Transformaciones Lineales, Diapositivas de Álgebra Lineal

¡Descarga Transformaciones Lineales y más Diapositivas en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Dados los vectores de R², y sus coordenadas en la base B 𝑢 = 5 2 , 𝑣 = 7 1 , 𝑢𝐵 = 3 2 ;𝑣𝐵 = 5 3 . 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 Una base B de R² tiene dos vectores 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2 𝑢𝐵 = 3 2 :3 𝑣1+2 𝑣2=(5,2); 𝑣𝐵 = 5 3 : 5 𝑣1+3 𝑣2=(7,1) 𝑣2= 4 7 ; 𝑣1= −1 −4 → 𝐵 = −1 −4 , 4 7 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 1 TRANSFORMACIONES LINEALES VALORES Y VECTORES PROPIOS 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 2 Las transformaciones lineales tienen una gran cantidad de aplicaciones importantes, como: Circuitos eléctricos con m mallas y n fuentes de voltaje. Las coordenadas de un punto en la pantalla del display que son función de las coordenadas del punto en el mundo real y las del observador. Una empresa puede concebirse como un objeto que relaciona un conjunto de entradas (capital, productividad de los operarios, parámetros de operación , inventarios, etc.) con un conjunto de salidas o resultados (producción, ganancias, capital, etc.). 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 5 TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICIALES TEOREMA Sea A una matriz de orden mxn, entonces la transformación matricial T:Rn →Rm definida por: T(x) = ATx, xRn es una transformación lineal. TEOREMA T : Rn → Rm es una transformación lineal  T es una transformación matricial. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 6 PROPIEDADES: Si T es una T.L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1) 2) 3) ... ... v w n n n n T T a b aT bT T a a a aT a T a T = + = + + + + = + + + 0 0 v v v v v v v v v v TEOREMA. Sea 𝑨 una matriz fija de orden 𝒎𝒙𝒏. Entonces 𝑻:𝑹𝒏 → 𝑹𝒎 definida por 𝑻 𝑿 = AT𝑿 es una transformación lineal. 𝑿 ∈ 𝑹𝒏 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 7 1) Si T : R2 → R3 es una T.L / T(1,2)=(1,0,-1); T(2,1)=(2,1,-2) hallar T(x,y). Solución. (x,y)=r(1,2)+s(2,1)…i→(r,s)=((2y-x)/3,(2x-y)/3) en i (x,y)= (2y-x)/3 (1,2)+ (2x-y)/3 (2,1)→T (x,y)= (2y-x)/3 T(1,2)+ (2x-y)/3 T(2,1)=(x, (2x-y)/3 ,-x) 2) Si T : R3 → R2 es una T.L / T(0,-1,1)=(1,2); T(1,-1,0)=(3,4) y T(1,0,0)=(5,6) hallar T(x,y,z). 3) Escriba la matriz estandar de las siguientes transformaciones lineales y determine la imagen del punto dado. i) T : R2 → R2 / T(x,y)=(2x,x-y); P(-2,7). ii) T : R3 → R3 / T(x,y,z)=(2y+z,x-3z,5x+4y); P(-3,2,-5). 4) Sea T : R3 → P2 / T(1,1,0)=x2 ; T(1,0,1,)=1+x ; T(0,1,1)=1-x2 i) Determine T(a,b,c) ii) Determine la matriz AT referida a las bases canónicas. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 10 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 11 5) Si T : R2 → R3 es una T.L / T(1,2)=(1,0,-1); T(2,1)=(2,1,-2) hallar T(x,y). 6) Si T : R3 → R2 es una T.L / T(0,-1,1)=(1,2); T(1,-1,0)=(3,4) y T(1,0,0)=(5,6) hallar T(x,y,z). TEOREMA: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal en el que 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 𝑛 y 𝑑𝑖𝑚 𝑊 = 𝑚, entonces existe una matriz A de orden 𝑚𝑥𝑛, tal que 𝑇 𝑋 = AT𝑋, ∀𝑋 ∈ 𝑉 . 