ZEGARRA. Libro de Álgebra. 04 Progresiones, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga ZEGARRA. Libro de Álgebra. 04 Progresiones y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Mett ® Capítulo 4 Progresiones 4.1. Progresiones Aritméticas Definición 1 Se dice que una sucesión es una progresión aritmética si y solo si se+ T ÞEÞ8 a b puede expresar por + œ +  8  " .8 " a b donde y son reales.+ ." Como bien sabemos es el primer término de la sucesión, en este caso de la+" progresión y se acostumbra a llamar diferencia simétrica de ella.. Ejemplo 1 + œ %8  ( T ÞEÞ + œ ""  8  " %8 8es una pues se puede expresar como notea b que en este caso: y .+ œ "" . œ %" Propiedad 1 Una sucesión de números reales tal como + ß + ß + ß † † † †" # $ representa a una si y solo si T ÞEÞ . œ +  + ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8  "Ñ5" 5 Demostración. +  + œ +  5 .  œ .5" 5 " a b+  5  " ." a b Ejemplo 2 La sucesión: es una pues " " " "  B "  B ß ß ß † † † † B Á " T ÞEÞ "  BÈ È a b Mett ® . œ  œ  œ " " " " "  B "  B "  B"  B "  B BÈ È È Observaciones 1 1) Nótese que para cualquier T ÞEÞ + œ +  .ß a 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß Ð8  "Ñ5" 5 2) Dependiendo de los ejercicios en algunos casos es conveniente tomar la terna en en otros el cuarteto yT ÞEÞ À +  .ß +ß +  . +  $.ß +  .ß +  .ß +  $. así sucesivamente. (Ver ejercicios resueltos: 2 ) Propiedad 2 La suma de los primeros términos de una cuyo primer término es y su8 T ÞEÞß +" diferencia es:.ß W œ Ò #+  8  " . Ó 8 # 8 " a b Demostración. W œ +  5  " .8 " 5œ" 8! a ba b a b! !œ + 8  .Ö 5  " × œ + 8  .Ö 8 8  "  8×" " 5œ" 5œ" 8 8 " # œ 8 # Ò #+  8  " . Ó" a b Interpolación Cuando se pide interpolar medios aritméticos entre y reales dados, significa: + , que: los números en cuestión y deben estar en .+ß : , T ÞEÞ 4.2. Ejercicios Resueltos 1. El tercer término de una es y el término de lugar 21 es con yT ÞEÞ + +  $' ,ß + , ß T ÞEÞreales dados no nulos a la vez. Determine la . Solución. Por hipótesis de donde+ œ +  #. œ + • + œ +  #! . œ +  $' ,$ " #" " resolviendo el sistema para y se obtiene y por tanto+ . + œ +  %, . œ #," " resulta que es la pedida.+ œ #, 8  +  ', T ÞEÞ8 2. La suma de tres números en es y su producto es Determine talesT ÞEÞ "# %)Þ números. Mett ® Por hipótesis tenemos: W œ Ò#+  :  " .Ó œ !ß : Á ! Ê #+  :  " . œ ! : # : a b a b de donde por otra parte es la suma de los. œ ß : Á "à W œ W  W ß W #+ "  : :; : ; W œ ! Êsiguientes términos, ahora como : W œ W œ Ò#+  :  ;  " :  ; + :  ; ; # "  : :; a b a b#+ "  : Ó œ 10. Si la suma de los primeros términos de una es y la suma de los : T ÞEÞ ; ; primeros términos es Demuestre que la suma de los primeros términos es:Þ :  ;  Ð :  ;ÑÞ Demostración. Nos dicen que: W œ Ò#+  :  " .Ó œ ; • W œ Ò#+  ;  " .