Tema 3: Sèries Temporals - Grup GX, Curs 2019-2020, Grau en Turisme - Prof. Albert, Diapositivas de Análisis Económico

¡Descarga Tema 3: Sèries Temporals - Grup GX, Curs 2019-2020, Grau en Turisme - Prof. Albert y más Diapositivas en PDF de Análisis Económico solo en Docsity! TEMA 3: Sèries temporals Grup GX Curs 2019‐2020 Grau en Turisme 1 • Introducció – Conceptes bàsics – Components d'una sèrie • Anàlisi dels components d'una sèrie – Mètode de mitjanes mòbils i l'estacionalitat – Mètode d'allisat exponencial • Sèries sense tendència ni estacionalitat: Allisat simple • Sèries amb tendència i sense estacionalitat: Allisat de Holt. • Criteris de selecció de models • Apèndix: Sèries amb tendència i estacionalitat: Allisat de Holt‐Winters. 2 5 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 45.000 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Font: Banc d’Espanya, a través de l’INE. Ingressos per turisme. 1997‐2012 (milions d’euros) Introducció: conceptes bàsics. 6 • Denotarem una sèrie temporal com i1, i2,…, iT, o, de forma més compacta, , en què el subíndex t indica el període a què fa referència la dada it i T és l'últim període de què disposem de dades.  Ttty 1 Introducció: components d'una sèrie. 7 • En una sèrie temporal podem trobar diferents components: o Tendència, Tt o Cicle, Ct o Estacionalitat, St o Component irregular, It o Pertorbació aleatòria, Ut Introducció: components d'una sèrie. 10 Estacionalitat, St • Són les variacions o fluctuacions regulars de periodicitat inferior a l'any, és a dir, moviments de la sèrie en un any. Òbviament, aquest component només s'observa en dades de periodicitat inferior a l'any (diaris, mensuals, trimestrals, quadrimestrals o semestrals). – La regularitat de l'esdeveniment es produeix cada s períodes, la qual cosa es denomina ordre d'estacionalitat. – Sorgeix per factors institucionals, climatològics o tècnics. Introducció: components d'una sèrie. 11 Component irregular, It • Són moviments esporàdics i infreqüents sense cap patró de regularitat. Poden produir‐se per causes conegudes (catàstrofes, vagues, efecte calendari) o desconegudes a priori (outliers). Pertorbació aleatòria, Ut • Recull l'efecte conjunt de milers de petits factors que influeixen sobre la sèrie temporal i que no es pot mesurar ni conèixer. Suposem que aquest efecte valdrà 0 de mitjana . 100 REPRESENTACIÓN DE UNA SERIE TEMPORAL 80 y 60 + 40 y 20 y 2 SAM NIN Tendencia 100 3 80 mE A E Estacionalidad Mov, irregular: Variación errática 4 8 2 24 e p o o CET o es 00 02 04 00 88" El A ET 12 15 • Sèrie amb tendència creixent. • Efecte irregular per l'anomenat efecte calendari: En abril apareix un nou pic que s'associa amb l'increment de viatges de Setmana Santa. Tanmateix, aquest fenomen no s'aprecia en 2009 ni en 2010, i en altres anys no és molt marcat: 1999, 2004, 2005. Això s'explica, en part, si observem en quina data exacta va començar la Setmana Santa. En general, si aquesta festivitat cau en març o és la primera setmana d‘abril, el nombre d'allotjaments és inferior del que es dóna quan cau en abril avançat. 0 1.000.000 2.000.000 3.000.000 4.000.000 5.000.000 6.000.000 7.000.000 en e. ‐9 9 ju n. ‐9 9 no v. ‐9 9 ab r.‐ 00 se p. ‐0 0 fe b. ‐0 1 ju l.‐ 01 di c. ‐0 1 m ay .‐0 2 oc t.‐ 02 m ar .‐0 3 ag o. ‐0 3 en e. ‐0 4 ju n. ‐0 4 no v. ‐0 4 ab r.‐ 05 se p. ‐0 5 fe b. ‐0 6 ju l.‐ 06 di c. ‐0 6 m ay .‐0 7 oc t.‐ 07 m ar .‐0 8 ag o. ‐0 8 en e. ‐0 9 ju n. ‐0 9 no v. ‐0 9 ab r.‐ 10 se p. ‐1 0 fe b. ‐1 1 ju l.‐ 11 di c. ‐1 1 m ay .