Problemas de Cálculo Vectorial Integral Multiple, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Problemas de Cálculo Vectorial Integral Multiple y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Problemas resueltos Integración múltiple: integrales triples ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Problema 1 1 2. Problema 2 2 3. Problema 3 3 4. Problema 4 4 5. Problema 5 5 6. Problema 6 7 7. Problema 7 9 8. Problema 8 10 9. Problema 9 11 10. Problema 10 12 11. Problema 11 13 12. Problema 12 14 13. Problema 13 15 14. Problema 14 16 15. Problema 15 17 Open Course Ware ULL OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL INTEGRACIÓN MÚLTIPLE: INTEGRALES TRIPLES 3/18 3. Problema 3 Calcular ∫ ∫ ∫ V z(x2 + y2) dx dy dz, siendo V el volumen exterior a la hoja superior del cono z2 = x2 + y2 e interior al cilindro x2 + y2 = 1, con z≥ 0. Solución: π 3 . RESOLUCIÓN. El recinto de integración se muestra en la Figura 3. Figura 3. Efectuamos un cambio a coordenadas cilíndricas, utilizando un argumento «tapa-fondo» y teniendo en cuenta que la ecuación del semicono superior en las nuevas coordenadas es z = r: x = r cosθ , y = r senθ , z = z; |J(r,θ ,z)|= r (0≤ θ ≤ 2π, 0≤ r ≤ 1, 0≤ z≤ r). Obtenemos así: ∫ ∫ ∫ V z(x2 + y2) dx dy dz = ∫ 2π 0 dθ ∫ 1 0 r · r2 dr ∫ r 0 z dz = π ∫ 1 0 r5 dr = π [ r6 6 ]1 0 = π 6 .  CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12 4/18 I. MARRERO 4. Problema 4 Hallar ∫ ∫ ∫ D √ |y| dx dy dz, si D = { (x,y,z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 2x, 0≤ z≤ √ x2 + y2 } . Solución: 4π 7 . RESOLUCIÓN. El sólido D es la región interior al cilindro circular x2 + y2 = 2x que queda por debajo del semicono z = √ x2 + y2 y por encima del plano z = 0. Como el integrando es par en y y D es simétrico respecto a y = 0, podemos calcular la integral duplicando la correspondiente a la porción D∗ de D situada en el primer octante (Figura 4). Figura 4. Para hallar ésta efectuamos un cambio a cilíndricas. En D∗, 0 ≤ θ ≤ π/2. Fijado θ , el máximo valor de r se alcanza sobre el cilindro x2 + y2 = 2x, ecuación que expresada en cilíndricas conduce a la condición 0≤ r≤ 2cosθ . Por último, fijados θ y r, es claro que la variación de z está limitada inferiormente por el plano z = 0 y superiormente por el semicono z = r. Así pues, se tiene: ∫ ∫ ∫ D √ |y| dx dy dz = 2 ∫ ∫ ∫ D∗ y1/2 dx dy dz = 2 ∫ π/2 0 sen1/2 θ dθ ∫ 2cosθ 0 r3/2 dr ∫ r 0 dz = 2 ∫ π/2 0 sen1/2 θ dθ ∫ 2cosθ 0 r5/2 dr = 211/2 7 ∫ π/2 0 sen1/2 θ cos7/2 θ dθ = 29/2 7 B ( 3 4 , 9 4 ) = 29/2 7 Γ(3/4) Γ(9/4) Γ(3) = 27/2 7 Γ ( 3 4 ) Γ ( 2+ 1 4 ) = 23/2 7 Γ ( 3 4 ) Γ ( 1 4 ) = 23/2π 7 sen(π/4) = 4π 7 .  OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL INTEGRACIÓN MÚLTIPLE: INTEGRALES TRIPLES 5/18 5. Problema 5 Calcular ∫ ∫ ∫ T y2 dx dy dz, siendo T el tronco de cono de vértice en el origen y base en el plano z = 4, delimitada por la circunferencia x2 + y2−2y = 0. Solución: π . RESOLUCIÓN. Para obtener la ecuación del cono (Figura 5) nos auxiliaremos de coordenadas cilíndricas. Figura 5. Sea (x0,y0,z0) un punto de la base del cono; se tiene que x2 0 + y2 0 − 2y0 = 0, z0 = 4. Si x0 = r cosθ , y0 = r senθ entonces r = 2senθ (0≤ θ ≤ π), así que x0 = 2senθ cosθ , y0 = 2sen2 θ (0≤ θ ≤ π). La ecuación de la recta que une el punto (x0,y0,z0) con el origen de coordenadas es de la forma x = λx0, y = λy0, z = λ z0, donde λ es un parámetro. Sustituyendo aquí las condiciones anteriores encontramos que x = 2λ senθ cosθ , y = 2λ sen2 θ , z = 4λ (0≤ θ ≤ π). Tomando z como parámetro: λ = z/4, obtenemos finalmente la ecuación paramétrica del cono: x = z 2 senθ cosθ , y = z 2 sen2 θ , z = z (0≤ θ ≤ π, 0≤ z≤ 4). De aquí se obtienen fácilmente las correspondientes ecuaciones en cartesianas: 2(x2+y2)= yz, y en cilíndricas: 2r = zsenθ . CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12 8/18 I. MARRERO ∫ 2π 0 dθ ∫ R−2a −a dz ∫ √R2−z2 2 √ a(z+a) r dr = π ∫ R−2a −a [ (R2− z2−4a(z+a) ] dz = π ( a3 3 −aR2 + 2R3 3 ) . Se concluye que el volumen pedido es V = ∫ 2π 0 dθ ∫ −a −R dz ∫ √R2−z2 0 r dr+ ∫ 2π 0 dθ ∫ R−2a −a dz ∫ √R2−z2 2 √ a(z+a) r dr = 2π ( a3 3 −aR2 + 2R3 3 ) .  OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL INTEGRACIÓN MÚLTIPLE: INTEGRALES TRIPLES 9/18 7. Problema 7 Hallar ∫ ∫ ∫ D xyz dx dy dz, siendo D el primer octante de la bola unidad cerrada en R3. Solución: 1 48 . RESOLUCIÓN. El recinto de integración se representa en la Figura 7. Figura 7. Efectuamos un cambio a coordenadas esféricas: x= ρ cosθ senϕ , y= ρ senθ senϕ , z= ρ cosϕ , |J(ρ,θ ,ϕ)|= ρ2 senϕ (0≤ θ ≤ π/2, 0≤ ϕ ≤ π/2, 0≤ ρ ≤ 1). Entonces: ∫ ∫ ∫ D xyz dx dy dz = ∫ π/2 0 senθ cosθ dθ ∫ π/2 0 sen3 ϕ cosϕ dϕ ∫ 1 0 ρ 5 dρ = 1 48 [ sen2 θ ]π/2 0 [ sen4 ϕ ]π/2 0 = 1 48 .  CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12 10/18 I. MARRERO 8. Problema 8 Calcular la integral triple ∫ ∫ ∫ V (4x2 +9y2 +36z2) dx dy dz, siendo V el interior del elipsoide 4x2 +9y2 +36z2 = 36. Solución: 864π 5 . RESOLUCIÓN. Dividiendo ambos miembros de la ecuación del elipsoide por 36 encontramos que éste tiene semiejes 3, 2 y 1 (Figura 8). Figura 8. Efectuamos el siguiente cambio a coordenadas esféricas generalizadas: x= 3ρ cosθ senϕ , y= 2ρ senθ senϕ , z = ρ cosϕ , |J(ρ,θ ,ϕ)|= 6ρ2 senϕ (0≤ θ ≤ 2π , 0≤ ϕ ≤ π , 0≤ ρ ≤ 1). Entonces: ∫ ∫ ∫ V (4x2 +9y2 +36z2) dx dy dz = 6 ·36 ∫ 2π 0 dθ ∫ π 0 senϕ dϕ ∫ 1 0 ρ 4 dρ = 864π 5 .  OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL INTEGRACIÓN MÚLTIPLE: INTEGRALES TRIPLES 13/18 11. Problema 11 Calcular el volumen del sólido M = { (x,y,z) ∈ R3 : 0≤ z≤ x2 + y2, x≤ x2 + y2 ≤ 2x } . Solución: 45 32 π . RESOLUCIÓN. Se trata de calcular el volumen V exterior al cilindro circular cuya traza en el plano OXY es la circunferencia de centro (1/2,0) y radio 1/2, que es interior al cilindro circular cuya sección por el plano OXY es la circunferencia