Transformaciones lineales, Monografías, Ensayos de Álgebra Lineal

¡Descarga Transformaciones lineales y más Monografías, Ensayos en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! TRANSFORMACIONES LINEALES Sean V y W dos espacios vectoriales definidas sobre el mismo cuerpo K (KR o E), se define la transformación lineal 7 como la función T:V—>W x>y=T(x) tal que se cumpla a) T(u+v)=T(w)+T(v) Vu, veV b) T(au)=0aT(u) VueV, VaeK La trasformación T también es llamada aplicación lineal u operador lineal, aunque algunos autores llaman operador lineal a las trasformaciones lineales tales que V=W. Ejemplo.- Verificar si las siguientes transformaciones son lineales o no. 1.- F:RIR / FG)=0x, 0 ER Solución a) F(u+v)= a(u+v)= qu+ av= F(u)+ F(v), Vu, velR D) F(ku)= 0(ku)=k(0u)=kF(u), Vue Re, Vke R -. F es una transformación lineal. Nota.- Toda F: IX > IK es lineal sólo si es del tipo F(u)=au, de F(x)= F(x.1) como F es lineal y x escalar entonces F(x.1)=xF(), llamando F()=«ú tenemos F(x)= ax; entonces el nombre transformación lineal está inspirado en el caso que V =W=R porque la gráfica de F(x)=%x es una recta que pasa por el origen. 2.- F:RIR/ F(u)=u? Solución a) Flu+v)=(u+vY? =u*+20w+v?,F(u)+F(w =u+v? F(u+v)% F(u) + F(v) -. F no es una transformación lineal. 3- TURSIR/ T (y 2) =(2 + y,2+ y) Solución Sean u=(x, y,,2,), V= (2%, Y,,2,) y 4 ER entonces U+V= (AY 2 400, 9722) = (2, 4) Y) FJ 7, +42,) am =0(%,y,2,)=(0x,,0y,,012,) Tu) =T((%, Y +2) =T(%> Y 2,)= (4, + y 9%, +91) T(v)=T((%, Ya, 22) =T(%, Ya, 22)= (0 + Ya, 22 + Y2) a) Tlu+v)=T( +++ 2)= (2, +0)+ 0, +9), (2 +2) +01+ 9) = (+ y) +00 + y), (2, + y) + (2 + y) = (+ Y 2, Y) 4054), 2 + Ya) T(u+v)=T(uw)+T(v) d) T(au)=T(Ax,,A y,,02,) =(0X, +0 y,,0Z, FA y,) =(0(x, + y, ),0(Z, + Y) = 0%, + Y 2, +1) T(au)=aT(u) -. Tes transformación lineal 4-T:R SE? / 1(3)- (5) y y Solución > a Cc Sean u,veR”/u= ,v= y aek. b d a) Para T(u+v)=T(u)+T(v) tenemos a+c -(a+c) -=a-c -a =c T(u+v)=T = = = + =T(u)+T(v) b+d b+d b+d b d esto que T)=T ll rr ues ju = = , = = P a " b b r d d b) Para T(au) = A T(u) tenemos a ad =aa =a T(o0u)=T| a =T = =0 =0T(u) eo) (jad) uesto que T(u)=T ape puesto que 02 (51, -. Tes transformación lineal. Observaciones 1.- De la definición tenemos que T (x) también se denota como y=T(x). 2.- Los ítems a) y b) de la definición puede ser incluidos en la siguiente única fórmula: T(au+v)=0T(0M)+T(v), Vu,veV, ae K Ejemplos 1.- Sean los espacios vectoriales V y W, definimos la aplicación nula TV —=>W x>y=0 es decir T(x)=0 WxeV (0 es el vector nulo) Para probar que esta aplicación es lineal sean u,veV, 4e K entonces T(au+v)=0 0) Como T(u)=0 y T(v)=6 tenemos que aT(u)=x0=0 entonces aT(u)+T(v)=0+0=0 ..(Q) De (1) y (2) tenemos T(au+v)=0aT(u)+T(v)=0, Vu,veV, a eK -. Tes transformación lineal. 2.- Sea T:R SR I/TO)= e 0. AX y) U 2)y Probamos que T es una transformación lineal de la siguiente manera. . 2 -1 »2 x > ayY(c > Identificamos que A= ER”, X= eR”, luego sean , ER” 1.2 y bla (€?) y ae R, entonces utilizando propiedades de matrices tl) (Je) ro-() mr (Je e(J x Como [ ] e R? entonces x, yER entonces u=x-yeR, v=2xeKR entonces y u xy > u 2 tenemos = ER”, con lo cual Im7 = lu,veR>=R* v 2x v 2.- Sea la transformación lineal T: R? >) / T(x, y)=x+ y Solución En este caso tenemos kerT = (6 yNeR/x+y= o) De x+y=0 > y=-x, esto significa que kerT es la recta y=—x, dicho de otra forma kerT = ((x,-x)/x€R]=(x(,-1)/xe Rj=[4,-1)] Para la imagen tenemos Im7 = fu ER /u=x+ y, (x, y) € R> Como x, y e R entonces u=x+ y €R con lo cual ImT=R O hallado de otra forma tenemos que dado xe kk, T(x,0)=x+0= x es decir Im7 = ((x,0)/x e IRj= (x(1,0) /x e R)=[(1,0)] En la siguiente gráfica observamos las representaciones geométricas del núcleo y la imagen de la transformación lineal T(x, y) =x+ y. ImT =R 3.