de tal forma que se obtiene un nuevo operador 40 denominado POWA. Este capítulo sigue una metodología similar al anterior y además su formulación matemática es bastante parecida. También se divide en cinco bloques. En el primer bloque se presentan los conceptos principales del operador POWA. En el segundo bloque se analizan diferentes extensiones como el PIOWA, el PLOWA, el PUOWA, y muchos otros más. En el tercer bloque se generaliza al operador POWA mediante el uso de medias generalizadas (operador PGOWA) y cuasi-aritméticas (operador Quasi-POWA), y se estudian diferentes extensiones mediante esta nueva generalización. En el cuarto bloque se analiza la utilización de diferentes medidas de distancia en el operador POWA y algunas de sus principales extensiones. En el quinto bloque se consideran otras posibles extensiones de entre las cuales se destaca la utilización de los índices de selección comentados en el capítulo 7, en el operador POWA. En el décimo capítulo se introduce una formulación más general que permite unificar a la noción de probabilidad, a la media ponderada y al operador OWA en la misma formulación. Este es probablemente el resultado más importante de la tesis ya que engloba a prácticamente todo. Se le denomina operador POWAWA y es un nuevo modelo de gran aplicabilidad ya que se prevé que pueda ser de gran utilidad en muchos problemas en donde en el pasado sólo se consideraban uno de estos conceptos. También se divide en cinco bloques. Un primer bloque para introducir los conceptos básicos de esta nueva unificación. El segundo bloque analiza diferentes extensiones como el operador PIOWAWA, PUOWAWA, PLOWAWA, y muchos otros más. En el tercer bloque se generaliza el modelo mediante el uso de medias generalizadas (PGOWAWA) y Cuasi-aritméticas (Quasi-POWAWA), y se introducen diversas extensiones. En el cuarto bloque se analiza la utilización de la noción de di: a en el operador POWAWA y diferentes extensiones. En el último bloque se considera la utilización de los índices de selección comentados en el séptimo capítulo en el operador POWAWA. Cabe destacar que a lo largo del capítulo también se comenta un caso particular de gran relevancia denominado operador PWA. A este operador no se le ha dedicado un capítulo exclusivo porque no es un operador OWA pero representa una de las tres partes constitutivas del operador POWAWA de igual forma que el operador OWAWA y POWA. Además, a día de hoy puede que tenga más impacto en la comunidad científica debido a que afecta a dos conceptos clásicos como son la probabilidad y la media ponderada. En el undécimo capítulo se analiza la aplicabilidad del operador OWA en un sentido amplio. Se distingue entre la aplicabilidad en los métodos de gestión empresarial, en los métodos de decisión y en las ciencias en general. En la aplicabilidad empresarial se puede observar la aplicabilidad de los operadores OWA en diferentes problemas empresariales como la gestión financiera, la gestión estratégica, la gestión de recursos humanos y la gestión de productos. En la aplicabilidad en otros métodos de decisión se considera la utilización de los operadores OWA en la teoría de la evidencia, en la minimización del coste, en el AHP, en el TOPSIS, en las decisiones de grupo, en las decisiones secuen s, en el concepto de utilidad, en la asignación y en la agrupación. Al analizar la aplicabilidad en las ciencias en general se llega a la conclusión de que la aplicabilidad de los operadores OWA y la incertidumbre en general es ilimitada. El duodécimo capítulo presenta las principales conclusiones del trabajo. Se distingue entre un análisis de las conclusiones específico en donde se considera cada capítulo de forma individualizada y un análisis genérico en donde se consideran a grandes rasgos 41 cuáles son las principales aportaciones de la tesis. A continuación, también se comentan las futuras líneas de investigación a llevar a cabo en el futuro procedente de la tesis doctoral. El capítulo decimotercero presenta la bibliografía de la tesis y en el capítulo decimocuarto se presenta un anexo con todos los artículos que el doctorando ha escrito en su etapa de formación doctoral. Estos artículos se dividen en artículos de congreso y de revista, y se orden cronológicamente por años. Cabe destacar que se presentan primero los artículos de congreso porque todos ellos ya han sido publicados mientras que en los de revista hay muchos que de momento están en proceso de evaluación. 42 30000 entradas. Cabe destacar que la cifra es muy superior si se incluye a otros trabajos sobre lógica borrosa o similar en donde no se ha utilizado la palabra fuzzy. Este hecho se produce debido a la gran variedad de teorías que se han generado alrededor de la lógica fuzzy (borrosa), como es el caso de los otros trabajos añadidos después del top-20 con la palabra fuzzy. Cabe destacar que en la segunda lista también se han incluido algunos de los libros más relevantes en esta área de investigación. Los 20 artículos más citados son los siguientes: 45 (1) L.A. Zadeh, Fuzzy Sets, Information and Control 8 (1965) 338-353. Veces citado: 6483. (2) T. Takagi, M. Sugeno, Fuzzy Identification of Systems and its Applications to Modeling and Control, JEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 15 (1985) 116-132. Veces citado: 1642. (3) L.A. Zadeh, Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility, Fuzzy Sets and Systems 1 (1978) 3-28. Veces citado: 1588. (4) C.C. Lee, Fuzzy Logic in Control Systems — Fuzzy Logic Controller 1, /EEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 20 (1990a) 404-418. Veces citado: 1212. (5) J.S.R. Jang, ANFIS — Adaptative Network Based Fuzzy Inference System, /EEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 23 (1993) 665-685. Veces citado: 851. (6) E.H. Mamdani, Application of Fuzzy Algorithms for Control of Simple Dynamic Farm, Proceedings of the Institution of Electrical Engineers — London 121 (1974) 1585-1588. Veces citado: 599. (7) E.H. Mamdani, S. Assilian, Experiment in Linguistic Synthesis with Fuzzy Logic Controller, International Journal of Man-Machine Studies 7 (1975) 1-13. Veces citado: 598. (8) L.A. Zadeh, Similarity Relations and Fuzzy Orderings, Information Sciences 3 (1971) 177-200. Veces citado: 496 (9) L.A. Zadeh, Probability Measures of Fuzzy Events, Journal of Mathematical Analysis and Applications 23 (1968) 421-427. Veces citado: 483. (10)J.A. Goguen, L-Fuzzy Sets, Journal of Mathematical Analysis and Applications 18 (1967) 145-174. Veces citado: 469. (11)L.X. Wang, J.M. Mendel, Generating Fuzzy Rules by Learning from Examples, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 22 (1992a) 1414-1427. Veces citado: 468. (12)C.L. Chang, Fuzzy Topological Spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications 24 (1968) 182-190. Veces citado: 466. (13)L.X. Wang, J.M. Mendel, Fuzzy Basis Functions, Universal Approximation, and Ortogonal Least Squares Learning, J/EEE Transactions on Neural Networks 3 (1992b) 807-814. Veces citado: 420. (14) H.J. Zimmermann, Fuzzy programming and linear programming with several objective functions, Fuzzy Sets and Systems 1 (1978) 45-55. Veces citado: 419. (15) M. Sugeno, G.T. Kang, Structure Identification of Fuzzy Model, Fuzzy Sets