Tema 2 - Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo (LTI), Apuntes de Ingeniería de Telecomunicaciones

¡Descarga Tema 2 - Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo (LTI) y más Apuntes en PDF de Ingeniería de Telecomunicaciones solo en Docsity! Sistemas Lineales Tema 2: Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI) 2.1. Introducción De las propiedades básicas de los sistemas, vistas en el tema anterior, la linealidad y la invarianza en el tiempo juegan un papel fundamental por varias razones: Muchos procesos f́ısicos son LTI ⇒ pueden modelarse como sistemas LTI. Poseen la propiedad de superposición (linealidad) ⇒ si la entrada a un sistema LTI se puede representar como combinación lineal de un conjunto de señales básicas (concepto de base de señales), la salida será la misma combinación lineal de las respuestas del sistema a esas señales básicas. Veremos que cualquier señal se puede representar como combinación lineal de impulsos unitarios retardados. Esto nos permitirá caracterizar cualquier sis- tema LTI mediante su respuesta al impulso unitario. Esta representación se conoce como suma de convolución (sistemas LTI dis- cretos) o integral de convolución (sistemas continuos) y proporciona una gran comodidad al tratar los sistemas LTI. Ejemplo: LTI LTI LTI LTI 1 2 t x1(t) 0 1 x2(t) 0 1 t2 4 −1 t 2 0 2 4 x4(t) 0 1 1 2 3 t 2 x3(t) 1 2 t 0 1 y1(t) 1 2.2. Caracterización de los sistemas LTI discretos: la suma de convolución Caracterizar un sistema: si para cada entrada podemos calcular la salida del sistema. Vamos a buscar un procedimiento análogo al álgebra de espacios vectoriales: Vectores de la base: {x1,x2,x3,x4} Cualquier vector del espacio vectorial se podrá poner como cierta combinación lineal de los vectores de la base: x = α1x1 + α2x2 + α3x3 + α4x4. De forma similar, si el sistema es lineal, puedo obtener la salida como la misma com- binación lineal de las salidas conocidas para cada uno de los vectores de la base, yi. Trataremos a continuación de obtener una base de un espacio para el espacio de las señales, de dimensión infinita1. 2.2.1. Representación de señales discretas en términos de impulsos Utilizaremos como base para las señales discretas el impulso unitario discreto y sus versiones desplazadas, que vale “0” en todos los puntos, salvo en uno, que vale “1”. δ[n] = { 1, n = 0, 0, n 6= 0. 0 1 2 3−1−2 1 −3 δ[n] n Aplicando desplazamientos en el tiempo: 0 1 2 3−1−2−30 1 2 3−1−2−3 1 1 δ[n− 2] n δ[n+ 2] n y cambios de nivel: 1Las señales tienen una longitud infinita, o valores en un conjunto infinito de instantes de la variable independiente. 2 2.2.3. Propiedades de la convolución discreta La convolución discreta tiene las siguientes propiedades: 1. El elemento neutro de la convolución es el impulso unitario, δ[n]: x[n] ∗ δ[n] = ∞∑ k=−∞ x[k]δ[n− k] = x[n]. 2. Conmutativa: x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]. x[n]→ h[n] → y[n] ⇔ h[n]→ x[n] → y[n] 3. Asociativa: x[n]∗(h1[n]∗h2[n]) = (x[n]∗h1[n])∗h2[n] = (x[n]∗h2[n])∗h1[n] = x[n]∗h1[n]∗h2[n]. x[n]→ h1[n] ∗ h2[n] → y[n] ⇔ x[n]→ h1[n] → h2[n] → y[n] 4. Distributiva: x[n] ∗ (h1[n] + h2[n]) = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n]. h2[n] x[n] h1[n] + h2[n] y[n] h1[n] x[n] y1[n] y2[n] y[n]⇔ Las equivalencias se cumplen cuando los pasos intermedios dan resultados finitos. Por tanto, la convolución discreta tiene estructura de grupo conmutativo. 