- Sea la transformación lineal T:1R* > K%/ T(x, y, 2) =(x,2y,0) Solución Tenemos que kerT = (6 y,2)€ ¡R*/T(x, y,2)=(0,0, o) kerT =((x, y,2) ER” /(x,2y,0)=(0,0,0)) De (x,2y,0)= (0,0,0) tenemos que x= y=0 y para cualquier ze K, entonces kerT = ((0,0,2)/2.€ RP kerT = (2(0,0,1)/ z e I)=[(0,0,1)] Para la imagen de T tenemos Im7T = (Go, 2y,0)/x, y € KR] Im7 = (x(1,0,0)+ y(0,2,0)/x, y e R)=[(1,0,0),(0,2,0)] Observamos que las dimensiones del núcleo y la imagen de esta transformación son respectivamente dimker(7)=1 dimIm(7)=2 puesto que ((1,0,0),(0,2,0)) es LI 4.- Sea la transformación T': Ik* >P,/ T(a,b,c)= ax? +bx+c, verificar si es lineal, si lo es hallar su núcleo y su imagen. Solución Verificamos primero si 7 es transformación lineal T(a(a,,b,,c,)+(a,,b,,c,)) =T(aa, +4,, 0%b, +b,, ac, +C,) = (aa, +0, +(0b, +b,)x+(0c, +c,) =(090 +4,) +(0b,x+b,x) +(0c, +C,) =0(a e +bx+c)+ (a, +b,x+c,) T(a(a,,b,,c,) +(a,,b,,c,))= 0T(a,,b,,c,)+T(a,,b,,C,) -. Tes una transformación lineal. Para el núcleo tenemos kerT =((a,b,c) eR*/T(a,b,c)=04 +0x+0) kerT =((a,b,c) ER /ad +bx+c=0x? +0x+0) De ax” +bx+c=0x*+0x+0 tenemos que a=b=c=0, entonces kerT = ((0,0,0)) = 9) Para la imagen tenemos Im7 = fa +bx+claxk +bx+c=T(a,b,c).(a,b,c) € ey ImT =(ar +bx+c1(a,b,c) eR*) Como a,b,ceR entonces a +bx+c6 P, es un polinomio general con lo cual Im7 = (ax? +bx+c/(a,b,c) ER?) =L%,x,1]=P, 5.- Sea D:P, >P, >, la aplicación derivada, verificar que D es transformación lineal, luego hallar el núcleo y la imagen de la trasformación. Solución Se verificó en un ejemplo anterior que D es una trasformación lineal. Para el núcleo kerD= tf EP, ID(f)= 0 donde 0 es el polinomio idénticamente nulo es decir es un polinomio de grado n con todos sus coeficientes iguales a cero. De D($)=0 > f'(x)=0 integrando con respecto a x tenemos F0=[f'odr= f0dr=a, kerD= (a, / a, eRj=[1=P, es decir kerD=P,. Para la imagen ImD= [ge P, n-1 18g=D(f) si f =a,+4x+..+a, x"+a,x" derivando tenemos 8=D(f)=(a4,+4x+...+4, 1 +a,x)'=a,+20,x+..+(n-Da, 1 *+na,x" sea ka, =b,., , k= Ln entonces 8=b)+bx+..+b, 0? +b, x", bd, EM, Vk= 0,n=1 es un polinomio general ImD= (ge P,, es decir ImD=P, 1g=b, Hb xt. eb, 100? Eb, 0 ) =[l,x,..., 0 ]= Po, Observaciones 1.- Como T:V —>W es una transformación lineal, considerando que 6, y O, son los vectores nulos de V y de W respectivamente entonces 7(6,)=6,, es decir la imagen del vector Q, € V es siempre el vector 0, € W; en efecto usando la condición 1) de la definición tenemos para xe V T(x)=T(x+0,)=T(x)+T(0,) > 0,=T(0,) de donde por la unicidad del vector 0, e W tenemos que 7(6,)=0,. De manera similar se puede probar este hecho utilizando la condición (2) de la definición haciendo «=0. Tenemos entonces que tanto el núcleo como la imagen de una transformación lineal son conjuntos no vacíos de V y W respectivamente, pues al menos el vector Q, €V pertenece al núcleo y al menos el vector O, € W pertenece a la imagen. 2.- Otro hecho importante que se deduce de la definición de transformación lineal es que tanto el núcleo de T como su imagen son subespacios de V y W respectivamente; en efecto probaremos que kerT' es un subespacio de V. Sea x,xekerT entonces T(x)=T(%)=0 luego T(x+X)=T()+T(x)=0+0=0, por lo que x+xekerT. SiceK y xekerT entonces T(cx)=cT(x)=c(0)=6, por lo que cxekerT . al cumplirse las 2 condiciones concluimos entonces que kerT' es un subespacio de V. De manera similar se prueba que Im7 es también un subespacio de W (W codominio de la transformación 7). Rango y nulidad de una transformación lineal Sea T:V —>W una transformación lineal de Ven W, entonces definimos: Nulidad de 7.- Se define como la dimensión del núcleo kerT, es denotado por v(T) v(T) = dim(kerT) Rango de 7.- Se define como la dimensión de la imagen Im7', es denotado por p(T) p(T)=dim(ImT) Observación.