tratamiento de datos experimentales, Apuntes de Física

¡Descarga tratamiento de datos experimentales y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity! TRATAMIENTO Y REPRESENTACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD DE CORDOBA. -9- TRATAMIENTO Y REPRESENTACION DE DATOS EXPERIMENTALES. INTRODUCCION. El tratamierto de datos experimentales es una disciplina esencial: en las ciencias que deben interpretar y justificar hechos reales de la naturaleza, tal es el caso de la Física. Se trata, pues, de iniciarse en el tratamiento de los datos experimentales tomados en un Laboratorio para obtener un resuitado final de una magnitud junto con la incertidumbre inherente a cada medida. Es decir, en la medida de ul agnitud es inevitable una cierta imprecisión debida a múltiples causas. El objetivo de esta sección consiste en acotar dichas incertidumbres, que llamaremos errores experimentales. El trabajo de .un Laboratorio no es fácil, y son muchos los factores que entran en ¿juego para “la realización de determinada medida. estos factores son generalmente tan distintos en los experimentos que no es posible hacer un análisis de ellos con todos los detalles del caso. Sin embargo, es posible dar ciertar reglas generales, esta es la causa por la que cualquiera que sea la situación experimental bajo consideración, resulta tan interesante el trabajo en Laboratorio que, en pequeña escala, puede ser considerado como una verdadera tarea de adiestramiento e investigación. Está claro que la libertad de un experimentador está limitada, tanto por el material científico con que cuente, cuanto por el tiempo que se requiere para realizar dicho trabajo. Sin embargo, la formación de un buen profesional científico, tiene que ser realizada bajo “condiciones de trabajo diversas e inclusos adversas. Se aprende mucho más, cuanto más problemas de caráter técnico se presentan. TECNICAS E: PERIMENTALES EN FISICA GENERAL LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD DE CORDOBA. 12% ERRORES EN LAS MEDIDAS. Como hemos dicho anteriormente, una medida siempre va acompañada de una cierta incertidumbre, el resultado de una medida <e dará más que como “un número, como un intervalo dentro del cual se encuentra el valor. verdadero de la medida de la magnitud. La anchura del intervalo nos dará la bondad de la medida. Por ejemplo, la velocidad de ¿a luz en el vació se expresa como £= (2.997923 + 0, 000008) -10% m/s no significa que éste sea el valor exacto de esta magnitud, que no ha siáo elegida al azar ya que sabemos que es invariante. La forma en que la hemos descrito significa que su valor está determinado hasta 0.8 km/s, es decir, 2.997923-10* m/s es el valor que se conoce de la: velocidad, mientras que 0. 000008- 10? da una idea de la incertidumbre de la medida, es decir, de la amplitud del intervalo en el que estamos seguros que está la verdadera velocidad de la luz. Es más riguroso interpretarlo como el intervalo donde, con una cierta probabilidad, se ubicará una medida de la velocidad de la luz. Pero ¿cuál es el valor exacto de la velocidad de la luz? No existe respuesta a esta pregunta. La Teoría de los Errores, o mejor dicho, la Te de_.los.. Errores se encarga de estudiar el problema de acotar el intervalo en el cual exite una, cierta probabilidad de ubicar una medida de una cierta magnitud. en el ejemplo anterior, al valor 0.000008-10% se le denomina error de la medida de la cantidad física c, y se le denota como Ac y se llama error absoluto, se define como el va do y..el valor verdadero. Esto está acompañado de una imprecisión irresoluble dado que el valor verdadero nunca es conocido, sin embargo, existen criterios aceptados para estimar dicho error absoluto, pero entiéndase estimar como una evaluación aproximada. A la cantidad £c/c se le denomina error o más información que el anterior ya que no es lo mismo incertidumbre de 1 mm en la medida de la distancia de Córdoba a Alpha de Centauro, que a Madrid, o en la altura de una persona, o en el radio de una moneda, o en su espesor, o en la longitud de onda de la luz, o en el tamaño del núcieo de un átomo. TECNICAS EXPERIMENTALES