Teoria cinetica de los gases, Ejercicios de Química Aplicada

¡Descarga Teoria cinetica de los gases y más Ejercicios en PDF de Química Aplicada solo en Docsity! Un tornado es una columna de aire en rotación violenta que se extiende desde la base de una tormenta hasta la tierra. Los modelos muestran los principales constituyentes de un tornado: moléculas de nitrógeno, oxígeno, agua y dióxido de carbono y átomos de argón. Gases 05_CHAPTER 05.indd 172 12/21/09 12:52:28 PM Avance del capítulo • Comenzamos este capítulo con un análisis de las sustancias que existen como gases y sus propiedades generales. (5.1) • Aprenderemos las unidades para expresar la presión de los gases y las características de la presión atmosférica. (5.2) • Después, estudiaremos la relación entre presión, volumen, temperatura y cantidad de un gas con base en las diferentes leyes de los gases. Veremos que estas leyes se pueden resumir mediante la ecuación del gas ideal, que se puede utilizar para calcular la densidad o la masa molar de un gas. (5.3 y 5.4) • Veremos que la ecuación del gas ideal se puede utilizar para estudiar la estequiome- tría que implica a los gases. (5.5) • Aprenderemos que el comportamiento de una mezcla de gases se puede comprender mediante la ley de Dalton de las presiones parciales, la cual es una extensión de la ecuación del gas ideal. (5.6) • Veremos cómo la teoría cinética molecular de los gases, la cual se basa en las pro- piedades de las moléculas individuales, se puede utilizar para describir las propie- dades macroscópicas como la presión y temperatura de un gas. Aprenderemos que esta teoría permite la obtención de una expresión para la rapidez de las moléculas a cierta temperatura y entenderemos fenómenos como la difusión y la efusión de gases. (5.7) • Por último estudiaremos la corrección para el comportamiento no ideal de los gases mediante la ecuación de van der Waals. (5.8) Sumario 5.1 Sustancias que existen como gases 5.2 Presión de un gas 5.3 Leyes de los gases 5.4 Ecuación del gas ideal 5.5 Estequiometría de los gases 5.6 Ley de Dalton de las presiones parciales 5.7 Teoría cinética molecular de los gases 5.8 Desviación del comportamiento ideal En ciertas condiciones de presión y temperatura es posible que la mayoría de las sustancias existan en alguno de los tres estados de la materia: sólido, líquido o gaseoso. Por ejemplo, el agua puede estar en estado sólido como hielo, en estado líquido como agua o en estado gaseoso como vapor. Las propiedades físicas de una sustancia dependen a menudo de su estado. Los gases, tema de este capítulo, son en diversos aspectos mucho más sencillos que los líquidos y los sólidos. El movimiento molecular de los gases resulta totalmente aleatorio, y las fuerzas de atracción entre sus moléculas son tan pequeñas que cada una se mueve en forma libre y fundamentalmente independiente de las otras. Sujetos a cam- bios de temperatura y presión, los gases se comportan en forma más previsible que los sólidos y los líquidos. Las leyes que norman este comportamiento han desempeñado una importante función en el desarrollo de la teoría atómica de la materia y la teoría cinética molecular de los gases. 173 05_CHAPTER 05.indd 173 12/21/09 12:52:44 PM 176 CAPÍTULO 5 Gases La unidad SI de velocidad es m/s, aunque también se utiliza cm/s. La aceleración es el cambio de velocidad en función del tiempo, o aceleración cambio de velocidad tiempo trans = currido La aceleración se mide en m/s2 (o cm/s2). La segunda ley del movimiento, formulada por Sir Isaac Newton1 a finales del siglo xvii, define otro término, llamado fuerza, del cual se derivan las unidades de presión. De acuerdo con esta ley, fuerza masa aceleración= × En este contexto, la unidad SI de fuerza es el newton (N), donde 1 N = 1 kg m/s2 Por último, la presión se define como la fuerza aplicada por unidad de área: presión fuerza área = La unidad SI de presión es el pascal (Pa),2 que se define como un newton por metro cuadra- do: 1 Pa = 1 N/m2 Presión atmosférica Los átomos y las moléculas de los gases en la atmósfera, como el resto de la materia, están sujetos a la atracción gravitacional de la Tierra; por consiguiente, la atmósfera es mucho más densa cerca de la superficie de la Tierra que en altitudes elevadas. (El aire fuera de la cabi- na presurizada de un avión a 9 km de altura es muy ligero para ser respirado.) De hecho, la densidad del aire disminuye con rapidez al aumentar la longitud de la Tierra. Las mediciones señalan que aproximadamente 50% de la atmósfera se encuentra dentro de 6.4 km de la su- perficie de la Tierra, 90% dentro de 16 km y 99% dentro de 32 km. No sorprende que cuanto más denso sea el aire, mayor es la presión que ejerce. La fuerza que experimenta cualquier superficie expuesta a la atmósfera de la Tierra es igual al peso de