¡Descarga Teoría Cinética de Gases: Modelo Molecular de un Gas Ideal y más Resúmenes en PDF de Termodinámica solo en Docsity! TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES INGENIERÍA BIOMÉDICA TERMODINÁMICA - UNIDAD 6 DRA. SANDRA RIVAS GÁNDARA MODELO MOLECULAR DE UN GAS IDEAL La teoría cinética de los gases se basa en un modelo microscópico de un gas ideal para el que se hacen las siguientes suposiciones: 1.- En los gases las moléculas son numerosas y la separación promedio entre ellas es grande en comparación con sus dimensiones. 2.- Las moléculas obedecen las leyes de movimiento de Newton, pero se mueven de manera aleatoria. 3.- Las moléculas interactúan sólo mediante fuerzas de corto alcance durante colisiones elásticas. 4.- Las moléculas tienen colisiones elásticas contra las paredes (la energía cinética total se conserva). 5.-El gas en consideración es una sustancia pura; es decir, todas las moléculas son idénticas. 2 𝐹 = 𝑁𝑚0𝑣𝑥 2 𝑑 𝑃 = 𝐹 𝐴 𝑃 = 𝑁𝑚0𝑣𝑥 2 ⅆ 𝑑2 = 𝑁𝑚0𝑣𝑥 2 𝑉 𝑣𝑖 2 = 𝑣𝑥𝑖 2 + 𝑣𝑦𝑖 2 + 𝑣𝑧𝑖 2 La i-ésima molécula con componentes de velocidad 𝑣2 = 𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑧 2 Valor promedio de 𝑣2 𝑣2 = 3𝑣𝑥 2 Ya que el movimiento es aleatorio, es decir, es igualmente probable en las tres direcciones. 𝐹 = 1 3 𝑁 𝑚0𝑣 2 𝑑 𝑃 = 1 3 𝑁 𝑉 𝑚0𝑣 2 𝑃 = 2 3 𝑁 𝑉 1 2 𝑚0𝑣 2 𝐹 = 1 3 𝑁 𝑚0𝑣 2 𝑑 𝑣𝑥 2 = 𝑣𝑦 2 = 𝑣𝑧 2 5 𝑃 = 2 3 𝑁 𝑉 1 2 𝑚0𝑣 2 la presión de un gas es proporcional al número de moléculas por cada unidad de volumen y a la energía cinética traslacional promedio de las moléculas 6 Interpretación molecular de la temperatura 𝑃𝑉 = 2 3 𝑁 1 2 𝑚0𝑣 2 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 = 𝑁 𝑁𝐴 𝑅𝑇 = 𝑁𝑘𝐵𝑇 La ley de gas ideal se puede expresar en términos del número de Avogadro o de la constante de Boltzmann kB 𝑇 = 2 3𝑘𝐵 1 2 𝑚0𝑣 2 la temperatura es una medida directa de la energía cinética molecular promedio 7 Calor específico de un gas ideal y equipartición de la energía La temperatura es una medida de la energía cinética traslacional promedio. Se toma como referencia al centro de masa de la molécula, pero no se incluye el movimiento interno de la molécula, es decir, vibración y rotación. Cuando se trata de un átomo (gas monoatómico), basta con el movimiento traslacional que sólo se puede distinguir en X, Y y Z. 𝑥 𝑦 𝑧 Si se tiene un grado de libertad traslacional por cada eje, y cada uno aporta La energía cinética traslacional para un gas monoatómico es 1 2 𝑘𝐵𝑇 𝐸𝑘 = 3 2 𝑁𝑘𝐵𝑇 = 3 2 𝑛𝑅𝑇 10 Si a un gas se le transfiere energía a volumen constante, el trabajo es cero. y toda el calor transferido se convierte en energía interna. 