2.2.4. Ejemplos Ver transparencias. Ejemplo 1: x[n] = 1 2 δ[n] + 2δ[n− 1], h[n] = u[n]− u[n− 3]. y[n] = ∞∑ k=−∞ x[k]h[n− k] = x[0]h[n] + x[1]h[n− 1] = 1 2 h[n] + 2h[n− 1]. 5 0 1 2 1/2 0 1 2 3 2 0 1 2 5/2 1/2 2 1 2 h[n] n n 2h[n− 1] n y[n] Muchas veces es más fácil hacerlo de forma gráfica. Para ello, se representa x[k] y h[n− k] como función de k, para cada valor de n. La salida para cada n se obtiene multiplicando x[k]h[n − k] en cada punto k y sumando los valores. Se pueden agrupar varios valores de n en intervalos cuando x[k], h[n − k] y los ĺımites del sumatorio tienen una misma expresión. Para obtener h[n− k]: 1. Se cambia la variable independiente a k: h[k]. 2. Se desplaza n muestras hacia la izquierda: h[k + n]. 3. Se realiza una inversión en el tiempo (en k): h[−k + n] = h[n− k]. Ejemplo 2: x[n] =αnu[n], α 6= β, h[n] =βnu[n], 0 < α, β < 1. Ejemplo 3. x[n] = { 1, 0 ≤ n ≤ 4 0, resto , h[n] = { αn, 0 ≤ n ≤ 6 0, resto Ejemplo 4: x[n] = 2nu[−n], h[n] = u[n]. Ejemplo 5: x[n] = u[n]− u[n− 6], h[n] = u[n− 2]− u[n− 8] + u[n− 11]− u[n− 17]. 6 Otra forma de hacerlo, seŕıa teniendo en cuenta que: h[n] = h0[n− 2] + h0[n− 11], donde h0[n] = x[n]. y[n] =x[n] ∗ h[n] = x[n] ∗ (h0[n− 2] + h0[n− 11]) =x[n] ∗ h0[n− 2] + x[n] ∗ h0[n− 11] = y0[n− 2] + y0[n− 11], donde y0[n] = x[n] ∗ h0[n]. De esta forma hay que realizar menos operaciones para obtener el resultado. Ejemplo 6: 0 2 3 4 5 1 1 1 1 0 1−1−2 1 1 1 2 n h[n] n x[n] 2.2.5. Longitud de la convolución discreta Si x[n] es no nulo entre nx1 ≤ n ≤ nx2, y h[n] es no nulo entre nh1 ≤ n ≤ nh2, y[n] tomará valores no nulos entre: nx1 + nh1 ≤ n ≤ nx2 + nh2. Usando otra notación: Si x[n] es no nulo entre nx ≤ n ≤ nx +Nx−1, (longitud Nx) y h[n] es no nulo entre nh ≤ n ≤ nh +Nh − 1, (longitud Nh) y[n] tomará valores no nulos entre: nx + nh ≤ n ≤ nx + nh +Nx +Nh − 2. La longitud de la señal de salida es: Ny = Nx +Nh − 1. 7 δ∆(t− k∆) −→ Lineal −→ hk∆(t) Mediante la propiedad de linealidad, la salida del sistema será: x̂(t) = ∞∑ k=−∞ x(k∆)δ∆(t− k∆)∆ −→ Lineal −→ ŷ(t) = ∞∑ k=−∞ x(k∆)hk∆(t)∆ Conforme ∆→ 0, x̂(t)→ x(t) ⇒ ŷ(t)→ y(t): x(t) = ĺım ∆→0 x̂(t) ⇒ y(t) = ĺım ∆→0 ŷ(t). Por tanto, para un sistema lineal, la salida será: y(t) = ĺım ∆→0 ∞∑ k=−∞ x(k∆)hk∆(t)∆, y haciendo las transformaciones indicadas anteriormente en el ĺımite: y(t) = ∫ ∞ −∞ x(τ)hτ (t)dτ. Si, además de ser lineal, el sistema es invariante en el tiempo: hτ (t) son versiones desplazadas en el tiempo de la respuesta del sistema LTI al impulso unitario colocado en t = 0: δ(t) −→ LTI −→ h0(t) ∆= h(t) δ(t− τ) −→ LTI −→ hτ (t) = h0(t− τ) = h(t− τ) Por tanto, si el sistema es LTI, no es necesario caracterizar el sistema por una familia infinita de señales hτ (t), sino sólo por una señal h(t): x(t) = ∫ ∞ −∞ x(τ)δ(t− τ)dτ → LTI → y(t) = ∫ ∞ −∞ x(τ)h(t− τ)dτ A h(t) se le denomina respuesta al impulso de un sistema LTI continuo. δ(t) −→ LTI −→ h(t) ↓ ↓ Impulso Respuesta al impulso 10 Un sistema LTI continuo está completamente caracterizado por su respuesta al impulso. A la operación: y(t) = ∫ ∞ −∞ x(τ)h(t− τ)dτ = x(t) ∗ h(t) se le llama convolución continua o integral de convolución. Para una entrada x(t) cualquiera, la salida de un sistema LTI se obtiene como la convolución de la entrada con h(t): x(t) −→ h(t) −→ y(t) = x(t) ∗ h(t). 