‐1 2 oc t.‐ 12 m ar .‐1 3 ag o. ‐1 3 en e. ‐1 4 ju n. ‐1 4 no v. ‐1 4 ab r.‐ 15 Viatgers espanyols allotjats en establiments hotelers Introducció: components d'una sèrie. 16 • Hem vist, per tant, que una sèrie temporal presenta diferents components: Yt = f(Tt, Ct, St, It, Ut,) • Abans de continuar convé fer algunes precisions sobre el tractament dels components: – El component irregular no serà tractat, atesa la complicació metodològica que implica la seua anàlisi. La pertorbació aleatòria tampoc. – La tendència i el cicle es tractaran de manera conjunta considerant que Tt comprèn la variable cicle‐tendència, és a dir, tret que s'indique el contrari, anomenarem Tt la tendència pròpiament dita i el component cíclic. • D'aquesta manera, ens centrarem en dos components: Yt = f(Tt, St) Introducció: components d'una sèrie. 17 • Hi ha diverses formes de modelitzar la relació dels dos components d'una sèrie temporal. Les més freqüents són les següents: – ADDITIVA: It = Tt + St – MULTIPLICATIVA: It = Tt∙ St Anàlisi de components: mitjanes mòbils.  20 Podem distingir dues situacions Yt = f(Tt, St, Ut): 1. Ens interessa especialment l'estacionalitat St: • Eliminem el component estacional de manera que quedarà el cicle‐tendència. Després podem computar els efectes estacionals.  El procediment és el que es va estudiar en estadística: • Calcular les mitjanes mòbils d'ordre estacional i centrar‐les (els ordres estacionals més freqüents són parells). • D'aquesta manera s'obtenen sèries filtrades del component estacional. Si és objecte d'interès poden calcular‐se els índexs de variació estacional, fer la mitjana, (si se suposa un patró fix), i corregir‐los de forma proporcional perquè la seua summa siga coherent amb el total anual. Anàlisi de components: mitjanes mòbils.  21 Podem distingir dues situacions Yt = f(Tt, St, Ut): 2. No ens interessa l'estacionalitat St, sinó el cicle‐tendència Tt: • Quan fem la mitjana de valors se suavitzen les sèries, de manera que com més gran és l'ordre de la mitjana mòbil més suau serà la sèrie filtrada i obtindrem components de més llarg termini i més estables. No obstant això, perdrem més observacions en els extrems de la sèrie. • Per tant, es podrien aplicar mitjanes mòbils d'ordres superiors a l'estacional sabent que es filtraran (allisaran) les sèries més de la mesura que seria convenient per a una simple anàlisi estacional. Convé, però, que l'ordre de la mitjana mòbil siga múltiple de l'ordre estacional. Anàlisi de components: allisat exponencial. 22 • Un detall important que cal tenir en compte en tots dos casos: En una mitjana mòbil tots els elements de què es fa la mitjana tenen el mateix pes. Es tracta d'unamitjana aritmètica simple. • Hi ha un mètode alternatiu per a les mitjanes mòbils aritmètiques que consisteix a prendre mitjanes mòbils exponencials. Aquest procediment el denominem allisat exponencial. • En aquest procediment el pes que tenen els valors més allunyats és menor a l'hora de pronosticar la tendència. • Tanmateix, les ponderacions són elements discrecionals i la seua elecció forma part del procediment. Allisat exponencial simple 25 • El mètode d'allisat exponencial simple pot formular‐se de la forma  següent: Això vol dir que la previsió per al període t+1 és una mitjana ponderada entre el valor observat en el període previ ( ) i el valor previst per a aquest període ( ). ŷt1 yt  (1)ŷt ty ŷt Allisat exponencial simple 26 • Es pot demostrar que l'expressió anterior és equivalent a les següents: • Això