la columna de aire que está encima de ella. La presión atmosférica, como lo indica su nombre, es la presión que ejerce la atmósfera de la Tierra (figura 5.2). El valor real de la presión atmosférica depende de la localización, la temperatura y las condiciones climáticas. ¿La presión atmosférica actúa sólo hacia abajo, como se podría inferir a partir de la de- finición? Imagine qué sucedería, entonces, si sostuviera firmemente una hoja de papel por encima de su cabeza (con ambas manos). Quizás esperaría que el papel se doblara debido a la presión de aire sobre éste, pero eso no ocurre. La razón es que el aire, al igual que el agua, es un fluido. La presión ejercida sobre un objeto en un fluido proviene de todas direcciones: de abajo y de arriba, así como de izquierda a derecha. A nivel molecular, la presión del aire se produce debido a choques entre las moléculas del aire contra cualquier superficie con la que entren en contacto. La magnitud de la presión depende de la frecuencia y la fuerza con 1 N es un equivalente aproximado de la fuerza ejercida por la gravedad de la Tierra sobre una manzana. Figura 5.2 Columna de aire extendiéndose del nivel del mar hasta la atmósfera superior. Columna de aire 1 Sir Isaac Newton (1642-1726). Matemático inglés, físico y astrónomo. Newton es considerado por muchos como uno de los dos grandes físicos que el mundo ha conocido (el otro es Albert Einstein). Difícilmente existe una rama de la física para la que Newton no haya realizado una contribución importante. Su obra Principia, publicada en 1687, representa un hito en la historia de la ciencia. 2 Blaise Pascal (1623-1662). Matemático y físico francés. El trabajo de Pascal abarca con amplitud el campo de las matemáticas y la física, pero su especialidad se centró en el área de la hidrodinámica (el estudio del movimiento de los fluidos). También inventó una máquina calculadora. 05_CHAPTER 05.indd 176 12/21/09 12:53:07 PM que las moléculas impacten la superficie. Resulta que hay tantas moléculas golpeando el papel por encima como por debajo, de manera que el papel permanece plano. ¿Cómo se mide la presión atmosférica? Probablemente el barómetro sea el instrumento más común para medirla. Un barómetro sencillo consta de un tubo largo de vidrio, cerrado en un extremo y lleno de mercurio. Si el tubo se invierte con cuidado sobre un recipiente con mercurio, de manera que no entre aire en el tubo, parte del mercurio saldrá del tubo hacia el re- cipiente, creando un vacío en el extremo superior (figura 5.3). El peso del mercurio remanente en el tubo se conserva por la presión atmosférica que actúa sobre la superficie del mercu- rio en el recipiente. La presión atmosférica estándar (1 atm) es igual a la presión que soporta una columna de mercurio exactamente de 760 mm (o 76 cm) de altura a 0°C al nivel del mar. En otras palabras, la presión atmosférica estándar es igual a la presión de 760 mmHg, donde mmHg representa la presión ejercida por una columna de mercurio de 1 mm de altura. La uni- dad de mmHg también se llama torr, en honor del científico italiano Evangelista Torricelli,3 quien inventó el barómetro. Así 1 torr = 1 mmHg y 1 atm = 760 mmHg (exactamente) La relación entre atmósferas y pascales (vea el apéndice 2) es 1 atm = 101 325 Pa = 1.01325 × 105 Pa y, dado que 1 000 Pa = 1 kPa (kilopascal) 1 atm = 1.01325 × 102 kPa Los ejemplos 5.1 y 5.2 muestran la conversión de mmHg a atm y kPa. Figura 5.3 Un barómetro para medir la presión atmosférica. Sobre el mercurio en el tubo hay un vacío. (El espacio realmente contiene una muy pequeña cantidad de vapor de mercurio.) La columna de mercurio se mantiene por la presión atmosférica. La presión externa de un avión de propulsión que vuela a gran altitud es considerablemente menor que la presión atmosférica estándar. Por ello, el aire del interior de la cabina debe presurizarse para proteger a los pasajeros. ¿Cuál es la presión (en atm) en la cabina si la lectura del barómetro es de 688 mmHg? Estrategia Debido a que 1 atm = 760 mmHg se necesita el siguiente factor de conversión para obtener la presión en atmósferas 1 atm 760 mmHg Solución La presión en la cabina está dada por Ejercicio de práctica Convierta 749 mmHg en atmósferas. Presión atmosférica 76 cm EjEmpLo 5.1 3 Evangelista Torricelli (1608-1674). Matemático italiano. Supuestamente Torricelli fue la primera persona en reco- nocer la existencia de la presión atmosférica. Problema similar: 5.13. presión 688 mmHg 1 atm 760 mmHg 0.905 atm = × = 1775.2 Presión de un gas 05_CHAPTER 05.indd 177 12/21/09 12:53:16 PM 178 CAPÍTULO 5 Gases La presión atmosférica en San Francisco cierto día fue de 732 mmHg. ¿Cuál fue la presión en kPa? Estrategia Se nos pide convertir mmHg en kPa. Debido a que 1 atm = 1.01325 × 105 Pa = 760 mmHg El factor de conversión que necesitamos