Trayectorias ortogonales, Apuntes de Análisis Matemático

¡Descarga Trayectorias ortogonales y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity! Trayectorias ortogonales Dada la familia de curvas φ(x, y, C) = 0, toda curva y = f (x) que corta a cada una de las curvas de la familia dada bajo un ángulo recto se llama trayectoria ortogonal. Por ejemplo toda recta que pasa por el origen es una trayectoria ortogonal de la familia de circunferencias con centro en el origen como se ve en la siguiente figura. El ángulo entre dos curvas se mide mediante el ángulo formado por sus rectas tangentes en el punto de intersección. Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada de la función representada por esa curva en dicho punto. Y sabemos además que si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es – 1. Para hallar la familia de trayectorias ortogonales a una familia de curvas φ(x, y, C) = 0 dada se siguen los siguientes pasos: 1. Determinamos la ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de curvas dada φ(x, y, C) = 0. Para ello derivamos respecto de x y eliminamos la constante. Nos queda una ecuación diferencial F(x, y, y’) = 0. 2. Para que las rectas tangentes a ambas familias de curvas sean perpendiculares, sus pendientes, dadas por sus derivadas primeras, deben ser inversas y opuestas. Por lo tanto reemplazamos en la ecuación diferencial hallada en el paso previo y’ por la inversa y opuesta de la derivada de la trayectoria ortogonal (TO), es decir, o bien La ecuación diferencial de la familia ortogonal queda F(x, y, -1/y’) = 0. 3. Resolvemos la E.D. obtenida y de esta manera obtenemos el haz ortogonal buscado β(x, y, C) = 0. Ej 1) Hallar las T.O. de la familia de curvas y = Cx 2 . Derivando obtenemos: y’ = 2Cx y formamos el sistema: { En este sistema podemos eliminar la constante despejándola de una ecuación y reemplazándola en la otra. Por ejemplo si despejamos C de la primera ecuación nos queda C = y / x 2 y reemplazando en la segunda obtenemos: y’ = 2y / x. Luego invertimos y cambiamos de signo y’ para obtener la ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales, y’ = – x / 2y Quedó una ecuación diferencial a variables separables. La resolvemos: ∫ ∫ Y esta última es la ecuación de la familia ortogonal a la familia de curvas dadas Gráficamente y = Cx 2 (la familia de funciones dada) representa una familia de parábolas con vértice en el origen mientras que (la ecuación de la familia ortogonal a la dada) representa una familia de elipses con centro en (0;0). Se pueden ver ambas familias en el gráfico siguiente. Se dice que ambas familias de curvas son mutuamente ortogonales