ZEGARRA. Libro de Álgebra. 02 Relaciones y Funciones, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga ZEGARRA. Libro de Álgebra. 02 Relaciones y Funciones y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Mett ® Caṕıtulo 2 Relaciones y Funciones 2.1. Producto Cartesiano Definición El producto cartesiano de A y B, se define por A × B = {(a, b)/a ∈ A ∧ b ∈ B} A y B conjuntos dados , A × B se lee A cruz B (a, b) es un par ordenado, recuerde que a es el primer elemento del par y b es el segundo, en consecuencia (a, b) 6= (b, a) Número de elementos Sea m el número de elementos de A (es decir su cardinalidad) y n el número de elementos de B, entonces mn es el número de elementos de los productos A × B y B × A Gráfico Como los elementos de A × B son pares ordenados se acostumbra graficar dicho conjunto en un sistema de coordenadas rectangulares, es decir 32 Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 33 0 y x (a,b) a b elementos de b elementos de a Figura 2.1: Sistema de coordenadas Ejemplo1 Los gráficos siguientes representan a ciertos productos cartesianos dados. Notemos que en el caso de la figura 2.2 el número de elementos de AxB es finito (en este caso 7), en tanto que en los casos de las figuras 2.3 y 2.4 dicho número es infinito. 0 y x x x x x x x x 0 y x 0 y x . Figura 2.2 Figura 2.3 Figura 2.4 Propiedades 1 1. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 2. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) 3. A × (B − C) = (A × B) − (A × C) 2.2. Relaciones Definición R es una relación de A en B si y solo si: R ⊆ A × B. Aśı, notemos que los elementos de una relación son pares ordenados. Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 36 2.3. Clase de equivalencia Definición Sea R : A → A una relación de equivalencia, se define la clase de equiva- lencia del elemento x, por Cx = {y ∈ A/(x, y) ∈ R} Ejemplo 7 En Z , se define la relación R, por R = {(x, y)/(x− y) es múltiplo de 3} vamos a verificar que esta relación es: refleja, simétrica y transitiva, por tanto es de equivalencia , luego determinaremos la clase del elemento 2, finalmente todos los pares (2,y) ∈ R tales que 3 ≤ y ≤ 18 Nótese que: (x, y) ∈ R ⇔ x − y = 3k, k ∈ Z Refleja: ∀x ∈ Z, x − x = 3 · 0, 0 ∈ Z Simétrica: (x, y) ∈ R ↔ x − y = 3k, k ∈ Z ⇔ y − x = 3(−k),−k ∈ Z ⇔ (y, x) ∈ R Transitiva: (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇔ ∃k1, k2 ∈ Z/x − y = 3k1 ∧ y − z = 3k2 Sumando miembro a miembro se obtiene x − z = 3(k1 + k2), k1 + k2 = k con k ∈ Z ⇒ x − z = 3k, k ∈ Z ⇔ (x, z) ∈ R Aśı C2 = {y ∈ Z/(2, y) ∈ R} ⇒ C2 = {...,−4,−1, 2, 5, 8, 11, ....} o bien C2 = {y = 2−3k, k ∈ Z} todos los pares (2, y) ∈ R tales que 3 6 y 6 18, son {(2,2),(2,5),(2,8),(2,11),(2,14),(2,17)} 2.4. Relación inversa Relación inversa Sea R : A → B una relación dada. Se define R−1 : B → A como: R−1 = {(x, y) ∈ B × A : (y, x) ∈ R} Nótese que Dom R−1 = Rec R y Rec R−1 = Dom R También que si: (x, y) ∈ (R−1)−1 ⇔ (y, x) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈ R por tanto (R−1)−1 = R Ejemplo 8 Sea R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} entonces de inmediato R−1 