Transformaciones lineales, en Álgebra Lineal., Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga Transformaciones lineales, en Álgebra Lineal. y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! TRANSFORMACIONES LINEALES Algebra lineal INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO 𝒗 𝑤 Dominio Contradominio 𝑇: 𝑉 → 𝑊 Alumno(a): Las matemáticas requieren una pequeña dosis, no de genialidad, sino de una libertad imaginativa que, en mayor dosis, seria locura. –Angus K. Rodgers UNIDAD 5 TRANSFORMACIONES LINEALES 5.1 Introducción a las transformaciones lineales 5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal 5.3 La matriz de una transformación lineal. INTRODUCCION TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICION Transformación lineal. Sean V y W espacios vectoriales. Una Transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ∈ V un único vector Tv ∈ W y que satisface para cada u y v en V y cada escalar 𝛼. 𝑇 𝒖 + 𝒗 = 𝑇𝒖 + 𝑇𝒗 𝑇(𝛼𝒗) = 𝛼𝑇𝒗 Notación Escribimos 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 para indicar que 𝑇 transforma 𝑉 en 𝑊. Terminología Las transformaciones lineales se llaman, con frecuencia operadores lineales. También, las funciones que satisfacen (1) y (2) se denominan funciones lineales. (1) (2) (1) 𝑇 𝒖 + 𝒗 = 𝑇𝒖 + 𝑇𝒗 𝒖 𝑥1 𝑦1 𝒗 𝑥2 𝑦2 𝒖 + 𝒗 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑇 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑇 𝑥1 𝑦1 + 𝑇 𝑥2 𝑦2 PROPIEDADES DEFINICION 1. Una aplicación 𝑓: 𝐸 → 𝐹, del espacio vectorial 𝐸 en el espacio vectorial 𝐹,se dice que es una aplicación lineal si se verifican las dos condiciones siguientes: Sea 𝑇:ℝ2 → ℝ3 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑇 𝑥 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 3𝑦 𝑢 = 𝑥1 𝑦1 𝑣 = 𝑥2 𝑦2 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 + 𝑦2 3 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑥1 − 𝑦1 + 𝑥2 − 𝑦2 3𝑦1 + 3𝑦2 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑥1 − 𝑦1 3𝑦1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 − 𝑦2 3𝑦2 𝒗 𝑥2 𝑦2 𝒖 𝑥1 𝑦1 𝑇 𝑢 = 𝑇 𝑥1 + 𝑦1 𝑥1 − 𝑦1 3𝑦1 𝑇 𝑣 = 𝑇 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 − 𝑦2 3𝑦2 Transformaciones lineales Una transformación 𝑇: 𝑣 → 𝑤 Es una función matemática. Ejemplo 1, 𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 = 3𝑥 𝑇 5 = 3 5 = 15 𝑇 0 = 3 0 = 0 𝑇 𝑎 + 𝑏 = 3(𝑎 + 𝑏) 𝑇 𝑎 = 3𝑎 𝑇 8 = 3 8 = 24 Ejemplo 2. 𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 = 6𝑥 𝑇 6 = 6 6 = 36 𝑇 9 = 6 9 = 54 𝑇 2 = 6 2 = 12 𝑇 4 = 6 4 = 24 𝑇 𝑏 = 6𝑏 Transformaciones lineales Ejercicios. 1) 𝑇 6 = 2) 𝑇 9 = 3) 𝑇 2 = 4) 𝑇 4 = 5) 𝑇 8 = 6) 𝑇 3 = 7) 𝑇 15 = 8) 𝑇 5 = 9) 𝑇 7 = 10) 𝑇 21 = Ejemplo 3 𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 = 5𝑥 𝑇 5 = 5 5 = 25 𝑇 0 = 5 0 = 0 𝑇 𝑎 + 𝑏 = 5𝑎 + 𝑏 𝑇 𝑎 = 5𝑎 𝑇 8 = 5 8 = 40 𝑇 𝑏 = 5𝑏 𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 =⊠ 𝑥 Ejercicios. 