Logica y Conjunto: Tablas de Verdad y Operadores Lógicos, Resúmenes de Lengua y Literatura

¡Descarga Logica y Conjunto: Tablas de Verdad y Operadores Lógicos y más Resúmenes en PDF de Lengua y Literatura solo en Docsity! Capítulo 1 Lógica y Conjunto La lógica aparece como una necesidad de poder comunicarnos sin las ambigiiedades cotidianas de la sociedad, ejemplo de ello lo encontramos en frases de uso común "nos vemos mañana" o tal vez "Que bueno que usted va dictar la asignatura", de otro modo "Me encanta trabajar en este lugar" es decir, no es fácil decidir si dichas afirmaciones son o no validas o ciertas, o simplemente un formalismos de cortesía. Otro tipo de ambigiedad, aparecen cuando no tenemos claro el tiempo en el cual fue realizada la afirmación para decidir la veracidad, ejemplo de estas afirmaciones las son i Hay un alumno en esta sala que vive en Quillota. ii Algunos alumnos de esta sala viven en Quillota. Donde la respuesta varía a través del tiempo. Hay otras afirmaciones que con nuestras capacidades no podemos decidir si son verdaderas o falsas hoy, como por ejemplo: i Voy a terminar esta carrera. ii La teoría de la evolución es válida Una ambigúedad más es la referida al universo donde fue realizada la afirmación, por ello es relevante tener claro el universo antes de responder si la afirmaciones es verdadera o falsa Consideremos el universo de trabajo, el conjunto de los números enteros a Todo número al cuadrado es un número no negativo b Hay un número par. c La división de dos número es un nuevo número. Las mismas frases, ahora en el conjunto de los números reale. En el caso de la afirmación (a), no hay dificultad de responder. Para (b) la noción de número par no tiene sentido en los reales, ya que ¡4=2.2=2-34+1,y CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 2 li 3=2.¿=%=2-14+1 En Q no existen las nociones de números pares ni primos. Pero en Z y N, existen el concepto de número primo, que son aquellos que son divisibles sólo por si mismo, y el de número par, que son los múltiplos de dos, por ello aceptamos que el cero es un número par. 1.1 Lógica Ahora iniciaremos las nociones básicas de lógica, enfatizando en las proposiciones, los conectivos, conjunto universo o relativo y los cuantificadores, de modo de eliminar las ambigiedades dichas anteriormente. Definición 1.1.1 Una Proposición es una afirmación que en un contexto explícito, se puede decidir, si ella es verdaderas o falsas. 0 Notación Las proposiciones se denotan por: p,q,T,s Ejemplo 1.1.2 1. p : Hay un alumno que vive en Quillota en la asignatura de matemática que dicto hoy. 2. q:0es un número Real. 3.r:3€eR O El valor de verdad de una proposición es Verdadero o Falso y usamos las siguientes notaciones: = V, para decir, que el valor de verdad de la proposición p es Verdadero. p=F, para decir, que el valor de verdad de la proposición p es Falso 1.1.1 Conectivos Un conectivo es un símbolo que se utilizan para formar a partir de dos proposiciones una nueva proposición, llamada proposición compuesta y el valor de verdad de ella depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman y el conectivo usado. Los siguiente símbolos son algunos conectivos habituales: WA >) Y 1. La disyunción, cuyo símbolo es: V plalova VIV v VIF|V FIV|V FIF| FE La disyunción de dos proposiciones es verdadera solamente cuando al menos una de las proposiciones que la forman es verdadera. La