ZEGARRA. Libro de Álgebra. 01 Lógica, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga ZEGARRA. Libro de Álgebra. 01 Lógica y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Mett ® Caṕıtulo 1 Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 1.1. Introducción En el álgebra actual tiene importancia y muy especialmente en el cálculo que se efectúa con procesadores electrónicos, el análisis del lenguaje desde un punto de vista lógico. Las expresiones de este lenguaje pueden tomar formas complicadas, pero el análisis de sus partes ofrece la alternativa de desentrañar la esencia de la lógica de las formas expresivas más complejas. En estas notas, que no pretenden ser más que una introducción, no ten- dŕıa sentido extenderse en la consideración de los problemas de la lógica matemática sobre los cuales el lector interesado podrá consultar obras de buen nivel indicadas en la bibliograf́ıa. Aqúı nos interesaremos en un tipo especial de proposiciones como por ejem- plo 5 es un número, los caballos son negros, x2 es siempre positivo para todo real x, . . . notemos que a estas expresiones se les puede asignar un valor, según sean verdaderas o falsas. Quedarán exclúıdas de nuestra con- 1 Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 2 sideración, expresiones tales como: Abre la ventana, Estudia con dedicación, ... 1.2. Elementos de lógica Proposición. Una proposición es una expresión de la cual se puede decir siempre si es verdadera o es falsa (V o F). Por tanto, se dice que las proposiciones son bivalentes, conviene observar que no compete a la lógica establecer el valor de verdad de las proposiciones, es decir, se considerarán las proposiciones simples con su valor ya asignado. Notación. Por costumbre a las proposiciones las denotaremos mediante las letras: p, q, r, . . . Convención. Si convenimos en considerar el conjunto U de todas las posi- bles proposiciones del lenguaje como conjunto universo, si p pertenece a U , se denotan por p ∈ U . Conectivos o śımbolos. Ocuparemos los siguientes śımbolos, llamados también conectivos lógicos ∼ : Negación ∧ : Conjunción ∨ : Disyunción ⇒ : Implicación ⇔ : Doble implicación ∨ : Disyunción excluyente Antes de definirlos rigurosamente, es conveniente que el lector considere los siguientes comentarios. Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 5 Trataremos de explicar en lo posible la arbitrariedad de esta definición. El lector puede probar sin dificultad que: p ⇒ q ≡∼ p ∨ q. El uso del condicional para vincular proposiciones sin relación entre si, puede hacer ver como paradojales, por ejemplo, Si la escalera es de madera, entonces el perro es un mamı́fero se trata de una proposición compuesta, verdadera si las dos proposiciones simples son verdaderas. Sin embargo, debe recordarse que la proposición compuesta anterior no tiene ni más ni menos significado que lo que resulta aplicando la conjunción de las mismas dos proposiciones simples, La escalera es de madera y el perro