and Systems 28 (1988) 15-33. Veces citado: 381. (16)N.R. Pal, S.K. Pal, A Review on Image Segmentation Techniques, Pattern Recognition 26 (1993) 1277-1294. Veces citado: 380. (17) A. Rosenfeld, Fuzzy Groups, Journal of Mathematical Analysis and Applications 35 (1971) 512-517. Veces citado: 363. (18) K. Tanaka, M. Sugeno, Stability Analysis and Design of Fuzzy Control Systems, Fuzzy Sets and Systems 45 (1992) 135-156. Veces citado: 362. (19)C.C. Lee, Fuzzy Logic in Control Systems — Fuzzy Logic Controller 2, JEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 20 (1990b) 419-435. Veces citado: 353. (20)C.T. Lin, C.S.G. Lee, Neural Network Based Fuzzy Logic Control and Decision System, IEEE Transactions on Computers 40 (1991) 1320-1336. Veces citado: 344. Otros artículos o libros de gran impacto: (1) T.L. Saaty, The Analytic Hierarchy Process, McGraw-Hill, New York, 1980. Veces citado: 2215. (2) G.A. Shafer, Mathematical Theory of Evidence, Princeton University Press, Princeton, NY, 1976. Veces citado: 2045. (3) D. Dubois, H. Prade, Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications, Academic Press, New York, 1980. Veces citado: 1759. (4) L.A. Zadeh, Outline of a New Approach to Analysis of Complex Systems and Decision Processes, JEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 3 (1973) 28-44. Veces citado: 1570. (5) H.J. Zimmermann, Fuzzy Set Theory and lts Applications, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1986. Veces citado: 1527. (6) L.A. Zadeh, The Concept of a Linguistic Variable and its application to Approximate Reasoning 1, Information Sciences 8 (1975) 199-249. Veces citado: 1309. (7) G.J. Klir, B. Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications, Prentice Hall, 1995. Veces citado: 873. (8) L.A. Zadeh, The Concept of a Linguistic Variable and its application to Approximate Reasoning 3, Information Sciences 9 (1975) 43-80. Veces citado: 844. (9) Z. Pawlak, Rough Sets, International Journal of Computer «£ Information Sciences 11 (1982) 341-356. 46 Veces citado: 795. (10)L.A. Zadeh, The Concept of a Linguistic Variable and its application to Approximate Reasoning 2, Information Sciences 8 (1975) 301-357. Veces citado: 765. (11) A. Kaufmann, Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets. Vol.1-4, Academic Press, New York, 1975. Veces citado: 738. (12)A.P. Dempster, Upper and Lower Probabilities Induced by a Multivalued Mapping, Annals of Mathematical Statistics 38 (1967) 325-339. Veces citado: 659. (13)T.L. Saaty, Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures, Journal of Mathematical Psychology 15 (1977) 234-281. Veces citado: 616. (14) A. Kaufmann, M.M. Gupta, Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications, Van Nostrand Reinhold, New York, 1985. Veces citado: 607. (15)R.R. Yager, On Ordered Weighted Averaging Aggregation Operators in Multi- Criteria Decision Making, /EEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 18 (1988) 183-190. Veces citado: 530. (16)R.R. Yager, D.P. Filev, Essentials of Fuzzy Modeling and Control, John é Wiley Sons, New York, 1994. Veces citado: 396. A continuación, se muestran los 60 investigadores que más artículos han publicado con la palabra fuzzy. Como se trata de investigadores especializados en lógica borrosa, se acepta el número de entradas como válido. También se añade una columna con el número total de entradas del autor para poder observar el total de publicaciones en revistas incluidas en la /S/ Web of Knowledge. Cabe destacar que se ha utilizado como palabra clave “fuzzy” y a partir de aquí se han buscado los artículos totales de los autores. Desafortunadamente esta lista no es completa al 100% debido a que las búsquedas suelen producir errores por la existencia de autores con varias nomenclaturas en su nombre, etc. Principalmente, se puede destacar que esta lista ha descartado un gran número de investigadores asiáticos. Este problema es debido a la dificultad de poder obtener el número de entradas adecuadas ya que en muchos casos varios autores tenían el mismo nombre y no se podía distinguir entre ellos. Los autores han sido ordenados en función del número de publicaciones con la palabra “fuzzy”. A continuación, se ha añadido una columna con el número total de artículos de cada autor y el número de artículos “fuzzy” publicados en los últimos 10 años. También se ha añadido una columna con el número total de citas recibidas en la 15] Web of Knowledge para poder observar el impacto de cada autor en la comunidad científica. Cabe destacar que se trata de números aproximados debido a lo comentado en el párrafo anterior. En cuanto al número total de artículos, destacar que el valor en paréntesis hace referencia a los artículos científicos mientras que el otro valor incluye notas editoriales, etc. Por último, decir que la información ha sido recopilada el 28-03-2007. 47 Gráficamente: Número de artículos anuales 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Como se puede observar, en los primeros años desde su aparición en 1965, el impacto de la lógica borrosa fue muy bajo. A partir de la década de los 80 se puede observar un ligero incremento en el número de publicaciones que explota a partir de la década de los 90. En la actualidad, el número de publicaciones anuales es superior a 3000, lo cual demuestra el gran impacto que están teniendo estas ideas en la comunidad científica. Si estudiamos el número de publicaciones fuzzy por países, obtenemos los siguientes resultados. Cabe destacar que se considera el número de publicaciones totales, el número de publicaciones en los últimos 10 años y en los últimos 3 años. Con esto, aparte de poder observar el número total de publicaciones, también es posible ver cuál es la evolución de estos países. Cabe destacar que esta información ha sido obtenida el 27-04-2007 y 10-05-2008. Tabla 4: Publicaciones fuzzy por países País Total art. Total Art. 1997- | Citas (Últimos | Art. 2004- fuzzy Citas 2006 10 años) 2006 1- | United States 6674 73792 4098 25629 1225 2- China 3906 13969 3222 9417 1836 3- Taiwan 2614 15175 2168 9396 877 4- Japan 2268 19390 1316 5394 393 5- England 1610 15251 1192 6959 493 6- Canada 1535 11628 1104 5440 479 7- Spain 1531 8587 1209 5468 521 8- India 1524 7930 999 3109 409 9- | South Korea 1502 5956 1237 3609 611 10- Germany 1433 9270 1046 5187 307 Total 33333 238518 23446 96489 9572 Como se puede observar, Estados Unidos es la primera fuerza investigadora en temas fuzzy aunque últimamente se observa un fuerte crecimiento por parte de China. Por otro lado, también se puede observar como España se encuentra muy bien posicionada en 50 esta área de investigación al encontrarse entre las 10 principales fuerzas investigadoras mundiales. A continuación, se muestran los resultados obtenidos en la principal revista fuzzy, es decir, en la Fuzzy Sets and Systems. La información ha sido extraída de la 15! Web of Knowledge el 07-05-2008. Obsérvese que en esta fecha, el número total de artículos publicados en la Fuzzy Sets and Systems era de 5831 artículos. Los 10 artículos más citados en la Web of Science son: (1) L.A. Zadeh, Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility, Fuzzy Sets and Systems 1 (1978) 3-28. Veces citado: 1588. (2) H.J. Zimmermann, Fuzzy