ZEGARRA. Libro de Álgebra. 08 Complejos, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga ZEGARRA. Libro de Álgebra. 08 Complejos y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Mett ® Capítulo ) Números Complejos ) ". . El cuerpo de los complejos Con los números reales en el horizonte vamos a presentar un cuerpo que se acostumbra a denotar por y llamar números complejos.‚ Definición 1. El cuerpo está formado por todos los pares ordenados de números reales, en‚ éste cuerpo se definen las operaciones siguientes: Suma a b a b a b+ß ,  -ß . œ +  -ß ,  . Multiplicación a b a b a b+ß , † -ß . œ +-  ,.ß +.  ,- Igualdad Como acabamos de definir los números complejos como pares ordenados se tiene que: a b a b+ß , œ -ß . Í + œ - • , œ . Nota 1. Con estas definiciones es posible verificar los , cuya tareaaxiomas de cuerpo dejaremos al lector. Nótese que À a +ß , −a b ‚ El neutro de la suma es el .a b!ß ! El inverso de la suma es .a b +ß  , El neutro de la multiplicación es a b"ß ! Þ El inverso de la multiplicación es Œ +  , +  , +  , ß Þ # # # # Nota 2. Mett ® Las propiedades o teoremas de todo cuerpo, como las que se expusieron para el caso de los números reales en el capítulo anterior, también los cumple .‚ Notación Al inverso multiplicativo para cada elemento de , lo denotaremos por:D œ +ß ,a b ‚ [D œ +ß , Ó" "a b Definición 2. Sean D ß D D  D D  Ð  D Ñ" # " # " #− ß œ‚ definiremos: D D œ D † " # " D# " Definición 3. Dado se llama parte real de a la primera componente del par yD œ +ß , D +ß ,a b a b parte imaginaria a la segunda componente, las que se acostumbran a denotar por: , V/ D œ + M7D œ , Los complejos de la forma se acostumbran a llamar reales puros ya b+ß ! simplemente se denotan por es decir . A su vez los de la forma +ß +ß ! œ + !ß ,a b a b se llaman imaginarios puros y se denotan por ,3Þ Note que si , œ " Ê Þ3 œ !ß "a b También que 3 œ !ß " † !ß " œ ! † !  " † "ß ! † "  " † ! œ  "ß ! œ  "# a b a b a b a b ) #. . Representación gráfica. Complejo Conjugado. Como se han definido los complejos como pares ordenados, es posible representarlos gráficamente en el plano cartesiano, por tanto el complejo D œ +ß ,a b está representado por el par ordenado fig. 1a b+ß , Þ Mett ® 1. lDl   lDl œ ! Í D œ !  !30, 2. l5Dl œ l5llDlß a 5 − ‘ 3. lDl œ l  Dl œ lDl 4. lDl œ D D# 5. lDAl œ lDllAl 6. ¸ ¸D lDl A lAl œ ß A Á !  !3 7. l V/ D l Ÿ lDlà l M7 D l Ÿ lDl 8. lD  Al Ÿ lDl  lAl Demostración. Solo demostraremos algunas de ellas, dejando el resto para su ejercicio. 4. D D œ +  ,3 +  ,3 œ +  , 3 œ +  , œa ba b # # # # # lDl# 6. ¸ ¸ ¸ ¸ a bD " A -  .3 -  . œ œ l+-  ,.  ,-  +. 3l à -ß . Á ! +  ,3 # # œ +-  ,.  ,-  +. œ +  , -  . " " -  . -  .# # # # # # # # # #Éa b a b a ba bÈ œ œ +  , lDl -  . lAl È È # # # # 8. lD  Al œ D  A Ð D  AÑ œ D  A D  A œ D D  DA  AD  AA# a b a ba b œ lDl  # V/ D V/A  M7D M7A  lAl# #a b pero œ lDl  #V/ ÐDAÑ  lAl ß V/ ÐDAÑ Ÿ lD Al œ lDllAl# # Ÿ lDl  # lDllAl  lAl œ lDl  lAl# # #a b luego: lD  Al Ÿ lDl  lAl Propiedad 4. no es un cuerpo ordenado.‚ Demostración. Lo demostraremos por contradicción, supongamos existe que cumpla los‚ axiomas de cuerpo ordenado. Como entonces 3 Á ! 3 − ”  3 −‚ ‚ a b Mett ® Supóngase que (*)3 − Ê 3 † 3 œ 3 œ  " − Ê " ‚ ‚ ‚ #   pero lo que se contradice con (*), luego a ba b "  " − Í " − 3 ‚ ‚ ‚   en forma análoga se prueba que a b 3  ނ Por tanto no es un cuerpo ordenado y solo pueden usarse desigualdades entre‚ partes reales o partes imaginarias o módulos de complejos, pero no entre estos. . . Complejos y vectores.) % Como se dijo anteriormente un complejo queda representado por un par ordenadoa b+ß , ßen el plano cartesiano pero tambien se acostumbra a representarlo no por un punto sino por el vector que va desde el origen hasta el punto , introduciendoa b+ß , con ello la representatividad de complejos por medio de vectores geométricos con todo el potencial que implican tratarlos como tales. fig. 2a b Es más, estos complejos representados así se consideran vectores deslizantes es por eso que cada complejo no tiene solamente un vector que loD œ +  ,3 representa. fig. 3a b En el plano cartesiano al eje se acostumbra a llamar eje real, eje en el que se\ ubica la parte real del complejo , y a su vez al eje se llama eje+ +  ,3 ] imaginario y en el que se ubica la parte imaginaria de . , +  ,3 b iba+ a iba+ x y y x xo o b a fig. 2 fig. 3 Suma y ponderación. Mett ® La típica suma y ponderación fig. 4 definida entre los vectores geométricos, sea b define naturalmente para los complejos considerados como vectores, con todas las consecuencias que llevan estas definiciones . z wz+ zw− w 10, <<kzk z 0, >kzk z− y x y x fig.4 Consecuencias tales como por ejemplo: la ponderación de un número real por un complejo representa el alargamiento o acortamiento con o sin cambio5Dß 5 − ‘ de sentido del complejo según sean los valores del real 5Þ Con respecto al módulo del complejo coincide con la magnitud del vector .D D La distancia entre los complejos y está dada por D A lD  Al ) &. . Forma Trigonométrica. Sea el ángulo orientado, medido desde el eje real al vector en sentido) D antihorario, de la fig. 5 para cualquier se tiene:) y x ibaz += a b θ o ρ fig. 5 Mett ® cos 3 ! )œ < -9= 8 "8 a b 3 ! )=/8 œ < =/88 #8 a b elevando al cuadrado y sumando se obtiene en resulta3 3# #8œ < Í < œ "È a b8 notemos que estos valores de -9= 8 œ -9= Ê 8 œ  #5 Í œ) ! ) ! 