es 1.01325 10 Pa 760 mmHg 5× Solución La presión en kPa es Ejercicio de práctica Convierta 295 mmHg en kilopascales. Un manómetro es un dispositivo para medir la presión de los gases distintos a los de la atmósfera. El principio de operación de un manómetro es parecido al de un barómetro. Exis- ten dos tipos de manómetros, que se observan en la figura 5.4. El manómetro de tubo cerrado se utiliza comúnmente para medir presiones menores a la presión atmosférica [figura 5.4a)], en tanto que el manómetro de tubo abierto es más adecuado para medir presiones iguales o mayores que la presión atmosférica [figura 5.4b)]. Casi todos los barómetros y la mayor parte de los manómetros emplean mercurio como fluido de trabajo, a pesar de que es una sustancia tóxica, al igual que sus vapores. La razón es que el mercurio tiene una densidad muy alta (13.6 g/mL) en comparación con la mayoría de los líquidos. Como la altura de la columna de un líquido es inversamente proporcional a su densidad, esta propiedad permite construir barómetros y manómetros pequeños que se mani- pulan con facilidad. EjEmpLo 5.2 Problema similar: 5.14. h Pgas = Ph a) h Gas Pgas = Ph + Patm Gas b) Vacío Mercurio Figura 5.4 Dos tipos de manómetros utilizados para medir las presiones de los gases. a) La presión del gas es menor que la presión atmosférica. b) La presión del gas es mayor que la presión atmosférica. = ×presión 732 mmHg 1.01325 10 Pa 760 mmHg 9.7 5× = 6 10 Pa 97.6 kPa 4× = 05_CHAPTER 05.indd 178 12/21/09 12:53:32 PM Calentamiento o enfriamiento de un gas a una presión constante Calentamiento o enfriamiento de un gas a un volumen constante Incremento o disminución del volumen de un gas a una temperatura constante Dependencia del volumen con la cantidad de un gas a una temperatura y presión constantes Temperatura más baja (El volumen disminuye) Temperatura más alta P PP P PP P PP PPP Ley de Charles V = ( ) T es constante Ley de Charles (El volumen aumenta) Temperatura más baja (La presión disminuye) Temperatura más alta (La presión aumenta) nR P nR P El volumen disminuye (La presión aumenta) Extracción de gas Cilindro de gas (El volumen disminuye) El volumen aumenta Ley de Boyle Ley de Charles Ley de Boyle P = (nRT) nRT es constante (La presión disminuye) 1 V Ley de Avogadro P = ( ) T es constantenRV nR V Adición de moléculas de gas (El volumen aumenta) V = ( ) n es constanteRT P RT P Válvula Figura 5.6 Ilustraciones esquemáticas de la ley de Boyle, ley de Charles y ley de Avogadro. 1815.3 Leyes de los gases 05_CHAPTER 05.indd 181 12/21/09 12:59:02 PM 182 CAPÍTULO 5 Gases En la figura 5.7 se muestran dos formas convencionales de expresión gráfica de los des- cubrimientos de Boyle. La figura 5.7a) es una gráfica de la ecuación PV = k1; la figura 5.7b) es una gráfica de la ecuación equivalente P = k1 × 1/V. Observe que esta última es una ecuación lineal de la forma y = mx + b, donde b = 0 y m = k1. Aunque los valores individuales de presión y volumen pueden variar mucho para una muestra dada de un gas, siempre que la temperatura permanezca constante y la cantidad de gas no cambie, P multiplicada por V siempre será igual a la misma constante. Por consiguiente, para una muestra de un gas bajo dos conjuntos de condiciones distintas a temperatura cons- tante, tenemos P1V1 = k1 = P2V2 o P1V1 = P2V2 (5.2) donde V1 y V2 son los volúmenes sometidos a las presiones P1 y P2, respectivamente. Relación temperatura-volumen: ley de Charles y de Gay-Lussac La ley de Boyle depende de que la temperatura del sistema permanezca constante. Pero su- ponga que cambia la temperatura. ¿Cómo afectará el cambio de la temperatura al volumen y la presión de un gas? Veamos por principio de cuentas el efecto de la temperatura sobre el volumen de un gas. Los primeros investigadores que estudiaron esta relación fueron los cien- tíficos franceses Jacques Charles5 y Joseph Gay-Lussac.6 Sus estudios demostraron que, a una presión constante, el volumen de una muestra de gas se expande cuando se calienta y se con- trae al enfriarse (figura 5.8). Las relaciones cuantitativas implicadas en estos cambios de tem- peratura y volumen del gas resultan ser notablemente congruentes. Por ejemplo, observamos un fenómeno interesante cuando estudiamos la relación entre temperatura y volumen a varias presiones. A cualquier presión dada, la gráfica de volumen en relación con la temperatura es una línea recta. Al extender la recta al volumen cero, encontramos que la intersección en el eje de temperatura tiene un valor de –273.15°C. A cualquier otra presión obtenemos una recta diferente para la gráfica de volumen y temperatura, pero alcanzamos la misma intersección de –273.15°C para la temperatura correspondiente al volumen cero (figura 5.9). (En la práctica, Figura 5.7 Representación gráfica de la variación del volumen de un gas en relación con la presión ejercida sobre él, a temperatura constante. a) P contra V. Observe que el volumen del gas se duplica a medida que la presión se reduce a la mitad. b) P contra 1/V. La pendiente de la línea es igual a k1. b) P a) 4 L 0.6 atm 0.3 atm P 2 L 1–– V V Temperatura baja Temperatura alta Tubo capilar Mercurio Gas Figura 5.8 Variación del volumen de una muestra de un gas con la temperatura, a presión constante. La presión ejercida sobre el gas es la suma de la presión atmosférica y la presión debida al peso del mercurio. 