programming and linear programming with several objective functions, Fuzzy Sets and Systems 1 (1978) 45-55. Veces citado: 440. (3) M. Sugeno, G.T. Kang, Structure Identification of Fuzzy Model, Fuzzy Sets and Systems 28 (1988) 15-33. Veces citado: 425. (4) K. Tanaka, M. Sugeno, Stability Analysis and Design of Fuzzy Control Systems, Fuzzy Sets and Systems 45 (1992) 135-156. Veces citado: 406. (5) L.A. Zadeh, The role of fuzzy logic in the management of uncertainty in expert systems, Fuzzy Sets and Systems 11 (1983) 199-227. Veces citado: 293. (6) H.J. Zimmermann, P. Zysno, Latent connectives in human decision making, Fuzzy Sets and Systems 4 (1980) 37-51. Veces citado: 253. (7) D. Dubois, H. Prade, Fuzzy Sets in Approximate Reasoning 1. Inference with possibility distributions, Fuzzy Sets and Systems 40 (1991) 143-202. Veces citado: 244. (8) G. Bortolan, R. Degani, A review of some methods for ranking fuzzy subsets, Fuzzy Sets and Systems 15 (1985) 1-19. Veces citado: 239. (9) R.R.Yager, On a general class of fuzzy connectives, Fuzzy Sets and Systems 4 (1980) 235-242. Veces citado: 207. (10) K.T. Atanassov, Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets and Systems 20 (1986) 87- 96. Veces citado: 202. A continuación, se muestran los 30 autores que más han publicado en la Fuzzy Sets and Systems. También se incluye una última fila con el creador de las teorías “fuzzy”, Lotfi A. Zadeh, ya que sus aportaciones son las más citadas. En resumen, se consideran el número total de artículos en la revista, las publicaciones en los últimos 10 años y el número total de artículos. También se muestra las veces que han sido citados tanto los artículos totales como los artículos publicados en la revista. Los resultados son los siguientes: 51 Tabla 5: Autores con el mayor número de entradas en la FSS en la WoS: Nombre del Art. Citas | Art. 1998- | Número total Veces investigador fuzzy FSS 2007 SCI citado SCI 1 W. Pedrycz 9 1523 30 339(302) 2571 2- J.J. Buckley 79 1332 20 120(100) 1367 3- A. Kandel 58 419 23 187(154) 1001 4- R.R. Yager 55 1199 21 313(282) 4371 5- E. Kerre 51 478 32 133(129) 643 6- D. Dubois 48 1224 15 200(160) 3653 7- R. Mesiar 47 333 32 109(91) 467 8- C.X. Wu 47 184 32 64(56) 187 9- H. Prade 43 1195 13 190(150) 3788 10- D.H. Hong 38 208 20 65(60) 230 11- N.N. Morsi 37 309 11 45(41) 309 12- M. Sakawa 37 329 16 170(165) 831 13- R. Fuller 34 358 17 34(29) 371 14- M. Sugeno 30 1681 7 48(44) 3587 15- E. Pap 29 161 23 7975) 425 16- J.L. Verdegay 29 Ss11 9 5753) 787 17- K. Hirota 28 259 7 19075) 425 18- F. Herrera 27 705 17 120(105) 1430 19- H. Tanaka 27 837 6 60(54) 1398 20- B. de Baets 26 171 26 102(96) 37 21- LB. Turksen 26 618 7 7760) 762 22- E. Czogala 25 385 4 33(32) 480 23- M. Delgado 25 336 9 74(72) 638 24- R. Lowen 23 398 5 110(100) 1548 25- | J.N. Mordeson 23 113 4 85(83) 325 26- M.W. Warner 22 126 2 2219) 126 27- E.P. Klement 22 268 10 49(44) 575 28- H. Ishibuchi 21 588 7 78(16) 1299 29- T. Murofushi 21 302 13 3785) 469 30- Y. Yoshida 21 124 16 43(42) 183 * L.A. Zadeh 5 2070 2 142(87) 15540 Obsérvese que las tres primeras columnas fueran obtenidas el 08-05-2008 mientras que las otras dos, el 28-03-2008. A continuación, se muestran los resultados por países. Se consideran los diez países con mayor número de publicaciones en la revista. En este caso, se considera el número total de artículos y de citas, así como el número total de artículos y de citas entre los años 1998-2007. También se consideran el número de artículos publicados por cada país entre los años 2005-2007. 52 Tabla 7: Autores con más entradas con la palabra OWA en la Web of Science son: Autor Entradas con OWA en JCR Total entradas en JCR R.R. Yager 49 313 Z.S. Xu 17 =30 E. Herrera-Viedma 16 48 F. Herrera 15 120 X.W. Liu 10 =15 V. Torra 9 =60 H.B. Mitchell 7 =25 T. Calvo 6 21 F. Chiclana 6 14 R. Mesiar 6 109 En cuanto a las principales revistas de publicación, se puede observar como son las mismas que en el caso de la lógica borrosa. Tabla 8: Revistas con más entradas con la palabra OWA en la Web of Science: Revista Entradas OWA Total Porcentaje | Impact 2007 Fuzzy Sets - Syst. 35 5577 0.6% 1.373 Int. J. Intel. Syst. 33 1027 3.2% 0.667 1J Unc. Fuz. KBS 22 556 3.9% 0.376 1J. Approx. Reas. 13 507 2.5% 1.220 Inform. Sciences 12 2954 0.4% 2.147 A continuación se muestra la evolución histórica de las publicaciones hechas con los operadores OWA. Tabla 9: Número de entradas con la palabra OWA distribuido por años: Año | 1988 | 1989 | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 NArt. 1 0 1 3 4 1 7 11 8 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 7 15 10 16 15 9 23 22 22 49 Gráficamente. NP2de artículos anuales 60 50 40 30 20 10 o 1985 55 Como se puede observar, hasta mediados de la década de los 90, el número de publicaciones es mínimo. A partir de esta fecha, se puede observar una tendencia al alza que hace prever que en los próximos años las cifras continuarán aumentando. Como el número de publicaciones con la palabra OWA es bastante reducido, dividir las publicaciones por países puede no ser del todo adecuado y representativo ya que resulta suficiente con la información obtenida para el caso de los autores individuales. Por tanto, para tratar de estudiar por países el área de especialización de esta investigación, lo que se va a hacer es lo siguiente. Se seleccionarán las 10 revistas SCI/SCCI que se consideran en la actualidad de mayor relevancia para esta investigación doctoral. Cabe destacar que esta selección es subjetiva de acuerdo con los conocimientos del autor. Estas revistas han sido marcadas en negro en la tabla 9. Tabla 10: Publicaciones por países en las 10 principales revistas: País Art. totales | Art. 1997-2006 | Art. 2004-2006 1- | Estados Unidos 7368 3293 991 2- Inglaterra 1953 626 227 3- China 1707 1208 504 4- Canadá 1365 649 225 S- España 1264 922 317 6- Taiwán 1230 935 330 7- Holanda 1154 448 143 8- Japón 1126 577 152 9- Francia 1022 527 185 10- India 905 379 125 Total 25871 12589 4155 Como se puede observar, en este caso Estados Unidos también lidera la clasificación. A continuación se encuentra Inglaterra aunque la tendencia muestra un fuerte crecimiento por parte de China que hace presagiar que un corto plazo de tiempo pase a ocupar el segundo lugar. Por otra parte, España también muestra una gran influencia en estas revistas al ubicarse en el quinto lugar mundial. Cabe destacar que cada artículo puede tener un valor doble o triple por el hecho de existir varios autores en la publicación. 56 2.3. Principales revistas para la investigación Para finalizar el estudio sobre el estado de la cuestión, se va a mostrar las diferentes revistas existentes en este ámbito. Cabe destacar que estas revistas han sido seleccionadas de un grupo mayor. Básicamente, las revistas expuestas son las que el autor ha considerado más relevantes para este proyecto de investigación. Para cada revista se muestra su índice de impacto en el 2004, 2005, 2006, 2007. También se han añadido algunas de las revistas españolas en economía y empresa que a día de hoy ya han accedido a la 15] Web of Knowledge. Tabla 11: Principales revistas en la Journal Citation Reports con el Impact Factor (1.F.) en los años 2004, 2005, 2006 y 2007. Journal title LF. -2007 | 1.F.