2.3.3. Propiedades de la convolución continua La convolución continua, al igual que la discreta, tiene las siguientes propiedades: 1. El elemento neutro de la convolución es el impulso unitario, δ(t): x(t) ∗ δ(t) = ∫ ∞ −∞ x(t)δ(t− τ) = x(t). 2. Conmutativa: x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t). x(t)→ h(t) → y(t) ⇔ h(t)→ x(t) → y(t) 3. Asociativa: x(t)∗(h1(t)∗h2(t)) = (x(t)∗h1(t))∗h2(t) = (x(t)∗h2(t))∗h1(t) = x(t)∗h1(t)∗h2(t). x(t)→ h1(t) ∗ h2(t) → y(t) ⇔ x(t)→ h1(t) → h2(t) → y(t) 4. Distributiva: x(t) ∗ (h1(t) + h2(t)) = x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2(t). h2(t) x(t) h1(t) + h2(t) y(t) h1(t) x(t) y1(t) y2(t) y(t)⇔ Las equivalencias se cumplen cuando los pasos intermedios dan resultados finitos. Por tanto, la convolución continua tiene estructura de grupo conmutativo. 11 2.3.4. Ejemplos Ver transparencias. Ejemplo 1: x(t) = e−atu(t), a > 0, h(t) = u(t). Ejemplo 2: x(t) = { 1, 0 < t < T 0, resto , h(t) = { t, 0 < t < T 0, resto Ejemplo 3: x(t) = e2tu(−t), h(t) = u(t− 3). 2.4. Propiedades de los sistemas LTI Hemos visto que para un sistema LTI su respuesta al impulso caracteriza comple- tamente el sistema, por lo que sus propiedades se pueden deducir a partir de la misma. Esto no es cierto para sistemas no LTI. Ejemplo: h[n] = { 1, n = 0, 1, 0, resto. si es LTI: y[n] = x[n] ∗ h[n] = ∞∑ k=−∞ h[k]x[n− k] = x[n] + x[n− 1] Sabemos como están relacionadas entrada y salida exactamente. Si no es LTI, esto no es cierto. Ejemplo de sistema con esta respuesta al impulso no lineal: y[n] = (x[n] + x[n− 1])2. Por tanto, para un sistema LTI podremos estudiar todas las propiedades del sistema a partir de h[n] ó h(t). En primer lugar, dado que la salida se obtiene mediante la convolución, los sistemas LTI tienen las propiedades de la convolución: Elemento neutro: la salida correspondiente a un impulso unitario es la respuesta al impulso del sistema. δ[n] ∗ h[n] = h[n], δ(t) ∗ h(t) = h(t). Por tanto, si a un sistema se le mete como entrada un impulso unitario, a la salida obtenemos la respuesta al impulso del sistema. δ[n]→ h[n] → h[n] 12 Obteniendo la salida para estos sistemas, se llega a las propiedades de selección de los impulsos unitarios, ya vistas: x[n] = x[n] ∗ δ[n] = ∞∑ k=−∞ x[n]δ[n− k], x(t) = x(t) ∗ δ(t) = ∫ ∞ −∞ x(τ)δ(t− τ). Como ya sabemos, δ[n] y δ(t) son los elementos neutros de la convolución discreta y continua, respectivamente. Invertibilidad: una de las definiciones de sistema invertible dice que existe un sistema inverso que colocado en cascada con el original produce una salida idénti- ca a la entrada del sistema original. Se puede comprobar que el sistema inverso de uno LTI es LTI. LTI LTI m δ(t)x(t) x(t) x(t) h1(t) hi(t) w(t) = x(t) y(t) Por tanto, usando la propiedad asociativa, si un sistema es invetible, las