EN FISICA GENERAL LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD DE CORDOBA. e Nos podriamos plantear si dicha medida es mejorable, desde el punta de vista de disminuir el error. La realidad es que éste es el objetivo de muchas tareas en la ciencia, sin embargo, como ya hemos dicha, siempre extistirá un error, bien debidi preci principio de indeterminación de keisemberg, bien debido a 1 de cualquier magnitud perturba el sistema en que se mide, imitaciones propias, de la medida. En el caso que nos ocupa, la medida de una velocidad implica la deteminación de dos magnitudes, Un e: spacio y un tiempo. No se puede definir sin ambigiiedad la distancia entre dos instrumentos porque .1legaremos a límites atómicos que difícilmente son apreciables. En cuanto al tiempo, que se mide como múltiplo del periodo de un proceso periódico, llegaría un momento tendríamos ningún proceso de periodo suficientemente corto sería un problema equivalente medir dicho periodo. . CLASIFICACION DE LOS ERRORES. en que no , e incluso- Dada- la naturaleza variada e impredecible de los errores, es muy oportuno hacer un análisis de carácter general y clasificarlos de acuerdo a sus características especificas. Errores sistemáticos. Cuando determinados errores-se repiten constantemente en el transcurso de un experimento afectando a los resi mismo sentido. Este tipo de errores es muy usual en el adiestramiento de un investigador. Cuando se localicen, contrarestados. Pueden deberse a: -Errores de calibración de los instrumentos de medida. -Condiciones experimentales no apropiadas. ! -Técnicas imperfectas. Fórmulas, hipótesis o teorías incorrectas. Errores. aleatorios. proceso de deben ser No es posible determinar la causa de estos errores, y siempre están.preseptes en la medida de cualquier magnitud física. Son los que TECNICAS EXPERIMENTALES EN FISICA GENERAL LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD DE CORDOBA. -14- estimaremos en esta sección. Errores: ilegítimos. También llamados errores, de bulto, se pueden deber a errores ulo. Estos datos deben ser eliminados. Desde este punto de vista podemos fijar las siguientes características o un instrumento como: ES A IA Precisión: Una medida es tanto más precisa cuanto má son__los errores aleatorios cometidos al realizarla. Por lo tanto, la precisión hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud realizadas bajo las mismas condiciones: experimentales. Un instrumento será preciso cuando la diferencia entre medidas diferentes de una misma magnitud sean pequeñas. Exactitud: Una medida es tanto más exacta cuanto más pequeños cos cometidos al realizarla. Se relaciona con el grado de concordancia entre el valor verdadero y el valor medido de una magnitud. Un instrumento será exacto si las medidas realizadas con él son todas muy próximas al valor verdadero. ided: Esta definición” está asociada exclusivamente al Sens, aparato de medida. Se entiende por sensibilidad la habilidad de un instrumento para detectar variaciones pequeñas (mínimas) de la magnitud _.a medir, es decir, la última. variación..que_._es. capaz de letectar. Decir que la sensibilidad de una balanza es de 10 mg equivale a decir que variaciones más pequeñas no Tepresentan ninguna alteración del resultado. Una regla milimetrada tiene una sensibilidad de 1 mm. CIFRAS SIGNIFICATIVAS. La medida de una magnitud debe ser conocida con Up, ciento núnero dessifras significativas. Dicho número está limitado por el orden de masnitud del Error absoluto, ya que porque están dentro, del intervalo de error. Por lo tanto se denomina TECNICAS EXPERIMENTALES EN FISICA GENERAL LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD D£ CORDOBA. -17- hemos dicho, coincide escala del instrumento utilizado, milímetros en una regla, “C en un termómetro, segundos en un reloj de pulsera, ... , o con el valor patrón más pequeño utilizado en la medida, pesa más pequeña utilizada al pesar en una balanza... b) Caso de medida a magnitud. Con el fin. de alcanzar mayor precisión es muy conveniente realizar varias medidas de una misma magnitud. El valor más representativo del conjunto de medidas, (x,), es