1 ) )! 1#58 verifican la ecuación en consecuencia se tienea b# È È a b8 8D œ Ò-9=  3 =/8 Óß 5 œ !ß "ß # Þ Þ Þ Þ 8  "3 #5  #5 8 81 ! 1 ! Notación de Euler. La siguiente notación de un número complejo tiene su justificación en los desarrollos en serie, tópico que excede las intenciones de éste texto, sin embargo daremos una definición con el fin de poder ocuparla en los ejercicios que procedan. Definición. El complejo se puede expresar comoD œ Ò-9=  3 =/8 Ó3 ) ) donde D œ / / œ -9=  3 =/83 ) )3 3) ) " " es la base de los logaritmos naturales./ Propiedad 5. 1. / † / œ /3 3 3 ) ) ) )" # " #a b #Þ / œ /ˆ ‰3 3") ) $Þ œ // / 3 3 " 3 # " # ) ) a b) ) %Þ / œ / ß 5 −3 #5 3a b) 1 ) ™ &Þ / œ / ß 5 −ˆ ‰3 355) ) ™ Demostración Todas son sencillas de demostrar, solo mostraremos una de ellas el resto quedan para su ejercitación. 1. / † / œ -9=  3 =/8 -9=  3 =/83 3 " " # #) )" # a ba b) ) ) ) œ Ò-9= -9=  =/8 =/8  Ð=/8 -9=  -9= =/8 Ñ3Ó) ) ) ) ) ) ) )" # " # " # " # œ Ò-9=   3 =/8  Ó œ /a b a b) ) ) )" # " # 3 a b) )" # Mett ® ) '. . Ejercicios Resueltos 1. Calcular: a) a ba b$  (3  &  #3 b) &  %3 " &  '3 '"  3 $  #3a b Solución. a) a ba b a b$  (3  &  #3 œ  "&  '3  $&3  "%3 œ  #*  #*3 œ  #* "  3# b) &  %3 " &  %3 &  '3 # $ &  '3 '" #&  $' '" '"  3 $  #3 œ   3a b a ba b œ Ð%*  "!3Ñ   3 œ %(  "$3" # $ "'" '" '" '" a b 2. Expresar en la forma +  ,3 a) D œ $  &3 #  3 %3  " a ba ba b $ b) A œ  3 # "  3 3 3  "a b Solución. a) D œ œ  $  &3 #  3 %3  " $  &3 #  3 " %3  " "( a ba ba b a b a b a b $ $ œ  $  &3 #  ""3 %3  " œ  *  "$3 " "( a ba ba b a b b) A œ  œ  œ œ œ $  3 3 # 3 # 3  # 3  # "  3 " "  3 3 3  " "  3 "  3 "  3 "  3 #a b a ba b a b# 3. Calcular el módulo de: a) D œ #  $3 "  3 &  3 a b a ba b % $ b) A œ  3à < − 3  < $ "  #3< % ‘ Mett ® Solución. a) lDl œ œ œ œ #' "$ l Ð "$ Ñ Ð # Ñ "$ # # l&  3l #' # "$ #  $3l l"  3l% $ È È ÈÈ È È È % $ # b) lAl œ ¸ 3  < $ "  #3< %  3¸ œ œ œ œ %3  %<  $3  '< 3 " " %<  " " % "  #3< % l"  #3<l % % l#<  3l %<  " ¸ ¸a b È È # # # 4. Demostrar que lD  Al  lD  Al œ # ÐlDl  lAl Ñ# # # # e interpretar geométricamente esta igualdad. Demostración. lD  Al  lD  Al œ D  A D  A  D  A D  A# # a ba b a ba b œ lDl  lAl  D A  AD lDl  lAl  D A  AD# # # # œ # ÐlDl  lAl Ñ# # Nótese de la fig. 6, que el resultado anterior indica que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual al doble de la suma de los cuadrados de sus ladosÞ z wz+ wz− w y xo fig. 6 5. Expresar