Transformaciones lineales - Apuntes - Álgebra - Matemáticas , Apuntes de Álgebra

¡Descarga Transformaciones lineales - Apuntes - Álgebra - Matemáticas y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity! Página 1 de 25 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.Introducción1 Muchos problemas técnicos, mecánicos y científicos requieren la resolución de sistemas de ecuaciones lineales . Se trata, pues, de un tema de vital importancia para todas las disciplinas que utilizan las matemáticas de una manera u otra. En muchos problemas existe dependencia entre las diferentes magnitudes o variables que intervienen y a menudo se plantea en forma de ecuación lineal. Dentro del proceso de resolución de problemas con Sistemas de ecuaciones lineales, se pueden diferenciar los siguientes pasos: 1. Leer el problema. 2. Definir cuales son las incógnitas principales 3. Planteo del sistema de ecuaciones lineales 4. Resolución del sistema . 5. Interpretación las soluciones obtenidas. Los métodos como igualación, sustitución ,sumas y restas e inclusive el método por determinantes se estudian en la escuela media pero son eficientes y cómodos cuando los sistemas propuestos tienen dos incógnitas. Pero, en el caso de tres incógnitas algunos de estos métodos ya no son tan cómodos y esto se dificulta aún más cuando aumenta la cantidad de incógnitas.. Por eso , se intenta establecer otros métodos que sirvan para resolver todo tipo de ecuaciones lineales. 2.Sistemas  Definición 1: Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Ejemplo: 1 Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma x + ax = b x + ax + bx = 0 donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón. Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial. Página 2 de 25      4332 1323 2 2 xyy yyxx  Definición 2: Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema Ejemplo: El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas.  Definición 3: Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x.y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo: 2x + y – 3z =0 x + y z – z = 5 x - y + 2z=1 7x + y – z2 = 1 4y –5z= -2 no es sistema de ecuaciones lineales sistema de ecuaciones lineales 3. Sistema Lineal de ecuaciones  Definición 4:Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma: donde a ij son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes. Página 5 de 25 En símbolos : S = {                     1 3 2 1 ... ... na a a a tal que A                     1 3 2 1 ... ... na a a a = B } Ejemplo: Sea el sistema dado por: El par ( 1, -2 ) satisface el sistema pues 2.1 + ( -2 ) = 0 y 1 + ( -2 ) = -1 y no hay otro par que lo satisfaga luego el conjunto solución esta formado por un solo elemento que es el par ( 1 , -2 ) Luego S = { ( 1 , -2 ) } En nuestro ejemplo el conjunto solución es unitario.  Definición 6: Cada uno de los elementos del conjunto solución del sistema A X = B se denomina raíz del sistema Ejemplo: Dado el sistema anterior diremos que ( 1 , -2 ) es raíz de dicho sistema.  Definición 7 : Si el sistema admite al menos una solución es decir que el sistema dado tiene alguna raíz se dice que el sistema es compatible caso contrario es decir cuando no admite solución el sistema es incompatible. En símbolos : S = el sistema es incompatible si S  el sistema es compatible Ejemplos: Página 6 de 25 sistema compatible ya que admite a ( 1 , –2 ) como raíz 2 x + y = 0 4 x + 2 y = 1 sistema incompatible no admite solución  Definición 8 : Si el conjunto solución de un sistema A X = B es unitario el sistema se dice compatible determinado Ejemplo: ( anterior) Sea el sistema dado por: S= {(1, -2 )}  Definición 9:Si el conjunto solución del sistema dado por A X = B tiene infinitos el elementos el sistema se dice que compatible indeterminado Ejemplo: 2 x + y = 0 4 x + 2 y = 0 ya que y = - 2 x es decir que tiene infinitas soluciones por ejemplo : ( 1 , -2 ); ( 0, 0 ); ( -3 , 6 ) ;.......................etc. Luego este sistema es compatible indeterminado y su conjunto solución esta dado por S = { ( x , y ) / ( x, y )  R2  y = - 2 x }  Definición 10 : Sean A X = B y A ´ X = B´ dos sistemas de m ecuaciones con n incógnitas diremos que son sistemas equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Página 7 de 25 Ejemplo: y el sistema :      1 024 yx yx son equivalentes ya que ( 1, -2 ) es la solución para ambos Otra Definición: el sistema A X = B es equivalente al sistema A´ X = B ´ si aplicando un numero finito de operaciones elementales a A x = B obtengo A´ X = B ´ En símbolos : Sea                     1 3 2 1 ... ... na a a a una solución del sistema A X = B es decir A                     1 3 2 1 ... ... na a a a = B entonces E : son matriz elemental E A =                     1 3 2 1 ... ... na a a a = E B entonces A ´                     1 3 2 1 ... ... na a a a = B´ Luego                     1 3 2 1 ... ... na a a a  S ´ conjunto solución de A ´ X = B ´ Página 10 de 25 Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes: Aplicamos operaciones elementales a la matriz ampliada hasta llevarla a la forma escalonada reducida y abreviada llevando al sistema A X = B a un sistema equivalente A ´ X = B ´ donde A ´ esta escalonada reducida y como los sistemas son equivalentes resolviendo el sistema A ´ X = B ´ obtenemos el conjunto solución de A X = B efectuamos la siguiente operación elemental -2 F 1 + F 2 -> F 2 y además : – 3 F 1 + F 3 -> F 3 8 F 2 + F 3 -> F 3 Dividimos la ultima fila por – 28 3 F3 + F 2 -> F 2 y –1 F3+ F 1- F 1 Página 11 de 25 -2 F2+ F 1-> F1 Rearmamos el sistema 1x + 0y + 0z = 2 0x + 1y + 0z = -1 0x + 0y +1z = 3 De este modo, el sistema tiene la solución única x = 2 y = -1 z = 3 La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas. Observación Importante : rg ( A ) = 3 r g ( A / B ) = 3 ( donde A / B denota la matriz ampliada) Entonces rg ( A ) = rg ( A / B ) = orden o dimensión de la matriz asociada al sistema o matriz de los coeficientes = número de incógnitas Ejemplo 2: La matriz M es la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones Multiplicando la –2 F 1 + F 2 -> F 2 y –3 F 1 + F 3 -> F3 Multiplicando – 2 F 2 + F 3-> F 3 obtenemos Página 12 de 25                00000 77100 54211 tzyx Multiplicando 2 F 2+ F1 -> F 1                00000 77100 910011 tzyx Pasamos al sistema x + y + 0 z – 10 t = -9 z – 7 t = - 7 Como podemos observar el sistema equivalente es un sistema que tiene infinitas soluciones tantas como valores reales podamos darle a a la indeterminada y como a t Incógnitas principales x y z incógnitas secundarias y , t A x y a z también se las llama variables ligadas o dependientes y a t e y se las llama libres o independientes ,esto se debe a que x y z están ligadas a los valores que le demos a t e y Luego z = - 7 + 7 t y x = -9 +10 t – y Por lo tanto la solución la voy expresar de la siguiente manera: (-9 +10 t – y , y , - 7 + 7 t , t ) dando valores a y como a t obtenemos infinitas soluciones Observación : rg ( A ) = rg(A / B ) = 2 Orden de A es 3 y número de incógnita 4 Ejemplo 3: x + y – 2 z + 3 w = 4 2 x + 3 y + 3 z – w = 3 5 x + 7 y + 4 z + w = 5 Podemos resolver también el siguiente esquema: 1475 1332 3211   5 3 4 141420 7710 3211    15 5 4   - 2 F 1 + F 2- > F 2 -5 F 1 + F 3 -> F 3 Página 15 de 25 Si Rango(A) = Rango(A/B) = n (nº incógnitas), el sistema resulta compatible determinado. Si Rango(A) = Rango(A/B) < n (nº incógnitas), el sistema resulta compatible indeterminado. 6.Sistemas Homogéneos  Definición 11: Un sistema de ecuaciones lineales AX = B se dice que es homogéneo si B es el vector nulo, es decir, todas las ecuaciones están igualadas a cero Ejemplo:      024 02 yx yx Hemos de destacar que en un sistema homogéneo, la matriz ampliada es (A | 0), es decir, hemos añadido una columna de ceros. Como consecuencia, el rango de A coincide con el de A/ 0 por lo que el sistema siempre va a ser compatible, es decir, siempre tendrá solución. Así, los sistemas homogéneos pueden ser: 1. Determinado, es decir, con una única solución, si sólo admite al cero como solución. 