proposición p V q se lee "p o q" CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 5 Ejemplo 1.1.5 Determinar el valor de verdad de la proposición (1=2) > (3+1=2). O Solución 3. La proposición (1= 2) es falsa y la proposición (3+1= 2) también es falsa luego la proposición compuesta es verdadera. El anterior razonamiento lo podemos resumir usando algunos símbolos del siguiente modo. 122 > 341=2 (E => F) V Ejemplo 1.1.6 Realizar la tabla de verdad para la siguiente proposición : (PV 4) Ap) > (4=> p) O Solución 4. plalovalóplpvogrpla>r|(WvadAD)=>(1>») VIV| V IF F V V VIF|V IF F Vv Vv FIV| vv Vv F F FIF TF (v F V V Recuerde: Si son p, q, r tres proposiciones entonces a) pq no es una proposición b) p-q no es una proposición c) pAVq no es una proposición d) pAqr no es una proposición Una proposición compuesta se construye usando una proposición un conectivo y otra proposición. Observación: La siguiente expresión algebraica 2 +3 - 5 = 17 no es ambigua, ya que el producto se realiza primero y después la adición y si deseamos el otro valor lo denotamos por (2 +3) -5 =25, los paréntesis siempre entregan un orden a desarrollar. Así también para la proposición (p => q) > r, para determinar el valor de verdad de ella, primero determinamos el valor de verdad de (p => q) y luego consideramos el conectivo => con la proposición r. Ejemplo 1.1.7 Considere las proposiciones p,q,r, analizaremos que sucede con la proposición compuesta: (pA q) => r y la proposición; p A (q => r). O CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 6 Solución 5. Veamos primero: plalona[r|(pag=>r VIV| v |[v V vivi|v |F F VIF| FE [lv V VIF| FE |F V FIV| Flv V FIV| FF V FIF| EF (v V FIFE| FE |F V Ahora: y yum === <)s Yum mm =)a Yom ===> Si 3 mom Como podemos observar las tablas de verdad de las proposiciones (pA q) >" y pA (q => r) no son iguales, es decir, no son equivalentes las proposiciones Es importante notar entonces que los paréntesis y no los podemos omitir. Definición 1.1.8 Sea p una proposición compuesta: a) Se dice que p es una Tautología si y sólo si es verdadera siempre (independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la forman). b) Se dice que p es una Contradicción si y sólo si p es siempre falsa. c) Se dice que p es una Contingencia si y sólo si p no es tautología ni tampoco es contradicción. o Ejemplo 1.1.9 Consideremos la siguiente proposición compuesta: (»=> 4) =>» +p Determine su tabla de verdad. O Solución 6. Esta esta dada por: plajp>a >>» |l9>4=>p>p VIv| v V V VIF| F V V FIV| v F V FIF| V F V CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO con lo cual la proposición [(p => q) > p] + p es una tautología. Ejercicios Calcular la tabla de verdad para las proposiciones:(p V q) Vr y pV (q Vr). 1.1.2 Tautologías Básicas 1 Asociatividad: Se cumple que: ipvavrel(pvaq) Vr] e [pv (av r)]. iipraqarel[pAg ar] e [pAa(9A vr). 2 Conmutatividad: Se tiene lo siguiente: i(pVa) e (4 VD). ii (pMq) e (11D). 3 Negación: ipep i PV) (50. ii (pAq) > (pva). 4 Transformaciones o Traducciones: i (p=> q) > (pV q) además: ips l»=>4M1= p). 