- 2006 | 1.F. - 2005 | LF. - 2004 IEEE Trans. Neural Networks 2.769 2.620 2.205 2.170 Information Sciences 2.147 1.003 0.723 0.540 IEEE Trans. Fuzzy Systems 2.137 1.803 1.701 1.373 Computational Intelligence 1.972 1.415 0.532 1.923 Management Science 1.931 1.687 1.669 1.934 Applied Soft Computing 1.537 0.849 - - Operations Research 1.467 1.234 1.219 0.803 J Amer. Soc. Inf. Sci. Techn. 1.436 1.555 1.583 2.086 Decision Sciences 1.435 1.620 1.055 0.764 Fuzzy Sets and Systems 1.373 1.181 1.039 0.734 IEEE Trans. SMC — B 1.353 1.538 1.108 1.052 OMEGA —IJ Manag. Sci. 1.327 0.663 0.648 0.286 IJ Aprox. Reasoning 1.220 1.262 0.959 0.929 Exp. Syst with Applic. 1.177 0.957 1.236 1.247 Computers « Oper. Res. 1.147 0.893 0.746 0.562 J Risk and Uncertainty 1.122 0.846 2.100 1.480 Decision Support Systems 1.119 1.160 0.946 1.458 European J Oper. Res. 1.096 0.918 0.824 0.828 Rel. Eng. Syst Safety 1.004 0.920 0.747 0.551 1J Production Economics 0.995 1.183 1.008 0.879 IEEE Trans. Eng. Manag. 0.962 0.825 0.864 0.573 J Business Research 0.878 0.815 0.694 0.607 Math. Oper. Res. 0.875 0.785 0.906 1.044 IEEE Trans. SMC - A 0.868 0.980 0.821 0.555 IEEE Trans. SMC -— C 0.864 0.885 0.706 0.482 J Global Optimization 0.813 0.568 0.662 0.693 J Intelligent Inform. Syst. 0.796 0.750 1.234 0.851 J. Oper. Research Society 0.784 0.597 0.603 0.515 Computers 4: Math. Applic. 0.720 0.611 0.430 0.431 IJ Inf Techn and Dec. Mak. 0.718 0.818 - - Y Opt. Theory Applic. 0.688 0.633 0.612 0.593 IJ Intelligent Systems 0.667 0.429 0.657 0.603 Cybernetics and Systems 0.655 0.964 0.681 0.768 Soft Computing 0.607 0.516 0.538 0.333 TEST 0.607 0.581 1.163 0.881 57 Icfaian Journal of Information Technology Icfaian Journal of Management Research Icfaian Journal of Managerial Economics Icfaian Journal of Organizational Behaviour Icfaian Journal of Systems Management IMA Journal of Management Mathematics INFOR: Information Systems and Operational Research Informatica Information: An International Interdisciplinary Journal Information — Interaction — Intelligence: A Journal in Information Engineering Sciences Information — Knowledge — Systems Management Information Resources Management Journal Information Sciences for Decision Making Information Technology Journal Intelligent Data Analysis Intelligent Decision Technologies Interdisciplinary Information Sciences Interdisciplinary Journal of Information, Knowledge, and Management International Journal of Advanced Cybernetics and Intelligent Systems International Journal of Advanced Intelligence Paradigms International Journal of Applied Artificial Intelligence in Engineering International Journal of Applied Computing International Journal of Applied Decision Sciences International Journal of Applied Management Sciences International Journal of Applied Management £ Technology International Journal of Applied Mathematics and Computer Science International Journal of Applied Science, Engineering and Technology International Journal of Applied Systemic Studies International Journal of Artificial Intelligence and Computational Research International Journal of Artificial Intelligence and Soft Computing International Journal of Autonomic Computing International Journal of Behavioural Accounting and Finance International Journal of Bioinformatics and Soft Computing International Journal of Biomedical Soft Computing International Journal of Business and Systems Research International Journal of Business Forecasting and Marketing Intelligence International Journal of Business Information Systems International Journal of Business Intelligence International Journal of Business Intelligence and Data Mining International Journal of Business Performance Management International Journal of Computational Engineering Science International Journal of Computational Intelligence International Journal of Computational Intelligence and Applications International Journal of Computational Intelligence and Health Care Informatics International Journal of Computational Intelligence and Organizations 60 61 International Journal of Computational Intelligence and Telecommunications Systems International Journal of Computational Intelligence in Bioinformatics and Systems Biology International Journal of Computational Intelligence in Control International Journal of Computational Intelligence Research International Journal of Computational Intelligence Research £ Applications International Journal of Computational Intelligence Studies International Journal of Computational Intelligence Systems International Journal of Computational Intelligence Theory and Practice International Journal of Computational Intelligence: Theory and Practice International Journal of Computational Science International Journal of Computer and Information Science and Engineering International Journal of Computer, Information, and Systems Science and Engineering International Journal of Computer £ Information Science International Journal of Computers, Communications $ Control International Journal of Computer Science International Journal of Computer Science 4 Applications International Journal of Computer Science and Engineering International Journal of Computer Science and Information technology International Journal of Computer Science and Management Systems International Journal of Computer Science in Sports International Journal of Computer Science, Systems Engineering and Information Technology International Journal of Computer Systems Science and Engineering International Journal of Computing and Applications International Journal of Computing and Information Sciences International Journal of Computing Science and Mathematics International Journal of Data Analysis Techniques and Strategies International Journal of Decision Sciences, Risk and Management International Journal of Electrical, Computer, and Systems Engineering International Journal of Environmental Policy and Decision Making International Journal of Fuzzy Logic and Intelligent Systems International Journal of Fuzzy Systems and Rough Systems International Journal of Granular Computing, Rough Sets and Intelligent Systems International Journal of Grid and Utility Computing International Journal of Human and Social Sciences International Journal of Hybrid Computational Intelligence International Journal of Hybrid Intelligent Systems International Journal of Industrial and Systems Engineering 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Computing International Journal of Soft Computing * International Journal of Soft Computing and Bioinformatics 62 Transactions on Operational Research Vikalpa: The Journal for Decision Makers World Journal of Modelling and Simulation WSEAS Transactions on Business and Economics WSEAS Transactions on Computers WSEAS Transactions on Systems WSEAS Transactions on Systems and Control WSEAS Transactions on Circuits and Systems WSEAS Transactions on Information Science and Applications Yugoslav Journal of Operational Research 40R: Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies Además de estas revistas, también se tiene que considerar toda una amplia gama de publicaciones hechas en diferentes congresos internacionales. De entre todos estos se pueden destacar los organizados por las siguientes asoci iones científicas. Cabe destacar que se muestran únicamente los de mayor relevancia mundial destacando principalmente aquellos que tienen gran influenza en Europa y en España. 