respuestas al impulso de los dos sistemas cumplen: h[n] ∗ hi[n] = δ[n], h(t) ∗ hi(t) = δ(t). Nota: estas expresiones permiten comprobar si dos sistemas son inversos entre śı, pero no dan directamente un método constructivo de obtención de sistemas inversos3. Ejemplo: y(t) = x(t− t0). Retardo para t0 > 0 y adelanto par t0 < 0. Como dijimos, la respuesta al impulso se obtiene metiendo como entrada al sis- tema x(t) = δ(t), obteniendo: h(t) = δ(t− t0). La salida para una determinada entrada se obtiene convolucionándola con la respuesta al impulso del sistema: y(t) = x(t) ∗ h(t) = x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0). 3Haciendo uso de la transformada de Fourier o de la transformada Z, śı se obtendrá un método constructivo de obtención de sistemas inversos. 15 Vemos aqúı algo importante y es que la convolución con un impulso desplazado desplaza la señal: x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0). Esto es fácil de demostrar: y(t) = ∫ ∞ −∞ x(τ)h(t− τ)dτ = ∫ ∞ −∞ x(τ)δ((t− τ)− t0)dτ = ∫ ∞ −∞ x(τ)δ(t− t0 − τ)dτ = x(t− t0), ya que esta última expresión corresponde a la propiedad de selección del impulso unitario continuo evaluada en t− t0. En el caso discreto, se puede demostrar la misma propiedad: x[n] ∗ δ[n− n0] = x[n− n0]. Volviendo al ejemplo, el sistema inverso será el desplazamiento contrario: hi(t) = δ(t+ t0). Calculando su convolución con h(t): h(t) ∗ hi(t) = δ(t− t0) ∗ δ(t+ t0) = δ(t). Ejemplo: h[n] = u[n]. Obteniendo la salida para una entrada cualquiera, mediante la convolución con h[n]: y[n] = ∞∑ k=−∞ x[k]u[n− k], u[n− k] = { 0, n− k < 0→ k > n, 1, n− k ≥ 0→ k ≤ n. y[n] = n∑ k=−∞ x[k]. Por tanto, es el sistema sumador o acumulador, cuyo sistema inverso ya conoce- mos y es la primera diferencia: w[n] = y[n]− y[n− 1]. La respuesta al impulso del sistema inverso se obtiene metiendo el impulso uni- tario al sistema inverso: hi[n] = δ[n]− δ[n− 1]. Comprobamos: h[n]∗hi[n] = u[n](δ[n]−δ[n−1]) = u[n]∗δ[n]−u[n]∗δ[n−1] = u[n]−u[n−1] = δ[n]. 16 Causalidad: el sistema es causal y la salida depende sólo de valores pasados y presentes de la entrada y anticausal si la salida depende sólo de valores futuros de la entrada: y[n0] = x[n0] ∗ h[n0] = ∞∑ k=−∞ x[k]h[n0 − k] = ∞∑ k=−∞ h[k]x[n0 − k] = . . .+ h[−1]x[n0 + 1] + h[0]x[n0] + h[1]x[n0 − 1] + . . . El sistema será causal si se cumple: h[n] = 0, ∀n < 0, h(t) = 0, ∀t < 0. El sistema será anticausal si se cumple: h[n] = 0, ∀n ≥ 0, h(t) = 0, ∀t ≥ 0. En caso de no cumplirse ninguna de estas condiciones, el sistema es no causal. Para sistemas causales, la suma e integral de convolución quedan: y[n] = n∑ k=−∞ x[k]h[n− k] = ∞∑ k=0 h[k]x[n− k], y(t) = ∫ t −∞ x(τ)h(t− τ)dτ = ∫ ∞ 0 h(τ)x(t− τ)dτ, Las últimas expresiones se obtienen haciendo los cambios de variable k′ = n− k y τ ′ = t− τ , respectivamente. Ejemplos: • Acumulador: h[n] = u[n] y su inverso: hi[n] = δ[n]− δ[n− 1] son causales. • Desplazamiento: h(t) = δ(t − t0) es causal para t0 ≥ 0 y anticausal para t0 < 0. Por analoǵıa, teniendo en cuenta que h[n] y h(t) se pueden considerar señales, se habla de señales causales (también anticausales y no causales): x[n] = 0, ∀n < 0, x(t) = 0, ∀t < 0. 