Analyse II, Lectures de Calcul

Télécharge Analyse II et plus Lectures au format PDF de Calcul sur Docsity uniquement! Analyse II 3MStand Jean-Philippe Javet Chapitre 7 : Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chapitre 8 : Les fonctions ex et lnpxq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chapitre 9 : Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chapitre 10 : Applications des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Quelques éléments de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 www.javmath.ch 7 Optimisation 7.1 Optimisation Introduction: Dans beaucoup d’applications, les grandeurs physiques ou géomé- triques sont exprimées à l’aide d’une formule contenant une fonction. Il peut s’agir de la température d’un corps au moment x, du volume d’un gaz dans un ballon sphérique de rayon r, de la vitesse d’un corps au temps t, . . . Disposant de cette fonction, sa dérivée pourra nous être utile pour déterminer ses valeurs extrêmes. Celles-ci sont parfois appelées valeurs optimales parce que, vu leur signification, elles constituent les valeurs les plus favorables. Déterminer ces valeurs constitue ce que l’on appelle un problème d’optimisation. Plan de résolution: Voici la marche à suivre pour résoudre un problème d’optimisation : ① Lisez le problème attentivement (plusieurs fois) en réalisant et en complétant parallèlement une figure d’étude pour y indiquer toutes les informations. ② Exprimez la quantité Q à optimiser (une aire, un volume, des coûts, . . .) comme fonction d’une ou de plusieurs variables. ③ Si Q dépend de plus d’une variable, disons n variables, trouvez au moins pn ´ 1q équations liant ces variables. ④ Utilisez ces équations pour exprimer Q comme fonction d’une seule variable (par substitutions). ⑤ Déterminez l’ensemble de définition ED des valeurs admissibles de cette variable. ⑥ Calcul de la dérivée de Q, fonction à optimiser. ⑦ À l’aide d’un tableau de signes de la dérivée de Q, étudiez la croissance de cette fonction. ⑧ Calculez les extremums de Q sans oublier de contrôler ce qui se passe au bord de ED. ⑨ Répondez finalement à la question posée à l’aide d’une phrase. 1 2 CHAPITRE 7. OPTIMISATION Exemple 1: Fon d Cou ver cle On dispose d’une feuille de carton rectangulaire dont les dimensions sont 48 ˆ 35 cm. On y découpe le patron représenté ci-contre que l’on referme selon les plis pour créer une boîte avec son couvercle. Quel sera le volume maximal de la boîte que l’on pourra ainsi construire ? ① Lisez le problème attentivement (plusieurs fois) en y indiquant sur la figure toutes les informations. ② Exprimez la quantité V à optimiser comme fonction d’une ou de plusieurs variables : ③ Comme V dépend de 3 variables, trouvez 2 équations liant ces variables : ④ Utilisez ces équations pour exprimer V comme fonction V pxq d’une seule variable (par substitutions) : ⑤ Le problème a un sens si x appartient à l’ensemble : ⑥ La dérivée de V pxq est : ⑦ Signe de V 1pxq et croissance de V pxq : ⑧ Au bord du domaine puis ⑨ réponse finale : CHAPITRE 7. OPTIMISATION 3 Exemple 2: x y P B A La parabole d’équation y “ ´2 9x2 ` 8 coupe l’axe des abscisses en A et B. Le point P px ; yq se déplace sur la parabole entre A et B. Déterminer les coordonnées du point P pour que l’aire du triangle rectangle grisé soit maximum. ① Lisez le problème attentivement (plusieurs fois) en y indiquant sur la