Ó œ :ß : ; # # : " ; "a b a b resolviendo éste sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos: y . œ + œ  # :  ; Ò;  :  " :  ; Ó :; :; a b a ba b " # por tanto y remplazando los valores de yW œ .Óß +:; " :  ; # Ò#+  :  ;  "" a b .ß W œobtenemos luego de simplificación algebraica, que: :;  Ð :  ;ÑÞ 11. La suma de los primeros términos de una es y la de los &! T ÞEÞ #!! &! siguientes Determine el primer término y la diferencia#(!!Þ Þ Solución. W œ #& Ò#+  %*.Ó œ #!! "&! " a b tambien W  W œ &! Ò &! Ò"!! &! #+  **.Ó  #!! œ #(!! Í #+  **.Ó œ #*!! # ß" " a b resolviendo el sistema formado por y resultan: y a b a b" # ß + œ  . œ "Þ%" # " 12. Dada la T ÞEÞ À %ß "#ß #!ß #)ß Þ Þ Þ Þ a) Demuestre que la suma de términos de la sucesión es un cuadrado perfecto.8 b) Calcule en base a lo anterior.È%'#% c) Determine si <ß +  + œ W< <" "' Solución. Mett ® a) W œ Ò# † %  8  " )Ó œ #88 8# #a b a b b) %'#% œ #8 Í 8 œ $% Ê %'#% œ W Í %'#% œ W œ # † $% œ ')a b È È# $% $% c) W œ "!#% œ Ò%  <  " )Ó  Ò%  <)Ó Í "!#% œ "' < Í < œ '%Þ"' a b 13. Hallar la relación entre e , de manera que el medio aritmético de lugar entreB C <ß B #Cß < #B CÞ 8y sea el mismo que el medio aritmético de lugar entre e Habiendo medios aritméticos interpolados en cada caso. Solución. Para el primer caso: #C œ B  Ð8  "Ñ . Í . œ Ê + œ B  < . #C  B 8  " " " < " para el segundo caso C œ #B  8  " . Í . œ Ê + œ #B  <. C  #B 8  " a b # # #<w Ahora por hipótesis de donde+ œ +< w< B  < Í B 8  <  " œ C< C  #B 8  " #C  B 8  " œ #B  < a b 14. En una se conoce la suma de los primeros términos y la suma deT ÞEÞ W 7 W7 8 los primeros términos. Calcular la diferencia de la 8 T ÞEÞÞ Solución. De inmediato y de dondeW œ Ò#+  7 " . Ó W œ Ò#+  8  " . Ó 7 8 # # 7 " 8 "a b a b  #8W œ  #87+  8 7 " . #7W œ #87+ 7 8 " .7 " 8 "a b a by sumando miembro a miembro resulta # 7W  8W œ .78 7 8 Í . œ ß 7 Á 8 # 7W  8W 78 7 8 a b a b a ba b8 7 8 7 15. Si están en demostrar que 691 Bß 691 Bß 691 B T ÞEÞß 8 œ 58 5 7 8 5# 691 7a b Demostración. 691 Bß 691 Bß 691 B T ÞEÞ Í 691 B  691 B œ 691 B  691 B Í 5 7 8 7 5 8 7 en llevando a base se tiene: "! œ  #691 B 691 B 691 B 6917 691 5 691 8 Í #691 5 691 8 œ 6917 691 8  6917 691 5 Mett ® Í 691 8 œ 691 7 691 8  691 5 Í 8 œ 58# # 691 7 5 5a b a b 16. Una persona debe pagar una deuda de en cuotas que forman una$'!Þ!!! %! T ÞEÞ $!cuando de los pagos están cubiertos la persona fallece, dejando la tercera parte de la deuda sin pagar. Calcule el valor del primer pago. Solución. Sean y el primer término y la diferencia de la en cuestión, entonces:+ . T ÞEÞ" W œ #! Ò #+  $*. Ó œ $'!!!! "%! " a b W œ "& Ò #+  #*. Ó œ † $'!!!! #$! " #$ a b de donde resolviendo el sistema formado por y se obtiene:a b a b" # . œ #!! + œ &"!!Þy " %Þ$Þ Progresiones Geométricas Definición 1 Se dice que una sucesión es una progresión geométrica si y solo si se+ T ÞKÞ8 a b puede expresar por + œ + <8 " 8" donde y son reales.