transformaciones lineales, Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga transformaciones lineales y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Universidad Nacional de Cuyo Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción al Algebra Lineal Unidad 5: Transformaciones lineales Transformaciones lineales Definición Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un mismo cuerpo IR, una función f definida de V en W, se dice que es una transformación, aplicación, función lineal u homomorfismo de espacios vectoriales si para cualesquiera dos vectores u y v de V, y para todo escalar λ de IR, se verifica: f(u + v) = f(u) + f(v) f(λu) = λf(u) En el caso en que V = W se dice que f es un endomorfismo de espacios vectoriales. Las dos condiciones de la definición anterior se pueden sintetizar en una sola, diciendo que f es una transformación lineal si y solo si para cualesquiera dos vectores u1 y u2 de V, y para los escalares k1 y k2 de IR, se verifica: f(k1u1 + k2u2) = k1f(u1) + k2f(u2) Es decir, cuando la imagen de una combinación lineal de vectores de V, sea igual a la combinación lineal de las imágenes de cada uno de ellos. De modo análogo, dados dos espacios vectoriales V y W sobre un mismo cuerpo IR, si f definida de V en W es una transformación lineal, entonces para u1, u2,…, un vectores de V y k1, k2, …, kn escalares de IR, se verifica: f(k1u1 + k2u2 +…+ knun) = k1f(u1) + k2f(u2)+ …+ knf(un) Ejemplos  Toda función f: IR → IR dada por f(x) = a·x, siendo a ∈ IR, es una transformación lineal.  La función nula f : V → V definida por f(v) = 0⃗ es una transformación lineal.  La función definida de Mnxn(IR) en IR que hace corresponder a cada matriz cuadrada su traza, es una transformación lineal.  Sugerencia: realizar los Ejercicios 1 y 2. Teorema Dados dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo IR, si f de V en W es una transformación lineal, entonces: a) f( 0⃗ ) = 0⃗ b) f(- v) = - f(v) , para todo v de V c) f(v - w) = f(v) - f(w), para todo v y w de V 1 Universidad Nacional de Cuyo Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción al Algebra Lineal Demostración Sea v un vector cualquiera de V, debido a que 0. v = 0⃗ , se tiene: f( 0⃗ ) = f(0.v) = 0.f(v) = 0⃗ , lo que prueba a) también se verifica que: f(-v) = f((-1).v) = (-1).f(v) = -f(v), lo cual prueba b) por ultimo v - w = v + (-1).w, por lo tanto: f(v – w) = f(v + (-1).w) = f(v) + (-1).f(w) = f(v) - f(w), y se comprueba c). Definición  Si f de V en W es una transformación lineal que es inyectiva, entonces f recibe el nombre de monomorfismo.  Si f de V en W es una transformación lineal que es suryectiva, entonces f recibe el nombre de epimorfismo.  Si f de V en W es una transformación lineal que es biyectiva, entonces f recibe el nombre de isomorfismo.  Si f de V en V es una transformación lineal, entonces f recibe el nombre de endomorfismo.  Si f de V en V es una transformación lineal que es biyectiva, entonces f recibe el nombre de automorfismo. Núcleo e Imagen de una transformación lineal Definición Si f de V en W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores de V tales que su imagen por f sea el vector nulo de W, recibe el nombre de conjunto núcleo o kernel de f. V f W N(f) u 0⃗ Al conjunto núcleo o ker de f, se lo puede representar como ker(f) o N(f), es decir: N(f) = { u / u ϵ V, f(u) = 0⃗ , 0⃗ ϵ W } Definición Si f de V en W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores de W que son imágenes de los vectores de V por f, recibe el nombre de