Télécharge Algèbre linéaire - Devoir d’entrainement: corrigé et plus Exercices au format PDF de Algèbre linéaire sur Docsity uniquement! 2M270 Algèbre linéaire IL 2016-17 Devoir d’entrainement : corrigé Exercice 1. 1. Trouver une base du noyau de la matrice 11 0 1 A= ( 1 —1 0 : 2. Soient {1 et L2 les formes linéaires sur R‘ données pour tout (x,y,2,t) € R{ par : ONENENSTES Lo(x, y, 2,t) = y — 2. A l’aide de la question précédente, donner une base de vect({1,{2)°, l’orthogonal de vect(£1, {2) dans R{. Justifier. Corrigé. 1. Il y a deux manières de répondre à cette question. On peut faire des opérations sur les colonnes de la matrice par blocs (4), comme vu à de nombreuses reprises en TD. On peut aussi faire le raisonnement suivant. La matrice À est de rang 2 car ses deux lignes ne sont pas colinéaires. Par le théorème du rang, son noyau est donc de dimension 2. Par ailleurs, on peut vérifier que les vecteurs 1 0 (i) et (!) appartiennent au noyau de À. Comme ils ne sont pas colinéaires et que le 1 1 noyau est de dimension 2, ils en forment une base. 2. Un vecteur (x,y,2,t) appartient à vect(£1,{2)° si et seulement si {(x,y,2,t) = 0 et L(x,y,2,t) = 0. On remarque que les lignes de la matrice À sont les matrices de £1, €2 dans la base canonique. D’où le produit matriciel : æ On en déduit que (x,y,z2,t) appartient à vect({1,/{2)° si et seulement si (i) appartient t au noyau de À, et donc que ((1,0,0,1), (0,1,1,1)) est une base de vect(£1,£2)°. Exercice 2. On note E l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 2. On note B la base de E formée des polynômes 1,X,X? et B* la base duale de B. On considère les trois formes linéaires sur E suivantes : &(P) = P(1) (P) = P'(1) 1 atP)= | P(x)dx 1. Quelles sont les coordonnées de {1, £2, {3 dans B*? 2. Montrer que (1, {2, {3) est une base du dual E*. 3. Trouver trois polynômes qui forment une base de E dont (41. {2,{3) est la base duale.
