Tema 1 : La Economia de Robinson Crusoe, Apuntes de Economía

¡Descarga Tema 1 : La Economia de Robinson Crusoe y más Apuntes en PDF de Economía solo en Docsity! Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 1 TEMA 1: LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Comenzaremos desarrollando el modelo más sencillo posible, el modelo de la economía de Robinson Crusoe. En este modelo, el único problema de elección al que se enfrentan los agentes económicos se refiere al nivel de esfuerzo laboral, que determinará la producción y el consumo. Los supuestos básicos del modelo de la economía de Robinson Crusoe son dos: Primero, existe un único tipo de agente económico que combina las actividades de consumo y de producción. A este agente lo llamaremos economía doméstica. Segundo, no existen posibilidades de realizar intercambios entre los distintos agentes de esta economía. Es decir, en el mundo de Robinson Crusoe, cada economía doméstica se encuentra aislada. Por simplicidad, nosotros añadiremos un tercer supuesto: Los bienes producidos en esta economía son perecederos. Este supuesto implica que las economías domésticas no pueden almacenar bienes. Como consecuencia de estos tres supuestos, la única opción que le queda a cada una de las economías domésticas es consumir todos los bienes que produce en cada periodo. LA TECNOLOGÍA DE PRODUCCIÓN Cada economía doméstica utiliza su esfuerzo laboral para producir bienes de acuerdo con la tecnología disponible. La tecnología viene representada por la siguiente función de producción: )( tt lfy = , donde ty es la cantidad de bienes producidos en el periodo t, tl es el esfuerzo laboral en el periodo t y ) ( ⋅f es la función de producción de la economía doméstica. La función de producción satisface las siguientes condiciones: 0) (' >⋅f y 0) (" <⋅f . La primera condición nos dice que cada unidad adicional de esfuerzo laboral genera aumentos en la producción. La segunda condición nos dice que cada sucesiva unidad de esfuerzo laboral genera aumentos cada vez más pequeños en la producción. Un concepto que será útil en nuestro análisis es el concepto de productividad marginal del trabajo. La productividad marginal del trabajo es la producción adicional generada por una unidad adicional de trabajo y es igual a )(' lf . Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 2 PREFERENCIAS ENTRE OCIO Y CONSUMO El consumo y el ocio de cada periodo son una fuente de utilidad para las economías domésticas. Las preferencias de una economía doméstica están representadas por una función de utilidad que mide la utilidad que se deriva en cada período del consumo y del ocio: ),( tttt ocuu = , donde tu es el nivel de utilidad de la economía doméstica en el periodo t, tc es la cantidad de bienes consumidos en el periodo t, to es la cantidad de tiempo destinada al ocio en el periodo t y ) , ( ⋅⋅tu es la función de utilidad en el periodo t. Por simplicidad, suponemos que la función de utilidad tiene la misma forma en cada periodo, ) , () , ( ⋅⋅=⋅⋅ uut para todo t. La función de utilidad satisface las siguientes condiciones: 0),( >ocuc , 0),( >ocuo , 0),( <ocucc , 0),( <ocuoo y 0),(),( ≥= ocuocu occo . Las dos primeras condiciones nos dicen que cada unidad adicional de consumo o de ocio genera incrementos en la utilidad. Las siguientes dos condiciones nos dicen que cada sucesiva unidad de consumo o de ocio genera incrementos cada vez más pequeños en el nivel de utilidad. La última condición nos dice que los incrementos en la utilidad generados por una unidad adicional de consumo (ocio) no disminuyen al incrementar el ocio (consumo). Dos conceptos que encontraremos frecuentemente en nuestro análisis son los conceptos de utilidad marginal del consumo y utilidad marginal del ocio. La utilidad marginal del consumo es la utilidad adicional generada por una unidad adicional de consumo y es igual a ),( ocuc . Por otro lado, la utilidad marginal del ocio es la utilidad adicional generada por una unidad adicional de tiempo dedicada al ocio y es igual a ),( ocuo . En cada periodo, cada economía doméstica tiene una cantidad fija de tiempo, H, que puede ser repartida entre el trabajo y el ocio. Por tanto, las cantidades de tiempo dedicadas al ocio, to , y al trabajo, tl , deben satisfacer la siguiente restricción: Hlo tt =+ . Como no existe la posibilidad de realizar intercambios y los bienes producidos son perecederos, en el mundo de Robinson Crusoe cada una de las economías domésticas sólo puede consumir los bienes que produce en cada periodo, )( ttt lfyc == . En otras palabras, el consumo de cada economía doméstica es igual a su producción, la cual depende de la cantidad de trabajo. Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 5 La condición de primer orden El siguiente ejemplo puede ser útil para entender por qué una situación en la cual la condición de primer orden no se cumple no puede ser óptima. La idea básica es demostrar que si la condición de primer orden no se cumple, entonces la economía doméstica puede incrementar su utilidad sustituyendo ocio por consumo o consumo por ocio sin violar las restricciones del problema de optimización. Partamos de una situación en la cual una economía doméstica elige un esfuerzo laboral igual a l . En este caso, el consumo de la economía doméstica es igual a )(lfc = y el ocio es igual a lHo −= . Supongamos que la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo es igual a 5, 5 ),( ),( = ocu ocu c o . Observemos que si la tasa marginal de sustitución es igual a 5, entonces: )1,5()1,5(),( +−=−+= ocuocuocu . Finalmente, supongamos que la productividad marginal del trabajo es igual a 3, 3)(' =lf . Como la tasa marginal de sustitución es mayor que la productividad marginal del trabajo, la economía doméstica considera que el ocio es barato con relación al consumo. ¿Qué sucedería si la economía doméstica decide reducir su esfuerzo laboral para aumentar el tiempo destinado al ocio en una unidad? Si el esfuerzo laboral disminuye en una unidad, entonces la producción disminuye en una cuantía igual a la productividad marginal del trabajo, es decir en 3 unidades. Como en este modelo el consumo es igual a la producción, el consumo también disminuye en 3 unidades. La utilidad de la economía doméstica será: )1,3( +− ocu . Como la utilidad es una función creciente del consumo, tenemos que: ),()1,5()1,3( ocuocuocu =+−>+− . Observemos que la utilidad de la economía doméstica ha aumentado al sustituir consumo por ocio. Por tanto, no puede ser óptimo para la economía doméstica elegir unos niveles de consumo, ocio y esfuerzo laboral iguales a c , o y l , respectivamente. Un esfuerzo laboral igual a l es demasiado alto. La economía doméstica podría incrementar su nivel de utilidad disminuyendo su esfuerzo laboral. Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 6 En el párrafo anterior hemos argumentado que una situación en la cual la condición de primer orden no se cumple no puede ser óptima porque la economía doméstica puede incrementar su utilidad sustituyendo consumo por ocio u ocio por consumo. La pregunta que nos interesa ahora es: ¿Cómo sabemos que, partiendo de una situación que no es óptima, la sustitución de consumo por ocio o de ocio por consumo nos llevará a una situación en la que la condición de primer orden se cumple? Para responder a esta pregunta, volvamos a analizar el caso en el cual la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo es mayor que la productividad marginal del trabajo. Lo óptimo para la economía doméstica en este caso es sustituir consumo por ocio. Observamos que, al disminuir el consumo y aumentar el ocio, la utilidad marginal del consumo aumenta y la utilidad marginal del ocio disminuye. Es decir, la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo disminuye. Por otro lado, la disminución del esfuerzo laboral produce un aumento de la productividad marginal del trabajo. Por tanto, la diferencia entre la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo y la productividad marginal del trabajo disminuye. La sustitución de consumo por ocio continúa hasta que la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo sea igual a la productividad marginal del trabajo, es decir hasta que la condición de primer orden se cumpla. De forma similar podemos analizar lo que sucede si partimos de una situación en la cual la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo es menor que la productividad marginal del trabajo. Lo óptimo para la economía doméstica en este caso es sustituir ocio por consumo. Es fácil comprobar que, en este caso, la sustitución de ocio por consumo nos llevará a una situación en la cual la condición de primer orden se cumple. Para representar las elecciones óptimas de consumo, ocio y esfuerzo laboral utilizaremos la siguiente notación: *c , *o y *l . Es decir, *c , *o y *l son las cantidades de consumo, ocio y esfuerzo laboral que satisfacen la condición de primer orden, )(' ),( ),( * ** ** lf ocu ocu c o = , y las restricciones del problema de optimización de la economía doméstica, )( ** lfc = y Hlo =+ ** . La condición de primer orden y las restricciones del problema de optimización forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, c , l y o . En nuestro caso, dados los supuestos sobre la forma de la función de utilidad y la función de producción, este sistema de ecuaciones tiene una única solución. Esta solución nos da los valores óptimos de consumo, ocio y esfuerzo laboral. ANÁLISIS GRÁFICO Para simplificar nuestro análisis gráfico es conveniente expresar la utilidad como una función del consumo y el esfuerzo laboral. Recordemos que podemos utilizar la restricción de tiempo para expresar el ocio como una función del esfuerzo laboral, lHo −= . Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 7 Si reemplazamos el ocio por esta expresión en la función de utilidad, obtenemos la siguiente función de utilidad: ),(),(),( lcvlHcuocu =−= . La función ),( lcv mide el nivel de utilidad de una economía doméstica para cualquier combinación de consumo y esfuerzo laboral. Esta función de utilidad satisface las siguientes condiciones: 0),( >lcvc , 0),( <lcvl , 0),( <lcvcc , 0),( <lcvll y 0),(),( ≤= lcvlcv lccl . (Las propiedades de la función de utilidad ),( lcv se derivan de los supuestos que hicimos sobre la función de utilidad ),( ocu ) Un concepto que es útil para analizar gráficamente el problema de optimización de una economía doméstica es el concepto de curva de indiferencia. Una curva de indiferencia esta compuesta por todas las combinaciones de consumo y esfuerzo laboral que generan el mismo nivel de utilidad. Formalmente, la curva de indiferencia v está compuesta por todos los puntos ),( cl que generan el nivel de utilidad v , vlcv =),( . Para cada nivel de utilidad que escojamos, es decir para cada valor de v , podemos construir la curva de indiferencia correspondiente. Al conjunto de todas las curvas de indiferencia se le denomina mapa de curvas de indiferencia. El mapa de curvas de indiferencia es la representación de la función de utilidad que utilizaremos en nuestro análisis gráfico del problema de optimización de la economía doméstica. c v2 v1 v0 0 l Figura 1.1: Las curvas de indiferencia La Figura 1.1 muestra la representación gráfica de las curvas de indiferencia. En cualquier punto, la pendiente de una curva de indiferencia indica la cantidad en la cual tiene que variar el consumo, para mantener el nivel de utilidad constante, si el esfuerzo laboral cambia en una unidad. Observe que si el esfuerzo laboral disminuye, entonces el Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 10 primer orden. Además, el punto A se encuentra sobre la función de producción y la cantidad de tiempo dedicada a trabajar es menor que H, lo que implica que se cumplen las restricciones del problema de optimización de la economía doméstica. Es importante resaltar que el punto A es el único punto que satisface la condición de primer orden y las restricciones del problema de optimización. Intuitivamente, lo que sucede es lo siguiente. La economía doméstica se desplaza a lo largo de la función de producción para alcanzar la curva de indiferencia más alta posible. Esto ocurre en el punto en el cual una curva de indiferencia es tangente a la función de producción. En este punto, la pendiente de la curva de indiferencia es igual a la pendiente de la función de producción. Observe que la condición de primer orden no determina una única combinación de consumo y esfuerzo laboral. Existe un número infinito de puntos en los cuales la pendiente de la curva de indiferencia es igual a la pendiente de la función de producción. Para determinar cuál de todos estos puntos es el punto óptimo necesitamos verificar que se cumplan las restricciones del problema de optimización. c E cE B f ( l ) c* A D cD C 0 lE l* lD H l Figura 1.4: La condición de primer orden y la restricción presupuestaria La Figura 1.4 muestra dos puntos, los puntos ),( DD clD = y ),( EE clE = , que satisfacen la condición de primer orden pero no satisfacen la restricción )(lfc = . El punto D está por debajo de la función de producción lo cual implica que la economía doméstica puede reducir el tiempo que dedica a trabajar sin reducir su consumo o puede aumentar su consumo sin aumentar el tiempo que dedica a trabajar. En cualquiera de los dos casos la economía doméstica se desplaza a curvas de indiferencia más altas, lo cual representa un mayor nivel de utilidad. Por tanto, el punto D no puede ser un punto óptimo. Por otro lado, el punto E está por encima de la función de producción, lo cual implica que el consumo es mayor que la producción. Si la cantidad de tiempo dedicada a trabajar es El , entonces el consumo de la economía doméstica no puede ser mayor que )( Elf . Para satisfacer la restricción )(lfc = la economía doméstica tiene que reducir su consumo o incrementar el tiempo que dedica a trabajar. Por tanto, el punto E no puede ser un punto óptimo. Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 11 Podemos utilizar la Figura 1.4 para mostrar, gráficamente, por qué la combinación óptima de consumo presente y consumo futuro debe satisfacer la condición de primer orden. Los puntos B y C en la Figura 1.4 son puntos en los cuales se cumplen las restricciones del problema de optimización de la economía doméstica pero no se cumple la condición de primer orden. En el punto B la pendiente de la curva de indiferencia es mayor que la pendiente de la función de producción, lo cual implica que la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo es mayor que la productividad marginal del trabajo. En este caso, lo óptimo para la economía doméstica es sustituir consumo por ocio. Gráficamente, sustituir consumo por ocio equivale a desplazarse a lo largo de la función de producción desde un punto como B hacia un punto como A. En la figura podemos ver que si la economía doméstica se desplaza a lo largo de la función de producción desde B hacia A, entonces su utilidad aumenta porque se está desplazando hacia curvas de indiferencia cada vez más altas. Por