transformaciones lineales, Diapositivas de Álgebra Lineal

¡Descarga transformaciones lineales y más Diapositivas en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! 1 1 Transformaciones Lineales Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile WVT en de .WV 2 • Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones, por ejemplo. • Sean espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo Una función transforma vectores de en vectores de Impondremos condiciones para que preserve las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalar, esto es, que sea equivalente sumar y multiplicar por escalar las preimágenes en como las imágenes en WV , K T V .W Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 2 3 • u • v • u+v • T(u) • T(v) • T(u) + T(v) •T(u+v) T V W • au • T(au) • aT(u) Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 4 Definición: Sean dos espacios vectoriales sobre un cuerpo es una transformación lineal de en si: Observaciones: 1) Es usual denotar con los mismos símbolos (símbolo que se omite) por escalar definidos sobre los espacios vectoriales como se hizo en la definición, que pueden ser diferentes. también se llama aplicación lineal. WV , K WVT →: V W 1) , ,u v V∀ ∈ ( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+ 2) , ,a K v V∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( )vaTavT = + y ⋅ V y W T2) la suma y el producto Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 5 9 T V W 0• • • • • • • • 0• • • • • • • • Ker T ImT Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 10 Se cumple: es un subespacio vectorial de La nulidad de es la dimensión del kernel de Se anota: es un subespacio vectorial de El rango de es la dimensión de la imagen de Se anota: .T KerT .V ,T ( )n T TIm .W T .T ( )r T Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo con Sea una transformación lineal. Entonces: WV , K dim .V < ∞ WVT →: ( ) ( )dim dim Im dimKerT T V+ = 1) 2) 3) Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 6 11 TRANSFORMACIONES LINEALES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS. Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo una transformación lineal. Entonces: es inyectiva es sobreyectiva es biyectiva WV , ,K y WVT →: 1) T { } 0VKerT⇔ = 2) T ImT W⇔ = 3) T ⇔ { }0 , ImVKerT T W= = Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 12 Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo con Sea una transformación lineal. Entonces: es inyectiva es sobreyectiva Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo una transformación lineal. Entonces: genera a genera a O sea: Si es una base de entonces WV , ,K dim , dimV n W m= = WVT →: 1) T ( ) r T n⇔ = 2) T ( ) r T m⇔ = WV , ,K y WVT →: { }nvvv ,...,, 21 V ( ) ( ) ( ){ }1 2 , ,..., nT v T v T v⇒ Im .T { }nvvv ,...,, 21 ,V ( ) ( ) ( ){ }1 2Im , ,..., nT T v T v T v= Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 7 13 Sean espacios vectoriales sobre un cuerpo Sean una base de Entonces existe una única transformación lineal O sea: una transformación lineal queda completamente determinada por sus imágenes en una base del dominio. WV , .K { }nvvv ,...,, 21 un conjunto de V y { } Wwww n ⊂,...,, 21 n vectores arbitrarios WVT →: tal que ( ) niwvT ii ,...,2,1 , == Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 14 1) T es invertible ⇔ existe 1 : /T W V− → 1 1, V WT T I T T I− − = =

Si T es invertible se dice que es un isomorfismo 2) :T V W→ transformación lineal invertible ⇒ 1 :T W V− → es transformación lineal. ( ) 1 13) T T − − = La composición de transformaciones lineales es transformación lineal. Esto es: Si son dos transformaciones lineales entonces es transformación lineal. Sea una transformación lineal, con espacios : , :T U V S V W→ → WUTS →:
:T V W→ , V W vectoriales sobre K Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 10 19
Los valores propios también se denominan valores característicos, autovalores o eigenvalores Los vectores propios también se denominan vectores característicos, autovectores o eigenvectores.
