Transformaciones lineales, Ejercicios de Álgebra Lineal

¡Descarga Transformaciones lineales y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Transformaciones lineales Concepto de transformación lineal. Sea T :Rn→Rm una función (es decir, T es una regla de correspondencia que asigna a cada vector de Rn un vector único Rm); decimos que T es una transformación lineal si se cumple que: i ¿T (A+B )=T (A )+T (B ) para todo A ,B∈Rn ii ¿T ( λAA )=λAT (A ) para todo λA∈R y A∈Rn Por cumplir dichas reglas i ¿ y ii ¿ se dice que las transformaciones lineales preservan la suma y la multiplicación por escalares. NOTA. En la definición anterior puede tenerse n<m;n=mó n>m . Ejemplo 1) Sea T :R2→R2 definida como sigue: T (x , y )→(2 x , x+ y ) así, por ejemplo: T (2,3 )→ (4,5 ) T (1,6 )→ (2,7 ) T (−2,2 )→ (−4,0 ) etc . Afirmamos que Tes una transformación lineal, en efecto: i ¿Sean A=(a1 , a2 ) y B (b1 , b2 )v ectores cualesquierade R 2, tenemos : Ahora por otra parte: Por comparación directa vemos que: T ( A+B )=T ( A )+T (B) ii ¿Sea A=(a1, a2 )unvector cualquierade R 2 y sea λA∈ Runescalar , tenemos : T ( λAA )=T (λA (a1 , a2 ))=T (λAa1 , λAa2 )=(2 λAa1 , λAa1+λAa2) Ahora por otra parte: Por comparación directa vemos que: T ( λAA )= λAT (A) Luego T preserva la suma y la multiplicación por un escalar de donde es una transformación lineal. Transformación lineal como matriz Una matriz de orden mxn puede interpretarse como una “máquina” que transforma vectores de Rn en vectores de Rm . Ejemplo 1) Sea la matriz de orden 2 x2 que sigue: [2 01 1] Ahora si un vector (x , y ) cualquiera en R2 lo “identificamos” con una matriz columna de orden2 x1podemos efectuar la multiplicación siguiente: [2 01 1] [ x y ]=[ 2 x x+ y ] y así podemos pensar que la matriz dada de orden 2 x2 es una máquina que transforma vectores de R2 en vectores de R2 de tal modo que: ( x+ y )→ (2 x , x+ y ) o sea: T ( x , y )=(2x , x+ y ) Reduciendo renglones se obtiene, sucesivamente, 0-1. 410 0-1410 3 1-1 ]|0 3 03 1]0 2 rr 2 | 00 2 9.2. 0 o 1410 o 1410 ——>5) 1. 010 So|1 01]0 O E o0.0.1]1.0 =1 =1 Así, Xx; ——xX32x2 — 4x3, un vector característico es v, =| 4 | y F,=gen 4 |». Para A, 1 1 se tiene [4 —(—2D)]v = (4 + 2)v=0, 0 sea 3 1 aa o 3. 4 1[x|=|0 2 1 1lx o Esto leva a 3 —1 1. o 3 —1 4.1.0 dl — A d 0.15 1 0 2 A I o 5 o s t o 31410 4. MF - —|1 o0J1(108e — 1 0 O s os 71% o o.0o0 1/0 1 Entonces Xx = — Xi. Xy = —x, y un vector característico es v, —=| —1 |. Entonces 1 1 E 2=gen ( :J Por último, para A, = 3 se tiene , 2 — 4 (A 31 )w 3 1 2 1 —4 y 2-1. 410 2-1 410 3-11 0) 5 0-5]0 2-14]0 0.0. 0]0 (2 1 4106 2-1 010) ——5 1 0-10 31 0-10 0.0. 0]0 0. 0. 0].0 Ejemplo 3. Una matriz 2 x 2 con uno de sus valores característicos iguales a cero Ejemplo 4. Valores característicos de una matriz triangular Ejemplo 5 Ejemplo 6 Matrices semejantes Se dice que dos matrices Ay B de n x n son semejantes si existe una matriz invertible C de n x n tal que La función definida que lleva la matriz A en la matriz B se denomina transformación de semejanza. Se puede escribir esta información lineal como T ( A )=C−1 AC B=C−1 AC Diagonalización de una matriz Matriz diagonilizable. Una matriz Ade n x n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D. El siguiente teorema establece cuándo una matriz es diaginizable: Si la matriz A de n x n tiene n valores característicos diferentes, entonces A es diagonalizable. Es decir, B(λA) es la matriz de k x k con el escalar λA en la diagonal, unos arriba de la diagonal y ceros en otra parte. Nota. Se puede (y con frecuencia se hará) tener una matriz de bloques de Jordan de 1 x1. Esa matriz toma la forma B ( λA )=(λA). Por último, una matriz de Jordan J tiene la forma  Tres matrices de Jordan entonces A también es similar a 1 0,3 y a otras tres matrices de Jordan. Es decir, los bloques de Jordan reales permanecen iguales pero el orden en el que están escritos puede cambiar. + Matrices de Jordan de 2 x 2 A 0 A 1 o alo a Las únicas matrices de Jordan de 2 X 2 son meros A; y A, pueden ser iguales. . En la primera matriz los nú- p» Teorema 8.6.2 Suponga que 4 la matriz de 2 X 2 tiene un valor característico A de multiplicidad alge- braica 2 y multiplicidad geométrica 1. Sea v, un vector característico correspondiente a A. Entonces existe un vector y, que satisface la ecuación (A AD =V (8.6.4) e Demostración Sea x e C? un vector fijo que no es múltiplo de y,, de manera que x no es un vector característico de A. Primero se demuestra que Ww= (4 —ADx (8.6.5) es un vector característico de 4. Esto es, debe demostrarse que w = cv, para alguna constante c. Como w e C? y y, y x son linealmente independientes, existen constantes €, y €, tales que W= cr + ex (8.6.6) Para demostrar que w es un vector característico de A debe comprobarse que c, = 0. De (8.6.5) y (8.6.6) se deduce que  Matrices de Jordan de 3 x 3 Ejemplo 1. Forma canónica de Jordan de una matriz 2 x 2 Ejemplo 2. Determinación de las posibles formas canónicas de Jordan de una matriz de 4 x 4 con ecuación característica dada