- De la notación y el nombre rango de la transformación lineal observamos que la notación de rango de una matriz coincide con el de rango de una transformación lineal, luego veremos que en efecto el rango de una matriz también se define tomando en consideración el concepto de dimensión, así también una transformación lineal de dimensión finita puede ser representada por una matriz, Ejemplos 1.- Halle la transformación lineal T :1R? >1R* / 7(1,0)=(2,-1,0) y T(0,D) =(0,0,1) . Solución Tenemos en este caso que e,=(1,0) y e,=(0,1) entonces B= £c0, D,(, o) es la base canónica de K? y 4, =(2,-1,0) y u,=(0,0,D) . Dado v=(x, y) € RR? arbitrario entonces v=x(1,0)+y(0,1) = xe, + ye, luego T(x, y) =T (1,0) + y(0,1)) =T (xe, + ye,) = xT(e,)+ yT (e,)=xT(1,0)+ yT(0, 1) = x(2,-1,0)+ y(0,0,1) = (2x,—x,0)+(0,0, y) T(x, y)= (Qx,—x, y), (x, y) € R?. 2.- Sea la transformación lineal T:R* —>R* / 7(1,0,0)=(1,2,3), 7(0,1,0)=(-2,0,3), T(0,0,1)= (1,0,-2), halle T. Solución Tenemos que e, =(1,0,0), e, =(0,1,0) y e,=(0,0,1) entonces con estos vectores se obtiene la base canónica de RR”, también tenemos que u =(1,2,3), u, =(-2,0,3), u, = (1,0,-2), luego dado (x, y, z) e IR? tenemos T(x, y, 2) =T(x(1,0,0)+ y(0,1,0)+ 2(0,0,1)) =x7(1,0,0)+ y7(0,1,0)+ 27(0,0,1) = x(1,2,3)+ y2,0,3)+2(1,0,-2)= (x,2x,3x) +(2y,0,3y)+(2,0,-22) T(x, y, 2) =(4-2y+2,2x,3x+3y-22), (1, y, 2) e R* 3.- Sea la transformación lineal T:R > KR? tal que 70D)=(,D), T(0)=(1-D, halle explícitamente la regla de correspondencia de 7. Solución Tenemos que e, =1, e, =x con estos vectores obtenemos B= (L x que es la base canónica de P,, como también tenemos que u,= (1,1) y u,=(1,—1), luego dado el polinomio general a+bx € R, tenemos T(a+bx)=T(a(D)+b(0)=aT MW) +bT()=a(1,1)+b0,-1)= (a, a) +(b,-b) T(a+bx)=(a+b,a—-b), a+bxeRr 4.- Sea la transformación lineal T:R>P, tal que T()=1-x, T(x)= xx, halle explícitamente la regla de correspondencia de 7. Solución Tenemos que e, =1, e, =x con estos vectores obtenemos B= (L x que es la base canónica de P,, como también tenemos que 4, =1-x y ul, =x+x”, luego dado el polinomio general a+bx e R tenemos T(a+bx)=T(a()+b(0)=aT(MD+bT(G) =a(l-x)+b(x+x?)=a-ax+bx+bx? =a+(b-ajx+bx T(a+bx)=a+(b-a)x+bx?, a+bxe P 5.- Sea la transformación lineal T :TR? >P, tal que 7(1,0)=1+x, T(0,)=2-x, halle explícitamente la regla de correspondencia de 7. Solución Tenemos que e, = (1,0), e, =(0,1) con estos vectores obtenemos B= ía, 0), (0,0; que es la base canónica de 'R?, como también tenemos que y =1+x y 4, =2—x, luego dado (a,b) € R? tenemos T(a,b)=T(a(1,0)+b(0,1)) =aT (1,0) +bT(0,1) =a(1+x)+b(2- x)=a+ax+2b=bx= (a+2b)+(a—b)x T(a,b)=(a+2b)+(a—b)x, (a,b) e R? 6.- Sea la transformación lineal 7:R? >R? / 7(1,0)= (1,—D, T1,D=(2,D, halle la regla de correspondencia de T. Solución Tenemos que € =(1,0), e,=(1,1), con estos vectores obtenemos la base B=((1,0),(1,1)] pero no es la base canónica de R?, de los datos también tenemos que u, = (1,-1), u, =(-2,1), luego dado (x, y) e KR? debemos expresarlo en términos de la nueva base lo cual se podría hacer utilizando cambio de base, pero en este caso haremos un artificio que consiste en expresar mediante operaciones simples (x, y) en términos de (1,0) y (1,1), para luego poder aplicar los datos ( (x,0)+(0, y) = x(1,0)+ y(0,1)= x(1,0)+ y((1,1) (1,0) (x, y) =x(1,0) =— y (1,0) + y(1,1) = (4 y)0,0)+ yQ, 1) Luego tenemos T(x% y)=T(- y11,0)+ y0,1)) =7((- 10,0) +7040,D)= (+ 970,0) + 970,1) =(-90,-D+ y(,1)= (4 y)-2 y,(x= y) + y) Tx, y)=(4-3y,2y=x), (x, y) € E? Observación.