figure toutes les informations. ② La quantité à optimiser est . . . . . . . . . . . . . . . . . Son expression est : ③ Effectuer les calculs nécessaires pour exprimer cette aire : ④ La quantité à optimiser en fonction d’une seule inconnue : ⑤ Le problème a un sens si x appartient à l’ensemble : ⑥ La dérivée de Apxq est : ⑦ Signe de A1pxq et croissance de Apxq : ⑧ Au bord du domaine puis ⑨ réponse finale : 6 CHAPITRE 7. OPTIMISATION Exercice 7.14: On fait tourner un rectangle de périmètre 60 cm autour de l’un de ses axes de symétrie. Déterminer les dimensions du rectangle pour que le corps de révolution ainsi obtenu ait : a) le plus grand volume ; b) la plus grande aire latérale ; c) la plus grande aire totale. Exercice 7.15: Un ébéniste veut fabriquer un tiroir dont la profondeur, de l’avant à l’arrière, est de 40 cm et dont le volume est de 10’000 cm3. La face avant du tiroir (en chêne) coûte 0,08 fr. par cm2 et les autres faces du tiroir (en épicéa) coûtent 0,04 fr. par cm2. Quelles doivent être les dimensions du tiroir pour que le coût de fabrication soit minimal ? Exercice 7.16: Un photographe désire fabriquer un cadre pour une photo rectan- gulaire à partir d’une planche de 24 cm de long et 1 cm de large. Comment devra-t-il couper cette planche pour que l’aire intérieure du cadre soit maximale ? Exercice 7.17: Un camion doit effectuer régulièrement un trajet de 1’500 km. Lors- qu’il roule à la vitesse moyenne v, exprimée en km/h, sa consom- mation Cpvq, exprimée en litres pour 100 km, est donnée par la relation : Cpvq “ 600 v ` v 3 . Le salaire horaire du chauffeur est de 26 francs et le litre de gasoil coûte 2 francs. a) Montrer que le prix de revient du voyage P pvq peut s’exprimer en francs par : P pvq “ 571000 v ` 10v. b) Quelle doit être la vitesse moyenne v pour minimiser le prix de revient du voyage ? Pause sourire: Lors d’un grand jeu télévisé, les trois concurrents se trouvent être un ingénieur, un physicien et un mathématicien. Ils ont une épreuve à réaliser. Cette épreuve consiste à construire une clôture tout autour d’un troupeau de moutons en utilisant aussi peu de matériel que possible. L’ingénieur fait regrouper le troupeau dans un cercle, puis décide de construire une barrière tout autour. Le physicien construit une clôture d’un diamètre infini et tente de relier les bouts de la clôture entre eux jusqu’au moment où tout le troupeau peut tenir dans le cercle. Voyant ça, le mathématicien construit une clôture autour de lui-même et se définit comme étant à l’extérieur. CHAPITRE 7. OPTIMISATION 7 7.2 Optimisation avec des fonctions trigonométriques Introduction: L’objectif de ce paragraphe est d’appliquer la même démarche de résolution d’un problème d’optimisation, mais sur une fonction de type trigonométrique. Exemple 3: Une gouttière est obtenue en repliant de chaque côté un tiers d’une longue feuille de zinc de 30 cm de large. Comment faut-il choisir α pour que la gouttière puisse retenir la plus grande quantité d’eau possible ? 