en la forma el complejo +  ,3 D œ  (  #%3È Solución. Sea de aquí se obtienenÈ  (  #%3 œ B  C 3 Í  (  #%3 œ B  C  #BC3# # Mett ® l "  3 D  "  $3 l Ÿ " Í l "  3 ÐB  C3Ñ  "  $3 l Ÿ " Ía b a b a b a b lÐB  C  "Ñ  ÐB  C  $Ñ3l Ÿ " Í ÐB  C  "Ñ  ÐB  C  $Ñ Ÿ " ÍÈ # # #B  #C  )B  %C  "! Ÿ " Í B  %B  C  #C  Ÿ ! Í * # # # # # así el lugara b a b a b a bB  #  C  "  &  Ÿ ! Í B  #  C  " Ÿ ß* " # # # # # # geométrico del complejo es un círculo de centro y radio D #ß "a b " #È 13. Determinar la curva que debe recorrer el complejo para que seaD A œ D  " D  " imaginario puro Solución. Sea , entonces:D œ B  C3 para que este complejo seaA œ œ œ ß D  " B  "  C3 B  C  "  #C3 D  " B  "  C3 B  "  C # # # #a b imaginario puro se debe tener que luego debe recorrer unaB  C  " œ !ß D# # circunferencia de centro y radio 1.a b!ß ! 14. Sea un complejo fijo y un complejo que recorre la rectaD œ +  ,3 D œ B  C3" # C œ 7B  8Þ D œ D  D ÞDeterminar la curva que recorre el complejo " # Solución. Sea D œ ?  @3 œ D  D œ +  ,3  B  C3 œ +  ,3  B  Ð7B  8Ñ3 Í" # ?  @3 œ +  B  Ð, 7B  8Ñ3 Í ? œ +  B • @ œ , 7B  8 eliminando entre estas dos ecuaciones, se tiene B @ œ 7?  ,  8 7+ ßa b ecuación que nos indica que recorre una recta paralela a la recta D C œ 7B  8 15. Sea demuestre que D œ B  C3ß lDl #   lBl  lClÈ Demostración. Como Ð ÐlBl  lClÑ   ! Í lBl  lCl   # lBCl Í #ÐlBl  lCl Ñ   lBl  lClÑ# # # # # # de donde extrayendo raíz cuadrada se tiene .lDl #   lBl  lClÈ Mett ® Obsérveseque la igualdad se verifica para C œ „BÞ 16. Aprovechando las raíces cúbicas de la unidad, factorice en tresB  + ß + − à$ $ ‘ factores de primer grado. Solución. B  + œ ÐB  +ÑÐB  B+  + Ñ œ ÐB  +ÑÐB  +AÑÐB  +A Ñ$ $ # # # pués pero y comoÐB  +AÑÐB  +A Ñ œ B  +ÐA  A Ñ  + A ß A œ "# # # # $ $ A  A " œ ! Í AA œ  "Þ# # 17. Si es una raíz cúbica compleja de la unidad, probar que:A a) a b"  A œ A# % b) a ba b"  A  A "  A  A œ %# # c) a b#  #A  &A œ (#*# ' Prueba. Por ser una raíz cúbica compleja de 1, satisface: A A œ " • A  A " œ !$ # a) a b a b"  A œ  A œ A A œ A# $% % b) a ba b a ba b"  A  A "  A  A œ  #A  #A œ %A œ %# # # $ c) a b a b#  #A  &A œ Ò#Ð"  AÑ  &A Ó œ Ð  #A  &A Ñ œ $A# # ' # # ' #' ' œ $ ÐA Ñ œ (#*' $ # 18. Demostrar que si la ecuación tiene una raíz realD  +  ,3 D  -  .3 œ !ß# a b se verifica .  +,.  , - œ !# # Solución. Sea la raíz real entonces< ß <  +  ,3 <  -  .3 œ ! Í# a b eliminando <  +<  - œ ! • ,<  . œ !ß <# entre las dos últimas ecuaciones se obtiene .  +,.  , - œ !