¡Descarga trayectorias ejercicios y más Ejercicios en PDF de Cálculo Avanzado solo en Docsity! 1 1 ¡ i 1 ! ! V 1 ¡ w — ^ y W so, >í -\\K 1 i -"\ , \ I r \ J \ \ \\ ̂ L m v f e c ^ — — /( \ < M = 1 í m i S \ \\ \ p - ^= •vv l • ^ ^ ! —AJJ i 1 j 1 ( M \\ \ \ — i u W c \ i 0 \ — - — — s \ K -(\ i i l , i 1 ., r : s — h\ l ^^: ̂ V i ( f-v - LS\ r S s ^ S \ [\ \ \\\ i i \ / < í ) \ \ i \ U ) 7 v :. 1 c \i \}-^ • n i ^^ <^ = - X i \ ( X ^ \ \ c \ c i 1 V ( ^\ \ ^ c V i] \ c \ - « I r U Ms - ( V \ u \\ k\ A c e \ ' i i •H ^- L - h \ T ( V e u V L le E S T I L O : ) V m.^ 14 -Líja: 1 ^ 4 L l C i X 7^ 4. E l objetivo de este ejercicio es mostrar que el plano osculador es el "plano de mejor ajuste". Se define la distancia de un punto al plano ;r = {P/ {P-P,).A = 0} por , ; r ) = - ^ " ^ ' ^ (a) Probar que si ^ es el plano osculador a a eaa{sa) entonces: <—r-~T—\—\\\\\\\\\\r — r ~ 8. Considerar la hélice descrita por la ecuación vectorial r(t) = a eos ü)t i + a sen cot j + b tot k , donde m es una constante positiva, demostrar que la recta tangente forma un ángulo constante con el eje z y que el coseno de ese ángulo es 10. Un rectángulo puede usarse para construir un cilindro uniendo dos de sus lados opuestos (paralelos). Si los vértices del rectángulo son: >1=:(0,0), 5 = (2 ; r ,0) , C = {ln,y), D = (0,>-) E l lado AD se ime al lado BC, y el pimto A se coloca en ( l , O, O) para formal" parte del cilindro + 3'̂ = 1 • ' a) Demostrar que si / es el segmento que va de ^ a cualquier otro punto P del rectángulo y m es la pendiente de / , entonces la curva en la que / se convierte sobre el cilindro tiene la parametrización: x = cos/, y = s,&[it, z = mt b) Use la parte a) para demostrar que la curva más corta sobre el cilindro que une el punto (1,0,0) con cualquier otro punto P es una hélice. ^tía éoiVovt ^jám ^ & r o k 3> J g ^ _ )ay [vriíN 3 12. a) Cuando un círculo rueda (sin deslizamiento) a lo largo de una recta, im punto de la circunferencia describe una curva llamada cicloide. Si la recta fija es el eje x y si el punto móvil {x,y) está inicialmente en el origen, demostrar que cuando el círculo gira un ángulo 6 tenemos: x = af'^-sen^), y = a(l-cos6>) . ^ donde a es el radio del círculo. Estas son las ecuaciones paramétricas de la cicloide. ^ b) Demuestre que — - cot-j (9 y deducir que la recta tangente a la cicloide en (x,y) forma dx un ángulo \[7t-0) con el eje x . Hacer un gráfico. c) Encuentre la longitud de arco cuando 6—2^ Ha m i 4 v - i i f 1 (T^^ni . 4 — n ^ 4 - T - ¡ ! M i l ]—f—r-r i - j - r : 14. Demostrar que la longitud de la curva y = coshx que une los puntos ( 0 , l ) y (x,coshjc) i es senhx si x>0. 1 1 i — — ¡ — — . 1 • \ •z. \ J — Y \ \ CJO' \ ) (0 \ \ : = 0 V c JOS • * • X 1 — + 1 Y J < IVi. u m M — \ 1 vi ^ s »* ' 0 0 V — 1 es: 1 " 1 —- — K - 1.»' 1 J l + ív'V VL Be a >A ex u \ Di Ix 'S V _ X \ N u s i V V \ \ — i ra Vv V ( V :^ \ \ ' -z \ \ \ 1 \ O \ ,x t — le \ A' + .y l ' ̂ " \ l \\ V 1 \ H — 1 18. Demuestre que la máxima curvatura de una parábola se da en el vértice, encuentre la ecuación del círculo osculador. i 5 5 v i E S T I I ^