tanto, el punto B no puede ser un punto óptimo. Por otro lado, en el punto C la pendiente de la curva de indiferencia es menor que la pendiente de la función de producción, lo cual implica que la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo es menor que la productividad marginal del trabajo. En este caso, lo óptimo para la economía doméstica es sustituir ocio por consumo. Gráficamente, sustituir ocio por consumo equivale a desplazarse a lo largo de la función de producción desde un punto como C hacia un punto como A. En la figura podemos ver que si la economía doméstica se desplaza a lo largo de la función de producción desde C hacia A, entonces su utilidad aumenta porque se está desplazando hacia curvas de indiferencia cada vez más altas. Por tanto, el punto C no puede ser un punto óptimo. SHOCKS DE OFERTA Los economistas consideran que la mayor parte del comportamiento cíclico que experimentan las variables macroeconómicas de un país puede ser explicado como una consecuencia de los shocks de oferta que experimenta dicho país. El término shock (o perturbación) de oferta se refiere a los cambios repentinos en las condiciones de producción3. Por tanto, para entender los ciclos económicos de un país los economistas centran su atención en el análisis de los cambios en el comportamiento de los agentes económicos ante cambios en las condiciones de producción. En nuestro modelo, las variaciones de las condiciones de producción vienen representadas por desplazamientos proporcionales de la función de producción. La pregunta que nos interesa responder ahora es: ¿Cómo varían las cantidades elegidas de esfuerzo laboral, consumo y ocio cuando varían las condiciones de producción? Supongamos que un cambio tecnológico produce una mejora de la función de producción. En nuestro modelo, una mejora de la función de producción equivale a un desplazamiento proporcional hacia arriba de la función de producción. Formalmente, si ) ( ⋅f es la función de producción inicial y ) ( ⋅nf es la nueva función de producción, entonces: 3 Por lo general, el término “shock de oferta” se refiere a cambios que afectan negativamente a la oferta de bienes. Pero también puede referirse a cambios positivos. Nuestro análisis se aplica tanto a los cambios favorables de las condiciones de producción como a los cambios desfavorables. Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 12 0)0()0( == ff n , )()( lflf n > , para todo 0>l , y )(')(' lflf n > , para todo 0≥l . Es decir, una mejora de la tecnología implica que para cualquier nivel de esfuerzo laboral la producción con la nueva función de producción es mayor que con la función de producción inicial. Además, para cualquier nivel de esfuerzo laboral, la productividad marginal del trabajo de la nueva función de producción es mayor que la productividad marginal del trabajo de la función de producción inicial. c f n( l ) f n(l *) W f ( l ) f (l *) 0 l * l Figura 1.5: Una mejora de la función de producción La Figura 1.5 muestra la relación entre las funciones ) ( ⋅f y ) ( ⋅nf . La función de producción ) ( ⋅nf siempre está por encima de la función de producción ) ( ⋅f . Esto indica que, para cualquier nivel de esfuerzo laboral, la cantidad de bienes producidos con la nueva función de producción es mayor que la cantidad de bienes producidos con la función de producción inicial. Además, para cualquier nivel de esfuerzo laboral, la pendiente de la función de producción ) ( ⋅nf es mayor que la pendiente de la función de producción ) ( ⋅f . Esto es, la productividad marginal del trabajo de la nueva función de producción es mayor que la productividad marginal del trabajo de la función de producción inicial. Decimos que se ha producido un desplazamiento proporcional de la función de producción porque conforme aumentamos el esfuerzo laboral la distancia entre la función nueva y la inicial aumenta de manera proporcional. Para analizar las reacciones de las economías domésticas ante cambios de variables económicas, es conveniente dividir estas reacciones en dos categorías: los efectos riqueza (o efecto renta), y los efectos sustitución. El efecto riqueza se refiere a un cambio que permite a los individuos obtener una mayor cantidad de los bienes que reportan utilidad. Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 15 Sin embargo, las cantidades óptimas de consumo, ocio y esfuerzo laboral cambian porque la riqueza de la economía doméstica cambia. El cambio en la riqueza de la economía doméstica es claro cuando observamos la restricción que determina el consumo de la economía doméstica: Wlflfc R +== )()( . En el nuevo punto óptimo, el esfuerzo laboral será menor que antes y el consumo será mayor. Para entender por qué tiene que disminuir el esfuerzo laboral, supongamos que la economía doméstica decide mantener constante su esfuerzo laboral. Si la economía doméstica dedica una cantidad de tiempo *ll = al trabajo, entonces la cantidad de tiempo que dedica al ocio es *oo = . En este caso, el consumo de la economía doméstica es *)( clfc