17 Otra forma de obtener estas relaciones es, teniendo en cuenta que el derivador (primera diferencia) es un sistema LTI, y aplicando la propiedad conmutativa: u(t)→ d dt → δ(t)→ h(t) → h(t) m u(t)→ h(t) → s(t)→ d dt → h(t) Ejemplo: LTI LTI ¡NO! 1 2 t x1(t) 0 1 x5(t) = x1(2t) 1 t 0 1 1 2 t 0 1 y1(t) 1 t 0 1 y1(2t) 6= y5(t) Para calcular la salida debemos usar únicamente desplazamientos y cambios de nivel sobre la entrada conocida, dado que sólo conocemos la salida correspondiente a x1(t) y que el sistema es LTI. Si vamos sumando y restado sucesivas veces x1(t) y versiones desplazadas entre śı 1 segundo: 1 2 t x1(t) 0 1 −x1(t− 1) t −1 1 3 2 x1(t− 2) 1 t 1 t −1 3 x1(t)− x1(t− 1) 10 2 x1(t)− x1(t− 1) + x1(t− 2) 10 3 4 t Se observa que aparece el pulso deseado en el origen correspondiente a la entrada x5(t), cuya salida queremos obtener, y un pulso que a medida que sumamos nuevas 20 réplicas va alejándose cada vez más de donde x5(t) es no nulo. Si sumáramos infinitas réplicas de esta forma, obtenemos la señal x5(t): x5(t) = ĺım N→∞ N∑ k=0 (−1)kx1(t− k), y como el sistema es LTI, la salida será la misma combinación lineal de salidas desplazadas: y5(t) = ĺım N→∞ N∑ k=0 (−1)ky1(t− k), cuya representación es: 1 20 1 y5(t) · · · t −1 3 4 5 6 7 8 Otra forma de enfocar el problema es obtener el escalón unitario, u(t) a partir de la entrada, y realizando las mismas operaciones a la salida, obtener la respuesta al escalón, s(t), que sabemos que también caracteriza al sistema: u(t) = ĺım N→∞ N∑ k=0 x1(t− 2k). La respuesta al escalón unitario: s(t) = ĺım N→∞ N∑ k=0 y1(t− 2k), cuya representación es: 1 20 1 s(t) · · · t 3 4 5 6 7 8 Una vez obtenido s(t) tenemos dos opciones: • Obtener x5(t) en términos de escalones y a la salida tendremos la misma relación con s(t), al ser el sistema LTI: x5(t) = u(t)− u(t− 1) ⇒ y5(t) = s(t)− s(t− 1). 21 • Obtener la respuesta al impulso derivando la respuesta al escalón, y obtener la salida mediante la convolución: h(t) = ds(t) dt , 0 1 h(t) · · · t 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 y5(t) = x5(t) ∗ h(t). 2.5. Sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales y en diferencias Una clase muy importante de sistemas es aquella para la cual la entrada y la salida están relacionadas mediante una ecuación diferencial (continuos) o en diferencias (discretos) lineal y de coeficientes constantes. Ya vimos algunos ejemplos en el tema 1. Proporcionan una especificación impĺıcita del sistema, es decir, una relación entre la entrada y la salida, en vez de una expresión expĺıcita de la salida en función de la entrada. Para obtener la relación expĺıcita será necesario resolver la ecuación. Para caracterizar completamente los sistemas, además será necesario especificar unas condiciones iniciales o auxiliares (carga o velocidad en t = 0 en los ejemplos), de forma que podamos resolver las ecuaciones. Aśı, distintas condiciones iniciales darán lugar a distintas relaciones entre la entrada y la salida del sistema. La condición más habitual será la de que el sistema LTI dado por una ecuación diferencial o en diferencias sea causal, en cuyo caso la condición auxiliar es la de reposo inicial: Condición de reposo inicial ⇔ LTI+Causal: Si x(t) = 0, t ≤ t0 ⇒ y(t) = 0, t ≤ t0. Las condición auxiliar serán y(t0) = 0 para obtener y(t) para t > t0. Esto indica que la salida es nula hasta que la entrada deje de ser nula (como corresponde a un sistema lineal y causal). Nota: normalmente se toma t0 = 0, pero si se desplaza la entrada, se debe desplazar t0, pues si no, el sistema no seŕıa invariante en el tiempo 4. Lo que importa para que el sistema sea LTI y causal es que la salida es nula mientras la entrada lo sea. 4Esto se véıa por ejemplo en el ejercicio 12l del tema 1, donde la salida era nula para t < 0, independientemente de que se desplace la entrada, lo que convert́ıa al sistema en variante en el tiempo. 22 Para que el sistema sea causal y LTI, las condiciones auxiliares son las de reposo inicial. Para resolver una ecuación en diferencias de orden N hacen falta N condiciones auxiliares: Si x[n] = 0, n < n0 ⇒ y[n] = 0, n < n0. Se puede resolver de forma similar a la de las ecuaciones diferenciales, poniendo la solución como suma de una solución particular y una solución homogénea: y[n] = yp[n] + yh[n] pero normalmente es más sencillo resolverla de otra forma6. Reordenando la ecuación y poniéndola en forma recursiva: y[n] = 1 a0 { M∑ k=0 bkx[n− k]− N∑ k=0 aky[n− k] } . Esta ecuación se puede resolver de forma recursiva, pues tenemos y[n] en función de valores previos de la entrada y la salida. Se ve claramente la necesidad de valores auxiliares, pues para obtener y[n0] hace falta conocer y[n0 − 1], . . . , y[n0 −N ]: N condiciones auxiliares. Según el orden de la ecuación en diferencias, hay dos tipos de sistemas discretos definidos mediante ecuaciones en diferencias: Sistemas FIR: N = 0. Respuesta al impulso de longitud finita. y[n] = M∑ k=0 ( bk a0 ) x[n− k]. Es una ecuación no recursiva, ya que tenemos despejado de forma expĺıcita y[n] en función de las entradas. Además, esto se puede ver como la convolución de x[n] con h[n], donde: h[n] =    bn a0 , 0 ≤ n ≤M, 0, resto. = M∑ k=0 bk a0 δ[n− k] En este caso, la respuesta al impulso es de longitud finita (M + 1) y no hacen falta condiciones auxiliares. Sistemas IIR: N ≥ 1. Respuesta al impulso de longitud infinita. Con las condiciones auxiliares de reposo inicial, h[n] resulta de duración infinita. 6Realmente las mejores formas de resolver las ecuaciones en diferencias será mediante la transfor- mada de Fourier y la transformada Z, que veremos en temas posteriores. 25 Ejemplo: y[n] − 1 2 y[n − 1] = x[n] para la entrada x[n] = Kδ[n] y condición de reposo inicial. Se puede poner de forma recursiva: y[n] = x[n] + 1 2 y[n− 1]. La condición de reposo inicial, dado que x[n] = 0, n ≤ −1 ⇒ y[n] = 0, n ≤ −1. Como N = 1, necesitamos una condición inicial, que será: y[−1] = 0. Podemos obtener y[n], n ≥ 0 de forma recursiva: y[0] =x[0] + 1 2 y[−1] = K, y[1] =x[1] + 1 2 y[0] = 1 2 K, y[2] =x[2] + 1 2 y[1] = ( 1 2 )2 K, ... y[n] =x[n] + 1 2 y[n− 1] = ( 1 2 )n K. Por tanto, y[n] = K ( 1 2 )n u[n]. Para K = 1 ⇒ x[n] = δ[n], obtenemos la respuesta al impulso del sistema, que vemos que corresponde a un sistema IIR y causal: h[n] = ( 1 2 )n u[n]. 