# # Mett ® 19. Hallar la forma trigonométrica de los siguientes complejos: a) b) È È$  3  $  3 c) 17 d) 3 "$ e) f$  % 3 Ñ  #3 Solución. a) luego 3 ) ) ) 1 1 œ % œ #à >1 œ ß − M Ê œ à D œ # -3= œ # / " $ ' ' È È 3 1' b) luego 3 ) ) )œ #à >1 œ ß − MM Ê œ à D œ # -3= œ # /" & &  $ ' ' 3È 1 1 &'1 c) luego 3 )œ "(à + œ ! • , œ "( Ê œ à D œ "( -3= œ "( /1 1# # 3 1# d) luego 3 )œ "$à + œ "$ • , œ ! Ê œ ! à D œ "$ -3= ! œ "$ /3! e) 3 ) ) )œ &à + œ $ • , œ  % Ê œ E<- >1Ð  Ñß − MZ à D œ & -3= Þ % $ f) luego 3 ) 1 1 œ #à + œ ! • , œ  # Ê œ à D œ # -3= œ # / $ $ # # 3$# 1 20. Calcular: a) b) Š ‹Š ‹$ -3= # -3= ' # ' -3= $ -3=1 1 # &' ' 1 1 Solución. a) Š ‹Š ‹ Š ‹ Š ‹a b$ -3= # -3= œ $ -3= % -3= œ "# -3=  œ "# -3= ' # ' ' ' (1 1 1 1 1 1 1 # b) $ -3= ' -3= # ' ' # $ œ -3=  œ -3= " & " #&' ' 1 1 Œ 1 1 1 21. Hallar a) b) c) È ÈÈ$ && )3 "  $# Solución. a) Sea luego D œ  )3 Ê œ )ß œ D œ ) -3= ß 5 œ !ß "ß # $ # $  #5 3 ) 1 1È È$ $ $#1 Con lo que, resultan: y D œ # -3= ß D œ # -3= D œ # -3=" # $# ' ' ( ""1 1 1 Mett ® a b a b"  3  "  3 œ # Ò -9=  3 =/8  -9= Ð  Ñ  3 =/8Ð  ÑÓ8 8 8 8 % % % % 8 8 8 # 1 1 1 1 œ # # -9= œ # -9= 8 8 % % 8 8 # # 1 1" 27. Demostrar que: =/8 ( œ (=/8  &' =/8  ""# =/8  '% =/8! ! ! ! !$ & ( Demostración. Como y por otra parte,Ð-3= Ñ œ -3= ( œ -9= (  3 =/8( " ß! ! ! !( a b Ð-3= Ñ œ -9=  -9= =/8 3  -9= =/8 3 ! ! ! ! ! !( ( ' & # #( ( (! " #ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰  -9= =/8 3  -9= =/8 3  -9= =/8 3 ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰( ( ($ % &% $ $ $ % % # & &! ! ! ! ! !  -9= =/8 3  =/8 3ˆ ‰ ˆ ‰( (' (' ' ( (! ! ! Por igualando partes imaginarias entre si, en este caso obtenemosa b" =/8 ( œ! ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰( ( ( (" $ & (' % $ # & (-9= =/8  -9= =/8  -9= =/8  =/8! ! ! ! ! ! ! simplificando esta expresión y recordando que se recibe-9= œ "  =/8# #! ! =/8 ( œ (=/8  &' =/8  ""# =/8  '% =/8! ! ! ! !$ & ( 28. Encontrar la parte real, la parte imaginaria y el módulo de D œ "  -9=  3 =/8 "  -9=  3 =/8 9 9 ) ) Solución. Ocupando las fórmulas "  -9= œ # -9= • =/8 œ # =/8 -9= # # # ! ! ! ! !# resulta: D œ œ # -9=  3# =/8 -9= -9= Ð-9=  3=/8 Ñ # -9=  3# =/8 -9= -9= Ð-9=  3=/8 Ñ # # # # # # # # # # # # # # 9 9 9 9 9 9 ) ) ) ) ) ) luegoœ œ -3= ß -9= -3= -3=Ð  Ñ -9= -9= -3= -3=Ð  Ñ -9=  # 9 9 9 ) ) ) ) ) # # # # # # # # 9 ) y lDl œ ß V/ D œ -9= M7D œ =/8 -9= -9= -9= -9= -9= -9=   # # 9 9 9 ) ) ) # # # # # # 9 ) 9 ) 29. Dado +  3 , œ Ð Ñ "  3 $ # 8 8 8 È Mett ® Demuestre que + ,  + , œ $ " # 8" 8 8 8" È Demostración. +  3 , œ Ð Ñ œ Ð-3= Ñ œ -3= Í + œ -9= • , œ =/88 8 8 8 " 3 $ # $ $ $ $ 8 8 8 8 8È 1 1 1 1 por tanto + ,  + , œ -9= =/8  -9= =/8 Ð8  "Ñ 8 8 Ð8  "Ñ $ $ $ $ 8" 8 8 8" 1 1 1 1 œ =/8Ò  Ó œ =/8 œ $ 8 Ð8  "Ñ " $ $ $ # 