Teorema de Strokes, Apuntes de Ingeniería Industrial

¡Descarga Teorema de Strokes y más Apuntes en PDF de Ingeniería Industrial solo en Docsity! TEOREMA DE STOKES (Compara una integral curvilínea con cierta integral de superficie) • Sea D un dominio simplemente conexo y acotado de 3 . • Sea F : 3→ un campo vectorial con derivadas primeras continuas en D. 3 • Sea S una superficie contorneada por la curva cerrada γ . • Sea n la normal de la superficie asociada a la orientación de γ . Entonces se verifica que la circulación del campo F es: S (rot F) n FS dlγ∂ ≡=∫∫ ∫ donde ),,( zyxn es el vector unitario normal al plano tangente a la superficie S en el punto (x,y,z) y la elección de este vector normal está determinada por el sentido en que γ =∂S es recorrida Ejemplo: S γ∂ ≡ S n S γ∂ ≡ S n Calcular F γ∫ donde 2yF(x,y,z) (xz,cos y, ) 2 = − y γ es la circunferencia centrada en(0,0) de radio uno en el plano z=0, recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. Parametrizamos la curva γ : γ(t)=(cost,sent,0) 22π 0 y(0,cos(sent),- ) 2 Fγ =∫ ∫ (-sent,cost,0)= , integral que es complicada. 2π 0 cost cos(sent)dt⋅∫ Tomando S el hemisferio norte de la esfera centrada en (0,0,0) y radio 1 S 2 2 ( , , )( , , ) x y zn x y z 2x y z = + + ; rotF = 2 ( , , 0)y x= − cos 2 i j k x y z yxz y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − S Entonces: 2 2 2 (x,y,z)rot F n ( y,x,0) 0S S x y z = − ⋅ =∫∫ ∫∫ + +