5 Absorción: ipvir >». ii pava] ep. 6 Leyes de idempotencia: (pvp) >p. ii (PAD) >p. 7 Leyes complementarias: i(pvV) eV ii (pAV)ep iii (pvF) esp iv(pAF) SF CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 10 Que para algunas personas es verdadera y para otras es falsa la proposición O Ejemplo 1.1.11 Sea U =Z, q(1) : x es un número primo. Reemplazado algunos números enteros, obtenemos las siguientes proposiciones cuyo valor de verdad lo podemos determinar, para ello veamos algunos casos. i q(3): 3 es un número primo; q(3) = V. ii q(4): 4 es un número primo; q(4) = F. O Los cuantificadores son símbolo, ( V,3,31 ), que convierten o traducen una función proposicional en una proposición del siguiente modo. Definición 1.1.12 Sea p(x) una función proposicional en la variable x en U. 1 Cuantificador Universal (Vx € U)(p(x)), se lee : "para todo x en U, p(x) " es una proposición y es verdadera cuando reemplazamos todos los elementos de U en p(x) y siempre es verdadera la proposición obtenida, en caso contrario es falsa. 2 Cuantificador Existencial (3x € U)(p(z)), se lee : "existe ax en U, p(x) ", es una proposición y es verdadera cuando encontramos un elemento en U tal que al reemplazarlo obtenemos que la proposición es verdadera y es falsa cuando reemplazamos todos los elementos de U y siempre la proposición es falsa. 3 Cuantificador Existencial con Unicidad (lx € U)p(x)), se lee : " existe un único x en U, p(x) ", es una proposición y es verdadera cuando encontramos sólo un elemento que al reemplazarlo es verdadera y en todos los otros elementos la proposición es falso. o Observación: Debemos tener presente que en algunos caso es posible reemplazar todos los elementos del universo, pero en general no, por lo cual debemos hacer uso de propiedades que nos permitan argumentar a favor o en contra de la afirmación. También es importante enfatizar en la lectura de las proposiciones, para ello veamos los siguientes ejemplos i La proposición (Vx € R)(1? > 0), se lee "para todo x en los números reales, se tiene que z? es positivo", proposición falsa, ya que para x= 0 no se cumple ii La proposición (Jr € R)(a? > 1), se lee "existe z un números reales, tal que 2? es mayor que 1", proposición verdadera, ya que para x= 0 se cumple Ejemplo 1.1.13 Consideremos al conjunto universo como U = [alumnos de esta clase), y la función proposicional es q(1) : x vive en Valparaíso (María José, Eduardo vive en Valparaíso y Eliana vive en Quillota). Luego i (Vx € U)(q(u)) = F, pues basta tomar a x= Eliana. CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 11 ii (32 € U)(q(1)) = V, pues basta tomar a u = Eduardo. iii (3lx € U)(q(2)) = F, pues aparte de María José, existe Eduardo. O Observación: En conjunto universo U = [los alumnos de esta clase), podemos construir las siguientes funciones proposiciones: q(<) : (Vy € U)(z pololea con y), p(u) : (Aly € U)(z pololea con y). Lo anterior es debido a que, por ejemplo: q(Eliana) : (Vy € U)( Eliana pololea con y) es una proposición, ya que definimos r(y) = Eliana pololea con y, es una función proposicional, y con ello, (Wy € U)r(y)), es una proposición. Luego: q(Eliana) : ((Vy € U) (Eliana pololea con y)) = F, pues y = María José Además: p(Eliana) : ((Bly € U) (Eliana pololea con y)) = F, pues no existe el pololo de Eliana en la clases. (declaración personal). En General tenemos que a partir de una función proposicional de dos variables p(z, y), podemos fabricar funciones proposicionales de una variable, de la siguiente manera. U(z) : (VW € U)(p(z, y) r(x) : (Sy € U)(p(z, y) s(y) : (vz € U)(p(z, y) t(y) : (3x € U)Np(z, y) Con ellas podemos fabricamos las siguientes proposiciones: en una variable, en x en una variable, en x en una variable, en y en una variable, en