65 ACIA: Associació Catalana d'Intel.ligencia Artificial AMSE: Association for Modelling and Simulation in Enterprises AEDEM: Academia Europea de Dirección y Economía de la Empresa ACEDE: Asociación Científica de Economía y Dirección de Empresas AGOP: European Working Group on Aggregation Operators ASEPELT: Asociación Española de Economía Aplicada ASEPUMA: Asociación Española de Profesores Universitarios de Matemáticas para la Economía y la Empresa BUFSA: Balkan Union for Fuzzy Systems d Al DAS: Decision Analysis Society DSL: Decision Sciences Institute ECSQARU: European Conference on Symbolic and Quantitative Approaches for Reasoning under Uncertainty ESTYLF: Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica Fuzzy EURO: The Association of European Operational Research Societies EUROFUSE: European Working Group on Fuzzy Sets EUSFLAT: European Society for Fuzzy Logic and Technology EWG-DSS: Euro Working Group on Decision Support Systems EWG-MCDA: Euro Working Group on Multicriteria Decision Aid FLINS: Fuzzy Logic and Intelligent Technologies in Nuclear Science FSKD: International Conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery FSSCEF: International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing, in Economics and Finance FSTA: Fuzzy Set Theory and Applications FUR: Foundations and Applications of Risk, Utility and Decision Theory GDN: Group Decision and Negotiation Meeting GOR: The German Society for Operations Research HIS: International Conference on Hybrid Intelligent Systems TIAENG: International Association of Engineers IASTED: International Association of Science and Technology for Development ICAISC: International Conference on Artificial Intelligence and Soft Computing ICEIS: International Conference on Enterprise Information Systems TEEE-CIS: /EEE Computational Intelligence Society TEEE-SMC: JEEE Systems, Man and Cybernetics Society IFORS: International Federation of Operational Research Societies IFSA: International Fuzzy Systems Association INFORMS: The Institute for Operations Research and the Management Sciences IPMU: Information Processing and Management of Uncertainty ISIPTA: International Symposium on Imprecise Probabilities and their Applications LFA: French Days on Fuzzy Logic and Applications MCDM: Int. Society on Multiple Criteria Decision Making MDAL: Modelling Decisions for Artificial Intelligence NAFIPS: North American Fuzzy Information Processing Society ORS: The Operational Research Society of UK RASC: Recent Advances in Soft Computing RUD: Risk, Utility and Decision SEIO: The Spanish Society of Statistics + Operations Research SIGEF: Sociedad Internacional de Gestión y Economía Fuzzy SOFT: Japan Society for Fuzzy Theory and Intelligent Informatics SPUDM. Subjective Probability, Utility and Decision making WASET: World Academy of Science, Engineering and Technology WILF: International Workshop on Fuzzy Logic and Applications WSEAS: World Society of Engineering and Applied Sciences 66 67 se le introduce el grado de optimismo (o carácter actitudinal) del decisor. De esta forma a pesar de utilizar probabilidades, también se considera el grado de optimismo del decisor lo cual representa un análisis mucho más completo del problema decisional. o Otras probabilidades: Existe una gran variedad de métodos probabilísticos. Aparte de los comentados anteriormente, podemos destacar el uso de diferentes formas de representación de las probabilidades en contextos inciertos como son el uso de intervalos de confianza, números borrosos, variables lingúísticas, etc. Para más información, véase por ejemplo, (Engemann y Yager, 2001; Halliwell and Shen, 2009; Viscusi y Evans, 2006; Yager, 1999c; Yager y Kreinovich, 1999; Zadeh, 1984). e En situaciones de incertidumbre (o también conocido como situaciones de ignorancia), se conoce cuáles son los posibles resultados futuros pero se desconoce el grado de probabilidad asociado a ellos. Es decir, se conoce todos los posibles estados de la naturaleza pero se desconoce cual de ellos se va a presentar. En estos casos, se tiene que recurrir a una serie de criterios subjetivos para poder tomar una decisión. Como se ha comentado anteriormente, cabe destacar que la información disponible puede ser precisa, imprecisa, borrosa, lingiística, etc. Entre los diferentes métodos existentes para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre, podemos destacar como métodos clásicos los siguientes: 0 0) 6) El criterio optimista: Parte del supuesto de que se nos presentará el estado de la naturaleza más favorable. Por tanto, nuestra elección consistirá en escoger para cada alternativa el resultado más favorable que se puede presentar, y de entre los resultados obtenidos para cada alternativa, escoger el resultado más favorable de todos. Este método se conoce comúnmente como el método maximax, es decir, de entre los máximos beneficios, escoger el mayor de todos. Su formulación es la siguiente. Decisión = Max(E;) = Max [Max (aj)] El criterio pesimista o de Wald: Propuesto por Wald (1950), se sugiere que el decisor debe elegir aquella alternativa que le proporcione el mayor nivel de seguridad posible. Es decir, se parte del supuesto de que se nos presentará el estado de la naturaleza más desfavorable y por tanto, nuestra decisión consistirá en escoger el resultado más favorable de entre los más desfavorables escogidos para cada alternativa. Este método se conoce comúnmente como el método maximin, es decir, de entre los mínimos beneficios, escoger el mayor de todos. Su formulación es la siguiente. Decisión = Max (E£;) = Max [Min(aj)] El criterio de Hurwicz: Propuesto por Hurwicz (1951), se puede considerar como una combinación entre el criterio optimista y el criterio pesimista. Es decir, consiste en ponderar con un coeficiente de optimismo y otro de pesimismo al mejor y peor 70 caso respectivamente. Después, se suman los 2 valores y se escoge aquella alternativa que proporcione un mayor resultado. Su formulación es la siguiente. Decisión = Max (E£;) = Max[a Max(a;) + (1 — a) Min(a;)] donde: a+(1—a)=1. + Se demuestra que si a = 1; Decisión = Max[IxMax(a;) + 0xMin(a;)] Max[Max(a;)] = Criterio optimista. e Por otro lado, si a = 0; Decisión = Max[0xMin(a;,) + 1xMin(aj)] Max[Min(a;)] = Criterio pesimista. (4) El criterio de Laplace: Propuesto por Laplace (1825), está basado en un principio de razón insuficiente que implica asociar un mismo grado de probabilidad a los distintos estados de la naturaleza, siempre y cuando no tengamos indicios de lo contrario. Su formulación es la siguiente. Decisión = Max (E;) = Max[(l/n) Y, 61 (5) El criterio de Savage: Propuesto por Savage (1951), se considera que para cada estado de la naturaleza existe una estrategia Óptima. A partir de aquí, al resto de estrategias se les asignará un valor de coste de oportunidad en relación al coste de oportunidad óptimo. Una vez establecidos todos los costes de oportunidad, escogeremos el mayor coste de oportunidad para cada alternativa y nuestra decisión consistirá en escoger el menor coste de oportunidad