es un mamı́fero. Lo importante es indicar que cuando el condicional se usa para expresar que una proposición implica lógicamente otra, lo que se expresa al escribir:p ⇒ q significa que q es verdadera en todos los casos lógicamente posible en que p es verdadera. En tal caso, el condicional no es una operación entre dos proposiciones simples sino una relación entre la proposición simple p y la compuesta p ⇒ q. Por tanto, p ⇒ q debe entenderse como: Si p es verdadera implicará q verdadera si y sólo si el condicional p ⇒ q es lógicamente ver- dadero. Dicho de otra forma, p ⇒ q significa, q es verdadera siempre que p sea verdadera. Teoremas. En Matemática la relación de implicación se usa como un método de razonamiento: p ⇒ q significa ahora q se deduce lógicamente de p. En general, un teorema expresa: si p es verdadera entonces q es verdadera, aśı se dice que p es una hipótesis y q es una tesis. p ⇒ q puede leerse de las siguientes maneras: si p entonces q, p es condición suficiente para q, q es condición necesaria para p, q si p, p sólo si q. Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 6 Si p ⇒ q se llama un teorema directo q ⇒ p se llama al teorema rećıproco ∼ p ⇒∼ q se acostumbra a llamar el teorema inverso ∼ q ⇒∼ p se llama finalmente el teorema contrarećıproco. Nótese que sus tablas de verdad son fácilmente construibles, es decir: p q p ⇒ q q ⇒ q ∼ p ⇒∼ q ∼ q ⇒∼ p V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V De estas tablas se tiene que los teoremas directo y contrarećıproco tienen el mismo valor de verdad, como también los teoremas rećıproco e inverso. Nótese también que como p ⇒ q ≡∼ p ∨ q ≡ q∨ ∼ p ≡∼ (∼ q)∨ ∼ p ≡∼ q ⇒∼ p como era de esperar. Ejemplo. Sea el teorema directo: si n2 es par, entonces n es par, n ∈ N (verdadero). Esto puede expresarse en forma equivalente diciendo: 1. Que n2 sea par es condición suficiente (pero no necesaria) para que n sea par. 2. Que n sea par es condición necesaria (pero no suficiente) para que n2 sea par. 3. n es par si n2 es par. Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 7 4. n2 es par sólo si n par. El teorema rećıproco: del directo dado será si n es par entonces n2 es par (verdadero). El teorema inverso: si n2 es impar (no es par) entonces n es impar (ver- dadero). El teorema contrarećıproco: si n es impar entonces n2 es impar (verdadero). La demostración de este teorema directo la haremos por el teorema con- trarećıproco, es decir: Si n es impar ⇒ n = 2k − 1 ⇒ n2 = 4k2 − 4k + 1, k ∈ N ⇒ n2 = 2(2k2 − 2k) + 1 ⇒ n2 = 2p + 1, p = 2k2 − 2k, p ∈ N0 por tanto, n2 es impar. Nótese que el teorema del ejemplo anterior puede completarse como: n2 es par si y sólo si n es par (verdadero) En matemática el si y sólo si simbólicamente se expresa por ⇔ que se llama bicondicional o doble implicación y se expresa también por p es condición necesaria y suficiente para que q p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) de donde su tabla de verdad fácilmente es p q