- De lo mencionado en el ejemplo anterior y de manera similar procederemos en casos generales cuando se nos den como información la imagen de los vectores pero en bases que no sean las bases canónicas, en ese caso debemos utilizar cambio de base. Para el ejemplo tenemos dado (x, y) e? para poder hallar 7 de manera similar a los ejemplos anteriores debemos expresar (x, y) e IR? en términos de la base B, es decir debemos hallar el vector coordenado M = A el cual se obtendrá cambiando de Y Lp la base canónica a la base B , hacemos esto para poder reemplazar los valores de u, y u, obtenidos de los datos. De lo visto en cambio de base tenemos que para cambiar de la base canónica a la base B, utilizaremos la fórmula bl) donde E será la base canónica y la matriz de transición C es obtenida tomando como sus columnas los vectores de la base B, efectuando los cálculos tenemos lodos de) a 1 -1fx xy luego tenemos que = = entonces a=x-— y y b= y b 0 1)Jy y decir | * 1 +b 1 ( ) 1 4 1 es decir =4a =(x- y y y) o) o) lo cual se puede comprobar rápidamente. Escrito en forma de pares ordenados tenemos (x, y) = (+= 11,0) + y(,1)= x(1,0)= y0,0)+ y(, 1) que es el mismo resultado que se obtuvo, luego sólo faltará proceder de la misma manera para obtener de manera explícita la transformación lineal. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Un hecho importante de una transformación lineal T:V >W donde V y W son 2 espacios de dimensión finita es que se le puede asociar una matriz de orden mxn que denotaremos por [7], tal que la acción de T sobre un vector xeV pueda verse como “una multiplicación por la matriz [7]”; para lo mencionado tomaremos en cuenta lo siguiente, fijamos inicialmente una base B,=(fe,e,.....e,) de V y una base B, =18,,8,,...,8, y de W, para simplificar esta deducción sean B, y B, las canónicas de sus respectivos espacios, como cada vector coordenado con respecto a una base B en un espacio de dimensión finita U puede escribirse como una matriz columna es decir á £=| : | eU y como también se había indicado que una matriz columna representa a 6» un vector en K”, entonces podemos deducir los siguientes conceptos en espacios R”, luego considerando lo mencionado podemos generalizarlos a otros espacios. B Consideraremos la transformación T:IR”—>|K"”, luego dado un vector x=(M X)>...,x,)€R”, la imagen de x bajo T es un vector de |” es decir T(x) =(C,,C,,..»,C,,); Por otra parte como T es lineal y escribiendo al vector x en términos de la base B,, tenemos T(x)=T(x,€, +x,€, +...+x,€,) =x T(e,)+xT(e,)+...+x,T(e,)= Nx T(e,) 7 Cada vector T(e,) e IR” se puede escribir en términos de la base B, = [2,,2,,...,8,,) món ¡2 ¡=1n T(e,)=4,€, +4,€, +...+4,,0, = Ya a Entonces reemplazando tenemos T(9= Te) = Nx, La/% =Y Ea E] ja a ma En vista de la unicidad de la representación de un vector en términos de una base, concluimos que siendo T(x)= (c,,C,,...,C,) luego los escalares c,, ¿=1,m de las T = -1 2), De manera similar tenemos 3 -3+2 -1 1 3 T = = =cC +d 2 3-2 5 -1 2 Comparando elementos también obtenemos un sistema de ecuaciones lineales que al ser resuelta se obtiene c=17, d=6, es decir 3 17 T = 2 6), Entonces tenemos que la representación matricial de la transformación T con respecto a las bases B, y B, es ir]= 6 17 2.6 -4 Para hallar la imagen de [ 7 ) con respecto a las diferentes bases tenemos: Con respecto a las bases canónicas sólo evaluamos la transformación en 7 ] E) -4 Con respecto a las otras bases hallamos el vector coordenado de [ ) en la base B, -4 1 3 m-3n =m +n = 7 -1 2 -m+2n resolviendo el sistema que se genera obtenemos m=-13, n=-3, es decir 5)05) 7 3 » entonces tenemos que T e) Ñ E o) E» 5) 3 » 2 6). -3 8 » -27 Si transformamos a la base canónica debemos obtener el mismo resultado, Be 1 3 3 en efecto 27 +8 = . Observamos que vamos obtener resultados equivalentes independientemente de la base que tomemos en los espacios que se define la transformación. Observaciones 1.