1) 𝑇 9 = 2) 𝑇 3 = 3) 𝑇 1 = 4) 𝑇 𝑏 = 5) 𝑇 2 = 6) 𝑇 𝑎 + 𝑏 = 7) 𝑇 19 = 8) 𝑇 5 = 9) 𝑇 23 = 10) 𝑇 17 = 𝑇: ℝ → ℝ 𝑇 𝑥 =⊠ 𝑥 Transformaciones lineales Ejemplo.1 𝑇: ℝ2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 2 𝑥 + 5𝑦 + 3 𝑇 1,2 = 2 1 + 5 2 + 3 = 2 + 10 + 3 = 15 Ejemplo 2 𝑇: ℝ2 → ℝ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 − 9 𝑇 3,3 = 2 3 + 3 3 − 9 = 6 + 9 − 9 = 6 Ejemplo. 1 𝑇: 𝑃2(𝑥) → ℝ3 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = 𝑎 + 𝑏, 𝑐 − 𝑏, 𝑏 𝑇 1 = 𝑇(1 + 0𝑥 + 0𝑥2) = 1,0,0 𝑇 1 + 𝑥 + 2𝑥2 = (2,1,1) Ejemplo.2 𝑇: 𝑃2(𝑥) → ℝ3 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = 𝑎 + 𝑏, 𝑐 − 𝑏, 𝑏 𝑇 3 + 5𝑥 + 8𝑥 = 8,3,5 𝑇 6 + 7𝑥 + 2𝑥 = (13,5,7) Ejercicios. 2.1 𝑇: 𝑃2(𝑥) → ℝ3 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = ⊠ 𝑇 1 + 9𝑥 + 6𝑥 = 𝑇 8 + 3𝑥 + 2𝑥 = 𝑇 4 + 4𝑥 + 5𝑥 = 𝑇 2 + 6𝑥 + 2𝑥 = 𝑇 6 + 9𝑥 + 1 = 𝑇 𝑛 + 5𝑥 + 9𝑥 = ( , , ) Ejercicios. 2.2 𝑇: 𝑃2(𝑥) → ℝ3 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥) = ⊠ 𝑇 8 + 9𝑥 + 2𝑥 = 𝑇 4 + 3𝑥 + 5𝑥 = 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥) = ⊠ 𝑇 22 + 6𝑥 + 6𝑥 = 𝑇 13 + 12𝑥 + 1𝑥 = 𝑇(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥) = ⊠ 𝑇 17 + 4𝑥 + 7 = 𝑇 𝑛 + 35𝑥 + 32𝑥 = ( , , ) NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL • Sean V y W dos espacios vectoriales y sea t:V W una transformación lineal. entonces 1. El núcleo de T, denotado por 𝑛𝑢 T esta dado por: 𝑛𝑢 𝑇 = 𝑥 ∈ 𝑉: 𝑇(𝑥) = 0 2. La imagen de T, denotado por 𝑖𝑚 𝑇, esta dado por: 𝑖𝑚𝑻 = 𝑤 ∈ 𝑊:𝑤 = 𝑇𝑣 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎 𝒗 ∈ 𝑉 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL Sea T: R2 R3 definida por Encuentre 𝑛𝑢𝑇 y 𝑖𝑚 𝑇 𝑻 𝑥 𝑦 = 2𝑥 𝑥 − 𝑦 3𝑦 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL EJERCICIOS 𝑻 𝑥 𝑦 = −2𝑥 + 𝑦 𝑦 − 5𝑥 EJEMPLO. 1 𝑆𝑒𝑎 𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑁𝑇 = 𝑥 ∈ 𝑉/𝑇(𝑥) = 0 T:ℝ3 +ℝ 𝑇 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 𝑁𝑇 = Τ𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎 , 𝑐 ∈ 𝑅 𝑎 − 𝑏 = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏 𝑇 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 0 EJEMPLO 1.1 𝑆𝑒𝑎 𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑁𝑇 = 𝑥 ∈ 𝑉/𝑇(𝑥) = 0 𝑇:𝑀2𝑥2 𝑅 → ℝ3 𝑇 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 = 𝑎 + 𝑐, 𝑏 − 𝑒, 𝑓 𝑎 + 𝑐, 𝑏 − 𝑒, 𝑓 = 0,0,0 𝑁 𝑇= ൗ𝑎 𝑏 −𝑎 𝑑 𝑏 0 𝑎,𝑏,𝑑 ∈𝑅) 𝑇= 𝑎 𝑏 −𝑎 𝑑 𝑏 0 =(0,0,0) 𝑎 + 𝑐 = 0 𝑐 = −𝑎 𝑏 − 𝑒 = 0 𝑒 = 𝑏 𝑓 = 0 𝑓 = 0 La matriz de una transformación lineal. La transformación lineal de matrices son operaciones lineales mediante matrices que modifican la dimensión inicial de un vector dado. En otras palabras, podemos modificar la dimensión de un vector multiplicándolo por una matriz cualquiera. Las transformaciones lineales son la base de los vectores y valores propios de una matriz dado que dependen linealmente unos de otros. 𝑇: 𝑉 → 𝑊, 𝑇 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑣1, 𝑣2…𝑣𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑉, y 𝑣1, 𝑣2…𝑣𝑚 base de 𝑊 → 𝑇 𝑣1 = 𝑎1 𝑈1 + 𝑎2𝑈2 + 𝑎3𝑈3…+𝑎𝑚 𝑈𝑚 𝑇 𝑣2 = 𝑏1𝑈1 + 𝑏2𝑈2 + 𝑏3𝑈3… + 𝑏𝑚𝑈𝑚 𝑇 𝑣𝑛 = 𝑐1𝑈1 + 𝑐2𝑈2 + 𝐶3𝑈3…𝐶𝑚𝑈𝑚 Son las bases canónicas para para resolver la matriz de una Transformación Lineal. 𝑀𝑡 = 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑎𝑚 𝑏𝑚 𝑐𝑚 tamaño m de filas y columnas.