de entre los mayores escogidos para cada alternativa. Es decir, una vez hemos establecido la matriz de costes de oportunidad, consiste en hacer un criterio pesimista de costes que comúnmente se conoce como el método minimax. Su formulación es la siguiente. Decisión = Min (E;) = Min[Max(S;)] donde: S;=Max(a;) - aj. Para finalizar con estos criterios de decisión clásicos, destacar que cada criterio ha consistido en adoptar una postura determinada por parte del decisor, a través de la cual, se tomará la decisión. En los próximos capítulos se estudiará una técnica que engloba a estos criterios y se denomina ordered weighted averaging (OWA) operator (Yager, 1988). Además, también podemos mencionar otros métodos de decisión frecuentemente usados como son el Weighted Sum Model (WSM) (Fishburn, 1967), el Weighted Product Model (WPM) (Bridgman, 1922; Miller y Starr, 1969), el Analytic Hierarchy Process (AHP) (Saaty, 1978), el TOPSIS (Hwang y Yoon, 1981) y el ELECTRE (Roy, 1968). Una buena introducción sobre estos métodos puede encontrarse en (Romero, 1993; Triantaphyllou, 2000; Figueira et al., 2005). Por último, también mencionar otros contextos de decisión frecuentemente utilizados como son las decisiones secuenciales, las decisiones de grupo y el concepto de utilidad. 71 0) Q) Las decisiones secuenciales son aquellas que pasan por varios procesos simples de decisión. En estos casos, la matriz de decisión resulta insuficiente para representar el problema y se tiene que recurrir a otras representaciones como son los árboles de decisión (López-Cachero, 1989). Un árbol de decisión es un grafo conexo y sin ciclos que explica la secuencia de las decisiones a tomar y los diversos acontecimientos que pueden suceder (Gracia- Ramos et al., 2007). Los elementos fundamentales de los árboles de decisión son: + Puntos de decisión que representan las distintas opciones a adoptar por el decisor ante una situación dada. * Acontecimientos o sucesos inciertos que corresponden a los distintos fenómenos aleatorios que pueden suceder cuando se ha adoptado una decisión. + Resultados esperados. En cuanto a la fase de elaboración de un árbol de decisión, se siguen las cuatro etapas sucesivas siguientes: 1. Determinar el conjunto de acciones y acontecimientos posibles así como la secuencia de las decisiones a tomar. 2. Representar mediante un árbol las secuencias alternativas de acción O estrategias de acontecimientos. 3. A partir del grafo, determinar los puntos finales. Para cada punto final se calculará el resultado condicional en función de los datos económicos disponibles. 4. A cada acontecimiento, se le asociará una probabilidad. Finalmente, se tienen los elementos necesarios para tomar las decisiones simplificando las alternativas en cada punto y eligiendo mediante el método de avance hacia atrás (roll-back). También se tiene que destacar que las decisiones secuenciales pueden ser utilizadas en contextos de certeza, de riesgo o de incertidumbre. Por tanto, aunque en la actualidad la mayor parte de estos estudios se concentran en situaciones de riesgo, se tiene que mencionar la posibilidad de utilizarlos en situaciones de incertidumbre total en donde se podrían utilizar los métodos clásicos de decisión y otros métodos que se comentarán en los próximos capítulos 4 — 10. También destacar la posibilidad de representar la información de un árbol mediante intervalos de confianza, números borrosos, variables lingúísticas, técnicas de decisión de grupo, etc. Las decisiones de grupo hacen referencia a los procesos de decisión en los cuales intervienen varias personas o expertos. Son de gran utilidad para dar una mayor credibilidad a la información ya que en términos generales, se supone que la opinión de un grupo de personas (expertos) suele ser más fiable que la opinión de una sola persona. Para más información sobre estos métodos, véase por ejemplo, (Alonso et al., 2006; 2008a; 2008b; Chiclana et al., 2001b; 2007; 2008; Herrera et al., 1996b; Herrera y Martínez, 2001b; Herrera-Viedma et al., 2007a; 2007b; Kacprzyk y Fedrizzi, 1989; Kacprzyk et al., 1996; Xu, 2004b; Yager y Kacprzyk, 1997) y el apartado 3.2.6. de expertones. 72 Tabla: Resultados agregados Optimista Pesimista Laplace Hurwicz Savage A; 80 30 58 50 40 Az 9 40 61 60 30 Az 120 10 51 54 35 As 80 30 54 50 40 As 9 30 60 54 30 Como se puede observar, la decisión es diferente en función del criterio utilizado. Si utilizamos el criterio optimista, seleccionaremos la inversión Az. Si se utiliza el criterio pesimista, el de Laplace o el de Hurwicz, la decisión será invertir en el sector automovilístico. Por último, si se utiliza el criterio de Savage, tanto el sector o como aeroespacial, pueden ser decisiones óptimas en este problema. Cabe destacar que en el criterio de Savage se estudian costes de oportunidad, por tanto, la decisión óptima es aquella que tiene un menor coste de oportunidad. Otra alternativa en el proceso de decisión consiste en establecer una ordenación de las inversiones. Cabe destacar que este hecho resulta relevante cuando se desea seleccionar más de una inversión o se desea considerar posibles sustituciones ante casos excepcionales. Los resultados se muestran a continuación. Obsérvese que ? significa preferido a. Tabla: Ordenación de las inversiones Ordenación Ordenación Optimista Az A7=AsPA¡=A4 Hurwicz A> A3=AsPA¡=A4 Pesimista A>2bA¡=A¿ZAStAz Savage A>=AsPA3PA¡=As Laplace Az PA 5 PA 1 'Ay PA 3 Como se puede observar según el criterio utilizado, la ordenación será diferente y por tanto, la decisión de la empresa inversora también. 75 3.2. Instrumentos matemáticos para el tratamiento de la incertidumbre 3.2.1. La valuación 3.2.1.1. Concepto Es un dato numérico en una escala adecuada de valores que afectamos a un fenómeno percibido por nuestros sentidos o por nuestra experiencia. Es la expresión subjetiva de un nivel de verdad, el cual toma sus valores del intervalo de confianza [O, 1]. Se tiene que distinguir del concepto de: - Evaluación: Es la asociación de un valor numérico, que puede ser positivo, negativo o nulo, a un objeto (concreto o abstracto) realizada por un experto. - Probabilidad: Es un dato objetivo, y por tanto teórico, aceptado por todo el mundo. Obsérvese que la probabilidad se halla ligada a la noción de azar mientras que la valuación a la noción de incertidumbre y subjetividad. Las valuaciones pueden ser asignadas en toda escala numérica de valores, pero las más usuales son: - Enel campo binario: 0 o 1. - Enel campo multivalente o borroso: Número comprendido entre O y 1, incluidos estos. De entre todas las formas de expresar la subjetividad, las más usuales, por su facilidad comunicativa son: - Numero preciso “a”, siendo a e [O, 1]. - Intervalo de confianza “[a¡, a2]”, siendo 0 £ a, < az < 1. Obsérvese que aj hace referencia al extremo inferior y a, al extremo superior. - Tripleta de confianza “[a,, a», a3]”, siendo O < a, £ az E az € 1. Obsérvese que en este caso a) hace referencia al máximo de presunción, es decir, el valor que se presume como de mayor posibilidad de ocurrencia. - Cuádruplo de confianza “[a,, [a2, az], as)”, siendo 0 £ a Lar az <a Sl. Obsérvese que az y az hacen referencia al intervalo de máxima presunción, es decir, el intervalo que se presume de mayor posibilidad de ocurrencia. Cuando una valuación expresa un valor de verdad entre O (falso) y 1 (verdadero), se pueden elegir un número infinito de correspondencias semánticas de la verdad a la falsedad. Veamos algunos ejemplos: - Escala binaria: (0 = falso, 1 verdadero). 