significa que la predicció és una mitjana ponderada dels valors passats. • A més, els valors més allunyats pesen menys en el pronòstic. • El pes d'aquests valors dependrà del paràmetre α. ...)1()1(ˆ 2 2 11   tttt yyyy   ...)1()1(ˆ 2211   tttt yyyy  Allisat exponencial simple 27 Per tant, el valor de α és molt important: • Commenor és αmajor és (1‐α) imés pes té el passat. L'aplicació del mètode suavitzarà molt la sèrie. És adequat per a descriure el comportament de sèries amb oscil∙lacions relativament petites. • Com més gran siga α menor serà (1‐α), el passat té menys pes i l'allisament és menor. Sol adequar‐se millor a la descripció de sèries més volàtils. En el cas extrem que α = 1 la predicció seria: és a dir, no hi ha cap assuaviment. tt yy 1ˆ Allisat simple ‐ Exemple 30 • Els valors de la columna            s'han calculat segons: (es pren el valor de i1999 per arrancar) • Per tant , , és a dir, s’estima que en els propers anys la durada mitjana de l'estada als hotels de cinc estrelles serà de 2,90 nits: ŷ1999  2,83 ŷ2002  0, 2·2,87 (10,2)2,84  2,84... 2000ˆ 0,2·2,83 (1 0,2)2,83 2,83y     84,283.2)2,01(88,2·2,0ˆ2001 y 2011ˆ 0,2·2,99 (1 0,2)2,77 2,82y     2012ˆ 0,2·3,20 (1 0,2)2,82 2,90y     ŷ2011L  ŷ2012  2, 90 1ˆ ty Allisat de Holt 31 • La mitjana mòbil i l'allisat exponencial simple són útils quan la sèrie no té tendència (o quan ha estat eliminada). • Les sèries amb tendència i sense estacionalitat solen adoptar una forma com aquesta: 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 Allisat de Holt 32 • Quan hi ha una forta tendència creixent o decreixent, la mitjana aritmètica varia (creix o decreix) en incorporar nous valors a la sèrie. Per això, les sèries amb tendència estable es denominen estacionàries en mitjana o, de vegades, simplement estacionàries. • La major part dels procediments estadístics només funcionen bé amb sèries estacionàries. Això suposa un problema estadístic que es pot tractar de diverses formes: 1. Eliminar la tendència d'alguna forma: – De vegades, algunes transformacions permeten convertir una sèrie amb tendència creixent o decreixent en una altra d’estacionària: treballar amb la taxa de variació en lloc de fer‐ho amb la sèrie o, de vegades, amb el seu logaritme. – Si la tendència és lineal es pot eliminar mitjançant regressió. Allisat de Holt 35 • La interpretació de  és la mateixa que en el mètode de simple. • No obstant això, als valors de T es va afegint un increment P o pendent. D'aquesta manera la sèrie que se suavitza incorpora un “salt” que marca el component tendencial. • Si    llavors Pt no varia, és una constant. En aquest cas és equivalent a l'allisat simple. • Si   , llavors Pt és tan variable com siga Tt , la qual cosa descriu sèries amb gran fluctuació en el pendent. Allisat de Holt 36 • El mètode requereix uns punts d'arrancada que solen ser • La predicció amb aquest mètode, seria , és a dir, es pronostiquen com a valors futurs de la sèrie l'última predicció de la tendència més k vegades l'últim pendent. • Cal notar que si     , llavors és a dir, es pronostica per al període t+1 el valor del que s’ha observat en el període tmés l'últim increment de la sèrie: TTkT kPTy ˆ Tt  yt; Pt  yt  yt1; ŷt1  2yt  yt1 ttt yyy 1ˆ 11 yT  1 1 1    T yyP T Allisat de Holt ‐ Exemple 37 • Grau d'ocupació hotelera mitjana nacional: Considerem la sèrie temporal anual 1999‐2011 del grau d'ocupació mitjana dels hotels espanyols (línia roja del gràfic). La sèrie mostra una lleugera tendència decreixent, així que aplicarem