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)} Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 37 Ejemplo 9 Sea R definida en los racionales por R = {(x, y)/2x+y = 12} entonces su relación inversa es R−1 = {(x, y)/2y+x = 12} 2.5. Ejercicios resueltos Ejercicio 1 Sean A, B y C conjuntos no vaćıos. Demostrar que a) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) b) (A − B) × C = (A × C) − (B × C) Demostración a) Sea (x, y) ∈ [(A ∩ B) × C] ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∧ y ∈ C ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ y ∈ C ⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ (x ∈ B ∧ y ∈ C) ⇔ (x, y) ∈ (A × C) ∧ (x, y) ∈ (B × C) ⇔ (x, y) ∈ [(A × C) ∩ (B × C)] luego (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) b) i) Sea (x, y) ∈ [(A − B) × C] ⇔ x ∈ (A ∩ Bc) ∧ y ∈ C ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∧ y ∈ C ⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ x /∈ B ⇒ (x, y) ∈ (A × C) ∧ (x, y) /∈ (B × C) ⇒ (x, y) ∈ [(A × C) − (B × C)] Luego se demostró que (A − B) × C ⇒ (A × C) − (B × C) (1) ii)(x, y) ∈ (A × C) − (B × C) ⇔ (x, y) ∈ (A × C) ∧ (x, y) /∈ (B × C) ⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ (x /∈ B ∨ y /∈ C) ⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ y /∈ C) ⇒ (x ∈ (A − B) ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ A ∧ F ) ⇒ (x, y) ∈ [(A − B) × C] (2) Luego por (1) y (2) se tiene que: (A − B) × C = (A × C) − (B × C) Ejercicio 2 Sean S, T relaciones de X → Y , pruebe que: a) (S−1)−1 = S b) (S ∩ T )−1 = S−1 ∩ T−1 Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 38 Prueba a) (x, y) ∈ (S−1)−1 ⇔ (y, x) ∈ S−1 ⇔ (x, y) ∈ S b) (x, y) ∈ (S ∩ T )−1 ⇔ (y, x) ∈ (S ∩ T ) ⇔ (y, x) ∈ S ∧ (y, x) ∈ T ⇔ (x, y) ∈ S−1 ∧ (x, y) ∈ T−1 ⇔ (x, y) ∈ (S−1 ∩ T−1) Luego (S ∩ T )−1 = S−1 ∩ T−1 Ejercicio 3 Sea R una relación de equivalencia de A en A. Demuestre que R−1 también es una relación de equivalencia. Demostración: i) Refleja: ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R ⇔ (x, x) ∈ R−1 Luego R−1 es refleja ii)Simétrica: (x, y) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R ⇔ (x, y) ∈ R por ser R simétrica, como (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R−1 luego R−1 es simétrica. iii)Transitiva: (x, y) ∈ R−1 ∧ (y, z) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R ∧ (z, y) ∈ R de aqúı (z, x) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R−1 esto prueba que R−1 es transitiva. Ejercicio 4 Sean S : A → B y R : B → C dos relaciones demostrar que: (R ◦ S)−1 = S−1 ◦ R−1 Demostración: ∀(x, y) ∈ (R ◦ S)−1 ⇔ (y, x) ∈ (R ◦ S) ⇔ ∃z ∈ B : (y, z) ∈ R ∧ (z, x) ∈ S ⇔ (z, y) ∈ R−1 ∧ (x, z) ∈ S−1 ⇔ ∃z ∈ B : (x, z) ∈ S−1 ∧ (z, y) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈ S−1 ∧ (z, y) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈ (S−1 ◦ R−1) luego (R ◦ S)−1 = S−1 ◦ R−1 Ejercicio 5 Sea R : N2 → N2 definida por (a, b) R (c, d) ⇔ a + d = b + c pruebe que R es una relación de equivalencia (N2 = N × N) y determine la clase del elemento (1, 2) Prueba i)Relfleja: ∀(a, b) ∈ N × N ⇔ a + b = b + a ⇔ (a, b)R(a, b) Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 