2.6. Representación mediante diagramas de bloques La representación mediante diagramas de bloques es un método muy sencillo de mostrar sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales y en diferencias. Además permiten una mejor comprensión de los mismos y su simulación mediante ordenador, o su construcción mediante circuitos digitales (en el caso discreto). 2.6.1. Ecuaciones en diferencias N∑ k=0 aky[n− k] = M∑ k=0 bkx[n− k]. Es necesario representar 4 operaciones básicas: Sumador: 26 x[n] x[n] + y[n] y[n] Multiplicar por constante: a ax[n]x[n] Retardador (registro o memoria): D x[n− 1]x[n] Z−1x[n− 1]x[n] ⇔ Realimentación: será necesaria para sistemas IIR: D x[n] y[n] y[n− 1] Z−1 ⇔ x[n] y[n] y[n− 1] Vamos a ver la representación para sistemas FIR e IIR: FIR: y[n] = ∑M k=0 ( bk a0 ) x[n− k]. El caso más sencillo (M = 1): y[n] = b0x[n] + b1x[n− 1], se puede representar mediante el siguiente diagrama de bloques: D b0 b1 x[n] y[n] = b0x[n] + b1x[n− 1] x[n− 1] Si hay otro término (M = 2): y[n] = b0x[n] + b1x[n− 1] + b2x[n− 2] : 27 Forma Directa I D D D D D D −a1 1 a0 −a2 −aN b1 b0 b2 bM y[n]x[n] Podemos cambiar el orden de los bloques de entrada y salida usando las propiedades conmutativa y asociativa de los sistemas LTI: D D D D D D D b1 b0 b2 bM −a1 1 a0 −a2 −aM −aN y[n]x[n] dado que los registros operan sobre la misma señal, podemos sustituir cada pareja por uno sólo, obteniendo la forma directa II: 30 Forma Directa II D D D D −a1 −aM bM b0 1 a0 −aN −a2 b2 b1 x[n] y[n] 2.6.2. Ecuaciones diferenciales N∑ k=0 ak dky(t) dtk = M∑ k=0 bk dkx(t) dtk . Los derivadores son complicados de implementar en la práctica y muy sensibles a errores y ruido7. Lo que se hace es integrar sucesivas veces y transformar las derivadas en integrales, que śı se pueden construir de forma sencilla en la práctica, mediante amplificadores operacionales. Integrando N veces (suponemos N = M): N∑ k=0 αk ∫ (k) y(t)dt = M∑ k=0 βk ∫ (k) x(t)dt, donde: αk = aN−k, βk = bN−k,∫ (0) y(t)dt = y(t), ∫ (k) y(t)dt = ∫ t −∞ [∫ τk −∞ · · · [∫ τ2 −∞ y(τ1)dτ1 ] · · · dτk−1 ] dτk. En el caso de ecuaciones diferenciales, en lugar de registros, los elementos que poseen memoria serán los integradores, que representamos: 7Sabemos que un derivador es un sistema no estable. 31 ∫ t −∞ x(τ)dτx(t) ∫ La condición inicial en este caso queda clara obteniendo la integral desde un cierto instante inicial t0: ∫ t −∞ y(τ)dτ = y(t0) + ∫ t t0 y(τ)dτ. Vamos a ver algún caso particular sencillo: Sistema sin realimentación: dy(t) dt = b0x(t) + b1 dx(t) dt . En forma integral: y(t) = b0 ∫ t −∞ x(τ)dτ + b1x(t), cuya representación será: b1 b0 x(t) y(t) ∫ Sistema realimentado: ay(t) + dy(t) dt = bx(t). En forma integral: y(t) = b ∫ t −∞ x(τ)dτ − a ∫ t −∞ y(τ)dτ = ∫ t −∞ [bx(τ)− ay(τ)]dτ, cuya representación será: b y(t)x(t) −a ∫ En el caso general, hacemos lo mismo que en el caso discreto, igualando a una señal intermedia, y obteniendo una ecuación no recursiva para la entrada y recursiva para la salida: N∑ k=0 αk ∫ (k) y(t)dt = M∑ k=0 βk ∫ (k) x(t)dt = w(t), Entrada: w(t) = M∑ k=0 βk ∫ (k) x(t)dt, Salida en forma recursiva: y(t) = 1 α0 [ w(t)− N∑ k=1 αk ∫ (k) y(t)dt ] . Obtenemos aśı la forma directa I: 32