¡Descarga Transformaciones lineales en Álgebra Lineal y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Clase 14 – Transformaciones lineales Álgebra Lineal Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Código 1000 003 Universidad Nacional de Colombia 1 Transformaciones lineales en Rn Definición 1 Una transformación lineal de Rn en Rm es una función T : Rn → Rm que satisface las siguientes condiciones : (a) Para todo u, v ∈ Rn : T (u + v) = T (u) + T (v) . (b) Para todo u ∈ Rn y todo c ∈ R : T (cu) = cT (u) . Nota. Usualmente, escribiremos T x1 ... xn en lugar de T x1 ... xn . Ejemplo. 1. Veamos que T : R3 → R3, dada por T x y z = [ x + y x + z ] , es una transformación lineal (T.L.). (a) Para cualquier par de vectores u = x1 y1 z1 y v = x2 y2 z2 en R3 se cumple que T (u + v) = T x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 = [ (x1 + x2) + (y1 + y2) (x1 + x2) + (z1 + z2) ] = [ (x1 + y1) + (x2 + y2) (x1 + z1) + (x2 + z2) ] = T (u) + T (v) . (b) Para cualquier escalar c : T (cu) = T cx1 cy1 cz1 = [ cx1 + cy1 cx1 + cz1 ] = [ c (x1 + y1) c (x1 + z1) ] = c [ x1 + y1 x1 + z1 ] = cT (u) . Por tanto, T es lineal. 2. Dado u = 1 2 3 , calculemos T (u) . Por la definición de T : Tu = T 1 2 3 = [ 1 + 2 1 + 3 ] = [ 3 4 ] . 3. Dado w = [ 1 1 ] ∈ R2, hallemos u = x y z ∈ R3 que satisfaga T (u) = w. Lo anterior, equivale a resolver el sistema Tu = [ x + y x + z ] = [ 1 1 ] ⇒ [ 1 1 0 1 1 0 1 1 ] → [ 1 0 1 1 0 1 −1 0 ] . Tenemos infinitas soluciones x = 1− t, y = t y z = t. Por ejemplo, para t = 1, u = 0 1 1 satisface Tu = w. X Ejemplo. Sea a ∈ R3 no nulo. Muestre que P : R3 → R3, dada por Pu = proyau = u · a a · a a, es una T.L. Solución. (a) Para todo u, v ∈ R3 : P (u + v) = proya (u + v) = (u + v) · a a · a a = (u · a a · a + v · a a · a ) a = u · a a · a a + v · a a · a a = Pu + Pv. 1 (b) Para cualquier escalar c, se tiene que P (cu) = proya (cu) = cu · a a · a a = ( c u · a a · a ) a = c (u · a a · a a ) = cPu. De (a) y (b), se concluye que T es lineal. X Ejemplo. Sea T : R2 → R4 dada por T [ x y ] = x + y + 1 x y x + y + 2 . ¿Es T una transformación lineal? Solución. La respuesta es no. Veamos, mediante un contraejemplo adecuado, que la condición (b) falla. Tomemos u = [ 1 1 ] y c = 3. Entonces, T (cu) = T (3u) = T [ 3 3 ] = 3 + 3 + 1 3 3 3 + 3 + 2 = 7 3 3 8 ↓ 6= 9 3 3 12 = 3 3 1 1 4 = 3 1 + 1 + 1 1 1 1 + 1 + 2 = cTu. X Definición 2 Sea T : Rn → Rm una transformación lineal. Diremos que el dominio de T es Rn y que su codominio es Rm. Para todo v ∈ Rn, decimos que Tv es la imagen de v bajo T. Por último, definimos el recorrido (o imagen) de T como el conjunto Im (T) = {T (v) | v ∈ Rn} = {w ∈ Rm | w = T (v) , para algún v ∈ Rn} . Transformaciones matriciales Definición 3 Sea A una matriz de orden m× n. La función TA : Rn → Rm, dada por TA (u) = Au, para todo u ∈ Rn, se denomina la transformación matricial asociada a A. Teorema 4 Toda transformación matricial es lineal. Prueba. Sean u, v ∈ Rn y c un escalar arbitrarios. Por propiedades del producto matricial, se tiene que TA (u + v) = A (u + v) = Au + Av = TA (u) + TA (v) y TA (cu) = A (cu) = c (Au) = cTA (u) . Por tanto, TA es lineal. Ejemplo. Sea T : R3 → R4 dada por T x y z = x + y + z x− y + z 2y− z x− 3z . Muestre que T es una transformación lineal. Solución. Notemos que T es una transformación matricial: T x y z = x + y + z x− y + z y− z x− z = 1 1 1 1 −1 1 0 2 −1 1 0 −3 x y z . Por el teorema anterior, T es lineal. X 2