Si λ es valor propio de una matriz A, el conjunto { }/ nW v K Av v λ λ= ∈ = es subespacio vectorial de nK llamado espacio propio de A asociado al valor propio .λ (Observar que 0 ,W λ ∈ pero 0 no es vector propio de A) Si λ es valor propio de una transformación lineal T, el conjunto { }/ ( )W v V T v v λ λ= ∈ = es subespacio vectorial de V llamado espacio propio de T asociado al valor propio .λ (Observar que 0 ,W λ ∈ pero 0 no es vector propio de T) Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 20
Sea ( ) .nA M K∈ Entonces: λ es valor propio de A ⇔ Av vλ= , con 0 nK v ≠ ⇔ ( )nAv I vλ= , con 0 nK v ≠ ( nI identidad de orden )n ⇔ ( ) 0 ,nn K A I vλ− = 0 nK v ≠ ⇔ ( )det 0nA Iλ− = 11 12 1 21 22 2 1 2 0, n n n n nn a a a a a a a a a λ λ λ − − = − ⇔ … … ⋮ ⋮ ⋮ … con ( )ijA a= Los valores λ que satisfacen esta ecuación, son los valores propios de .A Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 11 21
Sea VVT →: transformación lineal. Entonces: K∈λ es valor propio de ( ) , 0 , VT v V v T v vλ⇔ ∃ ∈ ≠ = ( )( ) , 0 , 0 V V Vv V v T I vλ∃ ∈ ≠ − =⇔ VI identidad en V ( ) , 0V Vv Ker T I vλ⇔ ∈ − ≠ ( ) { }0V VKer T Iλ⇔ − ≠ Así, los vectores propios de T asociados al valor propio λ, son los vectores no nulos del kernel de la transformación lineal VT - λI . Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales A 22 POLINOMIO CARACTERISTICO. ECUACION CARACTERISTICA DE UNA MATRIZ Definición: Sea ( )nA M K∈ La matriz característica de A es la matriz .nA Iλ− El polinomio característico de es el polinomio ( ) ( )detA np A Iλ λ= − La ecuación característica de A es la ecuación ( ) ( )det 0A np A Iλ λ= − = Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 12 23
Sean ( ) ( )ij nA a M K= ∈ y ( ) ( )detA np A Iλ λ= − el polinomio característico de .A Entonces: ( ) ( ) detA np A Iλ λ= −1) es un polinomio de grado .n ( ) 2 1 0 1 2 1... n n A n np c c c c cλ λ λ λ λ − − = + + + + + 2) Los valores propios de la matriz A son las raíces de la ecuación característica de ,A esto es: Kλ∈ es un valor propio de A si y sólo si ( ) ( )det 0A np A Iλ λ= − = Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 24 3) Para determinar los valores propios de ,A debemos encontrar las raíces de su ecuación característica ( ) 0,Ap λ = ecuación de grado n que tiene n raíces reales y/o complejas, de manera que A tiene a lo más n valores propios. Dada ( ) ,nA M∈ C entonces A tiene exactamente n valores propios, no necesariamente distintos entre sí. Una matriz real, esto es, todos sus elementos son reales, es tal que su ecuación característica podría no tener raíces reales sino complejas. Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 15 , dim ,K V n= 29
Sean: V espacio vectorial sobre un cuerpo :T V V→ transformación lineal y [ ] , B A T= la matriz representativa de T relativa a alguna base B de .V Entonces: , Kλ λ∈ es valor propio de T λ⇔ es valor propio de .A
Se cumple que. 1) Si A es matriz cuadrada, entonces ( )Ap A O= donde ( ) 2 0 1 2 ... n A np A a I a A a A a A= + + + + si ( ) 2 0 1 2 ... n A np x a a x a x a x= + + + + 2) Si :T V V→ es transformación lineal, entonces ( ) 0Tp T = donde ( ) 2 0 1 2 ... n T np T a I a T a T a T= + + + + si ( ) 2 0 1 2 ... n T np x a a x a x a x= + + + + Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 30 MATRICES SIMILARES Definición: Sean ,A B matrices de orden .n B se dice similar ( o semejante ) a A si existe matriz P de orden ,n invertible, tal que: 1B P AP− = 1) La similaridad es una relación de equivalencia, en el conjunto ( ) ,nM K esto es: A es similar a .A • Si B es similar a ,A entonces A es similar a .B • Si A es similar a B y B es similar a ,C entonces A es similar a C ( Por el segundo punto, podemos decir que A y B son similares ). • Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 16 31 2) Como: 1B P AP− = ⇔ ,PB AP= 1)entonces: A y B son semejantes ⇔ existe P matriz invertible de .PB AP= La ventaja de esta equivalencia es que sólo se requiere conocer que P es invertible y no calcularla. 3) Sean BA, matrices de orden ,n 1)similares entonces: y A B tiene el mismo polinomio característico y los mismos valores propios. 4) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo ,K de dimensión finita ,n y sean , 'A A dos matrices n n× sobre .K Entonces: , 'A A son similares si y solo si , 'A A representan a la misma transformación lineal :T V V→ relativo a bases diferentes de .V orden n tal que: Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 32 DIAGONALIZACION
Para A matriz cuadrada, nos interesa saber si existe una matriz similar a A, que sea diagonal.
Si :T V V→ es una transformación lineal, con V espacio vectorial, nos interesa saber si existe una base de V de modo que la matriz asociada a T en esa base sea matriz diagonal.
Mostraremos que esto no siempre es posible y determinaremos condiciones para que lo sea. Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 17 33 ¿Pero, por qué interesa que estas matrices sean diagonales? Recordemos que una matriz diagonal ( )ijD d= de orden n es tal que todos los elementos de D fuera de la diagonal principal son ceros: 11 22 0 0 0 0 0 0 nn d d D d      =        … … ⋮ ⋮ ⋮ … Se puede anotar: ( )11 22, ,..., nnD diag d d d= Cumple con lo siguiente: 1) Si ( )11 22' ' , ' ,..., 'nnD diag d d d= es otra matriz diagonal entonces 'DD también es matriz diagonal de orden ,n y el producto es: ( )11 11 22 22' ' , ' ,..., 'nn nnDD diag d d d d d d= Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales 34 11 22det ... nnD d d d=2) 11 22det ... , k k k k nnD d d d= donde ( )11 22, ,..., k k k k nnD diag d d d= D3) es invertible si y solo si para todo0, 1,2,...,iid i n≠ = Más aún, en este caso: ( )1 11 221/ ,1/ ,...,1/ nnD diag d d d− = 4) Los valores propios de la matriz diagonal D son los elementos de la diagonal principal. Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Transformaciones Lineales