2. Indeterminado cuando posea infinitas soluciones. También se podría haber llegado al mismo resultado mediante el razonamiento que en un sistema homogéneo, el cero siempre es solución, ya que al sustituir en las ecuaciones todo sale cero, con lo cual siempre es compatible. Por tanto, cuando queramos discutir estos sistemas, sólo tendremos que comprobar si el rango de A coincide con el número de incógnitas o es estrictamente menor Si rg ( A ) = número de incógnitas es determinado Si rg ( a ) < número de incógnitas es indeterminado Ejemplo:         043 02 043 zyx zyx zyx Por Método de Gauss 143 112 431    0 0 0 Página 16 de 25 1150 750 431    0 0 0 400 5 7 10 431    0 0 0 100 5 7 10 431   0 0 0 Por último paso ; rearmando nuevamente el sistema x= 0 y =0 y además z =0 Rg ( A) = 3 y 3 incógnitas el sistema es compatible determinado con única solución que es la trivial Ejemplo:         0543 02 043 zyx zyx zyx 543 112 431    0 0 0 750 750 431    0 0 0 000 5 7 10 431   0 0 0 000 5 7 10 5 1 01   0 0 0 Página 17 de 25 Rearmando el sistema x - 5 1 z = 0 es decir x = 5 1 z y - 5 7 z =0 es decir y = 5 7 z Conjunto solución esta dado por S = { ( 5 1 z , 5 7 z , z) / z  R } o lo que es lo mismo z ( 1, 5 7 , 5 1 ) 0 bien z =                 1 5 7 5 1  En resumen: Basándonos en el Teorema de Rouché-Fröbenius, vamos a discutir cualquier sistema de ecuaciones lineales, para ello procedemos así:  Calculamos los rangos de A y de A'.  Pueden ocurrir las siguientes cosas:  En los sistemas no homogéneos, si son compatibles e indeterminados a la diferencia m-r(A) se le llama número de grados de libertad o bien cantidad de variables libres y nos informa de que hay m-r(A) variables libres pudiéndose despejas las otras en función de estas.  Los sistemas homogéneos siempre son compatibles, si además son determinados sólo admiten la solución trivial (0, 0, ..., 0). Si son indeterminados se puede afirmar lo mismo que en el punto anterior para las variables libres o grados de libertad. Ejemplo: Veamos algunos ejemplos de discusión de sistemas: Página 20 de 25 donde: despejando X en la igualdad anterior, para lo cual premultiplicamos por la matriz inversa de A tenemos 8 Ejemplo: Resuelve: Es un sistema Crameriano ya que tiene 3 ecuaciones con tres incógnitas y el rg (A) es 3 A =           212 434 213 X =           z y x B =           9 21 10 por lo tanto el sistema nos queda A X = B por lo tanto X = A –1 B Buscamos A –1 por Método de Gauss7 100212 010434 001213 7 Se puede obtener y hacer esta regla por un método más sencillo ,donde se utiliza determinantes, esto esta desarrollado en el módulo de determinantes Página 21 de 25                 2 1 001 2 1 1 0 4 1 01 4 3 1 00 3 1 3 2 3 1 1                    2 1 0 3 1 3 1 6 1 0 0 4 1 3 1 3 1 12 5 0 00 3 1 3 2 3 1 1                    302210 0 5 3 5 4 5 4 10 00 3 1 3 2 3 1 1                     3 5 3 5 6 5 6 00 0 5 3 5 4 5 4 10 00 3 1 3 2 3 1 1                 2 5 2 1 1100 210010 101001            z y x =                2 5 2 1 1 210 101           9 21 10 =           2 3 1 x= 1 y = 3 z = 2 9.Interpretación Geométrica y 1. En R 2 L1 1.1.Sistema determinado v 1.1.1.homogéneo sea el sistema x 2 x – 4 y = 0 x + y = 0 L 2 L1 L2= { ( 0, 0 ) } 1.1.2 no homogéneo Sea el sistema Página 22 de 25 2 x – 4 y = 2 L´2 y L´1 x + y = 1 x v L´1 L1 w L´2 L 2 L´1  L ´2 = {( 1 , 0 ) } 1.2 Sistemas indeterminados 1.2.1. Homogéneos 2 x – 4 y = 0 y = 2 1 x S = { ( x , 2 1 x ) }  x  R Luego x         2 1 1 = x .v o sino  v : L 1 W = { w / w =  v} Vector director 1.2.2. No Homogéneo 2 x – 4 y = 2 entonces y = ½ x – ½ S = {        2/12/1 x x } luego x         2 1 1 +          2 1 0 = X v + w