y i (Vx € UN(W €U > li (Be U > JE U ( (VWy € U úl ( ) 2,4) JyEeU ) ( X ) ) ( X ) ) ( X ) ), iv (VWy € U)((Wy € U)(p(z, y). Observación: El valor de verdad depende del orden de los cuantificadores. ¡ (3% € U)(Wy € U)(z es hijo de y), ii (Vy € U)(3r € U)(z es hijo de y). CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 12 La proposiciones anteriores no tienen el mismo sentido. En (1) afirma que, existe una persona que es hijo de todas las personas, y en (2) afirma que, todas las personas tiene un hijo. Veamos el valor de verdad de las siguientes proposiciones ¡ (3r € R)(W € R)(z +y=0), ii (Vy € R)Gz € R)(u+y=0). La proposiciones anteriores no tienen el mismo valor de verdad. La proposición (i) es falso, ya dado x= a,y =1-—a, luego a+ 1—a=1%0. La proposición (ii) es verdadera, ya que y = a, 1 = —a tenemos —a +a=0. Ejemplo 1.1.14 Sean A = (-1,0,1) y B= (1/2,1/3). Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1 [Va € AJ[(W € B)(2? + y? > 1) 2 [Vx € AJ[(Ey € B)(w? + y? > 1)] 3 [Ex € AJ[(W € B)(w? + y? > 1)] 4 [Vy € B)][Gz € AJ(1? +3? >1)] p Solución. (1) La proposición [Vx € A][(Wy € B)(x?+y? > 1)], se puede transformar en (Vx € AJa(=)) donde q(=) : (W € Bla? +y?>1) x= -—1, entonces a(-1): (We BJl1+y?>1) a(=1) : (W e B)(y? > 0) luego (Wy € Bl(y? > 0) y= 5 z >0= V y=3 ¿>0= V por lo tanto q(-1)= V Si x = 0), entonces a(0) : (Vy € B)(0+y* >1) a(0) : (VW € BJ? >1) luego F 1>1 S Il wir al CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 15 1.2 Conjunto Sea U una agrupación de objetos y p(x) una función proposicional en U, se define: A=(0eU| po). A es un conjunto y esta formado por todos los elementos de U que al ser reemplazados en la función proposicional p(x) el valor de verdad de la proposición es verdadero. De otro modo se tiene que aE€ AS pla) =V Ejemplo 1.2.1 Determinar por extensión los siguientes conjuntos 1. A=(2€Z | (u+1)(1—2) =0] 2. B=fx€Z | (22+1)(2— 3) =0) Solución. 1) Sea A= (2 € Z | (2+1)(x— 2) =0), luego (2+1)(x—2) =0, de este producto y haciendo uso de las propiedades de Z tenemos: +1=0 Vv 2-2=0 z=-1 V 2=2. Resumiendo A =fx€Z|(2+1)l(2-2) =0) =(x EZ | (1 =-1) v (1 =2)) 1), donde la solución es A = (—1,2). 2) Sea B=[x € Z | (23 +1)(2— 3) = 0), pero Qa+l)lr—-3)=0 224+1=0 V 2-3=0 == Vo 2=3 1 2 notemos que hemos resuelto la ecuación en R, pero como el universo es Z, entonces la solución es B=(3). 1.2.1 Nociones Básica de Conjunto En adelante consideremos lo siguiente conjuntos A=(0 e U|p(2)) B=(xeU la(s). Igualdad A=B si y sólo si (Va € U)(p(x) = q(u)). CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 16 Subconjunto ACB si y sólo si (Va € U)(p(x) => q(1)). Unión AUB=(x€U| plz) V q(2)). Donde la unión de dos conjuntos esta formada por los elementos que están en Aoen B Intersección ANB=(x=€U| pla) n alo). Donde la intersección de dos conjuntos esta formada por los elementos que están tanto en A como en B. Diferencia A-B=(2€U|p(a) Maa). Es decir la diferencia de A con B son los elementos que están en A pero que no están en B. Diferencia Simétrica AAB=48 EU | p(x)a(o)). La que podemos traducir como: Los elementos que están en A pero no en B, y además no están en A pero están en B. Conjunto Potencia El conjunto potencia de A esta dado por P(A) =[BCU|BCA), el conjunto potencia de A esta formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo 1.2.2 Sea A = (1,2), luego el conjunto P(A) es: P(A) = (0, (1), (2), 1,2). Complemento