- Si en las transformaciones lineales T:V—>W tales que V+R” o WIR" quisiéramos hallar las matrices de transformación, procedemos de manera similar al ejemplo 3 y si alguna de las bases de V y de W no es la base canónica procedemos de manera similar al ejemplo 4; si tuviéramos combinaciones de ejercicios donde ni los espacios ni las bases para las transformaciones son los supuestos inicialmente, en ese caso procederemos combinando los procedimientos vistos en los ejemplos 3 y 4. 2.- Algunos autores para indicar las bases que se utilizan en las transformaciones lineales T:V >W si B, es la base para V y B, es la base para W, denotan la matriz de transformación como TT , algo muy similar a la notación de cambio de base de espacios vectoriales. OPERACIONES ENTRE TRANSFORMACIONES LINEALES Tenemos las siguientes operaciones que pueden definirse con transformaciones lineales. Suma de transformaciones Consideremos las transformaciones lineales 7;,7, : V >W definidas sobre un campo K, definimos la suma de las trasformaciones denotada por 7, +T,, como E +TX)=T,(1)+T,(u), u eV la cual se verifica que también es una trasformación lineal, de la siguiente manera Sean u,veV, 4 K entonces a) (1, +TXu+v)=T,(u+v)+T,(u+v)= (T,() +7,(0)) + (E ()+T,(v)) = (E, (9+T,(0)+ (7, (1) +T,(v)) = (E, +2 (0) + (1, +T) (LT, 4T +) = (7, +47) +(T, +T, 0) d) ([+T IA) =T,A0)+T,(4) = 4T,(u) + AT, (u) = AT, (u) +T,(0)) = ACT, +T, Mu) (T+T, Ou) = AT +T, Nu) De a) y b) hemos verificado que 7, +T, también es una transformación lineal. Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales T¡,T,:R?>R*? tales que T¡(x, y)= (+ y, x— y), T¿(x, y) =(%— y, x+ y) ; halle la suma 7, +7, así como su rango y su núcleo. Solución En este caso tenemos que (ATICO y) =T,(%, y) 4T,(% y) = (+4 y, 0 y) +(0 y, x+ y) = (+ y) + (0 y), (a y)+ (+ y) = Qu, 2x) (7 +TIG y)= (Qx, 2x) Para calcular su imagen observamos que (E +TD)IG, y) = Qx,2x) =2x(1,1) =0(1,1), 0=2x, 0 ER Lo cual implica que Im(7, +7,)=[(,1)] con lo cual (7, +T,)=1 Para hallar su núcleo debemos hallar (x, y) / (E+D)G y)=(Qx,2x)=(0,0) > x=0 reemplazando en ker(T, +T,) =((x, y) € 2? /(2x,2x)=(0,0))=((0, y)/ y € Rj Como (0, y)= y(0,1), ye R entonces ker(T; +T,)=((0, y)/ y e R]=[00,D] Entonces también tenemos que v(T, +T,)=1 y se cumple que dim(R?)=2=v(T, +T,)+ AT, +T,)=1+1 Multiplicación por un escalar Consideremos la transformación lineal T':V —W definida sobre un campo K, definimos la multiplicación por un escalar 4 e K por la trasformación T, denotada por a T , como (aTXu)=0aT(u), ueV, aeK el cual se verifica que también es una trasformación lineal, de la siguiente manera Sean u,veV, 4€K entonces a) (aTXu+v)=0T(u+v)= AT (1)+T(v)) =0T(u) +0 T(v) (aT)Xu+v)=(aT Xu) +(aT Kv) b) (ATA) = ATA) = AAT(0)) = MOT (1) = (ATA) (ATNAL)= AAT KA) De a) y b) hemos verificado que 47” también es una transformación lineal. Ejemplo.- Sean la transformación lineal 7:R >B, / (Tp) =T(p(0) = 2xp(x); halle aT, así como su rango y su núcleo. Solución Sea p(x)=a+bxeR, entonces T(p(x)) =T(a+bx)=2x(a+bx)=2ax+2bx”, luego (aTXa+bx)=aT(a+bx)=0(2ax+2bx*)= 20Ux+ 20bx” (aTXa+bx)=20ax+20abx? Para calcular su imagen observamos que (aTXa+bx)=2aax+2abx? = (20 (x) +(2abXx?), como a, a, be R lo cual implica que Im(a7)=[x, x*] con lo cual p(AT)=2 Para hallar su núcleo debemos hallar a+bx / (aTXa+bx)=20ax+2abx? =0+0x+0x? > 2aa=0, 2ab=0 Considerando que 4%0 porque sino tendríamos la transformación nula que no es de nuestro interés en este ejemplo, tenemos a=b=0 es decir ker(aT)=(fa+bx/a=b=0)=(0+0x)= (0% ker(aT)= (0) Entonces también tenemos que v(a7)=0 y se cumple que dim(R)=2=v(aT)+ p(aT)=0+2 Observaciones 1.- En el ejemplo anterior y en forma general se cumple que ker(aT)=kerT, Im(aT)=ImT en consecuencia también se cumple que v(aT)=v(T), p(aT)=p(T). 2.