41 a)Determinar los valores de k para los cuales T es simétrica b)Determinar los valores de k para los cuales T es refleja. Solución: a)(x, y) ∈ T ⇔ k2−kx+x2 = 4+ky−y2 note que si k = −2 ⇒ 4+2x+x2 = 4 − 2y − y2 ⇔ 4 + 2y + y2 = 4 − 2x − x2 ⇔ (y, x) ∈ T b)∀x ∈ R se debe tener (x, x) ∈ T , esto es que se cumpla k2 − kx + x2 = 4 + kx − x2 ⇔ k2 − 2xk + 2x2 − 4 = 0 k = x± √ 4 − x2 ecuación sólo válida para ciertos valores de x, lo que contradice el ∀x ∈ R, por lo que no existe k. Ejercicio 12 Sea f : A → A una función , se define la relación en A por aRb ⇔ f(a) = f(b) demuestre que R es una relación de equivalencia. Demostración: i) ∀x ∈ A : f(x) = f(x) ⇔ xRx lo que prueba que R es refleja. ii)xRy ⇔ f(x) = f(y) ⇔ f(y) = f(x) ⇔ yRx ⇒ R es simétrica. iii)xRy ∧ yRz ⇔ f(x) = f(y) ∧ f(y) = f(z) ⇒ f(x) = f(z) ⇒ xRz ⇒ R es transitiva. Ejercicio 13 Sea S una relación en el conjunto de los números reales definida por: xSy ⇔ 0 ≤ x − y ≤ 1 Graficar: S y S−1 Solución: xSy ⇔ x − y ≥ 0 ∧ x − y ≤ 1 graficamos primero las fronteras de S, es decir: x−y = 0∧x−y = 1 para luego considerar las desigualdades, ver gráfico de la figura 2.5 Para S−1 hacemos la simetŕıa de gráfico de S con respecto a la recta y = x, ver gráfico de la figura 2.6, note que xS−1y ⇔ 0 ≤ y − x ≤ 1 por definición de inversa. Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 42 10 y x x-y=0 -1 x-y=1 Figura 2.5: Gráfico de S 1 0 y x x-y=0 -1 x-y=1 Figura 2.6: Gráfico de S−1 Ejercicio 14 En R se dan las relaciones R = {(x, y)/y ≥ x2} S = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1} a) Grafique: R ∩ S, R−1, S−1 y R−1 ∩ S−1 b) Determine: Dom (R ∩ S), Rec (R ∩ S) Solución: R ∩ S = {(x, y)/y ≥ x2 ∧ x2 + y2 ≤ 1} -1 0 y x x+y=1 x=y2 1 1 Figura 2.7: Gráfico de R ∩ S Note que el dominio de R ∩ S está dado por la intersección de sus fronteras, es decir, la solución del sistema: y = x2 x2 + y2 = 1 ⇒ x2 + x4 = 1 ⇒ x2 = −1 ± √ 5 2 ⇒ x ≃ ±0,79 aśı Dom R ∩ S = {x/ − 0,79 ≤ x ≤ 0,79} y el Rec R ∩ S = {y/0 ≤ y ≤ 1} R−1 = {(x, y)/x ≥ y2} y S−1 = {(x, y)/y2 + x2 ≤ 1} = S Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 43 0 y x x=y2 Figura 2.8: Gráfico de R−1 -1 y x x2+y2=1 1 1 Figura 2.9: Gráfico de S−1 0 y x 1 Figura 2.10: Gráfico de R−1 ∩ S−1 Ejercicio 15 Graficar las siguientes relaciones definidas en los reales a) R = {(x, y)/0 ≤ x ≤ 2 ∧−1 ≤ y < 1} b) S = {(x, y)/y ≤ 1 2 x + 2} c) T = {(x, y)/|x|+ |y| ≤ 1} d) L = {(x, y)/x2 + y2 4 ≤ 1} Solución: 0 y x 21 y=-1 x=21 -1 Figura 2.11: Gráfico de R 0 y x 2 -2-4 Figura 2.12: Gráfico de S Para T si x e y > 0 ⇒ x + y ≤ 1 x < 0 e y > 0 ⇒ −x + y ≤ 1 x > 0 e y < 0 ⇒ x − y ≤ 1 x e y < 0 ⇒ −x − y ≤ 1 -x+y=1 x 0 x+y=1 x-y=1 -x-y=1 Figura 2.13: Gráfico de T Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 46 1. Domf = A 2. (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2 Note que una función es antes que nada una relación, es por esto que el Domf y Recf se encuentran ya definidos, también otros conceptos y propiedades definidas anteriormente. Quizás hay que recalcar que Domf = A y Recf ⊆ B En y = f(x) fórmula t́ıpica por cada función x ∈ Domf e y o f(x) ∈ Recf A, x se le llama