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 12 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 15 𝐴𝑇 = −1 2 1 3 2 1 1 0 𝑇𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 = −1 2 1 3 2 1 1 0 𝑥 𝑦 𝑧 = −𝑥 2 + 𝑦 + 3 2 𝑧 𝑥 + 𝑦 b)¿𝑋𝑉 , 𝑋𝑉 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉 = −2 2 −2 𝑉 ? −2 2 −2 = 𝑟 1 1 1 +s 2 2 0 +t 3 0 0 → 𝑟 = −2; 𝑠 = 2; 𝑡 = −4 3 −2 2 −2 𝑉 = −2 2 −4 3 ∈ 𝑔𝑒𝑛 𝑉 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 16 𝑇𝑉 −2 2 −4 3 = 2 2 + 2 + 3 2 −4 3 −2 + 2 = 1 0 c) SOLUCIÓN: a) Sean 𝑣1 = 1,1,1, , 𝑣2 = 2,2,0 , 𝑣 3 = 3,0,0 y 𝑤1 = 2,0 ,𝑤2 = 0,2 , entonces: 𝑇 𝑣1 = −1,2 = 𝑎11 2,0 + 𝑎21 0,2 𝑇 𝑣2 = 2,2 = 𝑎12 2,0 + 𝑎22 0,2 𝑇 𝑣3 = 3,0 = 𝑎13 2,0 + 𝑎23 0,2 luego: 𝑨 = Τ−𝟏 𝟐 𝟏 Τ𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 es la matriz de transformación lineal 𝑻,respecto de las bases 𝑽 y 𝑾 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 17 NÚCLEO O KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sea T:V →W una Transformación Lineal Definición 1: Definición 2: ( ) ( ) Ker / WT V T=  =v v 0 ( ) ( ) Img / para algún T W T V=  = w w v v 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 20 REPRESENTACIÓN EN DIAGRAMA DE VENN T:V →W Ker (T) Img(T) V W 0 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 21 Ejemplo: 1. Sea 𝑻: 𝑽 = 𝑹𝟑 → 𝑾 = 𝑹𝟑 la transformación lineal, definida por: 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙 − 𝒚, 𝟐𝒛 − 𝒚, 𝒙 − 𝟐𝒛 Entonces: 𝐤𝒆𝒓 𝑻 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ Τ𝑹𝟑 𝒙 − 𝒚, 𝟐𝒛 − 𝒚, 𝒙 − 𝟐𝒛 = (𝟎, 𝟎, 𝟎) = 𝟐𝒛, 𝟐𝒛, 𝒛 ∕ 𝒛 ∈ 𝑹 = 𝓛 𝟐, 𝟐, 𝟏 . 𝑰𝒎 𝑻 = Τ𝒙 − 𝒚, 𝟐𝒛 − 𝒚, 𝒙 − 𝟐𝒛 𝒙 , 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑹 = 𝒙 𝟏, 𝟎, 𝟏 + 𝒚 −𝟏,−𝟏, 𝟎 + Τ𝒛 𝟎, 𝟐,−𝟐 𝒙 , 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑹 = 𝓛 𝟏, 𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟏, 𝟎 . También puede probarse que: 𝑰𝒎 𝑻 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ Τ𝑹𝟑 𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟎 . 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 22 2. Sea 𝑻:𝑹𝟒 → 𝑹𝟒 la transformación lineal, definida por: 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛,𝒘 = ( ) −𝒙 − 𝟕𝒚 − 𝒛, 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 −𝒘, 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟒𝒘, 𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟑𝒘 . Halle el núcleo y la imagen de T, halle una base para cada uno de estos subespacios y verifique el teorema de las dimensiones. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 25 V W x=y+z…Im(T) T .(1,-2,5) .T(1,-2,5)= (3,12,-9) T 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 26 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 = −𝑥 − 7𝑦 − 𝑧 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 𝑤 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 4𝑤 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 3𝑤 Nu(T)=r 2 −1 5 5 ; 𝑟 ∈ 𝑅 Im(T):z=w+y TEOREMA Si es una transformación lineal, entonces: a) El núcleo de T es un subespacio de V. b) La imagen de T es un subespacio de W WVT →: 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 