5 Jacques Alexandre Cesar Charles (1746-1823). Físico francés. Fue un conferencista privilegiado, inventor de apara- tos científicos y el primero en utilizar hidrógeno para inflar globos. 6 Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850). Químico y físico francés. Al igual que Charles, Gay Lussac fue un apa- sionado de los globos. Una vez ascendió a una altitud de 20 000 pies para recolectar muestras de aire con fines de investigación. 05_CHAPTER 05.indd 182 12/21/09 1:00:17 PM podemos medir el volumen de un gas sólo en un intervalo limitado de temperatura, ya que todos los gases se condensan a bajas temperaturas para formar líquidos.) En 1848, Lord Kelvin7 comprendió el significado de dicho fenómeno. Identificó la tem- peratura de –273.15°C como el cero absoluto, teóricamente la temperatura más baja posible. Tomando el cero absoluto como punto de partida estableció entonces una escala de tempe- ratura absoluta, conocida ahora como escala de temperatura Kelvin (vea la sección 1.7). En la escala Kelvin, un kelvin (K) es igual en magnitud a un grado Celsius. La única diferencia entre la escala de temperatura absoluta y la de Celsius es la posición del cero. Los puntos importantes de las dos escalas se comparan del siguiente modo: Figura 5.9 Variación del volumen de una muestra de gas con la temperatura, a presión constante. Cada línea representa la variación a cierta presión. Las presiones aumentan desde P1 hasta P4. Todos los gases al final se condensan (se vuelven líquidos) si se enfrían a temperaturas lo suficientemente bajas; las partes sólidas de las líneas representan la región de temperatura por arriba del punto de condensación. Cuando estas líneas se extrapolan o se extienden (las partes punteadas), todas coinciden en el punto que representa el volumen cero a una temperatura de –273.15ºC. –300 –200 –100 0 100 200 10 V ( m L ) 0 20 30 40 50 P1 P2 P3 P4 –273.15°C 300 400 t (°C) La conversión entre °C y K se encuentra en la página 20. En la mayor parte de los cálculos de este texto utilizaremos 273 en lugar de 273.15 para relacionar K y °C. Por convenio, uti- lizamos T para denotar la temperatura absoluta (kelvin) y t para indicar la temperatura en la escala Celsius. La dependencia del volumen de un gas con la temperatura, se da por V ∝ T V = k2T o donde k2 es la constante de proporcionalidad. La ecuación (5.3) se conoce como ley de Char- les y de Gay-Lussac, o simplemente ley de Charles, la cual establece que el volumen de una cantidad fija de gas mantenido a presión constante es directamente proporcional a la tempe- ratura absoluta del gas. La ley de Charles también se ilustra en la figura 5.6. Observamos que el factor de proporcionalidad, k2, en la ecuación (5.3) es igual a nR/P. Escala Kelvin Escala Celsius Cero absoluto 0 K –273.15°C Punto de congelación del agua 273.15 K 0°C Punto de ebullición del agua 373.15 K 100°C En condiciones experimentales especiales, los científicos se han podido aproximar al cero absoluto dentro de una pequeña fracción de un kelvin. V T k= 2 (5.3) Recuerde que la temperatura debe estar en kelvins en los cálculos de la ley de los gases. 7 William Thomson, Lord Kelvin (1824-1907). Matemático y físico escocés. Kelvin realizó un importante trabajo en muchas ramas de la física. 1835.3 Leyes de los gases 05_CHAPTER 05.indd 183 12/21/09 1:00:26 PM 186 CAPÍTULO 5 Gases Antes que apliquemos la ecuación del gas ideal a un sistema real debemos calcular R, la constante de los gases. A 0°C (273.15 K) y 1 atm de presión, muchos gases reales se compor- tan como un gas ideal. En los experimentos se demuestra que en esas condiciones, 1 mol de un gas ideal ocupa un volumen de 22.414 L, que es un poco mayor que el volumen de una pelota de baloncesto, como se ilustra en la figura 5.11. Las condiciones de 0°C y 1 atm se denominan temperatura y presión estándar, y a menudo se abrevian TPE. Con base en la ecuación (5.8) podemos escribir R PV nT = = = (1 atm)(22.414 L) (1 mol)(273.15 K) 0. . 