- Si en las operaciones anteriores definidas sobre transformaciones lineales, tenemos que V, W son espacios de dimensión finita, entonces (TT, y) =(1x+7 y, 4x-2y,-14x-35 y) 1.1 2 -1 Consideramos también que [7,]=| 2 0 y Im :] entonces 3 4 1.1 x x 2 Dx GTI y=IH BI]. =[MMZ] [=[ 2 0 y y 5 8 y 3 4 7 7 7x+7 y =4 2 (7)- 4x-2y 14 35) |-14x-35y (TT, y) =(1x+7 y, 4x-2y,-14x-35 y) el cual es el mismo resultado ya obtenido, además se verifica entonces que [7, +T,]=17,117,] Observaciones 1.- De la definición de homomorfismo mencionada y que las transformaciones lineales son homomorfismos entre espacios vectoriales, si precisamos que en una transformación lineal T:V —>W, entonces a esta transformación T también se le suele llamar simplemente homomorfismo entre V y W y también es denotada por hom(V,W); un caso particular de estos homomorfismos tenemos que si V=W entonces T:V >V tenemos los llamados endomorfismos, los cuales también son llamados endomorfismos en el espacio vectorial V. 2.- Dada una matriz Ae K”” tomando en consideración la representación matricial de una transformación lineal, podemos definir una transformación lineal a partir de la matriz A de la siguiente manera, T:K” >K” / T(u)= Au donde ue K”. 1 1 Ejemplo.- Si tenemos A=| 2 0 |eK*?, podemos definir la transformación 3 4 2 . x lineal asociada a esta matriz, como T:R? >R* / si u= ] entonces y 1 1 x+y Xx Xx ruo=1| Josu 2.0 (7)- 2x ? 3 4 (3x-ay 3.- Tomando en consideración la observación 2 tenemos: a) El espacio nulo de la matriz A.- Denotada por N, , está dada por N,=(ueK"/T(u)=Au=0j Observando esta definición tenemos que para hallar el espacio nulo resolveremos el sistema homogéneo Au=0, lo cual resultará ser equivalente a calcular el núcleo de la transformación T:K" >K”. b) Imagen de la matriz A.- Denotada por ImA, está dada por ImA= (ve K"/v=T(u)= Au,ueK”) Observando esta definición tenemos que para hallar la imagen de la matriz A tendremos que hallar los vectores ve K” / Au=v con ue K”, efectuando las operaciones respectivas tenemos que será equivalente a hallar el espacio fila (o espacio columna) de la matriz A es decir ImA=f-linA (ImA =c-linA ); lo cual también es equivalente a hallar la imagen de la transformación T': K” —>K” Como caso particular tenemos para K= X entonces Ae [R”” y T:R” —>R”. 4.- En los espacios definidos en la observación 3 es decir N, e ImA, calculando sus dimensiones obtenemos la respectiva nulidad y rango de la trasformación pero refiriéndonos a la nulidad y rango de la matriz A, esta nulidad y rango de la matriz A de lo tratado anteriormente son denotados por v(A) y p(A) respectivamente; además considerando que dim(Im A) = dim(f-linA)= p(A) y ImA=ImT entonces tenemos que p(A)= dim(Im A) =dim(ImT)= AT) por ello concluimos entonces el porqué de las notaciones iguales de rango de una matriz y de rango de una transformación lineal. ISOMORFISMOS Definición.- Una transformación lineal 7:Y >W es llamada inyectiva, si dados Xx, EV con x, %x, entonces T(x,)+T(x,). Una transformación lineal inyectiva es llamada también monomorfismo. Teorema.- Una transformación lineal T:V —>W es inyectiva si y sólo si su núcleo consta solamente del vector 9 € V, es decir si y sólo si kerT = (0). Demostración En efecto sean 6, el vector nulo de V y 0, el vector nulo W. a) Probaremos primero que si T es inyectiva entonces kerT = (9) Si T es inyectiva entonces para vekerT tenemos que T(v)= 6,=T(8,) por lo que necesariamente v=0, puesto que como se ha indicado T es inyectiva, entonces tenemos que kerT = (,). b) Probaremos que si kerT =(8,) entonces T es inyectiva. Supongamos que kerT = (0,3 y que se cumple que T(x,)=T(x,), como T es lineal tenemos que T(x,)-T(x,)=T(x,-x,)=0, de donde se deduce que x,—x, es un vector del núcleo de T, como x,-x, debe ser 6, entonces x, —x,=60, por lo tanto x, = x,, con lo cual hemos probado que T es inyectiva. De a) y b) hemos tenemos que hemos demostrado el teorema. Definición.