1 1 1 È 30. Expresar en la forma la suma+  ,3ß W œ "    † † † †  " " " "  3 "  3 "  3a b a b# #) Solución. Observe que los términos de la suma forman una así:T ÞKÞß W œ œ "  Ò  "Ó 3 " "  3  " " "  3  " "  3 a b a b a b a b #* " #) Ahora, luego en a b a bÈ"  3 œ Ð # -3= Ñ œ # -3= ( œ  # ß " % #) #) "% "%1 1 W œ "  Ò  #  "Ó 3 œ "  Ò#  "Ó 3"% "% 31. Expresar en la forma y probar que $ #  -9=  3 =/8 +  ,3 lDl œ %V/ D  $ ) ) # Solución. $ #  -9=  3 =/8 '  $ -9= $ =/8 #  -9=  3 =/8 #  -9=  3 =/8 &  % -9= &  % -9= œ  3 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) que es de la forma , ahora+  ,3 lDl œ Ð Ñ  Ð  Ñ œ " '  $ -9= $ =/8 * &  % -9= &  % -9= &  % -9= # # #) ) ) ) ) a b por otra parte %V/ D  $ œ % Ð Ñ  $ œ # '  $ -9= * &  % -9= &  % -9= ) ) ) a b finalmente por y se tiene: a b a b" # lDl œ %V/ D  $# 32. Pruebe que es divisible por si y solo sia bB  "  B  " B  B  "8 8 # 8 − ß $Þ impar no múltiplo de Mett ® Prueba. Sea las raíces de deben satisfacer a : B œ B  "  B  " ß B  B  " : Ba b a b a b8 8 # o sea y asíB œ   3 B œ   3" " "# # # # $ $È È # : B œ  3    3  "ßa b Š ‹ Š ‹" " "# # # #$ $8 8È È ocupando la forma trigonométrica : B œ -9=  3 =/8  -9=  3 =/8  "a b ˆ ‰ ˆ ‰" 8 8 #8 #8$ $ $ $1 1 1 1 : B œ Ð-9=  -9=  "Ñ  Ð=/8  =/8 Ñ 3a b" 8 #8 8 #8$ $ $ $1 1 1 1 Sea y con para se tiene8 œ $5ß 8 œ $5  " 8 œ $5  # 5 − ß 8 œ $5™ : B œ -9= 5  -9= #5  "  Ð=/8 5  =/8 #5 Ñ 3a b" 1 1 1 1 : B œ  "  "  " Á !ß 8 Á $5Þa b a b" 5 luego debe ser Sea 8 œ $5  " : B œ -9=Ð 5  Ñ  -9= Ð#5  Ñ  "  Ò=/8 Ð 5  Ñ  =/8Ð#5  ÑÓ3a b" $ $ $ $# #1 1 1 11 1 1 1 : B œ  " -9=  -9=  "  Ò  " =/8  =/8 Ó 3a b a b a b" 5 5$ $ $ $# #1 1 1 1 Si par impar no múltiplo de queda5 Ê 8 $ß : B œ   "   œ !a b" " "# # # #$ $È È Análogamente resulta para como también para la raíz 8 œ $5  #ß B Þ# 33. Demostrar que uniendo los complejos y con el origen se forma un ánguloD A recto si y solo si es imaginario puro D A ” D A  D A œ ! Demostración.a bfig. 7 a bÊ  œ ß D œ -3= • A œ -3= # Sea 9 9 3 9 3 9 1 " # " " # # D D A # A œ -3= Ð  Ñß  œ Ê œ 3 3 1 3 3 3 9 9 9 9 " " # # " # " #como imaginario puroa b O bien, D œ 3 A Í D œ  3 A D A  D A œ  3 A A  3 AA œ !3 3 3 33 3 3 3 " " " " # # # # luego y x z w o 1ρ 2ρ1φ 2φ Mett ® a) b) c) d) 8 e) (  #%3  3  3  " & $ & "# $% $% "$ "$ f) „ Ò+  ,  +  , 3Óa b 2. Resolver para y complejos el sistemaD A a b"  3 D  3A œ #  3 a b a b#  3 D  #  3 A œ # 3 Respuesta. D œ '  *3 ß A œ  "'  ""3 " " "$ "$ a b a b 3. Encontrar e reales tales que:B C " # B  3C B  3C  œ "  3 Respuesta. B œ !Þ$ß C œ !