ZEGARRA. Libro de Álgebra. 11 Anexo Algebra Lineal 2, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga ZEGARRA. Libro de Álgebra. 11 Anexo Algebra Lineal 2 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Mett ® Problemas propuestos Luis Zegarra Agramont ALGEBRA LINEAL Problemas propuestos. 1. En sobre , dados los subespacios‘ ‘8" [ œ \ − Î B  +B œ ! B  +B œ ! † † † † † † † † † † † B  + B œ ! " " 8" 8" 8" 8 8" œ  ‘ # [ œ \ − Î + B  +B  † † †  + B  B œ !# " # 8 8"8"˜ ™‘ a) Determine la dimensión de exibiendo una base para ello e indicando el valor[" del parámetro real +Þ b) Determine de modo que y estén en suma directa.+ [ [" # 2. Sean y bases de un espacioW œ Ö? ß ? ß † † † ß ? × W œ Ö@ ß @ ß † † † ß @ ×" " # 8 # " # 8 vectorial sobre , tales que:Z ‘ ? œ @" " ? œ @  @# " # ? œ @  @  @$ " # $ † † † † † † † † † † † † † † ? œ @  @  † † †  @8 " # 8 a) Determine matriz de cambio de base de U W Ä W Þ# " b) Se dice que una base es ortonormal si Ð@ à @ Ñ œ " =3 3 Á 4 ! =3 3 œ 43 4 œ Mett ® Muestre que si es ortonormal entonces tambien lo es.W W" # 3. Un sistema lineal de tiene la solución dada por% ‚ & \ œ  >  > ! " ! "!  #  # ! ! "  &  $ " % # ! Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø " # a) Exprese esta solución en una matriz ampliada. b) Determine la solución para \ œ ÖB ß B ß B ×F " # $ c) Estudie si existe tal que la solución para estas variables básicas\ œ Ö‡ß ‡ß ‡×F sea imposible (justifique su respuesta). 4. Sea y suponga es no singular si determine aprovechandoE E E E\ œ ] \8‚: > para ello la inversa de E EÞ> Determine para y \ À E œ ] œ "  " " " ! # " $ % " % ' Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø 5. Sea E œ #  % #  % "!  ' #  ' & Ô × Õ Ø a) Determine la descomposición de Cholesky. b) Pruebe que es positiva definida.E c) Si con demuestre que0ÐBß Cß DÑ œ \ E\ß \ œ À B C D > Ô × Õ Ø 0ÐBß Cß DÑ œ #ÐB  #C  DÑ  #ÐC  DÑ  D# # # ocupe Cholesky)Ð 6. Analice los valores extremos (máx.o mín) o puntos silla de la función 0ÐBß Cß DÑ œ B C D Ð(  B  C  DÑß a Bß Cß D  !# $ Justifique su respuesta con los pivotes de la matriz YÞ Mett ® , E œ [ œ ß ß #  " " ! " # " ! " $ ! " " " " # ! 5 !  " "  " ! " Ô × Õ Ø ¢š ›£ Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Determine de modo que 5 O/<E Š[Þ 18. Sea un conjunto ortonormal de vectores en un espacioW œ Ö ß ß Þ Þ Þ ß ×! ! !" # 8 vectorial sobre un cuerpo con Z Oß .37Z œ 8 a) Demuestre que es una base para y que para todo vector se tieneW Z − Z ß! ! ! ! !œ Ð à Ñ! 3œ" 8 3 3 b) Demuestre que || ! !3 4 ll œ #ß a 3 Á 4à 3ß 4 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8È 19. a) Encuentre tres vectores ortonormales y tal que sea una base" " " " "" # $ " #ß ß del espacio columna de E œ " # ! "  # " Ô × Õ Ø b) ¿Cuál de los 4 subespacios asociados a contiene a ?Eß "$ 20. Sea y vectores linealmente independientes en y sea el plano a través de8 Tt t. / ‘3 . / . / ‘t t t t tß ! < œ 5  > ß 5ß > − Þty . La ecuación paramétrica del plano es Demuestre que una transformación lineal transforma sobre un plano queX À Ä T‘ ‘$ $ pasa por o sobre una recta que pasa por 0 o sólo sobre el origen en .¿Que se!t t ‘$ les tiene que pedir a y para que la imagen del plano sea un plano?.X X Tt ta b a b. / 21. Sea una matriz ortogonal y sea { una base ortonormalE − Q ß ß Þ Þ Þ Þ ß ×8‚8 " # 8! ! ! para Probar que { es también una base ortonormal de‘ ! ! !8 " # 8Þ E ßE ß Þ Þ Þ Þ ß E × ‘8Þ 22. Dados dos vectores fijos, no nulos pertenecientes a , se define el operadorß ß! " ‘$a b! "à por: a b a b! " # ! " # # ‘à œ à ß − $ a) Demuestre que es lineal.a b! "à b) Determine el nucleo. c) Encuentre la matriz de relativa a las bases canónicas de .a b! " ‘à $ 23. 