R >= . Al aumentar el consumo, la utilidad marginal del consumo disminuye y la utilidad marginal del ocio aumenta o se mantiene constante. Por tanto, la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo aumenta, ),( ),( ),( ),( ** ** ocu ocu ocu ocu c o c o > . Como *ll = , la productividad marginal del trabajo no cambia, )(')(' *lflf R = . En consecuencia tenemos que: )(')(' ),( ),( ),( ),( * ** ** lflf ocu ocu ocu ocu R c o c o ==> . En otras palabras, si el esfuerzo laboral no varía, entonces la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo será mayor que la productividad marginal del trabajo. Para satisfacer la condición de primer orden, la economía doméstica tiene que sustituir consumo por ocio; es decir, tiene que reducir su esfuerzo laboral. En el nuevo punto óptimo, el consumo y el ocio serán mayores que los óptimos iniciales, mientras que el esfuerzo laboral será menor que el óptimo inicial. (Observe que, a pesar de que el esfuerzo laboral disminuye, el nuevo consumo óptimo tiene que ser mayor que *c . De no ser así, la condición de primer orden no se cumpliría. Si el ocio aumenta pero el consumo no aumenta, la tasa marginal de sustitución disminuye. Como el esfuerzo laboral disminuye, la productividad marginal del trabajo aumenta. Por tanto, la tasa marginal de sustitución de ocio por consumo será menor que la productividad marginal del trabajo) Si Rc es la nueva cantidad óptima de consumo, Ro es la nueva cantidad óptima de tiempo destinado al ocio y Rl es la nueva cantidad óptima de tiempo destinado al esfuerzo laboral, entonces: Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 16 *cc R > *oo R > y *ll R < . En nuestro modelo, un desplazamiento paralelo hacia arriba de la función de producción es equivalente a un aumento de la riqueza de las economías domésticas. Como hemos podido observar, el aumento de la riqueza produce un aumento del consumo y del ocio. Los economistas llaman bienes superiores (o bienes normales) a aquellos bienes cuya demanda aumenta cuando aumenta la riqueza de las economías domésticas. Algunos bienes pueden ser inferiores, lo que significa que los individuos desean consumir una cantidad menor de ellos cuando aumenta la riqueza. De ahora en adelante supondremos que el consumo y el ocio son bienes superiores. c v2 v1 f R( l ) cR R c* A f ( l ) 0 lR l* H l Figura 1.7: El efecto riqueza La Figura 1.7 muestra gráficamente el efecto riqueza debido a una mejora de la función de producción. El punto óptimo inicial es el punto ),( ** clA = en el cual la curva de indiferencia 1v es tangente a la función de producción ) ( ⋅f . Para calcular el efecto riqueza hemos desplazado paralelamente hacia arriba la función de producción inicial ) ( ⋅f en W unidades hasta llegar a ) ( ⋅Rf . En la figura podemos observar que ahora la nueva combinación óptima de consumo y esfuerzo laboral se encuentra en el punto ),( RR clR = en el cual la curva de indiferencia 2v es tangente a la función de producción ) ( ⋅Rf . Comparando los puntos A y R podemos ver que *cc R > y *ll R < . En conclusión, el efecto riqueza debido a una mejora de la tecnología (un desplazamiento paralelo hacia arriba de la función de producción), se traduce en un aumento del consumo y del ocio y una disminución del esfuerzo laboral. (Utilizando argumentos similares podemos demostrar que el efecto riqueza debido a un empeoramiento de la tecnología, un desplazamiento paralelo hacia abajo de la función Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 17 de producción, se traduce en una disminución del consumo y del ocio y en un aumento del esfuerzo laboral). El efecto sustitución Para medir el efecto sustitución, tenemos que aislar el efecto debido al aumento de la productividad marginal del trabajo del efecto debido al aumento de la producción. Es decir, tenemos que construir una función de producción que mantenga a la economía doméstica con el nivel de riqueza que le proporciona la función de producción original pero cuya productividad marginal del trabajo sea igual a la productividad marginal del trabajo de la nueva función de producción. Formalmente, para hallar el efecto sustitución construimos una función de producción, que llamaremos ) ( ⋅Sf , de la siguiente manera: Wlflf nS −= )()( . Observe que si el esfuerzo laboral es *l , entonces la cantidad de bienes producidos, y por tanto la riqueza, no cambia cuando utilizamos la función de producción ) ( ⋅Sf en lugar de la función ) ( ⋅f , Wlflf nS −= )()( ** [ ])()()( *** lflflf nn −−= )( *lf= . Sin embargo, para cualquier nivel de esfuerzo laboral, la productividad marginal del trabajo de la función de producción ) ( ⋅Sf es igual a la productividad marginal del trabajo de la función ) ( ⋅nf , )(')(' lflf nS = para todo l ≥ 0. c f n( l ) W f S( l ) = f n( l ) – W f ( l ) f n(l *) = f (l *) 0 l * l Figura 1.8: La función de producción f S( l ) Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 20 La Figura 1.9 muestra gráficamente el efecto sustitución debido a una mejora de la función de