+ <" Como bien sabemos es el primer término de la sucesión, en este caso de la+" progresión y se acostumbra a llamar razón constante< Ejemplo 1 + œ T ÞKÞ + œ " " " # # # 8 8 8 8"Œ  Œ es una pues se puede expresar como note que en este caso: y + œ < œ " " # # " Propiedad 1 Una sucesión de números reales tal como + ß + ß + ß † † † †" # $ Mett ® 4. En una si los términos de lugares y son respectivamente: y T ÞKÞ :ß ; < +ß , -Þ Demuestre que + , - œ "a b a b a b;< <: :; Demostración. Sea el primer término e la razón de la luego:B C T ÞKÞß B C œ +ß B C œ ,ß B C œ -:" ;" <" de donde obtenemos: + œ B Ca b a b a ba b;< ;< :" ;< , œ B Ca b a b a ba b<: <: ;" <: - œ B Ca b a b a ba b:; :; <" :; multiplicando miembro a miembro, finalmente + , - œ "a b a b a b;< <: :; 5. Demostrar que el término de lugar de una cuyo primer término es Ð8  "Ñ T ÞKÞ + y el tercer término es es igual al término de lugar de otra cuyo,ß #8  " T ÞKÞa b primer término es y cuyo quinto término es + ,Þ Demostración. De la primera se tiene: T ÞKÞ + < œ , Í < œ Ê + œ + , , + + # 8"Œ  Œ  " 8 # # De la segunda T ÞKÞ À + < œ , Í < œ Ê + œ + œ + , , , + + + % #8"Œ  Œ  Œ  " #8 8 % % # 6. Calcular la suma W œ #    † † † †  +  , +  , +  , +, + , + , # # 8 8 # # 8 8 Solución. W œ "    † † †   "    † † † " " " " " + + + , ,# 8 #  " ,8 œ  œ   "  " +  " ,  " + +  " , ,  " ˆ ‰ ˆ ‰ a b a b " " + , " " + , 8" 8" 8" 8" 8 8 "  " 7. Si están en demostrar que+ß ,ß -ß . T ÞKÞß Mett ® a b a b a b a b,  -  -  +  .  , œ +  .# # # # Demostración. +ß ,ß -ß . T ÞKÞ Í œ œ Í , œ +- • - œ ,. • ,- œ +. , - . + , - en # # Ahora, a b a b a b,  -  -  +  .  , œ #,  #-  +  .  #+-  #,-  #,.# # # # # # # œ #+-  #,.  +  .  #+-  #+.  #,.# # œ +  .  #+. œ +  .# # #a b 8. Calcular la suma indicada, hasta términos.8 W œ "     † † † † $ & ( # % ) 8 Solución. Observemos que + œ Ê W œ Í W œ ß #8  " #5  " " #5  " # # # # 8 8 88" 5" 5 5œ" 5œ" 8 8" " de aquí W  W œ "    " #5  " #5  " #8  " # # # # 8 8 5œ# 5œ" 8 8" 5" 5 8 " " " #Ð5  "Ñ  " #5  " #8  " # # # # W œ "   8 5œ" 5œ" 8" 8" 5"" 5 8 " " " # #8  " #8  " # # # # W œ "   œ "   Ð Ñ  "  " 8 5œ" 8" 5 8 8 " # 8" " # " W œ '  %  " #8  " # # 8 8" 8"Œ  9. Si como resolver:B À C # À "ß %  "'  %  "'  %  "' œ "$'&#B C %B C 'B C " " $ # # # Solución. Agrupando covenientemente y observando que se forman dos se tiene:T ÞKÞß %  %  %  "'  "'  "' œ "$'&#B %B 'B C C C " " $ # # # %  "' œ "$'& Í %  "' œ & "'  " "'  " "& "& #B C #B C $ $ " " # # Mett ® Í %  #! %  '% œ ! Ê % œ #! „ "# " # #B B B a b de donde se obtienen: B œ # • C œ "à B œ " • C œ " # " " # # 10. Demostrar que el número que tiene cifras y E œ """Þ Þ Þ ""#)))Þ Þ Þ )*'ß 8 " 8  " cifras es un cuadrado perfecto; Calcular tambien para )ß Eß 8 œ %ÞÈ Demostración. Notemos que tiene cifras, expresando en potencias de se tieneE # 8  " E "!a b E œ "!  "!  † † †  "!  # † "!  ) † "!  ) † "!  † †#8" #8 8# 8" 8 8" † †  ) † "!  * † "!  '# E œ "! "!  "!  † † †  "  # † "! 8# 8" 8# 8"a b ) † "! Ð"!  † † †  "Ñ  *'# 8# E œ "! † "!  "  # † "!  ) † "! † "!  "8# 8 8" # 8"" "* *a b a b E œ Ð"!  "!  ) † "!  ) † "!  ") † "!  )'%Ñ"* #8# 8# 8" # 8" E œ Ð"!  "'! † "!  '%Ñ œ Ò "!  ) Ó Ê E œ "!  )" " "* $ $ #8# 8 8" # 8"a b a bÈ para 8 œ %à E œ """"#)))*' œ "!  ) œ $$$$'ÞÈ È a b"$ & ""Þ 8 Encuentre la suma de términos de la sucesión cuyo k-ésimo término es + œ #5  " #5 5a b Solución. W œ W œ8 8 5œ" 5œ" 8 8! !a b a b#5  " # Í # #5  " #5 5" de donde restando miembro a miembro estas sumas, se tiene # #5  " #  #5  " #W  W œ8 8 5œ" 5œ" 8 8! !a b a b5" 5 W œ #8  " #  #5  " #  #5  " #  $ † #8 8" 5" 5a b a b a b! ! 5œ" 5œ# 8" 8 W œ #8  " #  #5  " #  #5  $ #  $ † #8 8" 5" 5"a b a b a b! ! 5œ" 5œ" 8" 8" W œ #8  " # 8 8"a b !a b 5œ" 8" 5" # #  ' Mett ® 1. Interpolar medios # armónicos entre y & ""Þ Solución. Se debe tener que si están en están en&ß + ß + ß "" T ÞLÞ Í ß ß ß " " " " & + + "" # $ # $ T ÞEÞ luego " " " " # &  + + & "" + + "! +  œ  œ  Ê # $ $ $ $" " "! + " + + &  + ""  Ê + œ œ $ # $ # $ y + œ + œ && && ( * $ # y 2. Dados y encontrar números tales que+ , 8 + ß + ß Þ Þ Þ Þ +" # 8 estén en y +ß + ß + ß Þ Þ Þ Þ + ß , T ÞLÞ + , Á !" # 8 a b Solución. +ß + ß + ß Þ Þ Þ Þ + ß , T ÞLÞ Í ß ß ß Þ Þ Þ Þ ß ß T ÞEÞ " " " " " + + + + , " # 8 " # 8 están en están en de aquí " " +  , " " +  , , + +, 8  " + + +, 8  " œ  8  " . Í . œ Ê œ  5  "a b a ba b a b5 de donde + œ 8  " +, 5  " +  8  5 ,5 a ba b a b Para el caso particular de un medio armónico entre y , hacemos + , 5 œ # • 8 œ $ Ê + œ #+, +  , # 3. En una si los términos de lugares y son respectivamente: y T ÞLÞ :ß ; < +ß , -Þ Demuestre que a b a b a b;  < ,-  <  : -+  :  ; +, œ ! Demostración. Siendo y el primer término y diferencia de la correspondiente, se tiene:B . T ÞEÞ y de donde " " " + , - œ B  :  " .ß œ B  ;  " . œ B  <  " .ßa b a b a b a b a b a ba b;  < + œ ;  < B  ;  < :  " . a b a b a ba b<  : , œ <  : B  <  : ;  " . Mett ® a b a b a ba b:  ; - œ :  ; B  :  ; <  " . Sumando estas tres expresiones, se tiene: a b a b a b;  < <  : :  ; + , -   œ ! amplificando por finalmente+,-ß a b a b a b;  < ,-  <  : -+  :  ; +, œ ! 4. Si es medio armónico entre y demostrar que, + -ß " " " " ,  + ,  - + -  œ  Demostración. , + - Í , œ #+- +  - medio armónico entre y por tanto " " " " +  - +  - ,  + ,  - + -  + - +  -  œ  œ   +  -#+- #+-+- +- a b a b œ +  - Ò  Ó œ +  - œ  " " " " " + -  + - -  + +- + - a b a ba b a b 5. Si están en demostrar que +ß ,ß - T ÞLÞß œ + +  - +  , +  - Demostración. Si están en están en sumando+ß ,ß - T ÞLÞ Ê ß ß T ÞEÞ Ê , +  - œ #+- " " " + , - a b +# ambos miembros se tiene ,+  ,-  + œ #+-  + Í +  +- œ +  +,  +-  ,- Í# # # # + +  - œ +  - +  , Í œ + +  - +  , +  - a b a ba b 6. Si el término de lugar de una es igual a y el término de lugar es7 TÞLÞ 8 8 igual a demuestre que el término de lugar es igual a 7ß 7 8 78 7 8 a b Demostración. Sean y el primer término y la diferencia de la correspondiente luego:+ . T ÞEÞ ß Mett ® en están en entonces " " " + 8 7 ß Þ Þ Þ Þ ß 8ß Þ Þ Þ Þ7 T ÞLÞ Ê +ß Þ Þ Þ Þ ß ß Þ Þ Þ ß T ÞEÞ + œ +  7 " . œ " " 8 7 a b a b + œ +  8  " . œ # " 7 8 a b a b resolviendo y para y obtenemos: por tanto,a b a b" # + .