0 = falso, 0.5 = ni falso ni verdadero, 1 = verdadero). - Escala cuaternaria: (0 = falso, 1/3 = más falso que verdadero, 2/3 = más verdadero que falso, verdadero). - Escala pentaria: (0 = falso, 1/4 = más falso que verdadero, 1/2 = ni verdadero ni falso, 3/4 = más verdadero que falso, 1 = verdadero). 76 - Escala endecadaria: (0 = falso, 1/10 = prácticamente falso, 2/10 = casi falso, 3/10 = bastante falso, 4/10 = más falso que verdadero, 5/10 = ni verdadero ni falso, 6/10 = más verdadero que falso, 7/10 = bastante verdadero, 8/10 = casi verdadero, 9/10 = prácticamente verdadero, 1 = verdadero). - Etc. 3.2.1.2. Aritmética de las valuaciones La adición, sustracción, producto y división ordinarias no forman parte de la aritmética de las valuaciones en [O, 1], al no ser operaciones internas, ya que el resultado puede quedar fuera del intervalo [O, 1]. Las principales operaciones lógicas con las valuaciones son: - Mínimo (A): que corresponde a “y” (el uno y el otro). - Máximo (v): que corresponde a “y/o” (el uno, el otro o los dos). - Complemento a la unidad (7 ). La aplicación de las operaciones para cada una de las formas en que se pueden expresar las valuaciones será: Dados: - Números precisos: a, b e [0O, 1]. - Intervalos de confianza: [a:, a21, [b1, b2], con as, az, bi, ba, e [O, 1]. - — Tripletas: [a¡, a2, az], [b1, b», b3] con a, a,, az, bi, b,, b3 € [O, 1]. - Cuádruplos: [a,, [a», a3], as], [b1, [b2, b3l, ba] con ar, az, az, as, br, ba, b3, ba € [0, 11. Mínimo: - Números precisos: a (A) b=min(a, b). - Intervalos de confianza: [a¡, a2] (A) [b1, b2] = [min(a;, b1), min(a,, b>)]. - — Tripletas: [a¡, az, as] (A) [b1, b>, b3] = [min(a,, b1), min(a», b2), min(az, b3)]. - — Cuádruplos: [a;, [a2, az], as] (A) [b1, [b2, b3l, ba] = [min(a1, bi), [min(a, b2), min(az, b3)], min(aa, b4)]. Máximo: - Números precisos: a (v) b=max(a, b). - Intervalos de confianza: [a¡, a2] (v) [b1, b,] = [max(a;, b,), max(a», b,)]. - — Tripletas: [a¡, az, az] (v) [b1, b>, b3] = [max (a1, bi), max (a, b2), max (az, b3)1. - Cuádruplos: [a1, [a2, az], as] (v) [b1, [ba, ba], ba] = [max(a1, b1), [max(az, b2), max(az, b3)], max(as, b4)]. Complemento a la unidad: - Números precisos: 4=1-—a. - Intervalos de confianza: [a,,a,]=[1-a>,1-aj]. - Tripletas: [a,,a,.az31=[1-a3.1-a,.1-aj]. m Cabe destacar que en la resta no se cumplen las propiedades previamente comentadas en la suma. C) Producto (multiplicación) A () B=[a;, a21(-) [b1, b,] = [min(a, () b,, ar () db», a, () b1, a, (>) b>), max(a, () by, ar () ba, az () bi, a2 (>) da). Obsérvese que para el caso particular de R* tenemos: A (-) B = [ay (+) b¡, a, (-) ba] Propiedades - Conmutativa: A()B=B(-)A - — Asociativa: [A (-) B]()C=A()[B()C] - Elemento neutro: 1 (()A=A()1=A D) División A (=) B = [a,, a2] (+) [b1, b2] = [min(a, / b1, ar / ba, a2 / br, az / b2), max(ar / b, ar / ba, a» /b,, a21b,)]. Obsérvese que para el caso particular de R* tenemos: A (+) B= [a / b», az / by] E) Multiplicación por un número real Dado ke R: k (-) A = [min(ka;, ka2), max(ka,, ka2)] o bien: -Sik>0,k() A=k[a,, a2]=[ka;, ka2]. -Sik<0,k() A=k [a,, az] = [ka», ka]. F) División por un número real Dado ke R-— (0): A(5)k=[a;, a2] +) k = [min(a; / k, a2/ k), max(a1 / k, a2/ k)] O bien: -Sik>0,A (2)k=[a1/k, a2/ k] -Sik<0,A(>)k=[a,/k, a1/k] 3.2.2.3. Relación de orden Los intervalos no forman un orden total, sino un orden parcial, ya que existen intervalos que no son comparables directamente. Dados: A=[a,,a,] CR y B=[b,, b,] CR. 80 A>BS5412bi y a2 2 ba. Así, por ejemplo, [—1, 7] y [3, 5] no son comparables de manera inmediata, ya que —1 < 3y7>5. Para pasar de un orden parcial a un orden total, es necesario establecer de manera arbitraria un criterio, y sino es suficiente, recurriremos a un segundo criterio. ler criterio: La media de los extremos del intervalo 4 (lar, a2]) = (ar + a2) / 2 entonces: A> BS (a¡+a47)/2 > (b,+b,)/2. Ejemplo: (+1 +7) / 2 =3; (3 + 5) /2 =4. Por tanto, en este caso, podemos decir que el intervalo [3, 5] es mayor al intervalo [—1, 7]. 2* criterio: En el caso de que a¡ + a2 = bi + b,, este criterio no decide, por lo que es preciso adoptar otro. Se proponen 3 criterios a escoger según la naturaleza del problema: 1) A>BSa»2> ba. 2) A>Boa>bj. 3) A>B Sa, a1< bo br. Ejemplo: Si A =[2, 4] y B =[0, 1], A y B son comparables ya que2>0y4>1=>A> B. SiA=[-2, 10] y B=[1,7]: 2(A)=(62+10)/2=4. 2(B)=(1+7)/2=4. 2(4)=1(B). Como el ler criterio no decide, adoptamos otro criterio; 1) 10>7>A>B. 2) 2<1>A<B. 3) 104+2>7-1>A<B. 3.2.2.4. Maximización y minimización Mínimo: A (a) B = [a,, a2] (1) [b,, b2] = [min(a,, by), min(a), b)] = la, (4) b1, ar (A) ba]. 81 Máximo: A (v) B = [a;, a2] (v) [b1, b2] = [max(a,, b1), max(a», b2)] = [a (v) b1, az (v) ba]. Propiedades: - Conmutativa: A(NB=B(A)A A(WB=B(V)A - Asociativa: (A(N BN C=A(N(B (NC) (A (v) B) (v) C=A (v)(B (v) C) - — Idempotencia: A(NA=A A(YA=A - Absorción: AMNA(yMB)=A AMA(NB)=A - — Distributiva: A(N(B(Y) C)=(4 (1) B) (v) (4 (N) C) A(Y)(B(N C)=(4 (v) B) (N (A (v) €) 3.2.2.5. Intervalos de confianza repetidos A=[a¡, 2] ER AHADAG)... HA=[a,, 42164) la, 4164)... AH la, a] =MM0) an) al=n (A En este caso, si “x = (a; + a2) / 2” es el valor central de A, el valor central de n (-) A es: [nO (a +a)1/2=n()x 3.2.2.6. Intervalos de confianza de grado superior Los extremos de un intervalo de confianza pueden ser inciertos, es decir, otros intervalos de confianza, en cuyo caso tendríamos: Lo cual representa un intervalo de confianza de segundo grado. A continuación, tendríamos los intervalos de confianza de tercer grado: A3=[[[ar, az], [az, as]1, [[as, as], [ar, as]1] Y así sucesivamente, con carácter ilimitado. 82 3.2.3.2. Normalidad y convexidad en los subconjuntos borrosos Dado un subconjunto borroso A CR diremos que es “normal” cuando: vHaA Go =1 x Es decir, cuando existe al menos un elemento cuya función de pertenencia toma el valor L Subconjunto borroso normal Subconjunto borroso no normal 1 MAC) Como se puede observar, para cada nivel de presunción se define un subconjunto de confianza Ao, que al tratarse de números reales, es un intervalo de confianza A = [a (0), alo]. Se dice que A es convexo si: 0%> > (Aa: CAL> [ar(o), alo )] E la(o), ao). Subconjunto borroso convexo Subconjunto borroso no convexo Con estos dos conceptos se puede redefinir un número borroso diciendo que es un subconjunto borroso de R normal y convexo. 85 3.2.3.3. Intersección, unión y complementación de subconjuntos borrosos 1) Intersección ADBOVxE E, Mangl(a)=M4(x) AUglx) Propiedades: - Conmutativa: ANB= BN A - Asociativa: ANM(BAC)=(ANB)AC - Idempotencia: ANDA=A - AND=9 - AQDE=A 2) Unión AUBOVxeE, Mao B (Y) =u4() V Ug(x) Propiedades: - Conmutativa: AUB= BUA - Asociativa: AU(BUC)=(AUB)JUC - Idempotencia: AUVA=A - AUD=9 - AUE=A También se cumple la propiedad distributiva tanto de la intersección respecto de la unión, como de la unión respecto de la intersección: - — Distributiva: o ANM(BUC)=(ANBJU(ANC) o AL(BAC)=(AUB)IMAUC) 3) Complementación Vxe E, MG090=1- MAGO Propiedades: - Involución: (A) =A - Teoremas de De Morgan: o AMB=AUB o AUB=ANB 86 3.2.3.4. Otros operadores de los subconjuntos borrosos Obsérvese que aparte de la intersección, la unión y la complementación, existen muchas otras operaciones posibles como por ejemplo, la operación de normalización (transformar un número borroso no normal en normal), la traslación a la derecha o a la izquierda, la compresión, la dilatación, el aumento de contraste, etc. Para más información sobre estos operadores, se puede consultar los libros de Kaufmann y Gil Aluja (1987; 1990) y de Kaufmamn et al. (1994). 