Transformaciones lineales, Transcripciones de Álgebra Lineal

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE MERIDA TRANSFORMACIONES LINEALES UNIDAD 5 GRUPO 2SC SEMESTRE AGOSTO 2020 – DICIEMBRE 2020 MAESTRO: ISC.RODRIGO LEAL OJEDA ALUMNO: ELDIAN IDEQUEL TAMAYO PECH Índice Transformación lineal..........................................................................................................3 Núcleo e imagen de una transformación lineal....................................................................8 Núcleo o Kernel...............................................................................................................8 Imagen o Rango............................................................................................................10 Representación Matricial de una Transformación Lineal...................................................11 ..........................................................................................................................................11 ..........................................................................................................................................12 Aplicación de las transformaciones lineales. Reflexión, dilatación, contracción, rotación..14 Reflexión........................................................................................................................14 Expansión......................................................................................................................14 Contracción....................................................................................................................14 Rotación.........................................................................................................................15 Bibliografía........................................................................................................................16 Propiedades de las transformaciones lineales Sea T una transformación lineal de V en W, donde u y v están en V. Entonces, las propiedades siguientes son verdaderas. 1. T(0) =0 2. M—v) = —Tlv) 3. Tíu — yv) = Tlu) — Tv) 4. lv =e 0, + 01, ++ > + +, V,, ENONCES Ti) =Tlc Y, + cv +0 + bc.) =0/T(w) + c¿Xv,) +- + -+c,T(v,) La transformación cero Sean Y y W espacios vectoriales y defina 7: Y —+ W por Ty = 0 para todo v en Y Entonces Tív, + 1) =0=0+0= Tv, + Tv, y Tlaw) = 0 = 00 = a Tv. En este caso, T se denomina la transformación cero. La transformación identidad Sea V un espacio vectorial y defina f: V—= V por Iv = y para todo v en K Aquí es obvio que Jes una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad. Transformación de reflexión Sea T:R? > R? definida por 5( >) E EA ) Esfácil verificar que Tes lineal. En términos geomé- tricos, T' toma un vector en R? y lo refleja respecto al eje y (vea la figura 7.2). y y | | o| z o a) by Transformaciones lineales y bases Sea T: Ri R? una transformación lineal tal que T(l, 0,0) = (2, 1,4) TÍO, 1,0) = (1,5, —2) TÍO, 0, 1) = (0,3, 1) Determine 7(2, 3, -2). SOLUCIÓN Dado que (2, 3, -2) = 21, 0,0) + 3(0, 1, 0)- 20, 0, 1), entonces la propiedad 4 del teorema 6.1 se puede usar para escribir T(2, 3, -2) = 2711, 0, 0) + 3710, 1,0) — 27(0,0, 1) (2, 1,4) + 3(1, 5, —2)— 2(0, 3, 1) = (7,7, 0). En el siguiente ejemplo se usa una matriz para definir una transformación lineal de R? a Ki. El vector v = (1, v3) se escribe en forma matricial como =-[5 de modo que es posible multiplicarlo a la izquierda por una matriz de orden 3 X 2. [od Transformación lineal definida por una matriz La función T: R? = R? se define como 300 TW) =Av=| 2 vr] a aj” a. Determine T(w), donde v = (2, —1), b. Demuestre que Tes una transformación lineal de R2a R. SOLUCIÓN a. Dado que y = (2, —1), se tiene Mv) =Av= ó :L3- Sl 0 1 -2 4 Vector Vector enfi? en KR Por consiguiente, se tiene que T(2, —1) = (6, 3, 0). b. Comience por observar que T mapea un vector en R?a un vector en R?. Para demostrar que Tes una transformación lineal use las propiedades de la multiplicación de matrices, como se estableció en el teorema 2.3. Para cualesquiera vectores u y en R?, la propie- dad distributiva de la multiplicación matricial sobre la Suma produce: Tu + v) = Alu + v) = Au + Av = Tu) + 7(v). De manera semejante, para todo vector u en R? y cualquier escalar e, la propiedad con- mutativa de la multiplicación escalar con la multiplicación de matrices produce Tica) = Alcu) = cíAu) = Tu). "' EJEMPLO 7 Rotación en R? Demuestre que la transformación lineal 7: RR dada por la matriz pr 0 —senó seng cosó a ss > ñ » ss tiene la propiedad de rotar todo vector en R” en sentido contrario al de las manecillas del reloj con respecto al origen un ángulo 6. SOLUCIÓN Por el teorema 6.2 se sabe que Tes una transformación lineal. Para demostrar que rota todo vector en R” un ángulo 8 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, se considera y 2 = (1, y) un vector en KR”, Usando coordenadas polares y se puede expresar como v= x.y) = (r cos a, r sena) donde r es la longitud de v, y € es el ángulo formado entre el vector y y el eje positivo de las x descrito en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Tív) = Av _[cosd —sen y a cos al [*] _ a 0 —sen el 1 el senó cosGlLrsena _ [reos 8cos a — rsenósena _ [tra a + reos Sena - E + A rsed + e) Una proyección en R? La transformación lineal T: R?