producción. El punto óptimo inicial es el punto ),( ** clA = en el cual la curva de indiferencia 1v es tangente a la función de producción ) ( ⋅f . Para calcular el efecto sustitución hemos desplazado paralelamente hacia abajo la función de producción ) ( ⋅nf en W unidades hasta llegar a ) ( ⋅Sf . En la figura podemos observar que cualquier punto sobre la función de producción ) ( ⋅Sf entre los puntos A y F corresponde a curvas de indiferencia más altas que la curva 1v ; es decir, niveles de utilidad mayores que el nivel de utilidad en el punto A. Además, cualquier punto sobre la función de producción ) ( ⋅Sf que no esté entre los puntos A y F corresponde a curvas de indiferencia más bajas que la curva 1v ; es decir, niveles de utilidad menores que el nivel de utilidad en el punto A. Esto quiere decir que el nuevo punto óptimo tiene que estar en un punto entre A y F. Observe que en cualquiera de estos puntos el consumo y el esfuerzo laboral son mayores que los óptimos iniciales. En la Figura 1.9 el nuevo punto óptimo es el punto ),( SS clS = en el cual la curva de indiferencia 2v es tangente a la función de producción ) ( ⋅Sf . Comparando los puntos A y S podemos ver que *ccS > y *ll S > . En conclusión, el efecto sustitución debido a una mejora de la tecnología (un aumento de la productividad marginal del trabajo que no afecta a la riqueza de la economía doméstica), se traduce en un aumento del consumo y del esfuerzo laboral y en una disminución del ocio. (Utilizando argumentos similares podemos demostrar que el efecto sustitución debido a un empeoramiento de la tecnología, una disminución de la productividad marginal del trabajo que no afecta a la riqueza de la economía doméstica, se traduce en una disminución del consumo y del esfuerzo laboral y en un aumento del ocio) El efecto total Hemos visto que el efecto riqueza debido a una mejora de la tecnología se traduce en un aumento del consumo y del ocio y en una disminución del esfuerzo laboral. Por otro lado, el efecto sustitución debido a una mejora de la tecnología se traduce en un aumento del consumo y del esfuerzo laboral y en una disminución del ocio. El efecto total de una mejora de la tecnología sobre el consumo es claro. Como el consumo aumenta por el efecto riqueza y por el efecto sustitución, una mejora de la tecnología produce un aumento del consumo. Sin embargo, el efecto total de una mejora de la tecnología sobre el ocio y el esfuerzo laboral es ambiguo. Si el efecto riqueza domina al efecto sustitución, entonces el ocio aumenta y el esfuerzo laboral disminuye. Pero, si el efecto sustitución domina al efecto riqueza, el ocio disminuye y el esfuerzo laboral aumenta. La Figura 1.10 (a)–(c) muestra los tres casos que pueden producirse como consecuencia de una mejora de la función de producción. En cada uno de los casos, el punto ),( ** clA = , en el cual la curva de indiferencia 1v es tangente a la función de producción ) ( ⋅f , representa el punto óptimo inicial y el punto ),( nn clN = en el cual la curva de indiferencia 2v es tangente a la función de producción )(⋅ nf , representa el Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 21 nuevo punto óptimo. Para determinar el efecto total generado por una mejora de la tecnología sólo tenemos que comparar los puntos A y N. c v2 N f n( l ) cn v1 f ( l ) c* A 0 l * l n l (a) cn > c* y l n > l * c v2 N f n( l ) cn v1 f ( l ) c* A 0 l *= l n l (b) cn > c* y l n = l * c v2 f n( l ) N v1 cn f ( l ) c* A 0 l n l * l (c) cn > c* y l n < l * Figura 1.10: El efecto total Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 22 La Figura 1.10 (a) muestra el caso en el cual el efecto sustitución domina al efecto riqueza. Comparando los puntos A y N podemos ver que *ccn > y *ll n > . En este caso, el efecto sustitución derivado del aumento de la productividad marginal del trabajo es tan grande que la economía doméstica termina aumentando el tiempo dedicado a trabajar a pesar de que su riqueza aumenta con la nueva función de producción. Por tanto, la mejora de la función de producción produce un aumento del consumo y del esfuerzo laboral. La Figura 1.10 (b) muestra el caso en el cual los efectos riqueza y sustitución se cancelan mutuamente. Comparando los puntos A y N podemos ver que *ccn > y *ll n = . Este es el caso en el cual el deseo de la economía doméstica de reducir el tiempo dedicado al trabajo, debido al aumento de su riqueza, se ve exactamente compensado por el deseo de aumentar el tiempo dedicado al trabajo, debido al aumento del coste del ocio con relación al consumo. Por tanto, el consumo aumenta pero el esfuerzo laboral no varía. Finalmente, la Figura 1.10 (c) muestra el caso en el cual el efecto riqueza domina al efecto sustitución. Comparando los puntos A y N podemos ver que *ccn > y *ll n < . El aumento del coste del ocio en relación al consumo no es suficiente para contrarrestar el deseo de la economía doméstica de reducir el tiempo dedicado al trabajo. Por tanto, el consumo aumenta y el esfuerzo laboral disminuye. Observe