pre-imagen y a y o f(x) imagen de x, aśı una vez más, de la definición es importante hacer notar que para cada pre-imagen x se tiene una y solo una imagen y. Funciones por tramos Definición Una función por tramos se puede definir como: Sea f : A → B una función. A = A1 ∪ A2 ∪ · · · · · ∪ An en que Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6= j y tal que fi : Ai → Bi es una función ∀ i = 1, 2, · · · · ·n y Bi ⊆ B. (Ver ejemplos 11 y 12) Ejemplo 10 Dadas las relaciones en R a) y = 2x + 1 b) y2 = x2 + 2 Ambas se pueden escribir también por f(x) = 2x + 1 y g2(x) = x2 + 2 f es una función pues ∀x ∈ R, ∃!y ∈ R : y = 2x + 1 g no es una función pues por ejemplo para x = √ 2 existen y1 = 2 e y2 = −2 , y1 6= y2 Ejemplo 11 Sea f : R → R, definida por f(x) = 2x−5 x+1 esta relación aśı definida no es una función pues Dom f 6= R, x = −1 no tiene imagen. Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 47 Ejemplo 12 Sea f : R → R, definida por tramos mediante f(x) = { x + 2 si x 6 3, −2x si x > 3. Notamos que f no es una función pues f(3) no tiene una sola imagen. Ejemplo 13 Sea f : R → R, definida por f(x) =      2 si x 6 −1 −x + 3 si −1 < x < 2 −x2 + 5 si x > 2 f(x) = 2, ∀x 6 −1 se llama función constante f(−1) = 2 , f(0) = 3 , f(10) = −102 + 5 = −95 f(f(2)) = f(1) = −1 + 3 = 2 f(2x) =      2 si 2x 6 −1 −2x + 3 si −1 < 2x < 2 −(2x)2 + 5 si 2x > 2 ⇔ f(2x) =      2 si x 6 −1 2 −2x + 3 si −1 2 < x < 1 −4x2 + 5 si x > 1 Propiedades Función Inyectiva o uno a uno Sea f : A → B una función. f es uno a uno si y solo si : ∀x1, x2 ∈ A, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) o bien es equivalente a decir f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. Note la importancia del sentido de las implicaciones. Ejemplo 14 Sea: f : R − {−1} → R definida por f(x) = 2x−1 x+1 . Esta función es uno a uno pues ∀x1, x2 ∈ R − {−1} si f(x1) = f(x2) ⇔ 2x1 − 1 x1 + 1 = 2x2 − 1 x2 + 1 ⇔ 2x1x2 + 2x1 − x2 − 1 = 2x1x2 + 2x2 − x1 − 1 ⇔ x1 = x2 Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 48 Ejemplo 15 Sea: f : R → R definida por f(x) = { 3x + 2 si x ≤ 0 2 − x si x > 0 Note que esta función aparentemente es uno a uno pues ∀x > 0 lo es, como también ∀x ≤ 0, pero no es suficiente pues por ejemplo, para y = −1 se tienen dos preimágenes que son x = −1 o x = 3. Función sobre o epiyectiva Sea: f : A → B una función. f es sobre si y solo si ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y o bien es equivalente a decir que Rec f = B. Ejemplo 16 La función del ejemplo 14 no es sobre pues, para y = 2 no tiene pre imagen, lo que contradice el ∀y ∈ R Ejemplo 17 Sea f : R → [1, +∞) definida por f(x) = { x + 2, si x > 0 x2 + 1, si x ≤ 0 0 y x y=x+2y=x2+1 Figura 2.15: Gráfico de f(x) Esta función es sobre, pues: Si x ≤ 0 ⇒ y = x2 + 1 ⇔ x = ±√y − 1 como x ≤ 0 ⇒ x = −√y − 1 lo que es válido solo si y − 1 ≥ 0 ⇒ y ≥ 1 (1) Si x > 0 ⇒ y = x + 2 ⇔ x = y − 2 como x > 0 ⇒ y − 2 > 0 ⇔ y > 2 (2) Luego, efectuando la unión de (1) y (2) resulta que el Rec f = [1, +∞) lo que prueba que f es sobre. Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 51 De (1) y (2) se concluye que y = f(g(x)) lo cual también se acostumbra denotar por y = (f ◦ g)(x) luego (f ◦ g) = f(g(x)). Ejemplo 18 En R sean las funciones f(x) = 2x + 5 y g(x) = x2 − 1. Note que (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2 − 1) = 2(x2 − 1) + 5 = 2x2 + 3 y (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 5) = (2x + 5)2 − 1 = 4x2 + 20x + 24 Este ejemplo es suficiente para hacer notar que en general f ◦ g 6= g ◦ f Propiedad Sea: f y g dos funciones, entonces f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. La demostración queda propuesta para Ud. Ejemplo 19 En R, sean las funciones: f(x) = 4 x , x 6= 0 y g(x) = 1 − x x , x 6= 0 Vamos a determinar los dominios de f ◦ g y g ◦ f (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(1 − x x ) = 4x 1 − x ⇒ Dom f ◦ g = R − {0, 1} (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g( 4 x ) = 1 4 (x − 4) ⇒ Dom g ◦ f = R − {0} 2.11. Algebra de funciones Definición Sean: f : A → B y g : A → C cuyos dominios son Dom f y Dom g se definen: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f − g)(x) = f(x) − g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) ( f g ) (x) = f(x) g(x) El dominio de f + g, f − g y fg es el conjunto de todos los elementos comunes a los dominios de f y g Dom (f + g) = Dom (f − g) = Dom fg = Dom f ∩ Dom g Para Dom f g = Dom f ∩ Dom g, excepto para aquellos x para los cuales g(x) = 0. Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 52 Ejemplo 20 Sea: f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 − 1 entonces: f(x) + g(x) = 2x + x2 f(x) − g(x) = 2x − x2 + 2 f(x)g(x) = (2x + 1)(x2 − 1), Dom f + g = Dom f − g = Dom f · g = R f(x) g(x) = 2x + 1 x2 − 1 , Dom f g = R − {±1} 2.12. Ejercicios Resueltos 1. Sea f(x) = a x + b una función en R, a y b constantes. Determine a y b en los siguientes casos: i) (1,−2) ∈ f ∧ f(0) = 4 ii) f(1) = g(1) ∧ f(−1) = 4 3 donde g(x) = 2 x+2 Solución. i) (1,−2) ∈ f ⇒ f(1) = −2 ⇔ a + b = −2 por otra parte f(0) = 4 ⇔ b = 4 con lo que resulta a = −6. Aśı f(x) = −6 x + 4 ii) f(1) = g(1) ⇒ a + b = 2 3 ∧ f(−1) = 4 3 ⇒ −a + b = 4 3 de donde resolviendo este sistema de ecuaciones resultan: a = −1 3 ∧ b = 1 ⇒ f(x) = −1 3 x + 1 2. Determine el dominio y recorrido de las siguientes funciones definidas sobre los reales a) f(x) = 3 x2 − 1 b) f(x) = x2 − 4x + 1 c) f(x) = x x−2 d) f(x) = 1√ x−2−2 e) f(x) = 1|x|−1 f) f(x) = x 2−4 x2 g) f(x) = x 2−2x 4−x2 Solución. a) Dom f = R, para el recorrido y = 3 x2 − 1 ⇒ 3 x2 = y + 1 como 3 x2 ≥ 0 ⇒ y + 1 ≥ 0 ⇒ y ≥ −1 ⇒Rec f = [−1, +∞] b) Dom f = R, para el recorrido x2−4x+1 = y ⇒ (x−2)2 = y+3 ⇒ y ≥ −3 ⇒Rec f = [−3, +∞] Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 53 c) Dom f = R−{2}, para el recorrido y = x x−2 ⇒ x = 2y y−1 ⇒Rec f = R − {1} d) Dom f ⇒ √ x − 2 − 2 6= 0 ∧ x − 2 ≥ 0 ⇒Dom f = [2, 6) ∪ (6, +∞), para el recorrido se tiene √ x − 2 = 1 y +2 ⇒ 1 y +2 ≥ 0 para todo x del dominio, lo que nos da Rec f = (−∞,−1 2 ] ∪ (0, +∞). e) Dom f = R − {±1}, para el recorrido se tiene |x| = y+1 y que debe ser ≥ 0 por la condición del módulo⇒Rec f = (−∞,−1]∪ (0, +∞) f) Dom f = R − {0}, ahora como x2 = 4 1−y ≥ 0 ⇒ y < 1 ⇒Rec f = (−∞, 1) g) Dom f = R−{±2}, para