de centro (1,0) y radio 1, y que está limitado inferiormente por dicho plano y superiormente por el paraboloide circular z = x2 + y2. El volumen V es igual a la integral triple, extendida a M, de la función idénticamente 1. Ahora bien, la simetría de M respecto al plano y = 0 junto con la paridad en y del integrando permite obtener V considerando solamente la porción de M que está en el primer octante y multiplicando el resultado por 2 (Figura 11). Figura 11. Por otra parte, es evidente que para el cálculo de este semivolumen podemos utilizar un argumento «tapa- fondo» y efectuar un cambio de variables a coordenadas cilíndricas a fin de resolver la integral doble resultante. Más precisamente, denotemos por V el volumen de M y por D la parte de la proyección de M sobre el plano OXY situada en el primer octante. Se tiene: V = 2 ∫∫ D (x2 + y2) dx dy = 2 ∫ π/2 0 dθ ∫ 2cosθ cosθ r3 dr = 15 2 ∫ π/2 0 cos4 θ dθ = 15 4 B ( 1 2 , 5 2 ) = 15 4 Γ(1/2) Γ(5/2) Γ(3) = 15 4 3π 8 = 45 32 π.  CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12 14/18 I. MARRERO 12. Problema 12 Calcular el volumen de la región limitada por las superficies z = x2 + y2 y z = 5− y2. Solución: 25π √ 2 4 . RESOLUCIÓN. La proyección en el plano OXY de la intersección del paraboloide circular z = x2 + y2 con el cilindro parabólico z = 5− y2 es la elipse x2 + 2y2 = 5, de semiejes √ 5 y √ 5/2. Para calcular el volumen del sólido determinado por ambas superficies (Figura 12) es suficiente integrar sobre el interior de esta elipse la diferencia entre la «tapa» (cilindro) y el «fondo» (paraboloide) del sólido, dada por la función f (x,y) = 5− x2−2y2. Figura 12. A tal fin, efectuamos un cambio a cilíndricas generalizadas: x = √ 5r cosθ , y = √ 5/2r senθ , z = z, |J(r,θ ,z)| = 5r/ √ 2, con 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1. De este modo, z(r,θ) = f (x(r,θ),y(r,θ)) = 5(1− r2), y si V denota el volumen pedido encontramos que √ 2 5 V = 5 ∫ 2π 0 dθ ∫ 1 0 r(1− r2) dr = 10π ( 1 2 − 1 4 ) = 5 2 π. De aquí resulta, finalmente: V = 25π √ 2 4 .  OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL INTEGRACIÓN MÚLTIPLE: INTEGRALES TRIPLES 15/18 13. Problema 13 Calcular el volumen del sólido S interior al cilindro x2 + y2 = 2ax, que está comprendido entre el plano z = 0 y la parte superior del cono x2 + y2 = z2. Solución: 32a3 9 . RESOLUCIÓN. La proyección del cilindro sobre el plano OXY es la circunferencia (x− a)2 + y2 = a2, de centro (a,0) y radio a. Figura 13. Para esta representación se ha tomado a = 1. Efectuamos un cambio a coordenadas cilíndricas y usamos la simetría del recinto respecto al plano y = 0 junto con la paridad del integrando para obtener el volumen pedido (Figura 13), que viene dado por la integral V = ∫ ∫ ∫ S dx dy dz = 2 ∫ π/2 0 dθ ∫ 2acosθ 0 r dr ∫ r 0 dz = 16a3 3 [ senθ − sen3 θ 3 ]π/2 0 = 32a3 9 .  CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/12