Þ* 4. Simplifique las expresiones siguientes: a) a b a b+  ,3  +  ,3# # b) a b a b"  +3  "  +3% % c) +  ,3 +  ,3 -  .3 -  .3  Respuesta. a) b) c) # +  , #  "#+  #+ # +-  ,. -  . a b a b# # # % # # 5. Si es una raíz cúbica compleja de la unidad, demostrar:A a) a ba ba ba b"  A "  A "  A "  A œ *# % & b) " A A $ B  " B  A B  A B  "   œ # # $ 6. Si es una raíz séptima de la unidad distinta de 1, demostrar:! ! ! ! ! ! !"  "  "    œ  # # % ' # $ 7. Demostrar que la suma de las raíces cúbicas de es nula.D œ #$ "  3 $Š ‹È 8. Demuestre que Mett ® a b a bŠ ‹È È ˆ ‰"  3 "  $ 3 -9=  3 =/8 œ # # -3= 9 9 9("#1 10. Demuestre que [ Ð $  "Ñ  Ð $  "Ñ 3Ó œ  #È È '! *! 11. Calcule a) a b"  3 ß 8 −)8  b) a b"  -9=  =/8 3 ß 8 −9 9 8 c) Ð Ñ "  $ 3 "  3 È "!) Respuesta. a) b) c)# # -9= /  #%8 8 8 3 &%# 9 8 # 9 12. Resolver a) D  # Ð"  #3Ñ D  ""  #3 œ !# a b b) a b a b"  3 D  (  "$ 3 D  #  '! 3 œ !# c) È$ D  D  3 œ !# Respuesta. a) b) c)#  3ß  %  $3 (  #3ß $  &3  3ß   3 $ " $ " # # ' # È È 13. Calcular las raíces cuadradas de los siguientes números complejos: a) b) D œ "  % $ 3 %'  "% $ 3È È Respuesta. a) b) „ #  $ 3 „ (  $ 3Š ‹ Š ‹È È 14. Precisar donde se encuentran las imágenes de los complejos tales que:Dß a) b) lD  3l Ÿ " lDl  D œ #  3 Respuesta. a) Puntos interiores y en la frontera de la circunferencia de centro y a b!ß " < œ " b) ˆ ‰$% ß " 15. Hallar el lugar geométrico de la imagen del complejo que verifica:D a) b) lDl œ # lD  "l lD  "l Ÿ # lD  "l Respuesta. Mett ® a) Circunferencia de centro y radio ˆ ‰%$ ß ! #ß a) Puntos exteriores y en la frontera de la circunferencia de centro yˆ ‰ ß !&$ < œ " 16. Si demuestre quelD l œ lD l œ † † † † œ lD l œ "" # 8 l D  D  † † † †  D l œ   † † †  " " " D D D " # 8 " # 8 ¸ ¸ 17. Determinar las partes real e imaginaria de D œ  "  $ 3   "  $ 3 ß 8 −Š ‹ Š ‹È È$8 $8  Respuesta. V/ D œ # ß$8" M7 D œ ! 18. Simplifique a) b) ’ “ Œ "  3 >1 "  =/8  3 -9= "  3 >1 "  =/8  3 =/8 ! ) ) ! ) ) 8 8 Respuesta. a) b) -9= 8  3 =/88! ! -9= 8   3 =/88 ˆ ‰ ˆ ‰1 1# #) ) 19. Determine los valores que toma la expresión E œ "  3  "  3Š ‹ Š ‹" " $ $ 8 8 È È según sea el valor de Deduzca de lo anterior que, si es múltiplo de8ß 8 − Þ 8a b 6, ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰a b8 8 8 8" $ $ $ & 8"" " "   † † †   " œ !# 8# 20. Los complejos y son las raíces de la ecuaciónD D" # D  )  &3 D  )  #' 3 œ !# a b Determine un complejo tal que el triángulo formado por y seaD ß D ß D D$ " # $ equilátero. Respuesta. )  # $  % $ 3à )  # $  % $ 3È È È È 21. Si y Encontrar tres complejos? œ #  $ 3ß ? œ  "  3 ? œ "  # 3Þ D ß D" # $ " # y queD$ verifiquen el sistema ? œ D  D  D" " # $ ? œ D  A D  A D# " " # # $ ? œ D  A D  A D$ " # # " $