—= R? representada por 1 0.0 A=|0 1 0 0. 0.0 se llama proyección en KR”. Si y = (x, y, 2) es un vector en R?, entonces Tlw) = (x, y, 0). En otras palabras, 7 mapea todo vector en R* en su proyección ortogonal en el plano xy, como se muestra en la figura 6.3. Tx, y. 2) =(x, y, 0) XxX + 1 =2 1 X2 s+2 1 2 x=|x|= s+0|=3,s Les ol A Os — de 0 -4 Xs 05 + 1 0 1 Por tanto, una base para el kemel de Y está dada por B = ((2, 1,1,0,0), (1,2,0,-4, DJ. Imagen o Rango Definición del rango y la nulidad de una transformación lineal Sea T: V — W una transformación lineal, La dimensión del kernel de T se llama nulidad de 7 y se denota como nulidad (7). La dimensión del rango de Tse deno- mina rango de 7 y se denota como rango (7). En los ejemplos 6 y 7 se relacionan la nulidad y el rango de 7 con la dimensión del dominio como se muestra a continuación. rango(T) + nulidad(T) = 3 + 2 = 5 = dimensión del dominio Determinación del rango y la nulidad de una transformación lineal Encuentre el rango y la nulidad de 7. Sea T: R* —+R? una transformación lineal definida por la matriz 10-22 A=]|0 1 IL 0 0 0 SOLUCIÓN Dado que A está en forma escalonada por renglones y contiene dos renglones diferentes de cero, su rango es igual a 2, Asfel rango de Tes 2 y la nulidad es dimídominio) — rango =3-2=1 Determinación del rango y la nulidad de una transformación lineal Sea T: RR? una transformación lineal. a, Encuentre la dimensión del kernel de T si la dimensión del rango es 2, b. Encuentre el rango de Y si la nulidad de Tes 4. c. Encuentre el rango de Y si ker(7) = [0]. SOLUCIÓN a. Porel teorema 6.5, con n = $, se tiene dim(kernel) = n — dimírango) = 5 — 2 = 3, b. De nuevo por el teorema 6.5, se tiene rango(7) = n — nulidad(7T) =5-—4=1 €. En este caso, la nulidad de Tes 0. Por tanto, rango(7) = n—nulidad(T)=5—0=5 Representación Matricial de una Transformación Lineal TEOREMA 6.10 Matriz estándar de una transformación lineal Sea TR" => R” una transformación lineal tal que para los vectores de base estándar e, de R”, du Or Ma a, da a Tley=| “| me)=| Fl... Te) =| | An Ama E Entonces la matriz de 1 X n cuyas 4 columnas corresponden a 7(e,), da Ga --. O O E Amy a Ann, es tal que Tv) = Av para toda y en R”. A se denomina matriz estándar para 7. DEMOSTRACIÓN Para demostrar que T(v) = Av para todo v en R' se escribe v=[m vw... = 40 + 104004 Ve Dado que Tes una transformación lineal, se tiene Tív) = Tlv¡e, + ve, +++ -+v,e,) = Tlv¡e) + Tlvye) +- + Tív,e,) = y, Tle,) + v¿Tle,) +: - - + v,Tle,). Por otra parte, el producto matricial Av está dado como Qy Bj o E da as dan | ay=|%u a lan || Ya At Amd LV. GV $ Av, av, + ar, E aa Bay A E A du dí A a Ay Ay, =9| "+ Pl 475 A] oz Ar = 1, Me) + vaTlez) + > - - + v,T1e,). Por consiguiente, Tív) = Av para cada ven R”. ección Encuentre la matriz de transformación Ay correspondiente a la proyección de un vector en FR? sobre el plano xp. as E i 1 0 0 o 0 AquiT| y [|=| y | Enparticular, T|0|=|0|, T|1|=|1|yT | Of=|0/. z 0 0 0 0 0 1 l 100 x 1.0 0fx x Asi, Ay =|0 1 0| Observeque Af | y [=[0 1 Ofr [=[y/[ 000 Ez 0.0 Oz o Representación matricial de una transformación de E? en [R* xy y+z yz NE E Defina T: R* en Ri por T| y [= Encuentre 47, nu T,im 7,247) y AT). +] o AAA «14 Solución Tel" "| TIti=[_ |. y T|o|= Ls (0) ls 0 í 1 a 1-10 s 0 11 Ási, Ap = % 1-1 sl E E 1-10 xy ss 1 Do 1 El p+z Observe (a manera de verificación) que Y =p] y = iy Ed —=x+y+2 Ahora se calculan el núcleo y la imagen de A. La forma escalonada por renglones de kE 4 0 Il =LE 0 E 1 0 1 7 Ef slo 9 1 B8sta forma tiene tres pivotes, de manera que 0.00 ya que p(A) + mA) =3 pA)=3 y vA)=3-3=0 Rotación El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj. Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través de la recta y = (−2x / 3). Bibliografía  Perry, W. L. (1990). Álgebra lineal con aplicaciones. McGraw-Hill Interamericana. https://elibro.net/es/ereader/biblioitmerida/72364?page=26  Gutiérrez González, E. y Ochoa García, S. I. (2015). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México D.F, Mexico: Grupo Editorial Patria. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/biblioitmerida/39422?page=169.  Mesa, F. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, Colombia: Ecoe Ediciones. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/biblioitmerida/69224  Larson R.(2013). Fundamentos de algebra lineal. Pennsylnvania, Estados unidos: Cangage Learning  Grossman Stanley I. & Flores J. (2012).Algebra lineal. Montana, Estados Unidos. Ciudad de México, México: The Mcgraw-Hill