27 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 30 𝑆𝑒𝑎 𝑇: 𝑃2 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇 𝑝 𝑥 = 𝑝 1 2 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝐼𝑚 𝑇 Solución 𝐼𝑚 𝑇 = 𝑟 ∈ 𝑅: 𝑟 = 𝑇 𝑝 𝑥 = 𝑝( 1 2 ), 𝑝 𝑥 ∈ 𝑃2 ∁𝑅 𝑝 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅;r=𝑝 1 2 =𝑎 + 𝑏 1 2 +c 1 4 r=𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 4 , r ∈ 𝑅 R:Im(T) Dim(𝑃2)=3, Dim(I(T))=1 Nu(T)= 𝑝 𝑥 ∈ 𝑃2: 𝑇 𝑝 𝑥 = 𝑝 1 2 = 0,0 ∈ 𝑅 ∁𝑃2 𝑝 1 2 = 0↔ 𝑝 1 2 = 𝑎 + 𝑏( 1 2 ) + 𝑐( 1 2 )2=0 ↔ 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 4 =0 c=-4a-2b→ 𝑝 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥 − 4𝑎 + 2𝑏 𝑥2 𝑝 𝑥 = 𝑎 1 − 4𝑥2 + 𝑏 𝑥 − 2𝑥2 …𝑁𝑢(𝑇) 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 31 𝐵 = 1 − 4𝑥2, 𝑥 − 2𝑥² Dim(Nu(T))=2 Dim (Nu(T))+Dim(Im(T)=Dim(𝑃2) VALORES Y VECTORES PROPIOS Definición: Sea A una matriz de orden n. El número  se llama valor propio de A si existe un vector v de Rn, no nulo, llamado vector propio de A, tal que: Av = v. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 32 Av= v =2 es un valor propio de A porque:             =                  1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 1           = 200 000 001 A EJEMPLO 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 35 POLINOMIO Y ECUACION CARACTERÍSTICA Sea Anxn y v no nulo, tal que Av = v, entonces: P() = det (A – I) Polinomio característico det (A – I) = 0 Ecuación característica 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 36 PROCEDIMIENTO PARA HALLAR VALORES Y VECTORES PROPIOS 1. Halle las raíces de P() = det (A - I) = 0. Estas constituyen los valores propios. 2. Para determinar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A - I)v = 0, correspondiente a cada valor propio. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 37 DIAGONALIZACION DE MATRICES Definición Una matriz A de orden n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D y una matriz inversible P tal que: D = P-1 AP 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 40 TEOREMA Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo tiene n vectores propios L.I. En tal caso, la matriz diagonal D que es semejante a A: 1)Tiene la diagonal conformada por los valores propios de A. 2) P es una matriz cuyas columnas son los vectores propios L.I de A, entonces D = P-1AP. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 41           = 201 051 102 A EJEMPLO ( )       = − + − + = = = 3 2: 9 23 15 1, 3, 5 P Matriz Diagonal: 5 0 0 0 3 0 0 0 1 D     =      Matriz de transición 0 2 4 1 1 1 0 2 4 P     = − −    −  10/08/2021 NOLAN JARA JARA 42 OBSERVACION si A es diagonalizable, se tiene que: P-1AP=D A=PDP-1 Ak=PDkP-1 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 45 EJEMPLO Hallar una matriz P tal que: 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 46          − =           − − − 100 010 002 . 