p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 10 Ahora, sea p = 2k, k ∈ Z ⇔ 4k2 = 2q2 ⇔ 2k2 = q2 ⇔ q2 es par ⇒ q es par, por tanto, p y q contienen al factor 2, lo que contradice que p y q sean primos entre śı, por tanto, lo supuesto no es válido, aśı √ 2 no es racional. Hemos visto como vincular entre śı dos proposiciones simples mediante los simbolos: ∼,∨,∧,∨,⇒ y ⇔. A estas nuevas proposiciones les hemos llama- do compuestas y naturalmente en este mismo contexto se pueden estudiar proposiciones compuestas de tres o más proposiciones simples, por ejemplo: ∼ (p ∧ q) ⇒ (p∨q) ∨ (∼ q) (p ∧ q) ⇔ (q∨ ∼ p) ((p ∨ q) ∧ r) ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) Definiciones 1. Diremos que una proposición es una tautologia si la columna final de su tabla de verdad solo tiene V . O bien, si para cualquier valor de verdad para las proposiciones simples que la componen, su valor final es equivalente con V . 2. Diremos que una proposición es una contradicción si la columna final de su tabla de verdad solo tiene F . 3. Diremos que dos proposiciones p y q son equivalentes, en śımbolos p ≡ q, si y sólo si p ⇔ q es una tautoloǵıa. Note que esta nueva definición es equivalente a la que se diera ante- riormente. Propiedades. A continuación daremos una lista de algunas equivalencias de uso frecuente. Sus demostraciones se dejan al lector. 1. p ∧ V ≡ p; p ∧ F ≡ F Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 11 2. p ∨ V ≡ V ; p ∨ F = p 3. p ∧ p ≡ p; p ∨ p ≡ p 4. ∼ (∼ p) ≡ p; ∼ F ≡ V ;∼ V ≡ F 5. p ∧ (∼ p) ≡ F ; p ∨ (∼ p) ≡ V 6. p ∧ q ≡ q ∧ p; p ∨ q ≡ q ∨ p 7. p ∧ (q ∧ r) ≡ ((p ∧ q) ∧ r); p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r 8. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r); p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 9. ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q; ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q 10. p ∧ (p ∨ q) ≡ p; p ∨ (p ∧ q) ≡ p 1.3. Formas proposicionales Deciamos anteriormente que una proposición es una expresión que puede ser verdadera o falsa. Para aclarar esta observación frecuentemente, en matemáticas, escribimos afirmaciones tales como: a) x + 1 = 3 b) x2 − 5x + 6 = 0 c) x2 − 9 = (x− 3)(x + 3) d) x2 = 25 ∧ x + 1 = 6 De estas afirmaciones no es posible decir si son verdaderas o falsas, porque aún no hemos fijado el valor de x, aśı en: a) Es verdadera para x = 2 y falsa para otro valor de x. Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 12 b) Es verdadera para x = 2 ∨ x = 3 y falsa para otros valores de x. c) Verdadera para todos los valores numéricos de x; falsa para ningún x. d) Verdadera para x = 5 y falsa para otro valor de x. Definición. Una forma proposicional o proposición abierta, es una afir- mación que contiene a una o más variables, la cual llega a ser proposición cuando se especifican los valores de las variables. Observaciones. 1. Las formas proposicionales pueden contener dos o más variables. 