la media aritmética, o valor medio, x, de los a E valores obtenidos, que tomaremos como valor verdadero. Aunque ésto no es del todo correcto porque sabido es que dicho valor es imposible de conocer. El valor medio vale: Ñ L idas realizadas. Se puede demostrar que la dispersión de un conjunto de datos se hace mínima sí se toma como valor verdadero el valor medio, por lo que parece razonable esta aproximación. Por otra parte, es lógico pensar que el error de la medida vendrá determinado por dicha dispersión del conjunto de datos. Asimismo, la dispersión también nos informará sobre el número de mediciones que debemos realizar. A continuación se detallan los criterios a seguir para determinar el número de medidas en función de la dispersion. Se realizarán tres medidas de la magnitud. Se calculará el valor medio, x, y la dispersión de las mismas, D como_la erencia entre el valor mayor y menor .de--las medidas (x =x ). El tanto por ciento ies mes max min A PAS 100: Y o E Según el valor resultante de T se elegirá el número de medidas de de dispersión viene dado por T acuerdo a los siguientes criterios. T (3 medidas) Número total de medidas. Menor que el 2% Las 3 realizadas. Entre el 2% y el 8% 6 medidas. Entre el 8% y el 15% 15 medidas. Mayor que el 15% 50 como mínimo. El error absoluto, que denotaremos como Ax, se calculará en cada TÉCNICAS EXPERIMENTALES EN FISICA GENERAL LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD DE CORDOBA. -18- caso como: - T< 2%. (3 medidas) El error será el.mayor en la sensibilidad del..instrumento, S. -=- 24 <T< 8% (6 medidas). El error será el mayor _entre la cuarta parte. de la dispersión,...D/4, y la sensibilidad del instrumento, $. - 8% < T < 15% (15 medidas). El error es la denominada desviación cuadrática media, desviación típic: esviación standard a(x). donde N es el número de medidas, 15 en este caso. = T > 15% (Mínimo 50 medidas), Se construye el histograma representativo de las mismas, tomando en abcisas, a intervalos: regulares, las medidas realizadas y representando cada una por un punto sobre la abcisa correspondiente. En este caso se deben seguir Tealizando medidas hasta que la distribución resultante tenga forma netamente gaussiana. Sobre esta distribución se opera de forma análoga al caso anterior para la determinación del error absoluto. El procedimiento seguido en este caso se debe a que, en una serie repetida de medidas de una misma magnitud, la distribución de éstas alrededor del valor medio se rige típicamente por una función de distribución gaussiana. En cualquiera de los casos, el resultado se expre x= x + Ax Unidad, donde x es el valor medio calculado sobre el conjunto total de medidas. El significado que podemos aplicar a esta expresión es que, si realizamos una medida, existe un 68.3% de posibilidades de que esté dentro del intervalo (x-Ax,x+Ax). Existe el 95.4% de posibilidades de que esté dentro del intervalo (x-2Ax,x+2Ax), y un 99.7% de probabilidades de que esté dentro del intervalo (x-3Ax,X+3Ax). josol Si af crlalon el enmon DX asociado a se obRene um enmon weon Ge el osociedo a máa Xx ¡el enn AX Gre ley que toman es Ax; . Ls decia, se lo ce Honra como dx el wen de 4 5, Ax: p : TECNICAS EXPERIMENTALES EN FISICA 'ERAL LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD DE CORDOBA. -19- ESTIMACION DEL ERROR DE UNA MAGNITUD MEDIDA INDIRECTAMENTE. Como hemos dicho, hay magnitudes que se miden a partir de una ley física que relaciona otras magnitudes, que se pueden medir por otros métodos, con la magnitud que nosotros queremos determinar, por ejemplo, la resistencia de una componente de un circuito eléctrico como cociente entre la diferencia de potencial entre sus extremos y la intensidad que la atraviesa. Para estimar el error de la misma, se opera de la siguiente forma: nada con otras magnitudes x + Ax Az, _-... estadísticamente independientes entre _sí,, me e_la relación ExsFlay zz... ) Que particularizando para las funciones más comunes vale Forty (ar)% = (03) + (ay)? Fo=xy F = x/y F = Ax . Fay Ea, F= lnx AF = (+2) Fe = Ax TECNICAS EXPERIMENTALES EN FISICA GENERAL LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD DE CORDOBA. MEDIAS PONDERADAS. Supongamos que se ha medido una magnitud por varios métodos diferentes con resultados x i AX, Xaie Ax, etc. El mejor.valor...de 2 de_Jos.diversos resultados, ponderada. de_modo la magnitud e que tengan más peso los resultados más precisos, es decir, aqui llos que: tengan menor. error. Se puede demostrar que las siguientes expresiónes cumplen ese requisito. pa, lar Y E au: ¡x= rd ¿Dx = [ 1/(2,1] ; ! parlar le nl AJUSTE Y REPRESENTACION DE DATOS EXPERIMENTALES. El problema de las ciencias experimentales no es sólo medir ciertas magnitudes con la máxima exactitud posible, sino, fundamentalmente, buscar una ley cuantitativa que relacione dos o más. magnitudes ques varían de forma correlacionada. Por ejemplo, la E resistencia varía con la temperatura, la presión de un gas también varía con la temperatura, el índice de refracción con la longitud de onda, etc. La función que las relaciona, casi siempre, a este nivel, «es conocida de antemano, de acuerdo a determinada teoría. De todas estas funciones, es muy usual, para el caso de dos variables, estudiar el caso de dependencia lineal, y = mx + n, dado que muchas funciones se Pueden llevar a esta forma: Y = A:senx t.= señx y = At y = 40” t = Iny t= 1nA + Bx Y = A: lnx t= Ilnx y = Act y = Ax" t=1a y = At Por ello, vamos a estudiar el ajuste de un conjunto de puntos a una recta po; método de los mínimos cuadrados. Sea Un conjunto de puntos_ sospechamos__ su TECNICAS EXPERIMENTALES EN FISICA GENERAL LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD DE CORDOBA. 23 representación pueden ajustarse bien a una recta, se trata de elegir Za pendiente, m y la ordenada en el origen, n, de la recta que mejor ajusta a dicho conjunto de puntos. Se puede intentar hacer de varias maneras, como por ejemplo, calcular la pendiente de la recta que pasa por cada uno de los pares de puntos del conjunto y el valor medio de la misma, sin embargo, esto no es del todo correcto, por una serie de razones que no detallamos. La forma adecuada de hacerlo es la siguiente. Supongamos que el error de la variable independiente, la x, es mucho menor que el de la dependiente, la y, este error que cometemos al suponer que dichos puntos se comportan como una recta de pendiente m y ordenada en el origen n es, para el punto i ar (mx, + n) El promedio de este error es aproximadamente cero dado que es de esperar que los e, negativos se compensen con los positivos, para estimar” dicho promedio se calcula sobre los cuadrados de las e: Ási, la recta que mejor ajustará será la que haga mínimo 2 E= ze 108 2 = - + zb, Cm, n)] Este probiema de mínimos se resuelve aplicando condiciones de extremales a E, es decir, dE _ SE am “2 án que aportan un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas que son m y n, cuya solución es: _ Fx - xy, Nx y,) - Ex, Ey y Fx - x)* mt (ax) 1 i 2 Á nz (Ex) ti io 1 Donde, como se puede observar, la recta “promedio de todos los puntos TECNICAS EXPERIMENTALES EN FISICA GENERAL  LICENCIATURA EN FISICA, UNIVERSIDAD DE CORDOBA. -24- = 7. =P, por lo que es muy sencillo. dibujarla Uniendo el punto (0,n)_con el (x, y). Los errores de la pendiente, m y de la ordenada en el origen, n se calcularán mediante las siguientes expresiones. (am)? = ——. 2 l 7 21 1 (An)? = [ + 2 Donde e =y- (mx + n) A la hora de calcular el error cometido en cada punto debido a la ción al ajuste, se debe utilizar la expresión: 5 En y (ay Y (am) + (a, - 21% (am? Una vez conocida la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de mejor ajuste, es conveniente conocer cuan dispersos están los puntos respecto a dicha recta. Tal información viene dada por el coeficiente de correlación r, que vale, 1/2 El) Pp, (17697 7er A 03 que varía entre 0, (no existe ninguna correlación) y +1 (correlación completa). El signo de r es irrelevante y tan sólo importa su valor 7 % 4 2 4, La , + absoluto. Da gr par O ap ONE ion e RT Evidentemente, un cálculo análogo nos llevaría a expresiones similares para el ajuste a una parábola, ecuación de segundo grado, y 2 si al = ax + bx +c, una ecuación cúbica, etc. TECNICAS EXPERIMENTALES EN FISICA GENERAL