trayectoria de un proyectil, Guías, Proyectos, Investigaciones de Física

¡Descarga trayectoria de un proyectil y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Física solo en Docsity! 1 El disparo de un proyectil militar Trayectoria de un proyectil disparado desde una altura h sobre la superficie de la Tierra (Movimiento Parabólico) Mayerli Recalde Dr. Ricardo Cornejo Rosales 2do “D” BGU Vespertina Ing. Evelin Mena 08 de enero de 2023 2 El disparo de un proyectil militar Introducción En el capítulo de Cinemática estudiamos el movimiento de los proyectiles que describen trayectorias parabólicas en el plano horizontal local, suponiendo que la aceleración de la gravedad es constante. En la página titulada “El descubrimiento de la Ley de la Gravitación Universal”, observamos que un proyectil disparado desde una cierta altura describe una trayectoria elíptica en uno de cuyos focos está el centro de la Tierra. Las trayectorias parabólicas son aproximaciones de trayectorias elípticas, cuando el alcance y la altura máxima del proyectil son muy pequeños en comparación con el radio de la Tierra. Supondremos también que la Tierra no gira sobre su eje. El efecto de la rotación de la Tierra se describirá en la página titulada “Desviación hacia el este de un cuerpo que cae”. Vamos a determinar la trayectoria que sigue el proyectil que es disparado desde una altura h, con velocidad inicial v0 haciendo un ángulo φ con la dirección radial. A lo largo de esta página, necesitaremos los siguientes datos: • El radio de la Tierra R=6.37·106 m • La masa de la Tierra M=5.98·1024 kg • La constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2 5 El disparo de un proyectil militar El ángulo de disparo es φ=0º. El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El proyectil asciende y luego cae hacia la Tierra a lo largo de la dirección radial. La máxima altura que alcanza, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de la energía y se despejando la incógnita r. No podemos calcular de forma simple el tiempo que tarda el proyectil en impactar sobre la superficie de la Tierra ya que la aceleración no es constante. Ejemplo Lanzamos un proyectil desde la altura h=6000 km con velocidad inicial v0= 4500 m/s en la dirección radial r0=6.0·106+6.37·106 m • La altura máxima que alcanza el proyectil es h=18.03·106 -6.37·106=11.66·106 m • La velocidad con la que llega a la superficie de la Tierra es v=8999.6 m/s El ángulo de disparo es φ=180º. El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El proyectil desciende a lo largo de la dirección radial hasta que llega a la superficie de la Tierra con la misma velocidad que hemos calculado en el apartado anterior. Ejemplo 6 El disparo de un proyectil militar Lanzamos un proyectil desde la posición r0=6.0·106+6.37·106 m con velocidad inicial v0= 4500 m/s en la dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra • La velocidad con la que impacta sobre la superficie de la Tierra es v=8999.6 m/s El ángulo de disparo es φ=90º. Alcance máximo El alcance máximo se produce cuando el perigeo es R, y el apogeo es r0=h+R. Como el momento angular y la energía son constantes en todos los puntos de la trayectoria y en particular, en el perigeo y en el apogeo, tenemos que Los datos son r0 y R y las incógnitas v y v0. La velocidad de disparo es 7 El disparo de un proyectil militar Ejemplo: Sea h=6000 km o bien, la distancia a lo largo de la dirección radial es r0=12.37·106 m Calculamos la velocidad de disparo, v0=4681.969 m/s El semieje mayor de la elipse es a=(R+r0)/2=14.37·106 m El tiempo de vuelo es la mitad del periodo t=P/2=4512 s Posición del punto de impacto Como vemos en la figura, el proyectil sale de la posición θ=π, e impacta en la posición θ=π-α cuando r=R. Poniendo r=R en la ecuación de la trayectoria, despejamos el ángulo θ. Ejemplo: 10 El disparo de un proyectil militar Para calcular el área necesitamos los siguientes datos • a=9.82·106 m • c=3.35·106 m • b=8.37·106 m A continuación, obtenemos z1 que esa función del ángulo θ=0.934 rad de la posición de impacto. Después de hacer algunas operaciones con la calculadora obtenemos el valor del área barrida por el radio vector A=1.022·1014. Finalmente, el tiempo de vuelo t es El ángulo de disparo es φ<90º Trayectoria Supongamos que el ángulo de disparo es φ distinto de 0º, 90º, o 180º. Como vemos en la figura, la trayectoria que sigue el proyectil es una elipse, pero que está girada un ángulo β. Este ángulo se calcula poniendo r=r0 en la ecuación de la trayectoria y despejando el ángulo θ 11 El disparo de un proyectil militar Continuando con los datos de los casos anteriores • Distancia radial del disparo r0=12.37·106 m • Velocidad inicial v0= 4500 m/s • Angulo de disparo φ=30º. La energía del proyectil no cambia, pero cambia el momento angular L=2.78·1010 m kgm2/s E=-22.12·106 m J Conocida la energía y el momento angular se determina la ecuación de la trayectoria, el valor del parámetro d y la excentricidad ε ε=0.886 d=1.94·106 m Con estos datos calculamos el ángulo girado por el eje mayor de la elipse β=2.83 rad. Posición del punto de impacto 12 El disparo de un proyectil militar Como vemos en la figura, calculamos el ángulo de impacto poniendo en la ecuación de la elipse r=R, lo que nos da el ángulo θ señalado en la figura, del mismo modo que en el caso anterior Relacionamos los ángulos θ, α y β. para calcular la distancia angular α entre el punto de impacto y la posición de disparo. α=2π-θ-β Ejemplo: con los datos anteriores θ=2.47, y β=2.83 rad, la distancia angular α=0.981 rad (56.2º) Tiempo de vuelo El tiempo de vuelo es proporcional a la suma de las áreas sombreadas de elipse Las áreas se calculan como en el caso anterior. En primer lugar, necesitamos los valores de los parámetros de la elipse: • semieje mayor a=9.02·106 m • semidistancia focal c=7.99·106 m 15 El disparo de un proyectil militar En el apartado anterior, calculamos el ángulo de impacto poniendo en la ecuación de la elipse r=R, lo que nos daba el ángulo θ=2.47 rad Relacionamos los ángulos θ, α y β. para calcular el ángulo de impacto α. α+θ+β-π =π o bien, α=2π-β-θ=0.36 rad (20.4º) que es la misma relación que obtuvimos en el caso anterior. Tiempo de vuelo El área barrida por el radio vector desde la posición inicial de salida a la de impacto es la diferencia de dos áreas El área A1 barrida por el radio vector desde la posición θ=2.47 a la posición θ=π 16 El disparo de un proyectil militar • El área A2 barrida por el radio vector desde la posición angular 2π-β =2.83 a la posición π. • Estas dos áreas coinciden con las áreas A1 y A2 calculadas en el caso anterior El tiempo de vuelo es 17 El disparo de un proyectil militar Conclusión El movimiento de un proyectil es un ejemplo de la vida real que puede ser útil para describir el movimiento parabólico. Este tipo de movimiento se caracteriza porque es realizado por un objeto cuya trayectoria se puede describir mediante una parábola, es decir, es un movimiento con componente horizontal y vertical. En otras palabras, este tipo de movimiento se produce cuando se arroja un objeto con una fuerza y una velocidad que forma un ángulo inicial respecto a la horizontal. Comprender este movimiento puede llegar a ser de gran utilidad en distintas industrias.