ß + œ . œ " 87 esto implica+ œ +  7 8  " . œ  7 8  " œ " " 7 8 87 87 87 78 a b a b que para la se tendráT ÞLÞ , œ 78 7 8 78 7. Si están en demostrar que+ß ,ß - T ÞLÞß 691 +  -  691 +  #,  - œ # 691 +  -a b a b a b Demostración. Si están en están en +ß ,ß - T ÞLÞ Ê ß ß T ÞEÞ Ê , œ Í " " " #+- + , - +  -  #, œ  Í +  #,  - œ +   - Í %+- %+- +  - +  - a ba b a b+  - +  #,  - œ +  - # de donde aplicando logaritmos y sus propiedades se obtiene 691 +  -  691 +  #,  - œ # 691 +  -a b a b a b 8. Determine el valor de para que y estén en progresión armónica.5 5ß 5  ' 5  ) Solución. Si 5ß 5  ' 5  ) T ÞLÞ Ê ß ß T ÞEÞ " " " 5 5  ' 5  ) y están en están en luego se debe cumplir que de donde se obtiene " " " " 5  ' 5 5  ) 5  '  œ  5 œ  "# 9. Si están en progresión armónica entonces con y +ß ,ß -ß . +  .  ,  - +ß ,ß - . positivos. Demostración. Si están en están en por tanto:+ß ,ß -ß . T ÞLÞ Ê ß ß ß T ÞEÞ " " " " + , - . Mett ®  œ Í  ,  +,  -,  +,- œ ,  -,  +,  +,- Í +  , ,  - ,  ,- ,  ,-# # $ # # $ # # están en , œ +,- Í , œ +- Í +ß ,ß - T ÞKÞÞ$ # 6. Si demostrar que están en si en si +  , + ,  - . œ ß +ß ,ß - T ÞEÞ + œ .à T ÞKÞ , œ . y en si T ÞLÞ - œ .Þ Demostración. Si están en + œ . Ê œ " Í +  , œ ,  - Í +ß ,ß - T ÞEÞ +  , ,  - Si están en , œ . Ê œ Í , œ +- Í +ß ,ß - T ÞKÞ +  , + ,  - , # Si - œ . Ê œ Í +-  ,- œ +,  +- Í  œ  Í +ß ,ß - +  , + " " " " ,  - - , + - , están en T ÞLÞÞ 7. Si es el producto de números en su suma y la suma de sus7 8 T ÞKÞß : ; recíprocos, demuestre que 7 œ : ; # 8Œ  Demostración. Sean los números en por tanto:+ß +<ß +< ß Þ Þ Þ Þ ß +< 8 T ÞKÞß# 8" + † +< † +< † † † † +< œ 7 "# 8" a b +  +<  +<  † † †  +< œ : ## 8" a b " " " " + +< +< +<    † † †  œ ; $ # 8" a b De a b" À + < œ 7 Í + < œ 78 "# ††† 8" 8 8" 8a b a b"# Í + < œ 7#8 8" 8 #a b De y de se obtiene: de donde resultaa b a b# À + œ : $ œ ;<  " " <  " + "  "  8 " < " < 8 dividiendo miembro a miembro : : ; ; œ + < Í œ + < œ 7 Þ# 8" #8 8" 8 # 8Œ  a b Mett ® 8. Si los términos de lugares y de una están en y7 "ß 8  " <  " T ÞEÞ T ÞKÞ 7ß 8 < T ÞLÞß .y están en demuestre que el cuociente entre la diferencia de la T ÞEÞ +ß  Þ # 8 y su primer término es igual a Demostración. Por demostrar .+ œ  ß # 8 en efecto: están en + œ + 7.ß + œ +  8.ß + œ +  < .ß T ÞKÞ Ê7" 8" <" +  8. +  <. . 7  <  #8 +  7. +  8. + 8 7< œ Í œ Í œ " ß "  8 "  < " 7 "  8 . . + + . . + + # a b por otra parte: , en en luego7ß 8 < T ÞL Í ß ß T ÞEÞ " " " 7 8 < finalmente remplazando en resulta: " " " " 7< 8 7 < 8 8  œ  Í 7 < œ # " ßa b = .  # 8 7< # + 8 7< 8 8 7< 8 œ œ  Þ #  #87<8 # # #a ba b 9. Sea un número dado. Encontrar los números sabiendo que 5ß 5 Á ! ß +ß ,ß - +ß ,ßa b - T ÞKÞà +ß ,  5ß - T ÞEÞ +  5ß ,  5ß - T ÞKÞestán en están en y están en Solución. Por hipótesis se tienen: +ß ,ß - T ÞK Í , œ + - " en # a b en +ß ,  5ß - T ÞEÞ Í # ,  5 œ +  - #a b a b en +  5ß ,  5ß - T ÞKÞ Í ,  5 œ - +  5 $a b a b a b# de donde resolviendo el sistema formado por y para y a b a b a b" ß # $ +ß , - obtenemos: y + œ 5ß , œ 5 " „ # - œ 5 $ „ #Š ‹ Š ‹È È 10. Si el medio aritmético entre y es el doble que el medio geométrico entre y+ , + ,, demostrar que + #  $ + #  $ , , œ ” œ #  $ #  $ È È È È Mett ® Solución. Nos dicen que: " # +  , œ # +, Í +  , œ "' +, Í +  "%+,  , œ !a b a bÈ # # # Í  "% Ð Ñ  " œ ! + + , , Š ‹# resolviendo esta ecuación de 2° grado obtenemos: tomando la raíz positiva, resulta + + , , œ ( „ % $ œ #  $ œÈ ÈŠ ‹# #  $ #  $ È È analogamente con la raíz negativa + #  $ , œ #  $ È È 11. Si entre dos números cualquiera se han interpolado medios aritméticos # E ß E à" # dos medios geométricos y dos medios armónicos Demostrar que:K ßK L ßL Þ" # " # K K E E L L L L œ " # " # " # " # Solución. Sean y los números cualquiera, entonces:+ , están en +ß E ßE ß , T ÞEÞ Í E  + œ ,  E Í E E œ +  , "" # " # " # a b están en +ß K ßK ß , T ÞKÞ Í œ Í K K œ + , # K , + K " # " # " # a b están en +ß L ßL ß , T ÞLÞ Í  œ  Í  œ  Í " " " " " " " " L + , L L L + , " # " # " # remplazando y en ésta última expresión se tiene L L +  , L L +, œ à " # " # " # a b a b L LL L K K E E " # " # " # " # " # " # " # " # œ Í œ K K E E L L L L 4.8. Ejercicios Propuestos 1. En una cuyo primer término es y el de orden Si la suma de los T ÞEÞ % 8ß $%Þ 8 primeros términos es determine y la diferencia #%(ß 8 .Þ Respuesta. Mett ® 18. En una de términos, la razón es la cuarta parte del primer término y laT ÞKÞ & suma de los dos primeros términos es Hallar tales términos.#%Þ Respuesta. ) "' $# '% "#)  "#ß $'  "!)ß $#%ß  *(#Þ, , , , o bien 19. Interpolar medios geométricos entre y ' "%  ( '% Respuesta.  (ß ß  ß ß  ß ( ( ( ( ( # % ) "' $# 20. La suma de los primeros términos de una es y la suma de los& T ÞKÞ %##ß términos segundo al sexto es 633. determine la T ÞKÞÞ Respuesta. $#ß %)ß (#ß "!)ß "'# 21. Dividir el número en tres partes que formen una de modo que el tercer##" T ÞKÞ número sobrepase al primero "$'Þ Respuesta. "(ß &"ß "&$Þ 22. Si están en y en que es una función+ß ,ß - T ÞKÞ 0 B œ / 0 À Ä Þa b B ‘ ‘ Demuestre que también están en 0 + ß 0 , ß 0 - T ÞKÞÞa b a b a b 23. La suma de números de una de razón es y el último término es5 T ÞK Þ # "&$$ (')Þ 5Determine los números y luego calcule la suma de 10 primeros términos de la T ÞKÞÞ Respuesta. 5 œ *ß + œ $ß W œ $!'*Þ" "! 24. Si cada término de una se resta del término siguiente, demostrar que lasT ÞKÞ diferencias sucesivas forman otra con la misma razón que la primera T ÞKÞ T ÞKÞ 25. Si demuestre que+ œ !