200 210 101 .1 PP           −= 003 012 101 P Solución. EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Si A es una matriz cuadrada de orden n y p(λ) es su polinomio característico, entonces p(A)=0 (matriz nula) Ejemplo: 1)Verifique el TCH para la matriz 1 2 2 1 A   =     2) Una matriz A de orden 3 tiene polinomio característico ( ) 3 29 2 1p = − + − +    Use el TCH para determinar 1A− 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 47 EJEMPLO: Dada la matriz 𝑨 = 𝟓 𝟒 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Hallar los valores y los espacios característicos de 𝑨. Solución: Hallamos los autovalores o valores propios, para ello debemos determinar las raíces del polinomio característico 𝑝 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 , es decir resolvemos la ecuación 𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0. Los auto valores son: 𝜆1 = 1 = 𝜆2; 𝜆3 = 10. Resolver la ecuación lineal homogénea 𝐴 − 𝜆𝑖𝐼 Ԧ𝑣 = 0 que corresponde a cada valor propio o autovalor 𝜆𝑖 . El espacio característico de 𝐴 correspondiente a 𝜆 = 1 es 𝐸1 = 1 0 −2 , 0 1 −2 , el espacio característico de 𝐴 orrespondiente a 𝜆 = 10 es 𝐸10 = 2 2 1 . 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 50 Dados los vectores de R², y sus coordenadas en la base B 𝑢 = 5 2 , 𝑣 = 7 1 , 𝑢𝐵 = 3 2 ;𝑣𝐵 = 5 3 . 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵. 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 Una base B de R² tiene dos vectores 𝐵 = 𝑣1, 𝑣2 𝑢𝐵 = 3 2 :3 𝑣1+2 𝑣2=(5,2); 𝑣𝐵 = 5 3 : 5 𝑣1+3 𝑣2=(7,1) 𝑣2= 4 7 ; 𝑣1= −1 −4 → 𝐵 = −1 −4 , 4 7 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 1 TRANSFORMACIONES LINEALES VALORES Y VECTORES PROPIOS 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 2 Las transformaciones lineales tienen una gran cantidad de aplicaciones importantes, como: Circuitos eléctricos con m mallas y n fuentes de voltaje. Las coordenadas de un punto en la pantalla del display que son función de las coordenadas del punto en el mundo real y las del observador. Una empresa puede concebirse como un objeto que relaciona un conjunto de entradas (capital, productividad de los operarios, parámetros de operación , inventarios, etc.) con un conjunto de salidas o resultados (producción, ganancias, capital, etc.). 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 5 TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICIALES TEOREMA Sea A una matriz de orden mxn, entonces la transformación matricial T:Rn →Rm definida por: T(x) = ATx, xRn es una transformación lineal. TEOREMA T : Rn → Rm es una transformación lineal  T es una transformación matricial. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 6 PROPIEDADES: Si T es una T.L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1) 2) 3) ... ... v w n n n n T T a b aT bT T a a a aT a T a T = + = + + + + = + + + 0 0 v v v v v v v v v v TEOREMA. Sea 𝑨 una matriz fija de orden 𝒎𝒙𝒏. Entonces 𝑻:𝑹𝒏 → 𝑹𝒎 definida por 𝑻 𝑿 = AT𝑿 es una transformación lineal. 𝑿 ∈ 𝑹𝒏 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 7 1) Si T : R2 → R3 es una T.L / T(1,2)=(1,0,-1); T(2,1)=(2,1,-2) hallar T(x,y). Solución. (x,y)=r(1,2)+s(2,1)…i→(r,s)=((2y-x)/3,(2x-y)/3) en i (x,y)= (2y-x)/3 (1,2)+ (2x-y)/3 (2,1)→T (x,y)= (2y-x)/3 T(1,2)+ (2x-y)/3 T(2,1)=(x, (2x-y)/3 ,-x) 2) Si T : R3 → R2 es una T.L / T(0,-1,1)=(1,2); T(1,-1,0)=(3,4) y T(1,0,0)=(5,6) hallar T(x,y,z). 