que en cualquiera de los tres casos el consumo aumenta. El efecto total de una mejora de la función de producción sólo es ambiguo en lo que se refiere al esfuerzo laboral. En conclusión, una mejora de la tecnología produce un aumento del consumo y un efecto ambiguo sobre el esfuerzo laboral. (Utilizando argumentos similares podemos demostrar que un empeoramiento de la tecnología produce una disminución del consumo y un efecto ambiguo sobre el esfuerzo laboral) APÉNDICE A1. Condiciones suficientes para la existencia de una solución interior del problema de optimización de la economía doméstica Hasta ahora sólo hemos supuesto que la función de utilidad satisface las siguientes condiciones: 0),( >ocuc , 0),( >ocuo , 0),( <ocucc , 0),( <ocuoo y 0),(),( ≥= ocuocu occo . Estas condiciones son suficientes para que el problema de optimización de la economía doméstica tenga una única solución. Sin embargo, si queremos asegurarnos de que la solución sea interior, esto es, que tanto el consumo como el ocio sean estrictamente mayores que cero, entonces tenemos que imponer condiciones adicionales a la función de utilidad. Las condiciones son: ∞= → ),(lim 0 ocucc y 0),(lim =∞→ ocucc y Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 25 Comprobamos que esta expresión es equivalente a la expresión que obtuvimos para la condición de primer orden en nuestro análisis formal del problema de elección de la economía doméstica4. Para hallar la cantidad óptima de esfuerzo laboral, *l , tenemos que resolver la condición de primer orden. Podemos escribir la condición de primer orden de la siguiente forma: 21212121 )()( 2 1)()( 2 1 −− −=− lHAlAlHAl . Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por 2121 )()(2 lHAl − tenemos: AllHA =− )( . Resolviendo esta ecuación obtenemos la cantidad óptima de trabajo: Hl 2 1* = . Ahora, tenemos que utilizar las restricciones del problema de optimización para hallar las cantidades óptimas de consumo, *c , y ocio, *o . Reemplazando *l en la restricción que relaciona el consumo y el esfuerzo laboral obtenemos la cantidad óptima de consumo: )( ** lfc = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= HA 2 1 . 4 Podemos utilizar las restricciones presupuestarias para reemplazar Al y H - l por c y o, respectivamente, en la condición de primer orden: 0)1()()( 2 1)()( 2 1 21212121 =−+ −− ocAoc . Ahora, si ordenamos los términos de esta expresión, podemos escribir la condición de primer orden de la siguiente forma: 2/12/1 2/12/1 )())(2/1( )())(2/1( oc ocA − − = . El lado izquierdo de esta expresión es la productividad marginal del trabajo. El numerador en el lado derecho es la utilidad marginal del ocio, mientras que el denominador es la utilidad marginal del consumo. Por tanto, tenemos la siguiente expresión: ),( ),( )(' ocu ocu lf c o= Esta es la expresión que teníamos para la condición de primer orden en nuestro análisis formal del problema de elección de la economía doméstica. Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 26 Finalmente, reemplazando *l en la restricción de tiempo obtenemos la cantidad óptima de ocio: ** lHo −= H 2 1 = . Observe que A > 1 y H > 0 implica que *c , *o y *l son mayores que cero. Es decir, los valores óptimos satisfacen las restricciones de no negatividad. Desplazamientos de la Función de Producción Supongamos ahora que se produce una mejora de la tecnología. La nueva función de producción es: lAlf nn =)( , donde 1+= AAn . La pregunta que tenemos que hacernos es: ¿Cuáles son los efectos de la mejora de la tecnología sobre las cantidades óptimas de consumo y esfuerzo laboral? El Efecto Total Ahora, el problema de optimización de la economía doméstica es: 0,, .. 2121 },{ ≥ =+ = loc Hlo lAcas ocMax n oc (Por el momento ignoraremos las restricciones de no negatividad. Luego, verificaremos que nuestra solución satisfaga estas restricciones) Las restricciones del problema de optimización implican que podemos escribir el consumo y el ocio como funciones del esfuerzo laboral, lAc n= y lHo −= . Si utilizamos estas expresiones para reemplazar el consumo y el ocio en la función de utilidad, entonces el problema de optimización es: 2121 }{ )()( lHlAMax n l − La condición de primer orden es: Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 27 0)1()()( 2 1)()( 2 1 21212121 =−−+− −− lHlAAlHlA nnn . Para hallar la cantidad óptima de esfuerzo laboral, nl , tenemos que resolver la condición de primer orden. Ordenando los términos de la condición de primer orden, tenemos: 21212121 )()( 2 1)()( 2 1 −− −=− lHlAAlHlA nnn . Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por 2121 )()(2 lHlAn − , tenemos: lAlHA nn =− )( . Resolviendo esta ecuación obtenemos la cantidad óptima de trabajo: Hl n 2 1 = . Ahora, tenemos que utilizar las restricciones del problema de optimización para hallar las cantidades óptimas de consumo, nc , y ocio, no . Reemplazando nl en la restricción que relaciona el consumo y el esfuerzo laboral obtenemos la cantidad óptima de consumo: )( nn lfc = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= HAn 2 1 . Finalmente, reemplazando nl en la restricción de tiempo obtenemos la cantidad óptima de ocio: nn lHo −= H 2 1 = . Observe que A > 1 y H > 0 implica que nc , no y nl son mayores que cero. Es decir, los valores óptimos satisfacen las restricciones de no negatividad. El efecto total de una mejora de la tecnología está dado por: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−=− HHAAcc nn 2 1 2 1)(* y 0* =− ll n . Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 30 0)1()()2/( 2 1)()2/( 2 1 21212121 =−−++−+ −− lHHAlAlHHAl . Para hallar la cantidad óptima de esfuerzo laboral, Rl , tenemos que resolver la condición de primer orden. Podemos escribir la condición de primer orden de la siguiente forma: 21212121 )()2/( 2 1)()2/( 2 1 −− −+=−+ lHHAlAlHHAl . Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por 2121 )()2/(2 lHHAl −+ , tenemos: 2/)( HAllHA +=− . Resolviendo esta ecuación obtenemos la cantidad óptima de trabajo: 2 1 2 1 2 H A Hl R ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−= . Ahora, tenemos que utilizar las restricciones del problema de optimización para hallar las cantidades óptimas de consumo, Rc , y ocio, Ro . Reemplazando Rl en la restricción que relaciona el consumo y el esfuerzo laboral obtenemos la cantidad óptima de consumo: )( RR lfc = 22 1 2 HHA += . Finalmente, reemplazando Rl en la restricción de tiempo obtenemos la cantidad óptima de ocio: RR lHo −= 2 1 2 1 2 H A H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+= . Observe que A > 1 y H > 0 implica que Rc , Ro y Rl son mayores que cero. Es decir, los valores óptimos satisfacen las restricciones de no negatividad. El efecto riqueza producido por la mejora de la tecnología viene dado por: 22 1* Hcc R =− y Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 31 2 1 2 1* H A ll R ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−=− . El efecto riqueza, debido a la mejora de la tecnología, produce un aumento del consumo y una reducción del esfuerzo laboral. Como el esfuerzo laboral disminuye, el ocio aumenta. Recuerde que el ocio, al igual que el consumo, es un bien normal. Por tanto, no debería sorprendernos que un aumento de la riqueza de la economía doméstica produzca un aumento de estas variables. El Efecto Sustitución Para hallar el efecto sustitución, tenemos que construir una función de producción que permita a la economía doméstica acceder a los niveles de riqueza que le proporciona la función de producción inicial cuando el esfuerzo laboral es *l pero cuya productividad marginal del trabajo sea igual a la productividad marginal del trabajo de la nueva función de producción. Es decir, tenemos que construir la siguiente función de producción: Wlflf nS −= )()( 2 HlAn −= . (El lector puede verificar que las siguientes afirmaciones se cumplen: (i) Si el esfuerzo laboral es *l , entonces la producción, y por tanto la riqueza, de la economía doméstica es la misma cuando utilizamos la función de producción )(lf S en lugar de la función de producción )(lf . (ii) La productividad marginal del trabajo de la función )(lf S es igual a la productividad marginal del trabajo de la función )(lf n ). Supongamos que la función de producción es )(lf S . Para obtener el nivel óptimo de esfuerzo laboral, Sl , y de consumo, Sc , tenemos que resolver el problema de optimización de la economía doméstica: 0,, 2 .. 2121 },{ ≥ =+ −= loc Hlo HlAcas ocMax n oc (Por el momento ignoraremos las restricciones de no negatividad. Luego, verificaremos que nuestra solución satisfaga estas restricciones). Las restricciones del problema de optimización implican que podemos escribir el consumo y el ocio como funciones del esfuerzo laboral, 2/HlAc n −= Apuntes de AMPLIACIÓN DE MACROECONOMÍA LA ECONOMÍA DE ROBINSON CRUSOE Curso 2007-08 32 y lHo −= . Si utilizamos estas expresiones para reemplazar el consumo y el ocio en la función de utilidad, entonces el problema de optimización es: 2121 }{ )()2/( lHHlAMax n l −− La condición de primer orden es: 0)1()()2/( 2 1)()2/( 2 1 21212121 =−−−+−− −− lHHlAAlHHlA nnn . Para hallar la cantidad óptima de esfuerzo laboral, Sl , tenemos que resolver la condición de primer orden. Podemos escribir la condición de primer orden de la siguiente forma: 21212121 )()2/( 2 1)()2/( 2 1 −− −−=−− lHHlAAlHHlA nnn . Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por 2121 )()2/(2 lHHlAn −− , tenemos: 2/)( HlAlHA nn −=− . Resolviendo esta ecuación obtenemos la cantidad óptima de trabajo: 2 1 2 1 2 H A Hl n S ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+= . Ahora, tenemos que utilizar las restricciones del problema de optimización para hallar las cantidades óptimas de consumo, Sc , y ocio, So . Reemplazando Sl en la restricción que relaciona el consumo y el esfuerzo laboral obtenemos la cantidad óptima de consumo: )( SS lfc = 22 1 2 HHA += . Finalmente, reemplazando Sl en la restricción de tiempo obtenemos la cantidad óptima de ocio: SS lHo −= 2 1 2 1 2 H A H n ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−= .