ß + œ "ß Þ Þ Þ ß + œ +  + à" # 8 8" 8#"# a b + œ Ò"   Ó8 # "$ # 8"ˆ ‰ 26. Demostrar que, si: #? œ +  ,ß #? œ ,  ? ß #? œ ?  ? ß Þ Þ Þ Þ" # " $ " # Mett ® entonces $ ? œ +Ò"   Ó  ,Ò#   Ó8 " "# # 8 8ˆ ‰ ˆ ‰ 27. Si es la suma de números en progresión geométrica y es la suma de losW 8 Ww recíprocos de dichos números, entonces es el producto del primer númeroW À Ww por el último. 28. Si son las sumas de las series geométricas de primeros términos W ß W ß Þ Þ Þ ß W "ß" # : #ß Þ Þ Þ ß : ß Þ Þ Þ ß respectívamente y de razones , respectivamente, demuestre" " "# $ :" que: W  W  Þ Þ Þ  W œ : :  "" # : "# a b 29. Si es el medio armónico entre y demostrar queL + ,ß " " " " L  + L  , + ,  œ  30. Si están en demuestre +ß ,ß - T ÞLÞ œ +  , + ,  - - 31. Encuentre la suma de términos de la sucesión8 +  #+ß +  %+ß +  '+ß +  )+ß Þ Þ Þ Þ# % ' ) Respuesta. +  8 8  " + +  " +  " # #8 # a b 32. Un químico tiene un pricipitado compuesto de gramo de una sustancia y 1 gramo" de impureza. En cada lavado el logra reducir las impurezas en la mitad. ¿Cuántos lavados son necesarios para que la impureza sea menor que gr.!Þ!!!" Respuesta. 14 lavados. 33. Una y una tienen iguales los términos de lugares noT ÞKÞ T ÞLÞ 7ß 8ß < consecutivos que son y Probar que+ß , -Þ + ,  - 691 +  , -  + 691 ,  - +  , 691 - œ !a b a b a b 34. Demostrar que el medio armónico entre el medio aritmético y el medio geométrico de y es:+ , # +  , Ò  Ó a b ˆ ‰ ˆ ‰+ , , + "Î% "Î% # 35. Si están en demuestre que están en+ß ,ß - T ÞLÞß #+  , ß ,ß #-  ," " "# # #a b a b T ÞKÞ Mett ® 36. Determinar para que valores de es posible calcular el valor de la serie geométricaB y calcule el valor de la serie. "    † † † †" ""B "Ba b# Respuesta. B   # ” B  !ß "  "B 37. Calcular la suma de términos, de:8 a) W œ "  %B  *B  "'B  † † † †8 # $ b) W œ #  )B  ")B  $(B  † † † †8 # $ Respuesta. a) " "B #B "B "B # 8 # 8"a b a b# 8 Ò "   8  " B  8 B Óa b b) "% Ò"  #B Ó ) $ "  #B $  "  B "  B a b ˆ ‰8 "# 8 " # 38. En un cuadrado de lado se inscribe otro cuadrado cuyos vértices dividen los+ lados del primer cuadrado en la razón En el segundo cuadrado se inscribe un" À #Þ tercer cuadrado que divide a los lados del anterior en la misma razón y así sucesívamente. Encontrar la suma de los perímetros y áreas de de estos8 cuadrados, cuáles son estas sumas si 8 Ä _Þ Respuesta. T œ %+ à 8 Ä _ Ê T œ "  "  "#+ $  & Š ‹ È È È & $ 8 & $ si si E œ + Ò"  Óà 8 Ä _ Ê E œ + * & * % * % # # 8Œ  39. Si [ es la suma de términos de una en que es el primer término yWÓ 5 T ÞEÞ <<a b#<  " es su diferencia, demuestre que [! a b <œ" 8 < " #WÓ œ 58 58  " 40. En un triángulo equilátero de lado se unen los puntos medios de sus lados y se+ forma un triángulo equilátero. En este segundo triángulo se repite el procedimiento y así, sucesívamente. Calcule la suma de los perímetros de todos los triángulos equiláteros así obtenidos y además la suma de sus áreas. Respuesta. Mett ® &ß #!