teoria de conjuntos, Exámenes de Matemáticas

¡Descarga teoria de conjuntos y más Exámenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! TEORÍA DE CONJUNTOS PROPÓSITO * Resuelve ejercicios y problemas de teoría de conjuntos DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO POR EXTENSIÓN Es cuando se señala a cada uno de sus elementos del conjunto, enumerándolas o indicándolos en forma sobreentendida. Ejemplos: ➢ Las estaciones del año. A = {verano, invierno, primavera, otoño} ➢ Los días de la semana. B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} POR COMPRENSIÓN Es cuando se mencionan una o más características comunes y exclusivas de los elementos del conjunto. Esquema: A = {forma del elemento del conjunto/características de la variable involucrada en el elemento} Ejemplos: ➢ Las estaciones del año A = {x/x es una estación del año} ➢ Los días de la semana B = {x/x es un día de la semana} NÚMERO CARDINAL El número cardinal de un conjunto “A” nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee el conjunto y se denota por “n(A)”. Ejemplos: 1. En el conjunto M = {2, 3, 5}  n(M) = 3 2. S = {a, {a}, b, {b}, {a, b}}  n(S) = 5 𝜙 = 𝑥/𝑥 ≠ 𝑥 Si bien hay un conjunto mínimo, el conjunto vacío, veremos ahora que no hay un conjunto máximo. El proceso de construcción de conjuntos no puede darse nunca por acabado. NOTA: El conjunto vacío, 𝜙, es el único conjunto que no tiene elementos 2.3 CLASES DE CONJUNTOS 2.3.1 FINITO Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos diferentes, es decir, el proceso de contar sus elementos tiene en el tiempo. Ejemplo: A=(2 4,6, 8, ......., 100) B = (x/x es un Peruano) 2.3.2 INFINITO Un conjunto es infinito, si-tiene- una cantidad el proceso de contar sus elementos no tienen fin en el tiempo. Ejemplo: A = (x/ x es un átomo en el espacio) B = 44 x es una estrella del universo; CONJUNTO DE CONJUNTO O FAMILIA DE CONJUNTO Es aquel conjunto cuyos elementos 'son todos conjuntos: Ejemplos: A= (gallinas, patos, monos) C = (Peruanos, Bolivianos, Argentinos) Dado un conjunto “A”, el conjunto potencia de “A” es la familia se denota como P(A). P(A) = Lux c Aj nP(A)) = 2 Ejemplo: Dado el conjunto: AZ(2,3) => n(A)=2 Subconjunto de A: q, (2), (3), (2,3) P(A) = (0, (2), (3), (2, 3) => n(P(A)) = 2? =4 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNIÓN O REUNIÓN 2. A=(63,7) Diagrama; U La unión de dos conjuntos “A” y*B” es el conjunto formado B=( por la agrupación de todos los elementos de Á con todos AoUB=(6,3,7= los elementos — de B. Se denota por: AU B y se lee Á unión B Se define simbólicamente por: AUB Si A=SAUB=A AUB =(x/xEA v xeB) 0 A r' nia y 2 T 3. A=6, m7 Diagrama: v 60 noz Ejemplos: Diagrama: AUB= (5,7 pe 8) - A=233) y .- DT J navo y AuB= 12.357 Y po> AuB LlNota Si A y B son disjuntos => n(A U B) = n(A) + n(B) 7 Yu zz 142 2.4.2 INTERSECCIÓN . La intersección de dos conjuntos “A” y “B” es 2. A=(6,3,7) Diagrama: el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. AnB,. 46, 3) Se denota por: Am B y se lee “A intersección B” Se define simbólicamente: Ki /xeA rxeBj) Diagrama: Dado que: (OY Si BCA=ANB=B" 3. A=6,7N Diagrama: U Ejemplo: AnNB B =(6,8) Lean nea (DO B=(5,7) AMB=[5) Y AnNnB=4 Mi Nota SIA n BA q, entonces N(A UB) = n(A) + n(B) —n(A A B) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO El complemento de un conjunto “A” es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal “U” p : Se denota por: 4, A%_A'y Ey Se lee: “complemento A” Se define simbólicamente: AE (x/ EW A XA) Ejemplo: A= (a, e) Diagrama: U = (x/x es un vocal) AS=[10,u) v LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS I) CONMUTATIVA (a08)=(BuA) (10B)=(B0A) (a4B) = (844) Il) ASOCIATIVA arulpac) (A