conjunto recorrido o imagen de la transformación. V f W Im(f) u f(u) = v 2 Universidad Nacional de Cuyo Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción al Algebra Lineal Dada una transformación lineal f definida de V en W, si S es una familia generatriz de V, entonces el conjunto formado por las imágenes de los vectores de S, es una familia generatriz del conjunto Im(f). Demostración Sea S = {u1, u2,...,ur} es una familia generatriz de V , entonces f∗(S) = {f(u1),f(u2),...,f(ur)} es una familia de W. Si v ∈ Im(f), se debe que probar que es posible expresar a v como combinación lineal de los vectores de f∗(S). Ya que v ∈ Im(f), significa que existe un vector u ∈ V, tal que f(u) = v. Pero por hipótesis, S es una familia generatriz de V, luego se puede suponer que u = λ1u1 + λ2u2 + ... + λrur. Por la linealidad de f: v = f(u) = f(λ1u1 + λ2u2 + ... + λrur) = λ1f(u1) + λ2f(u2) + ... + λrf(ur), Luego v = λ1f(u1) + λ2f(u2) + ... + λrf(ur), lo cual indica que f∗(S) genera a Im(f). Teorema de la dimensión Si f es una transformación lineal definida de un espacio vectorial V de dimensión n, en un espacio vectorial W de dimensión m, entonces la suma de la dimensión del conjunto imagen de f y la dimensión del núcleo de f es igual a la dimensión del espacio V, es decir: dim(Im(f)) + dim(N(f)) = dim(V) rango(f) + nulidad(f) = n Demostración Si f es una transformación lineal definida de un espacio vectorial V de dimensión n, en un espacio vectorial W de dimensión m, se debe demostrar que: dim(Im(f)) + dim(N(f)) = dim(V) = n Se hará la demostración para el caso en que 1 ≤ dim(N(f)) < n. Los casos en que dim(N(f)) = 0 y dim(N(f)) = n se dejan como ejercicios. Suponiendo que dim(N(f)) = r, B= {u1, u2, … ,ur} una base del N(f), y el conjunto ampliado S = {u1, u2, … ,ur, ur+1, ..., un} es una base para V. Por el teorema anterior, el conjunto f∗(S) = {f(u1), f(u2),...,f(ur), f(ur+1),...,f(un)} = { 0⃗ , f(ur+1),...,f(un)} es un sistema de generadores para Im(f). Entonces, para demostrar la proposición, simplemente hay que razonar que el conjunto f∗(S) = {f(ur+1),...,f(un)} } es una familia libre (sus vectores son linealmente independientes), y por tanto forman una base para el conjunto Im(f). Considerando la combinación trivial: kr+1f(ur+1) +...+ knf(un) = 0⃗ , se debe demostrar que kr+1=...= kn = 0 Por la linealidad de f: kr+1f(ur+1) +...+ knf(un) = f(kr+1.ur+1) +...+ f(kn.un) = f(kr+1.ur+1+...+ kn.un) = 0⃗ , con lo cual kr+1.ur+1+...+ kn.un pertenece al N(f), y se puede escribir este vector como combinación lineal de los vectores de la base B, por ejemplo: kr+1.ur+1+...+ kn.un = k1.u1+...+ kr.ur 5 Universidad Nacional de Cuyo Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción al Algebra Lineal Por consiguiente: k1.u1+...+ kr.ur - kr+1.ur+1 -...- kn.un = 0⃗ Supuesto que S = {u1, u2,…,ur, ur+1,..., un} es una base para V, sus vectores son linealmente independientes, todos los escalares son nulos, en particular kr+1=...= kn = 0, lo cual completa la demostración.  