todo x del dominio se tiene x = −2y y+1 ⇒ y 6= −1 pero note que si x = 2 ⇒ y = −1 2 que tampoco debe estar en el recorrido pues x 6= 2, por tanto Rec f = R − {−1 2 ,−1} 3. Sea f : R → R una función definida por f(x) =    2x + 5 si x > 9 x2 − |x| si −9 ≤ x ≤ 9 x + 2 si x < −9 a) Calcule: f(0), f(−9), f(−12), f(10) y f(f(3)) b) Hallar el Rec f . Solución. a) f(0) = 02−|0| = 0 f(−9) = (−9)2−|−9| = 72, f(−12) = −12+2 = −10, f(10) = 2 · 10 + 5 = 25 f(f(3)) = f(32 − |3|) = f(6) = 62 − |6| = 30 b) i) ∀ x > 9 ⇒ y = 2x+5 ⇒ x = 1 2 (y−5) como x > 9 ⇒ 1 2 (y−5) > 9 ⇒ y > 23 (1) ii) ∀ x : −9 ≤ x ≤ 9 ⇒ y = x2−|x| ⇔ (|x|−1 2 )2 = y+ 1 4 ⇒ y ≥ −1 4 (∗) , y ahora considerando 0 ≤ x ≤ 9 ⇒ (|x|−1 2 )2 = y + 1 4 ⇔ x = 1 2 + √ y + 1 4 note que el signo (−) no se puede considerar, luego se debe tener 0 ≤ 1 2 + √ y + 1 4 ≤ 9 ⇒ √ y + 1 4 ≤ 17 2 ⇒ y ≤ 72 (∗∗) Análogamente ∀ x : −9 ≤ x < 0 ⇒ (|x|−1 2 )2 = y + 1 4 ⇔ (−x − 1 2 )2 = y + 1 4 ⇔ −x − 1 2 = ± √ y + 1 4 ⇒ −x = 1 2 + √ y + 1 4 note que esta última implicación es por ser x negativo, luego se debe tener−9 ≤ −1 2 − √ y + 1 4 < 0 ⇒ √ y + 1 4 ≤ 17 2 lo mis- mo que en (∗∗), por tanto de (∗) y (∗∗) resulta: −1 4 ≤ y ≤ 72 (2) Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 56 iii) x1 ∈ (−∞, 2] ∧ x2 ∈ (2, +∞], como x1 6= x2 vamos a demostrar que f(x1) 6= f(x2); supongamos que f(x1) = f(x2) para x1 y x2 indicados, esto implica que 2−x1 = 4−2x2 ⇒ x1 = 2x2−2 pero x1 ≤ 2 ⇒ 2x2−2 ≤ 2 ⇒ x2 < 2 lo que contradice la hipótesis, luego lo supuesto es erróneo por tanto f(x1) 6= f(x2) ∀ x1 6= x2 Sobre: ∀x ≤ 2 ⇒ y = 2 − x ⇒ x = 2 − y ⇒ 2 − y ≤ 2 ⇒ y ≥ 0, (1) ∀x > 2 ⇒ y = 4 − 2x ⇒ x = 1 2 (4 − y) ⇒ 1 2 (4 − y) > 2 ⇒ y < 0, (2) luego por (1) y (2) se tiene que Rec f = R, lo que prueba que f es sobre. Intercambiando x por y en (1) y (2), se tiene: f−1(x) = { 2 − x si x ≥ 0 2 − x 2 si x < 0 Fórmula para (f−1 ◦ g) (x) (f−1◦g) (x) =           f−1(−1) si x ≤ 0 { 2 − (−1) si − 1 ≥ 0 2 − (−1) 2 si − 1 < 0 f−1(x − 1) si x > 0 { 2 − (x − 1) si x − 1 ≥ 0 2 − x−1 2 si x − 1 < 0 Ahora como: (x ≤ 0 ∧−1 ≥ 0) ⇒ ∅; (x ≤ 0 ∧ −1 < 0) ⇒ x ≤ 0; (x > 0 ∧ x − 1 ≥ 0) ⇒ x ≥ 1; (x > 0 ∧ x − 1 < 0) ⇒ 0 < x < 1) luego (f−1 ◦ g) (x) =               5 2 si x ≤ 0 5−x 2 si 0 < x < 1 3 − x si x ≥ 1 9. Dadas en R : f(x) = x2, g(x) = 1 x y h(x) = sen x a) Calcule: (f+g)(−2), (fg) ( π 3 ) , ( h g ) ( π 2 ) , (f ◦ h) ( π 6 ) y (g ◦ h) ( π 3 ) b) Hallar el dominio de: f + g, g ◦ h, h ◦ g, g ◦ g y g fh Solución. a) (f + g)(−2) = f(−2) + g(−2) = (−2)2 + 1−2 = 72 (fg) ( π 3 ) = f ( π 3 ) g ( π 3 ) = ( π 3 )2 3 π = π 3 ( h g ) ( π 2 ) = h(π2 ) g(π2 ) = sen π 2 2 π = π 2 (f ◦ h) ( π 6 ) = f(h(π 6 )) = f(senπ 6 ) = f(1 2 ) = 1 4 (g ◦ h) ( π 3 ) = g(h(π 3 )) = g(senπ 3 ) = g( √ 3 2 ) = 2√ 3 Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 57 b) Como Dom (f + g) =Dom f∩Dom g; Dom f = R, Dom g = R − {0} entonces Dom (f + g) = R − {0} Dom (g ◦ h) = { x ∈ R : x ∈Dom h ∧ h(x) ∈Dom g }, como (g ◦ h) (x) = g(sen x) = 1 sen x ⇒Dom (g ◦ h) = { x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z }, de igual forma como (h ◦ g) (x) = sen ( 1 x ) ⇒Dom (h ◦ g) = { x ∈ R : x 6= 0 } ( g◦g) (x) = g( 1 x ) = x, aparentemente ∀ x ∈ R, pero de la definición x ∈Dom g ⇒ Dom (g ◦ g) = R − {0}. 