082057 0 082057 L atm K mol L atm/K mol ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Los puntos entre L y atm, y entre K y mol, recuerdan que tanto L como atm están en el nume- rador, y que K y mol están en el denominador. Para la mayoría de los cálculos redondearemos el valor de R a tres cifras significativas (0.0821 L · atm/K · mol), y utilizaremos 22.41 L para el volumen molar de un gas a TPE. En el ejemplo 5.3 se indica que si conocemos la cantidad, el volumen y la temperatura de un gas podemos calcular su presión al utilizar la ecuación del gas ideal. A menos que se esta- blezca lo contrario, suponemos que las temperaturas dadas en °C en los cálculos son exactas, así que no afectan el número de cifras significativas. Figura 5.11 Comparación entre el volumen molar a TPE (el cual es aproximadamente de 22.4 L) y una pelota de baloncesto. La constante de un gas se puede expresar en diferentes unidades (vea el apéndice 2). SF6 El hexafluoruro de azufre (SF6) es un gas incoloro e inodoro muy poco reactivo. Calcule la presión (en atm) ejercida por 1.82 moles del gas en un recipiente de acero de 5.43 L de volumen a 69.5°C. Estrategia Este problema ofrece información acerca de la cantidad del gas, de su volumen y temperatura. ¿El gas está experimentando un cambio en alguna de sus propiedades? ¿Qué ecuación debemos utilizar para encontrar la presión? ¿Qué unidad de temperatura debemos utilizar? (continúa) EjEmpLo 5.3 05_CHAPTER 05.indd 186 12/21/09 1:01:21 PM Dado que el volumen molar de un gas ocupa 22.41 L a TPE podemos calcular el volumen de un gas en condiciones de TPE sin utilizar la ecuación del gas ideal. Solución Debido a que no ocurren cambios en las propiedades del gas podemos utilizar la ecuación del gas ideal para calcular la presión. Con la ecuación (5.8) reorganizada, escribimos Ejercicio de práctica Calcule el volumen (en litros) ocupado por 2.12 moles de óxido nítrico (NO) a 6.54 atm y 76ºC. Problema similar: 5.32. P nRT V = = ⋅ ⋅ +(1.82 mol)(0.0821 L atm/K mol)(69.5 273) K 5.43 L atm= 9 42. Calcule el volumen (en litros) que ocupan 7.40 g de NH3 a TPE. Estrategia ¿Cuál es el volumen de un mol de un gas ideal a TPE? ¿Cuántos moles hay en 7.40 g de NH3? Solución Si aceptamos que 1 mol de un gas ideal ocupa 22.41 L a TPE y mediante la masa molar del NH3 (17.03 g), escribimos la secuencia de conversiones como gramos de NH moles de NH3 3 litros de NH a TPE3�→ �→ por lo que el volumen de NH3 está dado por Con frecuencia sucede en química, en particular en los cálculos relacionados con las leyes de los gases, que un problema se puede resolver de varias formas. En este caso, el problema también se puede resolver al convertir primero 7.40 g de NH3 al número de moles de NH3, y después aplicar la ecuación del gas ideal (V = nRT/P). Inténtelo. Verificación Puesto que 7.40 g de NH3 es menor que su masa molar es de esperar que el volumen sea menor que 22.41 L a TPE. Por tanto, la respuesta es razonable. Ejercicio de práctica ¿Cuál es el volumen (en litros) que ocupan 49.8 g de HCl a TPE? EjEmpLo 5.4 Revisión de conceptos Suponiendo un comportamiento ideal, ¿cuál de los siguientes gases tendrá el mayor volumen a TPE? a) 0.82 moles de He. b) 24 g de N2. c) 5.0 × 10 23 moléculas de Cl2. NH3 Problema similar: 5.40. V = × ×7.40 g NH 1 mol NH 17.03 g NH 22.41 L 1 m 3 3 3 ol NH3 9 74 L= . 1875.4 Ecuación del gas ideal 05_CHAPTER 05.indd 187 12/21/09 1:01:39 PM 188 CAPÍTULO 5 Gases La ecuación del gas ideal es útil para resolver problemas que no implican cambios en P, V, T y n de una muestra de gas. Por tanto, si conocemos tres variables podemos calcular la cuarta mediante la ecuación. Sin embargo, a veces necesitamos trabajar con cambios de pre- sión, volumen y temperatura, o incluso, de cantidad del gas. Cuando cambian las condiciones, debemos emplear una forma modificada de la ecuación del gas ideal que toma en cuenta las condiciones iniciales y finales. Esta ecuación la obtenemos del modo siguiente, con base en la ecuación (5.8), R PV n T = 1 1 1 1 (antes del cambio) y (después del cambio) 2 2 R P V n T = 2 2 Por tanto (5.9) PV n T P V n T 1 1 1 1 2 2= 2 2 Resulta interesante observar que todas las leyes de gases analizadas en la sección 5.3 se pue- den derivar de la ecuación (5.9). Si n1 = n2, como normalmente ocurre, porque la cantidad de gas por lo general no cambia, la ecuación en tal caso se reduce a (5.10) PV T P V T 1 1 1 2 2= 2 Las aplicaciones de la ecuación (5.9) son el tema de los ejemplos 5.5, 5.6 y 5.7. Los subíndices 1 y 2 denotan los estados inicial y final del gas, respectivamente. Un globo inflado con un volumen de 0.55 L de helio a nivel del mar (1.0 atm) se deja elevar a una altura de 6.5 km, donde la presión es de casi 0.40 atm. Suponiendo que la temperatura permanece constante, ¿cuál será el volumen final del globo? Estrategia La cantidad del gas dentro del globo y su temperatura permanecen constantes, pero tanto la presión como el volumen cambian. ¿Cuál de las leyes de los gases se necesita? Solución Comenzamos con la ecuación (5.9) PV n T P V n T 1 1 1 1 2 2= 2 2 Debido a que