el mètode d'allisat de Holt . Allisat de Holt ‐ Exemple 40 • Hem aplicat Holt per a dos conjunts de paràmetres (  ). Així, tenim dues possibles prediccions per als anys 2012 a 2014. • Atès que en els dos últims anys amb dades (2010 i 2011) l'ocupació va augmentar, el mètode Holt amb paràmetres (  ,   ) pronostica un increment continuat del grau d'ocupació. • L’allisat de Holt estima un grau d'ocupació negatiu, perquè té en compte l'evolució de la sèrie a llarg termini. Per aquest motiu, amb l'allisat de Holt es pronostica un decreixement lleuger, però sostingut, del grau d'ocupació. Criteris de selecció de models 41 • Uns models funcionaran millor que altres quan es tracta d'ajustar una sèrie de dades concreta. • Hi ha alguns criteris generals que ens poden fer elegir un procediment o altre en funció del nostre objectiu o de les característiques de la sèrie. • A més, segons el tipus de procediment que elegim, haurem de decidir el valor de certs paràmetres (l'ordre de la mitjana mòbil, els coeficients α i β). • I eventualment cal decidir si la descomposició segueix un esquema additiu o el multiplicatiu. • En definitiva, necessitem un criteri que permeta comparar diferents mètodes o elegir entre diferents valors dels paràmetres. Criteris de selecció de models 42 Dos dels més utilitzats són: 1. Error quadràtic mitjà, També es pot usar la seua arrel, RECM. 2. Error relatiu absolut mitjà, Calcula el valor mitjà de les desviacions relatives dels valors estimats respecte dels originals en valor absolut. Multiplicat per 100, es pot interpretar com el percentatge mitjà d'error comès. En tots dos casos, el millor ajust el donarà el model que minimitze l'error. Tanmateix, gairebé tots els programes estadístics incorporen rutines que permeten calcular de forma automàtica els valors dels paràmetres que minimitzen aquests criteris, normalment l'ECM. ECM  1 T (yt  ŷt ) 2 t1 T  ERAM  1 T yt  ŷt ytt1 T  Apèndix: Allisat de Holt‐Winters.  45 • La interpretació de  y  és la mateixa que abans. • Els valors de  propers a 0 indiquen que la sèrie manté la mateixa variació estacional cada any. Si  pren valors propers a 1 és perquè les variacions estacionals canvien any rere any (i pot indicar que el mètode correcte és el multiplicatiu). • El mètode requereix uns punts d'arrancada, que usualment són T1 = y1; P1 = (yT ‐ y1)/(T – 1); i S1 = 0. La predicció amb aquest mètode, més enllà de l'últim període de que es  disposa de dades, T, és de                    ŷTl TT  lPT STls Apèndix: Allisat de Holt‐Winters ‐ Exemple 46 • Nombre de viatgers allotjats en hotels: Considerem de nou la sèrie  mensual de viatgers allotjats en hotels (de qualsevol categoria) a Espanya  des de gener de 1999 fins a agost de 2012. L'aplicació del mètode de Holt‐ Winters per α = 0,3;  β = 0,2; γ = 0,4, gràficament, és: Apèndix: Allisat de Holt‐Winters ‐ Exemple 47 • Si apliquem l'ERAM a l'últim exemple, nombre de viatgers  allotjats en hotels, per estimar els valors dels coeficients α, β i γ, trobem que els valors òptims són α ;  β i γ  . – El valor baix de β  ens indica que la sèrie presenta un pendent molt  constant, però el valor γ proper a 1 indica que la component  estacional canvia de forma constant i ens avisa que les nostres  prediccions poden ser dolentes i que és aconsellable aplicar un  esquema multiplicatiu. – L'error percentual és 7,6% (mentre que per als valors dels coeficients  utilitzats en l'exemple l'error era del 12%) – Quan l'ERAM és menor que 5% es considera que l'ajust és bo.