- Una transformación lineal T:V—>W es llamada sobreyectiva si su imagen es todo W es decir ImT'=W, lo cual implica que Vue W, 3veV/ u=T(v). Una transformación lineal sobreyectiva es llamada también epimorfismo. Defini Una transformación lineal T:V >W es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, es decir si cumple la misma definición de función biyectiva, esto se cumple puesto que una transformación lineal es un caso particular de una función definida entre los espacios vectoriales V y W. Definición.- Si la transformación lineal T:Y —>W es biyectiva entonces se dice que es un isomorfismo, es decir 7 es un isomorfismo si es un monomorfismo y un epimorfismo al mismo tiempo. Ejemplos.- De los ejemplos vistos en el núcleo e imagen de una transformación lineal y considerando en algunos casos sólo la nulidad y el rango tenemos que: 1.- Para la transformación lineal 7 :R? >RR?/ 2(*) = E) , Si conocemos después de haber hallado Im7 que p(T)=2 y como dimR?=2 entonces por el teorema de la dimensión tenemos v(7)=0 lo cual significa que kerT =(0% lo que implica que T es inyectivo; así también tendríamos después de haber hallado kerT que kerT =(0% entonces v(T)=0 luego p(T)=2 lo cual significa que Im7 =1%* lo que implica que Tes sobreyectivo; por lo tanto T es un isomorfismo. 2.- Para la transformación lineal 7:R?>R/ T(x, y) = x+ y, después de haber hallado kerT tenemos que kerT x (9) lo cual significa que T no es monomorfismo, por lo tanto T no es isomorfismo. 3.- Para la transformación lineal T:R* >R* / T(x, y, 2) =(x,2y,0), después de haber hallado Im7 tenemos que Im7 |? lo cual significa que T no es epimorfismo, por lo tanto T no es isomorfismo. 4.- Para la transformación lineal 7 :R* > P/ T(a,b,c)=ax*+bx+c, si conocemos después de haber hallado kerT que v(T)=0 y como dim|R*=3 entonces por el teorema de la dimensión tenemos p(T)=3 y como dimP,=3 significa que Im7 =P, lo que implica que T es un epimorfismo; así también tendríamos después de haber hallado Im7 que Im7 =P, entonces p(T)=3 luego por el teorema de la dimensión tenemos v(T)=0 lo cual significa que kerT = (0% lo que implica que T es un monomorfismo; por lo tanto 7 es un isomorfismo. 5.- Para la aplicación derivada D: P, >P,_, que es una transformación lineal, después de haber hallado kerT tenemos que kerT'x(0% lo cual significa que T no es inyectiva, por lo tanto T no es isomorfismo. a 0 6.- Sea T:R—>R” / Torbo-(* >) verificar si es lineal, hallar su representación matricial, v(T), p(T) e indicar si es un isomorfismo o no justificando su respuesta. Solución que p(T)=dimV=dimW con lo cual se deduce que ImT =W, entonces tenemos que T también es epimorfismo, por lo tanto T es un isomorfismo. 3.- Como caso particular de las observaciones 1 y 2, ocurre cuando la transforma es un endomorfismo puesto que en ese caso V =W entonces dimV = dimW . 4.- De los ejemplos anteriores y en forma general tenemos que si T:V >Wes una transformación lineal tal que dimV=n<0v0 entonces T no necesariamente es un isomorfismo si v(7)=0 o equivalentemente T no necesariamente es un isomorfismo ción T si P(T)=n, es decir si T es un monomorfismo no necesariamente implica que T sea un isomorfismo algo que se ha mostrado en el ejemplo anterior, puesto que si P(T)=n eso no implica necesariamente que ImT =W. 5.- Como T es un epimorfismo si ImT =W se deduce que si dimV + dimW entonces T no puede ser un monomorfismo con lo cual tampoco será un isomorfismo, de todo ello se deduce que una condición necesaria para que T:V —>W sea un isomorfismo es que dimV =dimW. INVERSA DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Definición.