3.2.3.5. Subconjuntos D - borrosos La teoría de los subconjuntos borrosos puede ser extendida y generalizada a expresiones de mayor complejidad en donde las valuaciones de los subconjuntos son expresiones más complejas a los números precisos. A modo orientativo, veamos un ejemplo que ilustre las diferencias. Supongamos un referencial E tal que: E=(a,b,c,d,e, f) Referencial E: E= | 1 [ 1 [ 1 l 1 [ 1 [ 1 ] Subconjunto ordinario: a HO Subconjunto borroso: a b C d e f A= 5 8 3 9 4 8 Subconjunto O — borroso: a b C d e f A= [.2, .6] 5 8 [.3,.6] [4,7] [2, .3] Subconjunto P — borroso: a b C d e f A = [2,.5] U [.8, .9] 7 | [4,.6] [2, .3] U [.5, .8] [3,.5] 1.5 Y así sucesivamente, se podrían estudiar subconjuntos borrosos de orden superior, etc. Para más información, véase por ejemplo (Atanassov, 1986; 1989; 1999; Atanassov y 87 Ejemplo: 0 x<2 2 2<1<5 4 MA(x)= 1 5<x<7 97: 7<x<9 2 0 x29 3.2.4.2. Suma de números borrosos Se tiene que distinguir entre la suma en el ámbito continuo y en el ámbito discreto. 1) Dados 2 números borrosos A y B, se define la suma en R, en el ámbito continuo, tomando sus o*cortes de la siguiente forma: C=A(+4)BSVael0, 1] Ca=Aa(+) Ba [a(o), cx] =[a(0), a o)] (+) [b(0), bAX A] =[ar(A) + bi(), ala) + bA0)] 2) Suma de números borrosos en Z (campo de los números enteros). En este caso, se utiliza la fórmula conocida como “convolución maxmin” para la adición. Mamal)=_v Waorugo») 2=X+y Ejemplo en el ámbito discreto: Dados 2 números borrosos A y B, en el campo de los enteros Z, tales que: 2 -1 0 1 2 3 4 5 A= [| 0 | Ta [| 7 | 1 [Is [| s [| o ] -1 0 1 2 3 4 B= | 0 | 1 ] a | 1 [ 6 | 0 | Se obtiene como resultado: 2 1.001 2 3.45 AwyB= [ 0 |] 1]2] 4] 4]. 7]1].8]|.06| Obsérvese, que los valores obtenidos se obtienen de: 90 Maca) = la (2) 11180) v (a (ED AMB ED)=0 1.1) (20)=0v0=0 Maca ED = la 2) a ag) v (a ED a 8 (0) v (400) a ug D)=00 » 4) y (2 A.I)v(4A0)=0v.1v0=.1 Macoz O) = lus (2) gr) la 80) (4 00) a 8 (O) la (0) ng ED) = =(0A1)v(21.4)v(4n.1)v(710)=0v.2v.1v0=.2 Y así sucesivamente, se podrían ir obteniendo el resto de resultados mediante la convolución maxmin hasta llegar al máximo, en este ejemplo, el 8. Por tanto, si se observa los dos últimos resultados, se obtiene lo siguiente. Maca = la (5) ag (2))v (ua (6) a 8 Or) v la (3) ng (4)= On 1) v (5 A .6)v(8A0)=0v.5v0=.5 Maa) = (146) nugG))w la (0)n ug (4))= 01.6) v (51 0)=0v0=0 Ejemplo en el ámbito continuo: Dados 2 números borrosos A y B, en el campo de los reales R, cuyas funciones de pertenencia son: 0 x<2 +2 2<x<2 4 MAC) = Sr 2<1<8 6 0 x28 0 x<-5 x+5 —S5S<x<0 5 uBO)= 1 0O<x<1l dx 1<x<5 4 0 x25 En primer lugar, pasamos las funciones de pertenencia a la forma o*cortes. Al=[40-2,8-60] B¿=[50-5,5-40] Ag(+) Ba = l[ar(a), a a)] (+) [bi(O), ba(a)]= [90 7, 13 100] 91 Con este resultado obtenido en (*cortes, se vuelve a pasar a la función de pertenencia, obteniendo así, el resultado deseado. UB) = 0 x+7 9 1 13-x 10 0 Obsérvese que estos resultados pueden expresarse mediante intervalos de confianza para cada nivel de presunción. Es decir: a Ag Ba Aa(Y) Ba 1 2 [O, 1] 2, 3] 0.9 11.6, 2.6] EOS, 1.4] [1,4] 0.8 [1.2, 3.2] EL 18] [0.2, 5] 0.7 [0.8, 3.8] [EL5, 2.2] [-0.7, 6] 0.6 [0.4, 4.4] [2, 2.6] [16,7] 0.5 [O, 5] [25,3] [22.5, 8] 0.4 120.4, 5.6] (13, 3.4] (13.4,9] 0.3 (0.8, 6.2] [53.5, 3.8] [44.3, 10] 0.2 [E12, 6.8] 144, 4.2] 152,11 0.1 EL6, 7.4] [f4.5, 4.6] [6.1, 12] 0 [2, 8] [S5, 5] [7, 13] A continuación, se van a presentar algunas de las principales propiedades de la suma de números borrosos: 1) Conmutativa A(+)B=B(+)A [ar(9) + bi(0), aa) + b(0)] =[b1(9) + ato), bala) + a(a)] 2) Asociativa (A (+) B) (+) C=A (+) (B (4) C) 3) Elemento neutro A(+)0=0(+)A=A 92 Obsérvese que estos resultados pueden expresarse mediante intervalos de confianza para cada nivel de presunción. Es decir: a Ay Ba Ac(+) Ba 1 2 [0, 1] 1,2] 0.9 [1.6,2.6] 10.5, 1.4] (1.1, 3.1] 0.8 [1.2, 32] [EL 18] 0.6, 4.2] 0.7 [0.8, 3.8] [EL5, 2.2] ELA, 5.3] 0.6 [0.4, 4.4] [2, 2.6] [2.2, 6.4] 0.5 [0, 5] [255. 3] 1543, 7.5] 0.4 10.4, 5.6] (53, 3.4] 13.8, 8.6] 0.3 [-0.8, 6.2] 153.5, 3.8] [44.6, 9.7] 0.2 [EL2, 6.8] [4, 42] [55.4, 10.8] 0.1 [-L6, 7.4] 4.5, 4.6] [-6.2, 11.9] 0 12, 8] [55, 5] [77, 13] Obsérvese que la resta no cumple las propiedades descritas en la suma. 3.2.4.4. Multiplicación de números borrosos La multiplicación de números borrosos en R sigue las mismas normas que la de los intervalos de confianza en R. Así, dados 2 números borrosos A y B. v ae [0, 1] Aa() Ba= [min(a(9) () bi(O, a) (-) bA 0), ala) () bi), axa) (-) ba), max(ar(0) () bi(0, (9) (>) bla), ada) () bil), ala) (>) bala) Obsérvese que en R* esta formulación se reduce a: Aa) Ba=[ar(a) (-) bi(a), aa) (>) bala) En cuanto a la multiplicación en el ámbito discreto de los números enteros Z, se utilizará el proceso de convolución maxmin de la siguiente forma. Vx y 2eR MaoB()= Y luca (2) A 4180) 2=x()y Cabe destacar que el proceso de convolución irá condicionado de la siguiente forma: 1) Para la parte izquierda a partir del máximo de presunción (%= 1), se considerarán todos los pares para los que se cumple que x (-) y < z. 95 2) Para la parte derecha a partir del máximo de presunción (%= 1), se tomarán todos los pares para los que se cumple que x() y>z. Propiedades de la multiplicación de números borrosos: 1) Conmutativa A()B=B(JA 2) Asociativa A0BOC=4A0)B(C) 3) Elemento neutro A()l=1()A=A 3.2.4.5. División de números borrosos Se define la división de A por B en el ámbito continuo, como el producto de A por el pseudos-inverso de B (8). v ae [0, 1] Ac() Ba=Ad() Ba” =[a(0), ata] () HO, LAI” Por tanto, es necesario la existencia del pseudo-inverso, por lo que la división se definirá exclusivamente en R* y R” (no en R). EnR*: Ad) Be=A) Ba" = rl O O ES b (0) EnR: AMS Be A) Bel = aa ala) E O ES bo(0) En el ámbito discreto, se define la división mediante la fórmula de convolución maxmin para la división: Vx yz € RTOR 96 Maso= yv lubonugO) A 2) y > 3.2.4.6. Multiplicación y división por un número real En el ámbito continuo, se define la multiplicación por un número real como: k()A0=k() lar(o), axo)] = [min(ka(0), ka 0), max(kar(0), kaz(0)] Y la división por un número real se define como: An/k= ¡mi O 10) (20 2210] kk kk En el ámbito discreto, la multiplicación por un número real se define de la siguiente forma: VzeR MA()= MA (xk) Y la división por un número real, de la siguiente forma: VzeR 3.2.4.7. Mínimo y máximo de números borrosos El mínimo entre números borrosos se define de la siguiente forma: a) Enel ámbito continuo: Agí(y) Ba=[a(a) (1) ba, ata) (A) bA0)] b) Enel ámbito discreto: Mambo) = o a Aug 0») Y el máximo entre números borrosos, de la siguiente forma: a) Enel ámbito continuo: 97