¡Descarga Teorema de singularidad y más Ejercicios en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity! Matemáticas Superiores Unidad I: Variable Compleja Singularidades aisladas Wilfredo ANGULO 1 Singularidades aisladas Si una función de variable compleja deja de ser anaĺıtica en un punto z0 ∈ C, entonces se dice que este punto es una singularidad o punto singular de la función. Ejemplo 1 (Explicado en clase). Para la función f(z) = z (z − 1)(z + 1) los complejos z0 = 1 y z1 = −1 son sus únicas singularidades. Mientras que para la función g(z) = Ln(z), sus puntos de singularidad son toda la parte no positiva del eje real. Definición 1 (Singularidad aislada). Se dice que z0 ∈ C es un punto singular aislado de una función f(z), si z0 es un punto singular de f(z) y, además, existe una vecindad de z0 en donde f(z) es anaĺıtica. La vecindad, si existe, es el disco perforado 0 < |z− z0| < r0 con r0 el radio. Ejemplo 2 (Explicado en clase). Para la función f(z) = z (z − 1)(z + 1) los complejos z0 = 1 y z1 = −1 son singularidades aisladas; pero para la función g(z) = Ln(z) ninguna de sus singularidades es aislada. La singularidades aisladas se pueden clasificar mediante la serie de Laurent que represente a una función en torno a sus puntos singulares. Para esto se requiere la siguiente definición. Definición 2 (Parte principal de f(z) en un punto singular aislado). Se denomina parte parte principal de f(z) en un punto singular aislado z0, a la parte del desarrollo de Laurent que posee las potencias negativas de (z − z0) en el anillo (disco perforado) 0 < |z − z0| < r0. Ejemplo 3 (Explicado en clase). Determine la parte principal de f(z) = 1 z(z − 1) en cada uno de sus puntos singulares. Demostración. Como se puede observar, los puntos singulares de f(z) son z1 = 0 y z2 = 1. Como, por descomposición en fracciones simples, f(z) se expresa de la manera siguiente f(z) = 1 z(z − 1) = −1 z + 1 (z − 1) , entonces construimos sus respectivas series de Laurent centrados en z1 y z2 teniendo en cuenta cada sumando. 2 Wilfredo ANGULO a) Parte principal de f(z) en z1 = 0: en este caso un desarrollo de Lauretn será valido para el anillo 0 < |z − z1| < r0 con z1 = 0 y r0 = 1; es decir el disco abierto y perforado 0 < |z| < 1. En efecto el desarrollo de Laurent viene dado por: f(z) = 1 z(z − 1) = −1 z + 1 z − 1 = − 1 (1− z) − 1 z = ∞∑ n=0 (−1)zn + (−1)z−1, 0 < |z| < 1. Por lo tanto, la parte principal de f(z) en el punto singular z1 = 0 es: (−1)z−1. b) Parte principal de f(z) en z2 = 1: en este caso un desarrollo de Lauretn será valido para el anillo 0 < |z − z2| < r0 con z2 = 1 y r0 = 1; es decir el disco abierto y perforado 0 < |z − 1| < 1. En efecto el desarrollo de Laurent viene dado por: f(z) = 1 z(z − 1) = −1 z + 1 (z − 1) = − 1 z + 1− 1 + (z − 1)−1 = − 1 1 + (z − 1) + (z − 1)−1 = ∞∑ n=0 (−1)n+1(z − 1)n︸ ︷︷ ︸ |z−1|<1 +(z − 1)−1︸ ︷︷ ︸ |z−1|>0 . Aśı, el desarrollo de Laurent de f(z) centrado en z2 = 1 válido en 0 < |z − 1| < 1, está dado por: f(z) = ∞∑ n=0 (−1)n+1(z − 1)n + (z − 1)−1, 0 < |z − 1| < 1. Por lo tanto, la parte principal de f(z) en el punto singular z2 = 1 es: (z − 1)−1.