1. La matriz asociada a una T.L. con respecto a las basesX À Ä‘ ‘$ # Ö ß ß ×! ! !" # $ y esÖ ß ×" "" # Mett ® E œ #  " " $ #  $” • Encuentre la matriz de con respecto a las bases: X Ö ß ß × Ä Ö ß ×! ! ! " "w w w w w" # $ " # donde ! ! ! ! ! ! ! ! !" # $w w w" # " $ $ #œ  à œ  à œ  # œ  à # œ " " " " " "w w" #" # " # 24. Sea una T.L. definida porX À T Ä T# # X "  >  > œ #  >  #>a b# # X #  >  > œ !a b# X >  #> œ  "  #>a b# # a) Justificando indique si es invertibleX b) Determinar la matriz representativa de con respecto a la baseX W œ Ö"  >  > ß #  >  > ß >  #> ×# # # y calcule la imagen por , del vector ocupando esta matriz.X $  "!>  #!># 25. Encuentre los valores y vectores propios de si es una T.L.X ß X À Q Ä Q% ## ## definida por X œ+ , #- +  - - . ,  #- . Š ‹” • ” • 26 a) Sea una matriz de y sea Demuestre que si es unÞ E 8 ‚ 8 F œ T ET Þ" ! vector propio de asociado con el valor propio de entonces es unE 5 Eß T"! vector propio de asociado con el valor propio de F 5 EÞ b) Sea una matriz de idempotente, entonces la matriz solo admite comoE 8 ‚ 8 valores propios a: 1 y 0. 27. En un espacio vectorial cualquiera se da una base medianteWß W œ Ö? ß ? ß ? ß ? ß ? ×" # $ % & averiguar si también es una base para el espacio, cada uno de los siguientes conjuntos de vectores: W œ Ö?  ? ß ?  ? ß ?  ? ß ?  ? ß ?  ? ×" " # # $ $ % % & & ' W œ Ö? ß ?  ? ß ?  ?  ? ß ?  ?  ?  ?  ? ×# " " # " # $ " # $ % & 28. Encuentre una base para el subespacio de , dado por[ ‘% , tenga solución [ œ ÖÐBß Cß Dß >Ñ Î E\ œ ] × Mett ® donde: E œ ß \ œ ß ] œ " # $ % B B " $ % & B C # & ( * B D % "! "% ") B > Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø " # $ % 29. Dado el sistema +B  +B  +B  +B œ +" # $ % # B  B  B  ,B œ $," # $ %  #B  B  #B  Ð$+  #,ÑB œ !" # $ % a) Mediante el rango justificar los distintos casos de solución del sistema, según sean los valores de las constantes y + ,Þ b) Resolver matricialmente no por ampliada indicando los valores de y Ð Ñ + , adecuados tal que \ œ ÖB ß B ×F # % c) ¿Es posible resolverlo en el caso que ? (justifique)\ œ ÖB ß B ×F " $ 30. Sea con y E œ ß + Á !ß , Á ! - Á ! ! + ! , ! - , ! ! Ô × Õ Ø a) Probar que es es invertible.E b) Exprese como un producto de matrices elementales.E 31. Sea E œ " # " % ) 5  &5  # $ 5 $ 5 # Ô × Õ Ø a) Para que valores de el rango de es: o 5 E "ß # $Þ5 b) Apoyándose en a) resuelva cuando sea posible el sistema B  #B  B œ "" # $ %B  )B  5  &5  # B œ 5  #" # $#a b $B  5B  $B œ 5" # $ "# c) Para que valor de el sistema dado en b) no tiene solución.5ß 32. Si demuestre que! " #  œ ! â ââ ââ ââ ââ ââ â " -9= -9= -9= " -9= -9= -9= " œ ! ! " ! # " # Mett ® 42. Dada E œ  " $ ! $  " , + ! # Ô × Õ Ø a) Determine los valores de y de modo que el vector sea un vector+ , "ß "ß "a b propio de y luego encuentre los otros valores y vectores propiosE b) Para los valores de y encontrados en a) diga si es diagonalizable,+ , E fundamente su respuesta. 43. Sea una T.L. definida porX À T Ä T# # X "  >  > œ #  >  #>a b# # X #  >  > œ !a b# X >  #> œ  "  #>a b# # a) Justificando indique si es invertibleX b) Determinar la matriz representativa de con respecto a la baseX W œ Ö"  >  > ß #  >  > ß >  #> ×# # # y calcule la imagen por , del vector ocupando esta matriz.X $  "!>  #!># 44. Sea una T.L. definida porX À Q Ä Q## ## X œ+ , #- +  - - . ,  #- . Š ‹” • ” • Encuentre los valores y vectores propios de X% % Þ E 8 ‚ 8 F œ T ET Þ5 a) Sea una matriz de y sea Demuestre que si es un" ! vector propio de asociado con el valor propio de entonces es unE 5 Eß T"! vector propio de asociado con el valor propio de F 5 EÞ b) Sea una matriz de idempotente, entonces la matriz solo admite comoE 8 ‚ 8 valores propios a: 1 y 0. Mett ®