10. Sean f y g dos funciones definidas en R por: f(x) = x+|x| 2 , g(x) = { x si x < 0 x2 si x ≥ 0 Demuestre que: f ◦ g = g ◦ f Solución. Recordemos que: |x| = { x si x ≥ 0 −x si x < 0 i) ∀ x < 0, (f ◦ g) (x) = f(g(x)) = f(x) = x+(−x) 2 = 0 ∀ x ≥ 0, (f ◦ g) (x) = f(g(x)) = f(x2) = x2+|x2| 2 = x2, por otra parte ii) ∀ x < 0, (g ◦ f) (x) = g(f(x)) = g(0) = 02 = 0 ∀ x ≥ 0, (g ◦ f) (x) = g(f(x)) = g(x) = x2 Por i) y ii) se concluye que: (f ◦g) (x) = (g ◦ f) (x) = { 0 si x < 0 x2 si x ≥ 0 11. Dados a, b, c y d constantes reales, donde f(x) = ax + b; g(x) = cx + d. Encuentre la condición necesaria y suficiente para tales constantes de modo que f ◦ g = g ◦ f Solución. (f ◦ g) (x) = (g ◦ f) (x) ⇔ f(cx + d) = g(ax + b) ⇔ a(cx + d) + b = c(ax + b) + d ⇔ acx + ad + b = cax + cb + d ⇔ ad + b = cb + d, que es la condición pedida. 12. Se define f : R → R, por f(x) = { x2 − 3x si x ≥ 2 x − 4 si x < 2 a) Pruebe que f es biyectiva b) Determine una fórmula para f−1 y luego grafique f y f−1en el mismo sistema. Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 58 Solución. a) Debemos probar que f es: uno a uno y sobre⇒ f es biyectiva, Uno a uno: i) ∀x1, x2 ≥ 2, f (x1) = f (x2) ⇔ x21 − 3x1 = x22 − 3x2 ⇔ (x1 − x2) (x1 + x2 − 3) = 0, ahora notemos que x1 + x2 − 3 ≥ 1 pues x1, x2 ≥ 2 entonces x1 = x2 ii) ∀x1, x2 < 2, f (x1) = f (x2) ⇔ x1 − 4 = x2 − 4 ⇔ x1 = x2 iii) ∀x1 ≥ 2 ∧ x2 < 2 como x1 6= x2 probaremos que f (x1) 6= f (x2) suponiendo para ello que f (x1) = f (x2) ⇔ x21 −3x1 = x2 − 4 ⇔ x2 = (x1 − 32)2 + 74 pero x2 < 2 ⇒ (x1 − 32)2 + 74 < 2 ⇒ (x1 − 32)2 < 14 ⇒ x1 < 2 lo que contradice la hipótesis, luego f (x1) 6= f (x2), ∀ x1 6= x2. Por i), ii) y iii) se concluye que f es uno a uno. Sobre: i) ∀ x ≥ 2 ⇒ y = x2 − 3x ⇔ (x− 3 2 )2 − 9 4 = y ⇔ x = 3 2 ± √ y + 9 4 como x ≥ 2 ⇒ 3 2 + √ y + 9 4 ≥ 2 ⇒ √ y + 9 4 ≥ 1 2 ⇒ y ≥ −2, (1) ii) ∀x < 2 ⇒ y = x− 4 ⇔ x = y + 4 pero x < 2 ⇒ y + 4 < 2 ⇒ y < −2, (2) Por (1) y (2) concluimos que el Rec f = R, lo que prueba que f es sobre. b) De (1) permutando x por y se tiene y = 3 2 + √ x + 9 4 , ∀x ≥ −2 análogamente de (2) se tiene y = x + 4, ∀x < −2, en resumen f−1(x) = { 3 2 + √ x + 9 4 si x ≥ −2 x + 4 si x < −2 y x 1 2 2 -2 3 -2-4 y=x2-3x y=x y= + x+3 2 3 4 Figura 2.19: Gráficos de f y f−1 13. El peŕımetro de un rectángulo de lados x e y es dado, determine la función que calcula el área del rectángulo en términos del lado x. Solución. Sea P el peŕımetro del rectángulo de lados x e y y A su área, entonces Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 61 a) f(x) = 4 − 2x2 b) f(x) = x2 − 2x c) f(x) = |x2 − 2 x | d) f(x) = x−2 x e) f(x) = 1 2− √ 1−x f) f(x) = x 2−1 x2+1 g) f(x) = √ 4 − |x| h) f(x) = 4 2−|x+1| Respuestas. a) Dom f = R, Rec f = (−∞, 4] b) Dom f = R, Rec f = [−1,+∞) c) Dom f = R, Rec f = [0,+∞) d) Dom f = R − {0}, Rec f = R − {1} e) Dom f = (−∞,−3) ∪ (−3, 1), Rec f = (−∞, 0) ∪ [1 2 , +∞) f) Dom f = R, Rec f = R − {1} g) Dom f = [−4, 4], Rec f = [0, 2] h) Dom f = R − {−3, 1},Rec f = (−∞, 0) ∪ [2, +∞). 