B)O C (anB)oc=aniBnc) IM) DISTRIBUTIVA au(B0c)=(40B)5 (Au C) Am (BOC)= (am B)o (añ C) IV) ABSORCIÓN RÍAnB)=A ADÍ(AYB)=A As (4 0B)- (40B) tl ua) = (A:5B) VI) DE INVOLUCION LAY = A VII) DE IDEMPOTENCIA ADA=A AUA=A VIII) DEL COMPLEMENTO ALS AU AC A=Q IX) OTROS AUU=U ALA AGU=A Ach =b (a-B)=A5B" X luyus dy Morcun oo (AUB) = Amy” (Amb) z Ac unó Demostrar que: 1. (An BJ" = At B* Demostración. (ANB" =fx|rceUaré An Bl) por definición del complemento, =la|zeU Ar (ze An B)) por notación, =[fa|zeU rn (re Anve B)) por definición de la intersección, =(e|re UV (oe Avoze B)) por ley de De Morgan, =[fa|re Ur (1 Avg B)) por notación, =fx| (ze Uan A) v(zeU ax q B)] por distributividad, =(1|1e ATvze BI) por definición del complemento, = Au B* por definición de la unión. ➢Dados los siguientes conjuntos: A = {Números enteros positivos de dos cifras iguales} B = {x / x es un número entero positivo de dos cifras que suman 6} Relacionar con el símbolo adecuado las siguientes parejas de elementos y conjuntos: 555 …….A –33 …… B 33 ……… A 33 …….. B 45……….B ➢Dado el conjunto A= { 2, 4, 6 } escribe el conjunto “partes de A”. ➢Dado el conjunto B= { a, e, i, o, u } escribe el conjunto “partes de B”. ➢ Dados A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } , B={ 2, 4, 6, 8} y C={ 2, 3 }, escribe la relación que hay entre A, B y C. ➢Escribe el cardinal de los conjuntos de las actividades anteriores. ❖ Consideremos el siguiente diagrama de Venn: 1 3 2 4 6 8 5 10 12 1114 7 13 15 A 9 B C U Escribir por extensión: A  B= UC= A  C= A  (B  C)C = BC= B-C= A  B  C= A-B= Si 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ 𝜙 y además 𝑛 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 256 ; 𝑛 𝐴 − 𝑛 𝐵 = 1; 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 3. Hallar 𝑛(𝐵) Se ha encuestado a 40 familias en el distrito de Poroy, sobre el uso de dos artefactos: televisor y radio. Los resultados muestran que 20 familias tienen radio, 31 no tienen televisor y 15 familias tienen sólo radio. ¿Cuántos tienen sólo televisor? Yunguyo es una localidad peruana fronteriza con el vecino país de Bolivia en pleno altiplano peruano. Los días domingos son de negocio en dicha localidad por lo que es de necesidad fundamental el movilizarse, en su mayoría la población se moviliza en bicicletas y motocicletas, esto debido a la zona geográfica. Se ha encuestado a 80 familias de la localidad de Yunguyo, sobre el uso de dos sistemas de movilidad de mayor frecuencia en su localidad: bicicletas y motocicletas. Los resultados muestran que 50 familias tienen bicicletas, 52 no tienen motocicletas y 30 familias tienen sólo bicicletas. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el sistema de movilidad más frecuente en la localidad de Yunguyo? b) ¿Cuántas familias no tienen bicicletas? c) ¿Cuántas familias no tienen ni bicicletas ni motos? d) ¿Cuántas familias tienen motocicletas? e) ¿Cuántas familias tienen solo motocicletas? Dado el conjunto “A” A =(4,5,(4,3),1((2,3,4),2),(7)) Indicar el valor de verdad de cada proposición: *1[43) CA () *(4,3)e A () *(4,1,2)8 A () *(2) CA () A A () *(2,3,4) € A () De los 300 integrantes de un Club deportivo, 160 se inscribieron en Natación y 135 se inscribieron en Gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades. ¿Cuántos se inscribieron en ambas disciplinas? A) 25 B) 30 C) 35 D) 0 E) 5 En un aeropuerto se disponen viajar un grupo de personas, de las cuales se observa que 40 mujeres viajan al extranjero, 37 hombres viajan a provincia, 28 casados viajan al extranjero, 45 solteros viajan a provincias, hay 42 hombres casados. ¿Cuántas mujeres solteras viajan a provincias, si 18 mujeres solteras viajan al extranjero? A) 44 B) 36 C) 22 D) 28 E) 13