3) Escriba la matriz estandar de las siguientes transformaciones lineales y determine la imagen del punto dado. i) T : R2 → R2 / T(x,y)=(2x,x-y); P(-2,7). ii) T : R3 → R3 / T(x,y,z)=(2y+z,x-3z,5x+4y); P(-3,2,-5). 4) Sea T : R3 → P2 / T(1,1,0)=x2 ; T(1,0,1,)=1+x ; T(0,1,1)=1-x2 i) Determine T(a,b,c) ii) Determine la matriz AT referida a las bases canónicas. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 10 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 11 5) Si T : R2 → R3 es una T.L / T(1,2)=(1,0,-1); T(2,1)=(2,1,-2) hallar T(x,y). 6) Si T : R3 → R2 es una T.L / T(0,-1,1)=(1,2); T(1,-1,0)=(3,4) y T(1,0,0)=(5,6) hallar T(x,y,z). TEOREMA: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal en el que 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 𝑛 y 𝑑𝑖𝑚 𝑊 = 𝑚, entonces existe una matriz A de orden 𝑚𝑥𝑛, tal que 𝑇 𝑋 = AT𝑋, ∀𝑋 ∈ 𝑉 . 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 12 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 15 𝐴𝑇 = −1 2 1 3 2 1 1 0 𝑇𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 = −1 2 1 3 2 1 1 0 𝑥 𝑦 𝑧 = −𝑥 2 + 𝑦 + 3 2 𝑧 𝑥 + 𝑦 b)¿𝑋𝑉 , 𝑋𝑉 = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉 = −2 2 −2 𝑉 ? −2 2 −2 = 𝑟 1 1 1 +s 2 2 0 +t 3 0 0 → 𝑟 = −2; 𝑠 = 2; 𝑡 = −4 3 −2 2 −2 𝑉 = −2 2 −4 3 ∈ 𝑔𝑒𝑛 𝑉 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 16 𝑇𝑉 −2 2 −4 3 = 2 2 + 2 + 3 2 −4 3 −2 + 2 = 1 0 c) SOLUCIÓN: a) Sean 𝑣1 = 1,1,1, , 𝑣2 = 2,2,0 , 𝑣 3 = 3,0,0 y 𝑤1 = 2,0 ,𝑤2 = 0,2 , entonces: 𝑇 𝑣1 = −1,2 = 𝑎11 2,0 + 𝑎21 0,2 𝑇 𝑣2 = 2,2 = 𝑎12 2,0 + 𝑎22 0,2 𝑇 𝑣3 = 3,0 = 𝑎13 2,0 + 𝑎23 0,2 luego: 𝑨 = Τ−𝟏 𝟐 𝟏 Τ𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 es la matriz de transformación lineal 𝑻,respecto de las bases 𝑽 y 𝑾 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 17 NÚCLEO O KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sea T:V →W una Transformación Lineal Definición 1: Definición 2: ( ) ( ) Ker / WT V T=  =v v 0 ( ) ( ) Img / para algún T W T V=  = w w v v 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 20 REPRESENTACIÓN EN DIAGRAMA DE VENN T:V →W Ker (T) Img(T) V W 0 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 21 Ejemplo: 1. Sea 𝑻: 𝑽 = 𝑹𝟑 → 𝑾 = 𝑹𝟑 la transformación lineal, definida por: 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙 − 𝒚, 𝟐𝒛 − 𝒚, 𝒙 − 𝟐𝒛 Entonces: 𝐤𝒆𝒓 𝑻 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ Τ𝑹𝟑 𝒙 − 𝒚, 𝟐𝒛 − 𝒚, 𝒙 − 𝟐𝒛 = (𝟎, 𝟎, 𝟎) = 𝟐𝒛, 𝟐𝒛, 𝒛 ∕ 𝒛 ∈ 𝑹 = 𝓛 𝟐, 𝟐, 𝟏 . 𝑰𝒎 𝑻 = Τ𝒙 − 𝒚, 𝟐𝒛 − 𝒚, 𝒙 − 𝟐𝒛 𝒙 , 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑹 = 𝒙 𝟏, 𝟎, 𝟏 + 𝒚 −𝟏,−𝟏, 𝟎 + Τ𝒛 𝟎, 𝟐,−𝟐 𝒙 , 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑹 = 𝓛 𝟏, 𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟏, 𝟎 . También puede probarse que: 𝑰𝒎 𝑻 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ Τ𝑹𝟑 𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟎 . 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 22 2. Sea 𝑻:𝑹𝟒 → 𝑹𝟒 la transformación lineal, definida por: 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛,𝒘 = ( ) −𝒙 − 𝟕𝒚 − 𝒛, 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 −𝒘, 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝟒𝒘, 𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟑𝒘 . Halle el núcleo y la imagen de T, halle una base para cada uno de estos subespacios y verifique el teorema de las dimensiones. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 25 V W x=y+z…Im(T) T .(1,-2,5) .T(1,-2,5)= (3,12,-9) T 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 26 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 = −𝑥 − 7𝑦 − 𝑧 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 𝑤 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 − 4𝑤 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 3𝑤 Nu(T)=r 2 −1 5 5 ; 𝑟 ∈ 𝑅 Im(T):z=w+y TEOREMA Si es una transformación lineal, entonces: a) El núcleo de T es un subespacio de V. b) La imagen de T es un subespacio de W WVT →: 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 27 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 30 𝑆𝑒𝑎 𝑇: 𝑃2 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇 𝑝 𝑥 = 𝑝 1 2 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝐼𝑚 𝑇 Solución 𝐼𝑚 𝑇 = 𝑟 ∈ 𝑅: 𝑟 = 𝑇 𝑝 𝑥 = 𝑝( 1 2 ), 𝑝 𝑥 ∈ 𝑃2 ∁𝑅 𝑝 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅;r=𝑝 1 2 =𝑎 + 𝑏 1 2 +c 1 4 r=𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 4 , r ∈ 𝑅 R:Im(T) Dim(𝑃2)=3, Dim(I(T))=1 Nu(T)= 𝑝 𝑥 ∈ 𝑃2: 𝑇 𝑝 𝑥 = 𝑝 1 2 = 0,0 ∈ 𝑅 ∁𝑃2 𝑝 1 2 = 0↔ 𝑝 1 2 = 𝑎 + 𝑏( 1 2 ) + 𝑐( 1 2 )2=0 ↔ 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 4 =0 c=-4a-2b→ 𝑝 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥 − 4𝑎 + 2𝑏 𝑥2 𝑝 𝑥 = 𝑎 1 − 4𝑥2 + 𝑏 𝑥 − 2𝑥2 …𝑁𝑢(𝑇) 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 31 𝐵 = 1 − 4𝑥2, 𝑥 − 2𝑥² Dim(Nu(T))=2 Dim (Nu(T))+Dim(Im(T)=Dim(𝑃2) VALORES Y VECTORES PROPIOS Definición: Sea A una matriz de orden n. El número  se llama valor propio de A si existe un vector v de Rn, no nulo, llamado vector propio de A, tal que: Av = v. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 32 Av= v =2 es un valor propio de A porque:             =                  1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 1           = 200 000 001 A EJEMPLO 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 35 POLINOMIO Y ECUACION CARACTERÍSTICA Sea Anxn y v no nulo, tal que Av = v, entonces: P() = det (A – I) Polinomio característico det (A – I) = 0 Ecuación característica 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 36 PROCEDIMIENTO PARA HALLAR VALORES Y VECTORES PROPIOS 1. Halle las raíces de P() = det (A - I) = 0. Estas constituyen los valores propios. 2. Para determinar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A - I)v = 0, correspondiente a cada valor propio. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 37 DIAGONALIZACION DE MATRICES Definición Una matriz A de orden n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D y una matriz inversible P tal que: D = P-1 AP 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 40 TEOREMA Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo tiene n vectores propios L.I. En tal caso, la matriz diagonal D que es semejante a A: 1)Tiene la diagonal conformada por los valores propios de A. 2) P es una matriz cuyas columnas son los vectores propios L.I de A, entonces D = P-1AP. 