ß )!à "'ß #!ß #%à "'ß #! #& ß ß à ß ß à ß ß & $& #%& %* $& #" %* $& #& % % % % % % % % % o bien 51. Sea una progresión aritmética con un número par de términos. La suma de los términos que ocupan lugares impares es y la suma de los términos que ocupan"'" lugares pares es Además el último término de la progresión excede al primero"')Þ en Determine la diferencia y el número de términos #( # Þ . . Respuesta. . œ ß 8 œ "% " # 52. Si están en y los términos de lugares de una se6ß7ß 8 T ÞKÞ 6ß7ß 8 T ÞEÞ encuentran en , demuestre que:T ÞLÞ + 7  8 + + 6  7 . œ • œ 7 " 8 7 donde es el término de orden de la su primer término y su+ 8 T ÞEÞß + .8 diferencia constante. 53. Un criador de caballos vende un caballo en $3.000.000. Un potencial comprador encuentra que el precio es excesivo, por lo cual el granjero le hace la siguiente proposición: el caballo tiene 7 clavos por cada pata y Ud. debe pagarme $20 por el primer clavo, $30 por el segundo clavo, $45 por el tercero, $67,5 por el cuarto y así sucesivamente hasta completar el último clavo. Si el comprador acepta esta proposición, ¿gana o pierde en el negocio?¿Cuanto?. Respuesta. Pierde, $ %!))'(Þ(# 54. Una deuda de $840.000 se paga en meses con un reajuste mensual constante de#" $ Si después de pagar las primeras cuotas queda una deuda todavía de $+Þ "& 307.500. Determine el valor de la última cuota. Respuesta. &&!!!Þ 55. La suma de tres números en es si los números extremos se disminuyenT ÞEÞ $*ß en y el del medio se disminuye en los números quedan en . Determine$ ( T ÞKÞ los números que se encuentran en T ÞEÞÞ Respuesta. &ß "$ß #" #"ß "$ &Þ o bien y Mett ® 56. Una persona tiene un plan de ahorro mensual, mediante el cual el primer mes ahorra $ y cada mes ahorra el 2% más que lo ahorrado el mes anterior.E a) Exprese en términos de y el ahorro correspondiente al k-ésimo mes.5 E b) Calcule el monto total ahorrado al cabo de meses.5 Respuesta. a) b) E "Þ!# &!EÒ "Þ!#  " Óa b a b5" 5 57. Dada la ¿Cuál es el máximo número de términos que esT ÞEÞ ß ß ß ß † † †" * "$ "(% #! #! #! posible sumar sin que la suma supere 2000?. Respuesta. "%! 58. La suma de los primeros términos de una cuyo primer término es y la#8 T ÞKÞß + razón es , es igual a la suma de los primeros términos de otra progresión< 8 geométrica cuyo primer término es y la razón Demuestre que es igual a la, < Þ ,# suma de los dos primeros términos de la primera T ÞKÞÞ 59. Exprese en forma de fracción los siguientes números a) b) 0.34279279279 . . .#Þ$&")$&")$&")Þ Þ Þ Respuesta. a) b) #$&"' ('" **** ###! 60. Si es la suma de los primeros términos de una demuestre que:W 5 T ÞKÞß5 W ÐW  W Ñ œ ÐW  W Ñ8 $8 #8 #8 8 # 61. Si par yW œ "  <  <  † † † † :: # #: %: a b y W œ "  <  <  † † † † † W œ "  <  <  † † † † †: : #: : #:: w Demuestre W  W œ: : w W: # Mett ®