2. La definición anterior no es completa, en tanto que se refiere a las variables, las cuales hasta ahora no han sido definidas. Cuando nos encontramos ante el problema de asignar valores a x, debemos decidir que valores de x son posibles. Esto es, debemos tener ideas claras sobre un conjunto de números, figuras geométricas, gente, etc. que serán objeto de análisis. A este conjunto se acostumbra a llamar conjunto universo U . Definición. Una variable es un elemento en una afirmación que puede ser reemplazada por un elemento del conjunto U . Las variables, comúnmente pero no en exclusiva, se representan por las letras minúsculas del final del alfabeto, es decir, x, y, z. Definición. Una constante es un elemento que se fija de antemano de un conjunto dado. Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 15 En general, la verdad o falsedad de proposiciones como las que hemos escrito depende del conjunto Universo y de las operaciones definidas en éste. Ejemplo. Averiguamos el valor de verdad de los siguientes enunciados: p : ∀ x ∈ Q,∃ y ∈ Q : 2x + y = 0 q : ∃ y ∈ Q,∀ x ∈ Q : 2x + y = 0 Para p: Si x = 1 2 ∃ y = −1 : 21 2 + (−1) = 0 (V ) Si x = −5 ∃ y = 10 : 2(−5) + 10 = 0 (V ), es decir, para cualquier x ∈ Q existe y = (−2x) tal que 2x + y = 0, por tanto p es V. Para q: si y = 1 2 la igualdad 2x + 1 2 = 0 no se cumple ∀ x ∈ Q, por tanto q es F. Negación de cuantificadores. La regla general para construir la ne- gación de una forma proposicional es la siguiente: Los ∀ se cambian por ∃ y los ∃ se cambian por ∀ y después se niega la forma proposicional. La negación de la forma se construye mecánicamente del mismo modo como se realiza la negación de una proposición. Ejemplos. 1. ∼ {∀ x ∈ U,∃ y ∈ U : x + y = 5 ⇒ x = y} ≡ ∃ x ∈ U,∀ y ∈ U : ∼ [∼ (x + y) = 5 ∨ (x = y)] ≡ ∃ x ∈ U,∀ y ∈ U : x + y = 5 ∧ x 6= y 2. ∼ {∀ x ∈ U,∀ y ∈ U,∃ z ∈ U(x < y ⇒ x + z = y)} ≡ ∃ x ∈ U,∃ y ∈ U,∀ z ∈ U(x < y ∧ x + z 6= y). Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 16 1.5. Ejercicios Resueltos 1. Siendo p los precios son bajos y q los precios no suben, escribir en lenguaje corriente las expresiones simbólicas siguientes: a) ∼ q b) p ∧ q c) p∧ ∼ q d) ∼ p∧ ∼ q e) ∼ (p∨ ∼ q) Solución. a) ∼ q: los precios suben b) p ∧ q: los precios son bajos y los precios no suben c) p∧ ∼ q: los precios son bajos y los precios suben d) ∼ p∧ ∼ q: los precios no son bajos y los precios suben e) ∼ (p∨ ∼ q): no es cierto que los precios son bajos o los precios suben 2. Sean p tengo un loro y q tengo un gato, escribir en lenguaje corriente y luego simplificar, ∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p) Solución. Notemos previamente que: ∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p) ≡∼ [(∼ p∨ ∼ (∼ q)) ∨ (∼ p)] lo cual se puede escribir como: No es cierto que no tengo un loro o no es cierto que no tengo un gato o bien, no tengo un loro (*) Simplificando, ∼ (∼ p∨ ∼ (∼ q))∧ ∼ (∼ p) ≡ (p∧ ∼ q) ∧ p ≡ p ∧ (∼ q ∧ p) ≡ p ∧ (p∧ ∼ q) ≡ (p ∧ p)∧ ∼ q ≡ p ∧ (∼ q) Asi, (*) es equivalente a afirmar: tengo