- Sea la transformación lineal T:V —>V (un endomorfismo) si T es un monomorfismo (7 es inyectiva) se puede definir la transformación inversa TU V>oVIT*ST=T=T"=1 donde / es la transformación identidad. En ese caso decimos que la transformación T es invertible y se verifica que T”' también es una transformación lineal, así como también se verifica en forma general que si dimV =n<0o la representación matricial de la transformación identidad es justamente la matriz identidad / e TR””; además tenemos que si T invertible la matriz [7] que la representa también es una matriz invertible, luego como 1=[1]=[79T]= [7117] > [717 "]=1 TPEITA=ITP > 17 =17P > (1I=1TP" es decir [77'] =[7]' lo cual nos indica que la matriz que representa a 7” es la inversa de la matriz que representa a 7. Nota.- Tenemos que diferenciar en transformaciones lineales / con [7], puesto que la primera denota la transformación identidad y la segunda denota la representación matricial de esta transformación identidad. y Xx observa que es un endomorfismo puesto V =W = |K?, además en un ejemplo anterior se ha verificado que es un monomorfismo, por lo tanto esta transformación es invertible. Hallamos su inversa de la siguiente manera. Ejemplo.- Sea la transformación lineal T:IR?—>R?/ dz) el cual se u Xx x= y Sea [ ) al ) = [ ») igualando elementos obtenemos las ecuaciones v y Xx U=X=y,V=2x Resolvemos estas ecuaciones para u, ven términos de x e y. ce v De la segunda ecuación x= 3 reemplazando en la primera ecuación y despejando y tenemos v v U=ZZ=yY > y= 7-4 2 ? ? 2 Entonces tenemos que v Ort, 4 UR 2 Que también puede ser hallado considerando que la matriz de la transformación es mA 2.0 Luego como [7"']=[T]* tenemos que mar 1-0" 1fo 1 222 la 0) 21-21 Om el cual es la misma transformación T”' que ya se obtenido de otra manera. Verificamos también que 7"'+T=T+T"'=1, sólo verificaremos que T"'>T=I, de manera similar se verifica que TT! =1. iz om ' | o a Dl=.|i= entonces también Nl= .I= Para las formas matriciales de la transformación T y de su inversa T”' es evidente que se cumple que ri nl: Jar ri rm) Para el caso que (7 on ) tenemos x y cas, 7 2 rl (1 y)+ a nl) () En el siguiente teorema se establecen varias condiciones equivalentes para una transformación lineal invertible T':IR”" —>X”, en la cual se resumen muchos temas tratados hasta ahora en el curso. es decir hemos verificado que Teorema de resumen.- Sea T:K”-—>1%” una transformación lineal en [R”, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.- Tes invertible 2.- Tes inyectivo 3.- kerT = (0) 4.- ImT=R” 5.- Tes sobreyectivo 6.- La matriz [7] es inversible. 7.- det[T]+ 0 8.- El sistema de ecuaciones lineales [T]u= 0 con u e lx”, tiene sólo la solución trivial. ' EJERCICIOS DI NUCLEO E IMAGEN DE APLICACIONES LINEALES 1.- Sea la aplicación lineal G: R> R*/G(x, 9,2) =(x+ y, y +2), encontrar una base y la dimensión de: a) La imagen de G. b) El núcleo de G. 2.- Hallar una aplicación lineal F: IR? —>R* cuya imagen esté generada por (1,2,3) y (4,5,6). 3.- Hallar una aplicación lineal F:R*-—>R* cuyo núcleo esté generado por (1,2,3,4) y (0,1,1,D. 4.- Sea F:V >U lineal, demostrar que: a) La imagen de cualquier subespacio de V es un subespacio de U. b) la preimagen de cualquier subespacio de U es un subespacio de V. 5.- Las siguientes matrices determinan aplicaciones lineales de R* en R?: 12.01 10.2 -1 a)A=|2 -1 2 -1 b)B=|2 3 -1 -1 132 -2 20-53 Encontrar una base, la dimensión de la imagen y el núcleo de dichas aplicaciones. 6.- Considérense el espacio vectorial V de los polinomios reales f(t) de grado 10 o 4 menor y la aplicación lineal D*:V —>V definida por qe o sea la cuarta derivada; lt hallar una base y la dimensión de: a) La imagen de D*. b) El núcleo de D*. 7- Se definen F:iRI>R* y GILR>R/Fmy,0=0:+ y G(x,y,2)=(Qz,x—y), hallar expresiones que definan las aplicaciones F+G y 3F-2G. 8.- Se definen H:R? >kR? por H(x, y)=(y,2x), empleando las aplicaciones F y G del ejercicio anterior hallar expresiones que definan: a) H>oG y GoH. bd) F+H y F>H. c) Ho(F+G) y HoF+H>G.