Sugerencia: realizar el Ejercicio 11. Teorema Para toda transformación lineal f definida de un espacio vectorial V, en un espacio vectorial W, son equivalentes las siguientes proposiciones: a) La función f es suryectiva. b) Si S es una familia generatriz de V entonces f∗(S) es una familia generatriz de W. Demostración a) ⇒ b) Considerando el Teorema que dice que: si S es una familia generatriz de V, entonces el conjunto formado por las imágenes de los vectores de S, es una familia generatriz del conjunto Im(f); y si además la función f es suryectiva, se verifica que Im(f) = W, luego f∗(S) es una familia generatriz de W. b) ⇒ a) Ya que todo espacio vectorial V tiene al menos una base B, y por tanto un conjunto de generadores, aplicando la hipótesis resulta que f∗(B) es un conjunto de generadores para W. De nuevo, según el Teorema anterior, f∗(B) es siempre un conjunto de generadores para Im(f). Como conclusion, W = Im(f) y por tanto f es suryectiva. Teorema Para toda transformación lineal f definida de un espacio vectorial V, en un espacio vectorial W, son equivalentes las siguientes afirmaciones: a) La función f es inyectiva. b) N(f) = { 0⃗ }. c) Para toda familia S libre de V, resulta que f∗(S) es una familia libre de W. Demostración a) ⇒ b) Si u es un vector que pertenece al N(f) , se cumple que f(u) = 0⃗ . Como f es transformación lineal se cumple que f( 0⃗ ) = 0⃗ , y como f es inyectiva, f(u) = f( 0⃗ ) = 0⃗ , luego u = 0⃗ , por lo tanto N(f) = { 0⃗ }. b) ⇒ c) 6 Universidad Nacional de Cuyo Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Introducción al Algebra Lineal Si N(f) = { 0⃗ } y S = {u1, u2, … ,ur, ….} una familia libre de vectores de V, entonces hay que probar que el conjunto f∗(S) = {f(u1), f(u2),...,f(ur),...} es una familia libre de vectores de W. Dada la combinación trivial de los vectores del conjunto f∗(S): k1f(u1) +...+ knf(un) = 0⃗ por linealidad de f: (k1.u1) +...+ f(kn.un) = f(k1.u1+...+ kn.un) = 0⃗ es decir que el vector k1.u1+...+ kn.un pertenece al N(f), y ya que N(f) = { 0⃗ }, esto implica que k1.u1+...+ kn.un = 0⃗ Pero los vectores u1, u2, … ,ur son linealmente independientes por hipótesis, luego k1= k2=…=kr =0 Luego el conjunto f∗(S) es una familia libre de W. c) ⇒ a) Si para toda familia S libre de V, resulta que f∗(S) es una familia libre de W, entonces hay que probar que la función f es inyectiva, es decir si f(u) = f(v), hay que deducir que u = v. La hipótesis f(u) = f(v) se puede reescribir de modo equivalente como f(u − v) = 0⃗ . La única posibilidad de que esta hipótesis sea compatible con la proposición c), es que u−v = 0 , pues de lo contrario, la función f transformaría el conjunto linealmente independiente {u − v} formado por un solo vector no nulo, en el conjunto { 0⃗ }, que es linealmente dependiente. Luego u−v = 0, es decir u = v y por tanto la función f es inyectiva. En el caso particular en el que dim ( V ) = dim (W) = n, se verifica el siguiente Corolario: Para dos espacios vectoriales V y W sobre IR, ambos de dimensión n, y una transformación lineal f definida de V en W, son equivalentes las siguientes proposiciones: a) la función f es biyectiva. b) la función f transforma una base para V en una base para W. c) la función f es un isomorfismo de espacios vectoriales. Teorema Toda transformación lineal queda totalmente definida o determinada en cuanto se conocen las imágenes de los vectores de una base del espacio vectorial dominio. Demostración Dados V y W dos espacios vectoriales sobre IR, y B = {v1, v2,...,vn} una base de V . Sea f definida de V en W una función lineal tal que se conoce que: f(v1) = u1, f(v2) = u2 ,…., f(vn) = un. . Puesto que B es una base de V, cualquier vector v de V se puede expresar como combinación lineal de los vectores de B. Si las componentes de v en la base B son v = (λ1, λ2,...,λn), es decir, v = λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn . La imagen de v por la función f es: f(v) = f (λ1v1 + λ2v2 + ... + λnvn ) por la linealidad de f: f(v) = f (λ1v1 ) + f (λ2v2 ) + ... + f (λnvn ) 7