El complemento de A es el conjunto A= (ee U| Ha) Notación A complemento se denota como: A=A =A'. Ejemplo 1.2.3 Sea A = (1,2,3), luego A“ esta dado por: A =U-A. CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 17 Cardinal de un conjunto Sea A un conjunto, el cardinal de A es el número de objetos que contiene. Si la cantidad objetos es un número natural decimos que el conjunto es finito, en caso contrario decimos que el conjunto es infinito. En general se usan los siguientes símbolos para denotar el cardinal de un conjunto para referirnos al cardinal del conjunto A HA), |A]. Ejemplo 1.2.4 Algunos ejemplo de cardinalidad +Hó) = 2 410) =1. 374181) =1. 4 441, 2))) =1. 5 UD, (2)y)= O Ejemplo 1.2.5 Sea A= (1 € N | (3y € Z)(x +2y = 0)), Determinar A* O Solución. Sea x pertenece a N entonces x puede ser un número par o impar, analicemos los dos casos: 1” caso: x es impar, luego =2n+1, donde p(2n +1) : (3y € Z)(2n+1+2y=0), y dado que y € Z, obtenemos que M+i2Yy=-1 = FE 2% caso: q es par, luego x= 2n, donde p(2n) : (3y € Z)(2n +2y =0), de donde obtenemos que y = —n y esto equivale a ser verdadero. Luego A= (x € N| x es par), y por lo tanto A“=(xEN|zes impar ). Producto Cartesiano Sean A, B conjuntos, se define el producto cartesiano AxB=((2,y)|xe A, ye Bj. CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 20 1.3 Guía Ejercicios Lógica 1. Construir una tabla de verdad para las siguientes proposiciones. ii lp>r)A0=>p)] => [pe q ii. (p=>(pVq)) => (pd) ii (p=>4) AM =>")]V(p= rr) 2. Determinar para que valores de verdad de p, q la proposición [(p A q) + p] es falsa 3. Sabiendo que el valor de verdad de q es falso, determinar el valor de verdad de p (en cada caso) para que cada una de las siguientes proposiciones sea falsa. ip=>(9Ap) ii. (pva)=>(M39) iii. (pvq)=> (pAg) iv. p=>(9AD) v. (pa) A =>q 4. Sean p, q proposiciones tales que el valor de verdad de la proposición (p => q) es Falso. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones. pra) > (6vd) ii [pad vip=> (94D) ii. [(pAq) Vr] > [p=> (04D) iv. [(pVg) Ap] => [BA (a V p)] 5. Sean p, q,r proposiciones tales que el valor de verdad de la proposición (pA q) > r es Falsa. Determinar el valor de verdad de (Pvrjatval=>![rA60va)) 6. Sean p, q,r proposiciones tales que el valor de verdad de la proposición p => (q Vr) es Falsa. Determinar el valor de verdad de (VANA = Vs] 7. Sean p, q,r proposiciones tales que el valor de verdad de la proposición (p => q) A (r => Pp) A(r V q) es Verdadera. Determinar el valor de verdad de (sq) CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 21 8. Sabiendo que la proposición (p A s) > (q A 5) es Falso, entonces el valor de verdad de las siguientes proposiciones es: L (14) > s) ii. (q Ar)Vs ii. (p=>q)>8$ iv. p=> (q => 5) 9. Sabiendo que la proposición (q Ar) => (p V s) es Falsa, entonces el valor de verdad de las siguientes proposiciones es o ((PVa)AS)=7) ñ. (pVg) Ms =>") ii. (pvV (9 A (s > 7))) 10. Sabiendo que la proposición (p Vr) A (q Ar) es Verdadera, entonces el valor de verdad de las siguientes proposiciones es: NN) ii (p>"r)>4q ii. q > (r=> p) 11. Sean p, q,” proposiciones. Simplificar las siguientes proposiciones i(p>4)V(pA(aVr)) ii. [((pVg) Ar] V[pA(a=> p)] ii. pv(pAg]A[(pVr)A(aV o) iv. (p>411>»)=>[p= 9) vgri6val=> [nd > Ma=> (pa) =>» (pa) (Bv a) => (png) (pVT) AF) V ((pAq) Vd) 12. Dadas las proposiciones p, q,r. Simplificar las siguientes proposiciones