𝑞 = Δ𝐸𝑖𝑛𝑡 Δ𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 ҧ𝑐𝑣Δ𝑇 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 ҧ𝐶𝑣𝑇 ҧ𝐶𝑣 = 1 𝑛 ⅆ𝐸𝑖𝑛𝑡 ⅆ𝑇 𝐸𝑘 = 3 2 𝑛𝑅𝑇 ҧ𝐶𝑣 = 3 2 𝑅 ҧ𝐶𝑝 = 5 2 𝑅 11 A partir de un gas diatómico ya tendremos que considerar los otros modos de movimiento. El centro de masa se mueve en los ejes X, Y y Z. Esto corresponde a tres grados de libertad. La molécula puede rotar en los tres ejes. Sin embargo, en este caso, la rotación en el eje Y es despreciable pues su momento de inercia también lo es en este eje. Esto corresponde a dos grados de libertad El enlace no es una distancia constante, por tanto, se puede modelar como un resorte, de ese modo se tiene energía cinética traslacional y vibracional. Esto corresponde a dos grados de libertad 12 La gráfica que se muestra corresponde a la molécula de hidrógeno. A bajas temperaturas esta molécula se comporta como gas monoatómico. A medida que la temperatura se eleva, se comporta como diatómico sin incluir la vibración. A temperaturas altas el calor específico incluye las tres formas de movimiento 15 Distribución de Maxwell-Boltzmann No todas las moléculas de un gas tienen la misma rapidez. 𝑣𝑟𝑚𝑠 = 𝑣2 = 3𝑘𝐵𝑇 𝑚0 = 3𝑅𝑇 𝑀 De acuerdo a esta ecuación, las velocidades moleculares aumentan con la temperatura Esta ecuación representa un promedio, pues no es posible medir la velocidad de todas las moléculas de un gas de manera independiente. 16 Es más fácil preguntarse ¿cuántas moléculas se mueven a velocidades entre v y v + v en cualquier momento? Si el el v tiende a cero, se convierte en un intervalo infinitesimal (dv) y entonces estaríamos buscando el número de moléculas (dN) con velocidades en intervalos definidos por v y v+dv https://www.fceia.unr.edu.ar/fisica2ecen/descargas/apuntes/TeoriaCinetica.pdf 17 La velocidad es una cantidad vectorial. Es preferible tratar con la rapidez de las moléculas que es una cantidad escalar. La fracción de moléculas que se mueven con una rapidez entre v y v + dv es: ⅆ𝑁 𝑁 = 4𝜋𝑣2 𝑚0 2𝜋𝑘𝐵𝑇 ൗ3 2 ⅇ−𝑚0 Τ𝑣2 2𝑘𝐵𝑇 ⅆv ⅆ𝑁 𝑁 = 𝑓 𝑣 ⅆv 𝑓 𝑣 Es la función de distribución de rapidez de Maxwell 20 A la rapidez correspondiente al máximo de la función de rapidez se le llama rapidez más probable (vmp) f 𝑣 = 4𝜋𝑣2 𝑚0 2𝜋𝑘𝐵𝑇 ൗ3 2 ⅇ−𝑚0 Τ𝑣2 2𝑘𝐵𝑇 ⅆv Se puede expresar esta función en términos de la energía cinética 𝐸 = 1 2 𝑚𝑣2 𝑓 𝐸 = 2𝜋𝐸 Τ1 2 1 𝜋𝑘𝐵𝑇 Τ3 2 ⅇ− Τ𝐸 𝑘𝐵𝑇 ⅆ𝑁 𝑁 = 𝑓 𝐸 ⅆE 21 𝑣𝑚𝑝 = 2𝑘𝐵𝑇 𝑚0 = 2𝑅𝑇 𝑀 𝑣𝑚𝑒𝑑 = 8𝑘𝐵𝑇 𝜋𝑚0 = 8𝑅𝑇 𝑀 𝑣𝑟𝑚𝑠 = 𝑣2 = 3𝑘𝐵𝑇 𝑚0 = 3𝑅𝑇 𝑀 Rapidez más probable Rapidez media Rapidez media cuadrática 22