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 41           = 201 051 102 A EJEMPLO ( )       = − + − + = = = 3 2: 9 23 15 1, 3, 5 P Matriz Diagonal: 5 0 0 0 3 0 0 0 1 D     =      Matriz de transición 0 2 4 1 1 1 0 2 4 P     = − −    −  10/08/2021 NOLAN JARA JARA 42 OBSERVACION si A es diagonalizable, se tiene que: P-1AP=D A=PDP-1 Ak=PDkP-1 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 45 EJEMPLO Hallar una matriz P tal que: 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 46          − =           − − − 100 010 002 . 200 210 101 .1 PP           −= 003 012 101 P Solución. EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Si A es una matriz cuadrada de orden n y p(λ) es su polinomio característico, entonces p(A)=0 (matriz nula) Ejemplo: 1)Verifique el TCH para la matriz 1 2 2 1 A   =     2) Una matriz A de orden 3 tiene polinomio característico ( ) 3 29 2 1p = − + − +    Use el TCH para determinar 1A− 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 47 EJEMPLO: Dada la matriz 𝑨 = 𝟓 𝟒 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Hallar los valores y los espacios característicos de 𝑨. Solución: Hallamos los autovalores o valores propios, para ello debemos determinar las raíces del polinomio característico 𝑝 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 , es decir resolvemos la ecuación 𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0. Los auto valores son: 𝜆1 = 1 = 𝜆2; 𝜆3 = 10. Resolver la ecuación lineal homogénea 𝐴 − 𝜆𝑖𝐼 Ԧ𝑣 = 0 que corresponde a cada valor propio o autovalor 𝜆𝑖 . El espacio característico de 𝐴 correspondiente a 𝜆 = 1 es 𝐸1 = 1 0 −2 , 0 1 −2 , el espacio característico de 𝐴 orrespondiente a 𝜆 = 10 es 𝐸10 = 2 2 1 . 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 50 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 51 Una transformación lineal 𝑻:𝑹𝟑 → 𝑹𝟐 está definida por 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙 − 𝟐𝒛, 𝒚 + 𝒛 a) Hallar la matriz 𝑨 de 𝑻, respecto a las bases: 𝑽 = 𝟏, 𝟏, 𝟏, , 𝟐, 𝟐, 𝟎 , 𝟑, 𝟎, 𝟎 en 𝑹𝟑. 𝑾 = 𝟐,𝟎 , 𝟎, 𝟐 en 𝑹𝟐. b) Mediante 𝑨, obtener la imagen de −𝟐, 𝟐, −𝟐 ∈ 𝑹𝟑. c) Determinar la matriz 𝑩 de 𝑻, respecto a las bases canónicas en ambos espacios. Solución: a) Sean 𝒗𝟏 = 𝟏, 𝟏, 𝟏, , 𝒗𝟐 = 𝟐, 𝟐, 𝟎 , 𝒗 𝟑 = 𝟑, 𝟎, 𝟎 y 𝒘𝟏 = 𝟐, 𝟎 ,𝒘𝟐 = 𝟎, 𝟐 , entonces: 𝑻 𝒗𝟏 = −𝟏, 𝟐 = 𝒂𝟏𝟏 𝟐, 𝟎 + 𝒂𝟐𝟏 𝟎, 𝟐 𝑻 𝒗𝟐 = 𝟐, 𝟐 = 𝒂𝟏𝟐 𝟐, 𝟎 + 𝒂𝟐𝟐 𝟎, 𝟐 𝑻 𝒗𝟑 = 𝟑, 𝟎 = 𝒂𝟏𝟑 𝟐, 𝟎 + 𝒂𝟐𝟑 𝟎, 𝟐 luego: 𝑨 = Τ−𝟏 𝟐 𝟏 Τ𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 es la matriz de transformación lineal 𝑻, respecto de las bases 𝑽 y 𝑾 . 10/08/2021 NOLAN JARA JARA 52 b) La imagen de 𝑋 = −2,2, −2 ∈ ℝ3 mediante 𝐴,se halla del siguiente modo: −2,2,−2 = 𝛼1 1,1,1 + 𝛼2 2,2,0 + 𝛼3 3,0,0 Resolviendo: 𝛼1 = −2; 𝛼2 = 2; 𝛼3 = Τ−4 3. Entonces: 𝑋 𝕍 = 𝛼1 𝛼2 𝛼3 = −2 2 Τ−4 3 , la imagen de 𝑋 𝑉 mediante 𝐴, se calcula así: 𝑌𝑊 = 𝐴𝑋 𝑉 . 𝑌𝑊 = − 1 2 1 3 2 1 1 0 −2 2 − Τ4 3 = 1 0 Por lo tanto, la imagen de 𝑋 = −2,2, −2 mediante 𝐴 es 1,0 . c) La matriz 𝑩 de 𝑻 respecto de las bases canónicas en ambos espacios, se halla fácilmente, donde: 𝑩 = 𝟏 −𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 .