un loro y no tengo un gato. 3. Pruebe que: Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 17 a) (p ∧ q) ⇔∼ (p ⇒ (∼ q)) b) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [p ∧ (∼ q) ⇒ r] Solución. La haremos mediante tablas de verdad, luego: a) (p ∧ q) ⇔ ∼ ( p ⇒ ∼ q) V V V V V V F F V F F V F V V V F F V V F F V F F F F V F F V V b) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ ∼ q ) ⇒ r] V V V V V V V F F V V V V V V F V V F F V F V V F V V V V V V V V V F F F F V V V V F F F V V V V V F F F V V F V V V F V F F F V F F V F V V V F F V V V F V F F F V F F V V F 4. Pruebe que: a) [(a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)] ⇒ (a ⇒ c) b) (a ⇒ b) ⇒ [(c ∨ a) ⇒ (c ∨ b)] Solución. La haremos también por medio de Tablas de Verdad. Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 20 a) Construya la tabla de verdad de p∆q. b) Pruebe que: i) ∼ p ≡ p∆p ii) p ∨ q ≡ (p∆q)∆(p∆q) iii) p ∧ q ≡ (p∆p)∆(q∆q) iv) (p ⇔ q)∧ ∼ (p ∧ q) ≡ p∆q Solución. a) Nótese que p∆q es verdadero si no es verdadero p ni lo es q, luego p q p∆q V V F V F F F V F F F V b) i) p ∼ p p∆p V F F F V V ii) Por i) p ∨ q ≡∼ (p∆q), por tanto, p q p ∨ q p∆q ∼ (p∆q) V V V F V V F V F V F V V F V F F F V F iii) Por i) es suficiente probar p ∧ q ≡∼ p∆ ∼ q p q ∼ p ∼ q p ∧ q ∼ p∆ ∼ q V V F F V V V F F V F F F V V F F F F F V V F F Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 21 iv) p ⇔ q∧ ∼ (p ∧ q) ≡ [p ⇒ q ∧ q ⇒ p] ∧ (∼ p∨ ∼ q) ≡ (∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ p) ∧ (∼ p∨ ∼ q) ≡ (∼ p ∨ q) ∧ [∼ q ∨ (p∧ ∼ p)] ≡ (∼ p ∨ q) ∧ (∼ q) ≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ q) ≡∼ p∧ ∼ q ≡∼ (p ∨ q) ≡∼ (∼ (p∆q) ≡ p∆q 9. Simplifique la siguiente expresión: [(∼ p) ∨ (∼ q ⇔ p)] ⇒ q. Nosotros usaremos que: (∼ q ⇔ p) ≡ (∼ q ⇒ p) ∧ (p ⇒∼ q). Usted verif́ıquelo a modo de ejercicio, luego: [(∼ p) ∨ (∼ q ⇒ p) ∧ (p ⇒∼ q)] ⇒ q; y como a ⇒ b ≡∼ a ∨ b ∼ [∼ p∨ (q ∨ p)∧ (∼ p∨ ∼ q)]∨ q ≡∼ [(∼ p∨ q)∨ p∧ (∼ p∨ ∼ q)]∨ q ≡∼ [(q∨ ∼ p)∨p∧(∼ p∨ ∼ q)]∨q ≡∼ [q∨(∼ p∨p)∧(∼ p∨ ∼ q)]∨q ≡ ≡∼ [q ∨ V ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q ≡∼ [V ∧ (∼ p∨ ∼ q)] ∨ q ≡∼ (∼ p∨ ∼ q) ∨ q ≡ ≡ (p ∧ q) ∨ q ≡ (p ∧ q) ∨ (V ∧ q) ≡ (p ∨ V ) ∧ q ≡ V ∧ q ≡ q 10. Simplifique las siguientes expresiones: a) (p ∨ q) ⇒ (∼ p ∧ q) b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q) c) [(p ⇒ q) ⇒ q] ⇒ (p ∨ q) Solución. a) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡∼ p ∧ (∼ q ∨ q) ≡∼ p ∧ V ≡∼ p. b) [(p ∧ q) ∨ r] ∧ (∼ q) ≡ (p ∧ q) ∧ (∼ q) ∨ (r∧ ∼ q) ≡ p ∧ (q∧ ∼ q) ∨ (r∧ ∼ q) ≡ (p ∧ F ) ∨ (r∧ ∼ q) ≡ F ∨ (r∧ ∼ q) ≡ (r∧ ∼ q). c) [(p ⇒ q) ⇒ q] ⇒ (p ∨ q) ≡∼ [(p ⇒ q) ⇒ q] ∨ (p ∨ q) ≡ ≡∼ [∼ (∼ p ∨ q) ∨ q] ∨ (p ∨ q) ≡∼ [(p∧ ∼ q) ∨ q] ∨ (p ∨ q) ≡ ≡ [∼ (p∧ ∼ q)∧ (∼ q)]∨ (p∨ q) ≡ [(∼ p∨ q)∧ (∼ q)]∨ (p∨ q) ≡ ≡ [(∼ p∧ ∼ q)∨ (q∧ ∼ q)]∨ (p∨q) ≡ [(∼ p∧ ∼ q)∨F ]∨ (p∨q) ≡ ≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (p ∨ q) ≡∼ (p ∨ q) ∨ (p ∨ q) ≡ V , esto quiere decir que la proposición es una tautoloǵıa. Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 22 11. Sea A = {1, 2, 3, 4} el conjunto universal. Determinar el valor de ver- dad de cada enunciado: a) ∀ x : x + 3 < 6 b) ∀ x : x2 − 10 ≤ 8 c) ∃ x : 2x2 + x = 15 d) ∃ x : x2 > 1 ⇒ x + 2 = 0 Solución. a) Falso, porque si x = 4 : 4 + 3 = 7 6< 6 b) Verdadero. 12−10 = −9 ≤ 8; 22−10 = −6 ≤ 8; 32−10 = −1 ≤ 8; 42 − 10 = 6 ≤ 8 c) Falso. No existe x ∈ A : 2x2 + x = 15 d) Verdadero, porque si x = 1 : 1 > 1 ⇒ 1 + 2 = 0, (F ⇒ F ≡ V ). 12. Negar los siguientes enunciados: a) ∃ y p(y) ⇒ ∀ x(∼ q(x)) b) ∃ x(∼ p(x)) ∨ ∀ x q(x) c) ∃ x ∀ y (p(x, y) ⇒ q(x, y)) Solución. a) ∃ y p(y) ⇒ ∀ x(∼ q(x)) ≡∼ (∃ y p(y)) ∨ ∀ x (∼ (q)), ahora negando: ∼ [∼ (∃ y p(y)) ∨ ∀ x(∼ q(x))] ≡ ∃ y p(y) ∧ ∃ x q(x). b) ∼ [∃ x(p(x)) ∨ ∀ x q(x)] ≡ ∀ x p(x) ∧ ∃x(∼ q(x)) c) ∼ [∃ x ∀ y(p(x, y) ⇒ q(x, y))] ≡ ∀ x ∃ y ∼ [p(x, y) ⇒ q(x, y)] ≡ ∀ x ∃ y ∼ [∼ p(x, y) ∨ q(x, y)] ≡ ∀ x ∃ y(p(x, y)∧ ∼ q(x, y)). 13. Se sabe que: Si Pedro no es alumno de la U.C. o Juan es alumno de la U.C., entonces Juan es alumno de la U. Ch. Si Pedro es alumno de la U.C. y Juan no es alumno de la U. Ch., entonces Juan es alumno de la U.C. Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 25 a) José es estudioso y Juan no es estudioso. b) José no es estudioso y Juan es estudioso. c) José y Juan, no son estudiosos. d) No es cierto que Juan o José sean estudiosos. Respuestas. a) p ∧ (∼ q) b) (∼ p) ∧ q c) ∼ p∧ ∼ q d) ∼ (q ∨ p) 2. En cual de sus significados está “o”(no excluyente) en las siguientes proposiciones: a) Si ganáse mucho dinero o ganara la loteŕıa, haŕıa un viaje. b) El lunes iré a la estación de trenes o al terminal de buses. c) x = 3 ó x = −2 Respuesta.En a) 3. Verificar, utilizando tablas de verdad, cuáles de las siguientes proposi- ciones son equivalentes: a) p∨ ∼ q; b) ∼ p ∨ q; c) (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q); d) (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ q) Respuesta.Son equivalentes a), c) y d). 4. Encuentre el valor de verdad de [∼ (p ⇒ q) ∧ (∼ p ∧ q)] ∨ (r ⇒∼ p) si p: el número 2 es par, q es F y r: los gatos tienen 5 patas. Respuesta.V Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 26 5. Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones: a) [(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)] ⇔ (p∨ ∼ q) b) p∨(q ∨ r) c) ∼ (∼ p ⇔ q) d) ∼ (∼ p ⇔ q) e) (p∧ ∼ q) ⇒ (∼ p ∨ q) f ) [p ∧ (∼ q ⇒ p)] ∧ [(p ⇔∼ q) ⇒ (q∨ ∼ p)] 6. Pruebe que son tautoloǵıas: a) [p ∨ (p ∧ q) ⇔ p] b) (p ∧ q) ⇒∼ (∼ p∧ ∼ q) c) q ⇒ (p ⇒ q) d) (p ∧ q) ⇒ r ⇔ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) e) p ⇒ [q ⇒ (p ∧ q)] f ) (p ⇒ (q ∧ r)) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)) g) [p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p 7. Probar las siguientes equivalencias: a) p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r b) p ∧ (q∨r) ≡ (p ∧ v)∨(p ∧ r) c) p ∨ q ≡ (p∨q)∨(p ∧ q) d) p ∧ q ≡ p∨(p∧ ∼ q) e) p ∧ (p ∨ q) ≡ p f ) ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q g) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). 