2. Dada la relación f en R, por f (x) = x 2+x−6 x2−9 a) ¿Es función? si no lo es encontrar el mayor subconjunto de R, tal que sea su dominio para que sea una función. b) Determine el dominio y recorrido de f tal que sea biyectiva y en- cuentre una fórmula para f−1(x). Respuesta. a) Dom f = R − {±3}, b) Dom f = R − {±3}, Rec f = R − {5 6 , 1}; f−1(x) = 3x+2 1−y 3. Sean las funciones f y g tales que f (x) = x2−2 x−2 y g (x) = a x+b. Determine a y b, de modo que f ◦ g = g ◦ f, ∀ x ∈ R . Respuesta. ( a = 0 ∧ b = 3± √ 17 2 ) ∨ ( a = 1 ∧ b = 0 ) 4. Sea f : R → R una función definida por f (x) = 3 x + 4, demuestre que f es biyectiva y encuentre una fórmula para f−1. Respuesta. f−1 (x) = 1 3 (x − 4) Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 62 5. Sea f : R−{−1 2 } → R−{1 2 } una función dada por f (x) = x−3 2x+1 probar que f es uno a uno y sobre y luego hallar una fórmula para f−1. Respuesta. f−1 (x) = x+3 1−2x 6. Sean f y g funciones de R → R, definidas por: f(x) = { x + 2 si x ≤ 2 2 x si x > 2 g(x) = { 1 si x > 1 0 si x ≤ 1 a) Demostrar que f es biyectiva. b) Hallar fórmula para f−1. c) Grafique f y f−1 en un solo sistema. d) Determine una fórmula para g ◦ f−1 Respuesta. c) y x 2 2 -2 4-2 y=2x y=x 6 4 y= x 2 y=x+2 Figura 2.25: Gráfico de f y f−1 d)(g ◦ f−1) = { 1 si x > 3 0 si x ≤ 3 7. Sean A = [−4, 4]; B = [0, 4] y C = [−4, 0]; R1 : A → B; R2 : A → C; R3 : B → A y R4 : B → C. Dada Ri = { (x, y) : x2 + y2 = 16 } ∀ i = 1, 2, 3, 4 representar Ri en un plano cartesiano y establecer si la relación es o no una función. Respuesta. R1, R2 y R4 son funciones. 8. Determinar cuáles de las siguientes relaciones son funciones de R → R, justifique. Grafique R1, R2 y R3. a) R1 = { (x, y) : 3x + 5y = 8 } b) R2 = { (x, y) : x2 + y2 > 1 } c) R3 = { (x, y) : x = y } Mett ® Luis Zegarra Relaciones y funciones 63 d) R4 = { (x, y) : y2 − x2 = 0 } e) R5 = { (x, y) : y3 − x3 = 0 } Respuesta. R1, R3 y R5 son funciones. 9. Cada una de las siguientes fórmulas define una función de R → R. Hacer el gráfico de cada una de ellas en el plano cartesiano. a) f (x) = 2x − 1 b) f (x) = x2 − 2x − 1 c) f (x) = |x2 − 2x − 1| d) f (x) = |x|2 − 2 |x| −1 e) f (x) =      x2 si x ≥ 2 4 si − 6 ≤ x < 2 x + 10 si x < −6 f ) f (x) = { |x + 1|−2 si |x| ≤ 2 1 − x si |x| > 2 10. Dadas las funciones f (x) = x2 +1; g (x) = sen x y h (x) = √ x − 1 Hallar: f (5) ; g ( π 6 ) ; h (10) ; (f ◦ g) ( π 2 ) ; (g ◦ f) (1) ; (f ◦ h) (17) ; (f ◦ g ◦ h) (x) ; (f◦h◦g) (x) ; (g◦f◦h) (x) ; (f+g) (x) ; (h−g) (x) ; ( g f ) (x) ; [h◦(f+g)] (x) f(x + k) − f (x) ; 1 k [h(x + k) − h (x)]. Respuesta. f (5) = 26; g ( π 6 ) = 1 2 ; h (10) = 3; (f ◦ g) ( π 2 ) = 2; (g◦f) (1) = sen 2; (f◦ h) (17) = 17; (f ◦ g ◦ h) (x) = sen2 √ x − 1 + 1; (f ◦ h ◦ g) (x) = sen x note que en este caso x = 2kπ + π 2 , k ∈ Z luego (f ◦ h ◦ g) (x) = 1; (g ◦f ◦h) (x) = sen x , ∀x ≥ 1; (f +g) (x) = x2 +1+sen x; (h−g) (x) =√ x − 1 − sen x; ( g f ) (x) = sen x x2+1 ; [h ◦ (f + g)] (x) = √ x2 + 1 + sen x f(x + k) − f (x) = 2kx + k2; 1 k [h(x + k) − h (x)] = 1√ x+k−1− √ x−1 11. Sea f : R → R definida por f (x)= { 2 − x si x ≤ 2 2x − x2 si x > 2 Pruebe que f es biyectiva y luego encuentre una fórmula para f−1. Respuesta. f−1(x) = { 2 − x si x ≥ 0 1 + √ 1 − x si x < 0