n1 = n2 y T1 = T2, P1V1 = P2V2 que es la ley de Boyle [vea la ecuación (5.2)]. Se tabula la información que se tiene: Condiciones iniciales Condiciones finales P1 = 1.0 atm P2 = 0.40 atm V1 = 0.55 L V2 = ? Por tanto, (continúa) EjEmpLo 5.5 Globo inflado con helio, para investigaciones científicas. V V P P 2 1 1 2 1 4 = × = × = 0.55 L 1.0 atm 0.40 atm L. 05_CHAPTER 05.indd 188 12/21/09 1:01:52 PM El número de moles del gas, n, está dado por n m = m donde m es la masa del gas en gramos y m es su masa molar. Por tanto, m V P RTm = Dado que la densidad, d, es la masa por unidad de volumen, podemos escribir (5.11) d m V P RT = = m A diferencia de las moléculas de la materia condensada (es decir, líquidos y sólidos), las molé- culas gaseosas están separadas por longitudes que son amplias en comparación con su tamaño. En consecuencia, la densidad de los gases es muy baja en condiciones atmosféricas. Por esta razón, la densidad de los gases se expresa comúnmente en gramos por litro (g/L) en vez de gramos por mililitro (g/mL), como lo muestra el ejemplo 5.8. CO2 Como propiedad intensiva, la densidad es independiente de la cantidad de sustancia. Por tanto, podemos utilizar cualquier cantidad conveniente como apoyo para la resolución del problema. Calcule la densidad del dióxido de carbono (CO2) en gramos por litro (g/L) a 0.990 atm y 55ºC. Estrategia Necesitamos la ecuación (5.11) para calcular la densidad de los gases. ¿El problema proporciona suficiente información? ¿Qué unidad de temperatura se debe utilizar? Solución Para utilizar la ecuación (5.11) convertimos la temperatura en kelvins (T = 273 + 55 = 328 K) y usamos 44.01 g para la masa molar del CO2: Por otro lado, podemos encontrar la densidad mediante la siguiente ecuación densidad masa volumen = Suponiendo que tenemos 1 mol de CO2, la masa sería de 44.01 g. El volumen del gas se puede obtener a partir de la ecuación del gas ideal V nRT P = = ⋅ ⋅(1 mol) (0.0821 L atm/K mol) (328 K) 0.990 atm 27.2 L= Por tanto, la densidad del CO2 está dada por (continúa) EjEmpLo 5.8 d P RT = = ⋅ m (0.990 atm) (44.01 g/mol) (0.0821 L atm/K mol) (328 K) g/L ⋅ = 1 62. d = = 44.01 g 27.2 L 1.62 g/L 1915.4 Ecuación del gas ideal 05_CHAPTER 05.indd 191 12/21/09 1:02:21 PM 192 CAPÍTULO 5 Gases Masa molar de una sustancia gaseosa De lo que se ha dicho hasta aquí, quizá tenga la impresión de que la masa molar de una sus- tancia se encuentra examinando su fórmula y al sumar las masas molares de los átomos que la componen. Sin embargo, este procedimiento sólo funciona si se conoce la fórmula real de la sustancia. En la práctica, los químicos con frecuencia trabajan con sustancias de compo- sición desconocida o sólo parcialmente definida. No obstante, si la sustancia desconocida es un gas, se puede encontrar su masa molar gracias a la ecuación del gas ideal. Todo lo que se necesita es determinar el valor experimental de la densidad (o los datos de masa y volumen) del gas a una presión y temperatura conocidas. Al reorganizar la ecuación (5.11) obtenemos (5.12) m= dRT P En un experimento típico, un bulbo de volumen conocido se llena con la sustancia ga- seosa en estudio. Se registran la temperatura y presión de la muestra de gas y se determina la masa total del bulbo más la muestra de gas (figura 5.12). Luego se evacua (vacía) el bulbo y se pesa otra vez. La diferencia en masa es la masa del gas. La densidad del gas es igual a su masa dividida entre el volumen del bulbo. Una vez conocida la densidad del gas, podemos calcular la masa molar de la sustancia utilizando la ecuación (5.12). Por supuesto, un espectrómetro de masas sería el instrumento ideal para determinar la masa molar, pero no todos los químicos cuentan con este equipo. En el ejemplo 5.9 se señala el método de la densidad para determinar la masa molar. Comentario La densidad del gas expresada en gramos por mililitro sería 1.62 × 10–3 g/mL, el cual es un número muy pequeño. En contraste, la densidad del agua es de 1.0 g/mL y la del oro es de 19.3 g/cm3. Ejercicio de práctica ¿Cuál es la densidad (en g/L) del hexafluoruro de uranio (UF6) a 779 mmHg y 62ºC? Problema similar: 5.48. Figura 5.12 Aparato para medir la densidad de un gas. Un bulbo de volumen conocido se llena con el gas bajo estudio a cierta temperatura y presión. Primero se pesa el bulbo, y después se vacía (evacua) y se vuelve a pesar. La diferencia en las masas proporciona la masa del gas. Si conocemos el volumen del bulbo, podemos calcular la densidad del gas. En condiciones atmosféricas, 100 mL de aire pesan alrededor de 0.12 g, una cantidad fácilmente cuantificable. Un químico ha sintetizado un compuesto gaseoso amarillo verdoso de cloro y oxígeno, y encuentra que su densidad es de 7.71 g/L a 36°C y 2.88 atm. Calcule la masa molar del compuesto y determine su fórmula molecular. Estrategia