8. Averiguar si son equivalentes las proposiciones: (p ∧ q) ⇒ r y [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] Respuesta.No. Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 27 9. Encuentre el valor de verdad de: [(p ⇒ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q) si a) p es V, q es V, r es F b) p, r son F, q es V c) p es F, q es F y r es F d) si todas son verdaderas 10. Simplificar las siguientes proposiciones: a) p ∧ (q∧ ∼ p) b) (p ∧ q) ∨ p c) (p ⇒ q)∨ ∼ p d) (p ⇒ q) ∨ p e) (q ⇒ p) ⇒ p f ) (p ⇒ q) ⇒ p g) (p ⇒∼ q) ∨ q h) p∧ ∼ (q ⇒ p) i) [p ∨ (q ⇔∼ p)] ⇒∼ q j ) [∼ (p ⇒ q) ∧ (∼ p ∧ q)] ∨ [r ⇒ (p ∨ r)] k) ∼ p ∧ (q ∧ p) l) {p ⇒ (∼ p ∨ r)} ∧ {r ⇒∼ p} m) {∼ (p ⇒ q) ⇒∼ (q ⇒ p)} ∧ (p ∨ q) Respuestas. a) F b) p c) p ⇒ q d) V e) p ∨ q f) ∼ q g) V h) F i) ∼ p j) V k) F l) ∼ p m) q 11. Derive a partir de las equivalencias elementales, las siguientes equiv- alencias: Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 30 b) p: A y B son pares, q: A + B es par. Respuestas. a) p es condición suficiente para q pero p no es condición necesaria para q. b) Mismas conclusiones para i). 21. Si las proposiciones compuestas i) p ⇔ (∼ q∨ ∼ r) y ii) ∼ p∨q son siempre verdaderas. Demuestre que la proposición [∼ r∧(p∨s)] ⇒ s ∨ q es también verdadera. 22. Negar las siguientes afirmaciones: a) ∀ x∃ y (x + y = 5 ⇒ y = −x) b) ∀ x∀ y [(x + y es impar) ⇒ (x es impar ∨ y es impar)] c) ∃ x ∀ y (x < y ∧ x2 ≥ y) d) ∀ x ∀ y ∃ z (x < y ⇒ x + z = y) 23. Averiguar el valor de verdad siendo U = R. a) ∀ x ∈ R (x < 0 ⇒ x < 3) b) ∃ x ∈ R (x2 ≥ 0 ⇒ x4 = x3) c) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R (x2 + y2 = 1) d) ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R (y < x ⇒ 2y < 10) Respuestas. a) V b) V c) F d) F 24. Dada la proposición, 8 no es impar divisible por 2, porque 9 no es múltiplo de 3. Determinar el valor de verdad de la proposición y ne- garla. Respuesta.Siendo p : 8 es impar, q : 8 es divisible por 2 y r : 9 es múltiplo de 3, aśı: ∼ r ⇒ (∼ p ∧ q). Mett ® Luis Zegarra A. Introducción a la lógica matemática y a la teoŕıa de conjuntos 31 25. Dadas las proposiciones abiertas p(x) : x2 ≥ x y (x) : x ≥ 0. Deter- mine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i) [p(1 2 ⇒ q(1)] ⇒ [p(x) ∧ q(x)] ii) ∀ x ∈ R :∼ p(x) ⇒∼ q(X) 26. Si la proposición (p∧ ∼ q) ⇒ (∼ r ⇒∼ t) es falsa, determine el valor de verdad de la proposición (p ∧ t) ⇒ (r ∨ q) ⇒ (u ⇔ v). Respuesta.V 27. Demostrar: a) Si n es par y m es impar, entonces (n + m) es impar, n,m ∈ N). b) Si xy = 0 entonces x = 0 ∨ y = 0. c) Si ab es impar, entonces a es mpar y b es impar. 28. Determine el valor de verdad de las siguienes proposiciones: a) ∀ x ∈ R : x2 ≥ x b) ∃ x ∈ R : 2x = x c) ∀ x ∈ R : 2x−1 4x−2 = 1 2 d) ∃ x ∈ R : x2 + 2x + 1 ≤ 0 e) ∀x ∈ R : −x2 + 4x− 5 > 0 29. Se define p ∗ q ≡ [(p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)]. Mediante el álgebra de proposiciones demuestre que el conectivo “∧.es distributivo con respecto a “x”pasa por la derecha.