V. vi. vii. viii. ii [pva) =>] = (GA r) ii. ((p=> q) Vr) => (9 VD) (6=>4= (va) a») > [uv B=0)] v la=>»)05)> [uv 6>0)] iii. [( A iv CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 22 vior=>[(rvp A(p=> (4 A7))] vii. (gVP)A[(PAg) V(pATAG)V(GAFAD)]A (4 Vr) viii. (q VP)A [(pAr) V(pATAG)V(pArAqlaA(qvr) 13. Se define el conectivo * por px*q = ((q Vp) => (4 A p)) entonces la proposición p * q es Falsa, en cual(es) caso(s) ip=VWq=V ii p=Vq="F ti p=Fq=V iv p=Fq="F 14. La proposición [(p A q) > (p V q)] es equivalente a cual de las siguientes proposición l ii. tii. Y iv. F al Sl v. Ninguna de las anteriores 15. Completar la siguiente afirmación con una de las alternativas La proposición [(p V q) > q] > [pV q] es: i. equivalente a PV q li. una tautología iii. una contradicción iv. equivalente a q v. Ninguna de las anteriores 16. Se define el conectivo Y por (p Y q) > [(pA7) > (PV q) Determinar en que caso la proposición (p Y q) es falsa 17. Se define la proposición (p O q) => (p => 7). Simplificar 10(p0q) 18. Dada la proposición (p O q) => (p => 7). Simplificar (po q) 07 19. Dada la proposición compuesta (pq) + (p => q). Simplifique cada una de las siguientes proposiciones CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 25 32. Marcar la(s) alternativa(s) correcta(s). Dada la proposición va + ((1=>p)APA7)] entonces la proposición (q y p)es verdadera cuando ip=VWq=V ip=Vq=PF ii p=Fq=V iwp=Fq=F 33. Se define los conectivos U y A de la forma (00) = (»= 4) (rAs) = (TVs) Determine, sin usar tabla de verdad, si la siguiente proposición es o no una tautología (pA(57)) v [654 At5»)] 34. Sean p, q proposiciones. Se define una nueva proposición: pig de acuerdo a la siguiente tabla pia F Vv F F a | =| <|S a =| a =2 i. Verifique que (pi q) + (P=1) es tautología. ii. Simplificar al máximo (piq)+p Cuantificadores 1. Sea M = (1,2,3,4). Determinar el valor de verdad de 1. (Vue M)(2?+1> 1) 2. (31 € M)(a? — 93 + 20 > 0) 2. Sean A=(1,-1,0) y B=(2,3,1). Determinar el valor de verdad de (Va € AJ3y € Bla+xy=yVzxy+y=1) 3. Sea A= [-2,—1,1,2). Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 26 4. i. (37 € A)(z es par > 1? =2) ii. (31 € AJN(W € Al(e+ y =1) Sean A=(-1,1,2), B= (3,3 Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifique. i. (Ve e AJ(u+2>0); Ja € A)a? — 20 < 0); ( ii. ( dx € AJ21-2<0=>x=2); ( ( iii. ( ( ( ( Va € A)(Wy € B)(a? — y? > 0); v. (3x1 € A)(W € B)(ay > 1=> <= 4y); Sean A= (-1,1,2), B=(-3,1,3 . Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas i. (Vo € AN(3— a? > 0); ii Qxe A(a?=1>.=2); iii. (31 € A)(W € B)l(ey >0=><y=1); iv. (VW € B)(Bz € A)(2y >0=> 2%y=1); Sean A= (-1,1,2),B= (3, 1,2). Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. i. (Va € A)(a? — 32 42< 4); ii Qxe A(a?=1>.=2); iii. (37 € A)(W € Bla+y>0=>ux-y>0); iv. (VW € Br € AJlla+y>0=>x-—y> 0); Sean A= (-2,-1,1), B= (-3,1,2). Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifique. L (Vx € A)(o(e—3) < 2); ii Qxe A(a?=1>.=2); (3x € AlW € Bla *+y>0=>x+y*>0); iv. (We B)lBreAlat+y>0=>u+y*>0); iii. Sean A= (-1,1,2),B= (3, -1,-2). Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. i. (31 € A)(W € Ble-y>0=>x+y>0); ii. (VWy € Bl3re Ale—-y>0=>x+y>0); CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 27 9. Sean A=(-1,1,2), B=(-3,1,2). Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. (Ex € AJla?=1>x%=2); ii. (Va € A)? — 30 +2< 4); (W € B)l3x € Ala+y>0=>x-=y> 0); v. (31 € AJ(We€ Bla+y>0=>=x-y>0); 10. Sean A= (-1,1,2),B = (3, 1,2). Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. (VEA ii ($e A (VWy € A iv. (Are A (12=4>x=2); (Wy € Blla-y <0V <> y); (Bree Bla -y<0V > y); (12 <4) > (Vx € A)(u = 2); 11. Sean A= (1,2,3,4), B= [-2-— 1,0). Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas (Voce Aa?=-1>x.%=1); ii. (21 € B)(32 =0V 4? =-3); (3x € A)(Wy € B)(xy = 2 V xy — 5y =0); iv. (Vy € B)(3x € A)(ay = -2 V ay — 5y =0); 12. Sean A= (-2,-1,1), B= (-3,1,2). Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique i. (Vo € Ale(a—3) < 2); ii (WeB)lBre Ala ?+y>0=>u+y*>0); iii. (3 e AJWe Bla +y>0=>x.x+y*>0); 13. Sean A= (0,1,2),B= (-1,3 Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas justifique adecuadamente Vue A ( a? -20+1> 0); ú (BEA ( ( (2? — 22 < 0); (Wy € Blla+y>0=u > 9); (Exe Ala+y>0=> w > 9); JTEA iv. (WeB 14. Sean A= (1,2,3,4), B= [-2-— 1,0). Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 30 7. Sean Ax B= B— (AA B) entonces A— (Ax B) es igual a 10. 11. 12. a A b ANB" c AMB dB e Ninguna de las anteriores . Sean Ax B=(ANB)-— A" entonces (Ax C)UC es igual a a A b Anc c AUC dC e Ninguna de las anteriores . Sean Ax B= BA (A— B) entonces Ax (Ax B)" es igual a a A b ANB" c AMB dB e Ninguna de las anteriores Sean A y B conjuntos. Se define Ax B=[A“UB)-(ANBS9)" Calcular A x* A Sean A= (6, (1)), B= (1,2), C = (6,2). Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a P(B) -P(C)=((1), (2), (1,2); b (AUC)—B)=1(0); e (AUB)-(ANB)= (0,2); d (AUC)NP(B))= A; Sean A= (6,1), B= (1,2), 0 = (0,2) Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas i P(A) —P(B)=(0,(0,2); ii, AUB)NP(C) =1(0,(0), (0,2); CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 31 13. 14. 16. 17. 18. ii. (4AUB)-(ANB)= (6,2); iv. A(AUC)NP(B)) =2; v. H(AUC)-B)=0; Sean A= (6, (2)), B= (1,2), C = (6,1). Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a P(B) -P(C)=((1), (2), (1,2); b (AUC)-B)=(6); c(AUB)-(ANB)= (1,2, (2): d (AUC)NP(B))= A; Sean A= (6, (13), B= (1,2), C = ((6),1). Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas a P(B) -P(C)=((2), (1,2)); b (AU B)-C) =((1),2); c (AUB)-(ANB)= (0,2); d (AUC)NP(A)) = (1); Sean A = (9,1), B = ([1,(2)),C = (6,2). Determinar por extensión los siguientes conjuntos a P(C)-B b ((4UB)-C) c(AUC)-(ANB) d ((AUC)INP(A)) Sean A= (a,b,p), B= [0,[a)), C = [b,c, dy Determinar por extensión el siguiente conjunto D=(B -—P(A4)) - P(A-C)) Sean A= (0,0), B= (1,46)),C'= (0,1,40)) Determinar por extensión D=(P(A4) - (B-C))NP(C) Sean A= ((a,a), (a,b), (a,c)), B= [a,),C= (a,c) Determinar por extensión D=[(AN(B x C) UP(B)] -P(C) CAPÍTULO 1. LÓGICA Y CONJUNTO 32 19. Dados los conjuntos A =(xE€R : (34+1=2) => (1-2 0)) =[(xER : (24+2%0)=>(2=1)) Co =4[xER : 2>0) D=([xEeR : 2<3) Determinar por extensión a (AUB)- b (ANC) c(CAD)-B= d (AAB) A(CAD) = 20. Dado A= (-1,1,2),B=(-3,1,-5). Determinar por extensión los siguientes conjuntos Co=1fxeA : (yeB)(i+y>1)) =(1E€A : (WeB)(z+y>1)) 21. Dados los conjuntos A = (—1,1,2), B= (-3,1,3 Determinar por extensión los siguientes conjuntos Co=1xEA : (yeB)(zxy>1)) =(x€A : (WeB)(zxy> 1)) 22. Dados los conjuntos A = (—1, 1,2, B = (-2,-1, 1 3, 1,2,3). Graficar el conjunto 1-zx 1-1 E= te axB o y=t ) 23. Dados los conjuntos A =(—1 Graficar el conjunto. 2% B=1(-2,-1, 1,2,3). 5 -55, l1-x E= te axB : 1-5) 24. Dado el conjunto A = (—2, 3, 2). Graficar el siguiente conjunto E=4x(,y) € AXR : y=