Debido a que las ecuaciones (5.11) y (5.12) representan diferente organización una de otra, podemos calcular la masa molar de un gas si conocemos su densidad, temperatura y presión. La fórmula molecular del compuesto debe ser congruente con su masa molar. ¿Qué unidad de temperatura debemos utilizar? Solución A partir de la ecuación (5.12) (continúa) EjEmpLo 5.9 Tenga presente que mediante este procedimiento es posible determinar la masa molar de un compuesto gaseoso sin conocer su fórmula química. m = = ⋅ ⋅ + dRT P (7.71 g/L)(0.0821 L atm/K mol) (36 273) K 2.88 atm 67.9 g/mol= 05_CHAPTER 05.indd 192 12/21/09 1:02:34 PM Puesto que la ecuación (5.12) se deriva de la ecuación del gas ideal podemos calcular la masa molar de una sustancia gaseosa al usar la ecuación del gas ideal, como se observa en el ejemplo 5.10. Por otro lado, podemos encontrar la masa molar mediante la siguiente ecuación masa molar del compuesto masa del compuesto = moles del compuesto Con base en la densidad proporcionada sabemos que hay 7.71 g del gas en 1 L. El número de moles del gas en este volumen lo podemos obtener de la ecuación del gas ideal n PV RT = = ⋅ ⋅ (2.88 atm)(1.00 L) (0.0821 L atm/K mol) (309 K) 0.1135 mol= Por tanto, la masa molar está dada por Podemos determinar la fórmula molecular del compuesto mediante prueba y error, utilizando sólo los datos conocidos de las masas molares de cloro (35.45 g) y oxígeno (16.00 g). Sabemos que un compuesto que contenga un átomo de Cl y un átomo de O tendría una masa molar de 51.45 g, que es muy baja, en tanto que la masa molar de un compuesto formado por dos átomos de Cl y un átomo de O sería de 86.90 g, que es demasiado elevada. Por consiguiente, el compuesto debe contener un átomo de Cl y dos de oxígeno, es decir, tendría la fórmula , cuya masa molar es de 67.45 g. Ejercicio de práctica La densidad de un compuesto orgánico gaseoso es de 3.38 g/L a 40°C y 1.97 atm. ¿Cuál es su masa molar? m = = = masa número de moles 7.71 g 0.1135 mol 67.9 g/mol ClO2 ClO2 Ejemplos similares: 5.43, 5.47 Si2F6 El análisis químico de un compuesto gaseoso mostró que contiene 33.0% de silicio y 67.0% de flúor en masa. A 35ºC, 0.210 L del compuesto ejercen una presión de 1.70 atm. Si la masa de 0.210 L del gas fue de 2.38 g calcule la fórmula molecular del compuesto. Estrategia El problema se puede dividir en dos partes. En primer lugar, se pide la fórmula empírica del compuesto a partir del porcentaje en masa de Si y F. En segundo, la información proporcionada permite realizar el cálculo de la masa molar del compuesto y por tanto determinar su fórmula molecular. ¿Cuál es la relación entre la masa molar empírica y la masa molar calculada a partir de la fórmula molecular? Solución Seguimos el procedimiento del ejemplo 3.9 (página 90) para calcular la fórmula empírica suponiendo que tenemos 100 g de compuesto; así, los porcentajes se convierten en gramos. El número de moles de Si y F está dado por nSi g Si 1 mol Si 28.09 g Si 1.17 mol S= × =33 0. i g F 1 mol F 19.00 g F 3.53 mol FFn = × =67 0. (continúa) EjEmpLo 5.10 1935.4 Ecuación del gas ideal 05_CHAPTER 05.indd 193 12/21/09 1:02:43 PM 214 CAPÍTULO 5 Gases P1V1 = P2V2 (5.2) Ley de Boyle. Para calcular cambios de presión o de volumen. V T V T 1 1 2 2 = (5.4) Ley de Charles. Para calcular cambios de temperatura o de volumen. P T k P T P T P T 1 1 3 2 2 1 1 2 2 = = = (5.6) Ley de Charles. Para calcular cambios de temperatura o de presión. V k n= 4 (5.7) Ley de Avogadro. P y T constantes. V nT P V R nT P PV nRT α = = (5.8) Ecuación del gas ideal. PV n T P V n T 1 1 1 1 2 2= 2 2 (5.9) Para calcular cambios en presión, temperatura, volumen o cantidad de gas. (5.10) PV T P V T 1 1 1 2 2= 2 Para calcular cambios en presión, temperatura o volumen cuando n es constante. (5.11)d P RT = m Para calcular densidad o masa molar. (5.13) Definición de fracción molar.X n ni i= T Pi = XiPT (5.14) Ley de Dalton de las presiones parciales. Para calcular presiones parciales. KE= =1 2 2mu CT (5.15) Relacionar la energía cinética promedio de un gas con su temperatura absoluta. u u RT2 3= =rms } (5.16) Para calcular la rapidez cuadrática media de las moléculas de gas. (5.17) Ley de Graham de la difusión y efusión. r r 1 2 2 1 = } } presión corregida volumen corregido P + an 2 V2 (V – nb) = nR T (5.18) Ecuación de van der Waals. Para calcular la presión de un gas no ideal. Ecuaciones básicas Resumen de conceptos 1. A 25ºC y 1 atm, varios elementos y compuestos molecula- res existen en forma de gases. Los compuestos iónicos son sólidos más que gaseosos en condiciones atmosféricas. 2. Los gases ejercen presión porque sus moléculas se mueven libremente y chocan contra cualquier superficie con la que hacen contacto. Las unidades de presión de los gases inclu- yen milímetros de mercurio (mmHg), torr, pascales y at- mósferas. Una atmósfera es igual a 760 mmHg o 760 torr. 3. Las relaciones de presión y volumen de los gases ideales están gobernadas por la ley de Boyle: el volumen es inver- samente proporcional a la presión (a T y n constantes). 4. La ley de Charles y de Gay-Lussac describe las relaciones de temperatura-volumen de los gases ideales: el volumen es directamente proporcional a la temperatura (a P y n cons- tantes). 5. El cero absoluto (–273.15ºC) es la menor temperatura teóri- camente obtenible. La escala de temperatura Kelvin toma como 0 K el cero absoluto. En todos los cálculos de las leyes de los gases, la temperatura se debe expresar en kelvins. 6. La ley de Avogadro describe las relaciones de cantidad y volumen de los gases ideales: volúmenes iguales de gases contienen el mismo número de moléculas (a la misma T y P). 05_CHAPTER 05.indd 214 12/21/09 1:08:26 PM 7. La ecuación del gas ideal, PV = nRT, combina las leyes de Boyle, Charles y Avogadro. Esta ecuación describe el com- portamiento del gas ideal. 8. La ley de Dalton de las presiones parciales establece que, en una mezcla de gases, cada gas ejerce igual presión que si estuviera solo y ocupara el mismo volumen. 9. La teoría cinética molecular, una forma matemática de des- cribir el comportamiento de las moléculas de los gases, se basa en las siguientes suposiciones: las moléculas de los gases están separadas por longitudes más grandes que las de sus propias dimensiones, poseen masa pero su volumen es insignificante, están en constante movimiento y con fre- cuencia chocan entre sí. Las moléculas no se atraen ni se repelen entre sí. 10. La curva de distribución de rapidez de Maxwell indica cuántas moléculas de un gas se mueven a las distintas velo- cidades a una temperatura dada. Cuando la temperatura se eleva, mayor número de moléculas se mueven a mayor rapi- dez. 11. En la difusión, dos gases se mezclan gradualmente entre sí. En la efusión, las moléculas del gas atraviesan un pequeño orificio cuando están sometidas a presión. Ambos procesos están regidos por la misma ley matemática, la ley de la difu- sión y efusión de Graham. 12. La ecuación de van der Waals es una modificación de la ecuación del gas ideal que toma en cuenta el comporta- miento no ideal de los gases reales. Hace correcciones con- siderando que las moléculas de un gas real sí ejercen fuerzas entre ellas y que además tienen volumen. Las constantes de van der Waals se determinan experimentalmente para cada gas. Términos básicos Barómetro, p. 177 Cero absoluto, p. 183 Constante de los gases (R), p. 185 Difusión, p. 208 Ecuación de van der Waals, p. 212 Ecuación del gas ideal, p. 185 Efusión, p. 209 Energía cinética (EC), p. 203 Escala de temperatura absoluta, p. 183 Escala de temperatura Kelvin, p. 183 Fracción molar, p. 198 Gas ideal, p. 185 Joule (J), p. 202 Ley de Avogadro, p. 184 Ley de Boyle, p. 179 Ley de Charles, p. 183 Ley de Charles y de Gay- Lussac, p. 183 Ley de Dalton de las presiones parciales, p. 197 Ley de la difusión de Graham, p. 208 Manómetro, p. 178 Newton (N), p. 176 Pascal (Pa), p. 176 Presión, p. 176 Presión atmosférica, p. 176 Presión atmosférica estándar (1 atm), p. 177 Presiones parciales, p. 196 Raíz de la rapidez cuadrática media (rms) (urms), p. 206 Temperatura y presión estándar (TPE), p. 186 Teoría cinética molecular de los gases, p. 203 Preguntas y problemas Sustancias que existen como gases Preguntas de repaso 5.1 Nombre cinco elementos y compuestos que existan como gases a temperatura ambiente. 5.2 Enumere las características físicas de los gases. Presión de un gas Preguntas de repaso 5.3 Defina la presión y dé sus unidades más comunes. 5.4 Describa cómo se usan un barómetro y un manómetro para medir la presión de un gas. 5.5 ¿Por qué el mercurio es una sustancia más adecuada que el agua para utilizarse en el barómetro? 5.6 Explique por qué la altura de la columna de mercurio en un barómetro es independiente del área de la sección transversal del tubo. ¿Seguiría funcionando el barómetro si el tubo se inclinara a un ángulo de, por ejemplo, 15º (vea la figura 5.3)? 5.7 Explique cómo se puede usar una unidad de longitud (mmHg) como unidad de presión. 5.8 ¿La presión atmosférica en una mina que está a 500 m bajo el nivel del mar será mayor o menor que una atmós- fera? 5.9 ¿Qué diferencia hay entre un gas y un vapor? A 25ºC, ¿cuál de las siguientes sustancias en estado gaseoso se puede llamar apropiadamente gas y cuál deberá conside- rarse vapor: nitrógeno molecular (N2), mercurio? 5.10 Si la longitud máxima a la cual se puede sacar agua de un pozo por medio de una bomba de succión es de 34 pies (10.3 m), ¿cómo es posible obtener agua y petróleo que estén a cientos de pies bajo la superficie de la Tierra? 215Preguntas y problemas 05_CHAPTER 05.indd 215 12/21/09 1:08:28 PM