10 cm10 cm10 cm αα 8 CHAPITRE 7. OPTIMISATION Exercice 7.18: La portée P “ OA d’un projectile lancé (dans le vide) avec une vitesse initiale v0 et un angle d’élévation α est donnée par : P pαq “ v2 0 ¨ sinp2αq g , g étant l’accélération de la pesanteur. Pour une vitesse initiale donnée, déterminer la valeur de l’angle α pour laquelle la portée est maximale. #—v0 O A α Exercice 7.19: Un rectangle ABCD est inscrit dans un 1/2 cercle de diamètre égal à 2 cm. Déterminer le rectangle d’aire maximale en prenant l’angle α comme variable. A BC D O α 8 Les fonctions exponentielles et logarithmiques 8.1 Quelques rappels Le s fo nc ti on s ex po ne nt ie lle na tu re lle et lo ga ri th m e na tu re l :c e qu ’il fa ut en sa vo ir : Fo nc ti on ex po ne nt ie lle na tu re lle ¬ D éfi ni ti on : R Ñ R ˚ ` x ÞÑ ex R ap pe l: la ba se de l’e xp on en tie lle es t le no m br e e “ 2, 71 82 8. .. ­ E D = ® R ep r. gr ap hi qu e : x 1 y 1e ¯ Zé ro de la fo nc ti on : ° Ta bl ea u de si gn es : ex ± A sy m pt ot es : Fo nc ti on lo ga ri th m e na tu re l ¬ D éfi ni ti on : Ñ x ÞÑ ln px q ­ E D = ® R ep r. gr ap hi qu e : x 1y 1 e ¯ Zé ro de la fo nc ti on : ° Ta bl ea u de si gn es : ln px q ± A sy m pt ot es : La fo nc tio n ln px qa ét é dé fin ie co m m e la fo nc tio n ré cip ro qu e de ex : a ÞÝÑ ÞÝÑ ´1 ÞÝÑ ÞÝÑ b ÞÝÑ ÞÝÑ 2 ÞÝÑ ÞÝÑ 11 12 CHAPITRE 8. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES Introduction: La croissance de la population, l’augmentation du capital, l’inflation sont des exemples d’utilisation des fonctions exponentielles. En 2e année, nous avons eu l’occasion de travailler avec des formules contenant une expression exponentielle. Dans ce chapitre, nous aborderons cette même notion sous une forme fonctionnelle. Nous terminerons par des études de fonctions exponentielles. Les règles de calculs de ex et ln pxq à connaître e0 “ 1 Ø lnp1q “ 0 e1 “ e Ø lnpeq “ 1 elnpxq “ ln pexq “ x si x et y P . . . si x et y P . . . ex ¨ ey “ ex`y Ø lnpx ¨ yq “ lnpxq ` lnpyq ex ey “ ex´y Ø ln ˆ x y ˙ “ lnpxq ´ lnpyq pexqy “ ex¨y Ø lnpxnq “ n ¨ lnpxq Exemple 1: Résoudre les équations suivantes : a) lnpx ´ 2q “ 4 b) ex`4 “ 5 CHAPITRE 8. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES 13 Exemple 2: Résoudre les équations suivantes : a) lnpx ` 3q “ lnp2x ` 7q b) ln ˆ x ` 3 2 ´ x ˙ “ 0 Exercice 8.1: Préciser ED puis résoudre les équations suivantes : a) lnpxq “ 1 b) ex`3 “ 5 c) lnpx ´ 4q “ 4 d) e2x´1 “ ´8 e) ex{10 “ 7 f) lnpxq “ 0 g) ln px2q “ 0 h) lnp2xq ´ lnp5x ´ 8q “ 0 i) ln ˆ 2x 5x ´ 8 ˙ “ 0 j) ex2 “ 4 16 CHAPITRE 8. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES Exercice 8.4: À l’aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de la fonction f définie par fpxq “ lnpxq ainsi que la pente de la tangente en ces points. En déduire une proposition pour la dérivée de f . x − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5 6 7 y − 3 − 2 − 1123 x ln (x ) pe nt e de la ta ng en te 0 0, 5 1 2 3 4 5 Pr op os iti on de dé riv ée : si f (x )= ln (x ), al or s f ′ (x )= .. .. .. .. .y = ln (x ) CHAPITRE 8. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES 17 1re règle: La dérivée de la fonction exponentielle : fpxq “ ex ➫ f 1pxq “ ex 2e règle: La dérivée de la fonction logarithme : fpxq “ lnpxq ➫ f 1pxq “ 1 x 3e et 4e règle: La dérivée de fonctions composées en e. . . et lnp. . .q. gpxq “ efpxq ➫ g1pxq “ efpxq ¨f 1pxq gpxq “ lnpfpxqq ➫ g1pxq “ 1 fpxq ¨ f 1pxq Exemple 4: a) Soit fpxq “ e3x alors f 1pxq “ e3x ¨ p3xq1 “ e3x ¨ 3 “ 3 e3x b) Soit fpxq “ px2 ` x ` 1q e´2x alors f 1pxq “ px2 ` x ` 1q1 ¨ e´2x ` px2 ` x ` 1q pe´2xq1 “ p2x ` 1q ¨ e´2x ` px2 ` x ` 1q ¨ e´2x ¨ p´2q “ e´2x ¨ p2x ` 1 ´ 2x2 ´ 2x ´ 2q “ p´2x2 ´ 1q e´2x c) Soit fpxq “ e x x`1 alors f 1pxq “ d) Soit fpxq “ lnp5xq alors f 1pxq “ 1 5x ¨ p5xq1 “ 1 x e) Soit fpxq “ ln p2x2q alors f 1pxq “ 18 CHAPITRE 8. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES Exemple 4 (suite): f) Soit fpxq “ lnpxq ´ 1 lnpxq ` 2 alors f 1pxq “ 1 x plnpxq ` 2q ´ plnpxq ´ 1q 1 x plnpxq ` 2q2 “ 1 x ¨ lnpxq ` 2 ´ lnpxq ` 1 plnpxq ` 2q2 “ 3 xplnpxq ` 2q2 Exercice 8.5: Déterminer l’ED, les zéros et la dérivée de f définie par : a) fpxq “ e5x b) fpxq “ ex2 c) fpxq “ e1{x d) fpxq “ lnp´4x ` 5q e) fpxq “ ln px2 ´ xq f) fpxq “ x2 e1{x g) fpxq “ xplnpxq ´ 1q h) fpxq “ lnpxq ´ 2 lnpxq ´ 1 i) fpxq “ e2x ´3 ex `2 (indication : il s’agit d’une . . . maquillée !!) Exercice 8.6: a) Démontrer que la tangente à la courbe y “ ex au point d’abscisse x “ 1 passe par l’origine. b) Démontrer que la tangente à la courbe y “ lnpxq au point d’abscisse x “ e passe par l’origine. Exercice 8.7: La capacité pulmonaire C d’une personne en fonction de son âge est donnée par la fonction : Cptq “ 110 ` lnptq ´ 2 ˘ t avec t l’âge exprimé en année et t ą e2 a) Calculer la capacité pulmonaire à 10, 20, 30 et 70 ans. b) Calculer l’âge auquel la capacité pulmonaire d’une personne est maximale. Devinette: Logarithme et exponentielle sont au restaurant. Qui paie l’addition ? C’estexponentiellecarlogarithmenépérien... CHAPITRE 8. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES 21 2e cas : n “ 3 : Justifiez-le à l’aide des deux graphes suivants : x1 2 3 4 5 y 10 20 y “ exy “ x3 x1 2 3 4 5 y 50 100 y “ ex Ñ y “ x3 Ñ Laquelle des deux fonctions semble-t-elle croître le plus rapidement ? 3e cas : n “ 10 : En observant le graphique suivant, compléter les limites : 2⇥1015 4⇥1015 6⇥1015 10 20 30 40 y = ex ! y = x10 ! x y ‚ lim xÑ`8 ex x10 “ . . . . . . ‚ lim xÑ`8 x10 ex “ . . . . . . Exercice 8.10: En observant le graphe, compléter les limites (pour n P N) x´1 1 2 3 4 5 y 4 8 y “ x y “ x2 y “ lnpxq ‚ lim xÑ`8 lnpxq xn “ . . . . . . ‚ lim xÑ`8 xn lnpxq “ . . . . . . La règle du podium: Les deux exercices précédents nous ont permis d’observer les limites suivantes : lim xÑ`8 ex xn “ `8 lim xÑ`8 xn ex “ 0` lim xÑ`8 lnpxq xn “ 0` lim xÑ`8 xn lnpxq “ `8 Vous trouverez encore d’autres limites pratiques dans votre formulaire. 22 CHAPITRE 8. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES Exercice 8.11: Les limites suivantes sont-elles déterminées ? À l’aide de votre calculatrice, estimer ces limites a) lim xÑ`8 ex lnpxq b) lim xÑ0` x3 lnpxq c) lim xÑ´8 x2 ex d) lim xÑ`8 x2 e´5x Exemple 5: La règle du podium Calculer les limites suivantes a) lim xÑ`8 x2 ¨ e´x b) lim xÑ0` x ¨ e1{x c) lim xÑ´8 e´x x2 d) lim xÑ`8 e´x 4x CHAPITRE 8. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES 23 Exercice 8.12: Calculer les limites suivantes, en essayant, si nécessaire, de se rap- porter à une situation de “podium” du type : lim xÑ`8 ex xk , lim xÑ`8 ex lnpxq , . . . a) lim xÑ`8 lnpxq e2x b) lim xÑ`8 e´x ln ` x3˘ c) lim xÑ´8 e´x x d) lim xÑ´8 ex lnp´xq e) lim xÑ´8 x3 e3x´5 f) lim xÑ0` e1{x x2 g) lim xÑ0` e1{x x2 h) lim xÑ0` e´1{x x Encore 2 formules: ‚ lim xÑa e fpxq “ e lim xÑa fpxq ‚ lim xÑa lnpfpxqq “ ln ´ lim xÑa fpxq ¯ Exemple 6: Calculer lim xÑ`8 e´ 3x`4 x´2 Exercice 8.13: Calculer les limites suivantes : a) lim xÑ`8 e´x b) lim xÑ`8 e x2 ´ 3x ` 2 2x2 c) lim xÑ`8 e ´2x x2 ´ 5 d) lim xÑ´8 e 3x2 ` 2 2x e) lim xÑ`8 ln ˆ 3x2 ´ 3x ` 2 x2 ´ 5x ` 2 ˙ f) lim xÑ`8 ln ˆ 1 x ˙ Exercice 8.14: Le but de cet exercice est d’“estimer” lim xÑ´8 ln p1 ` exq ex a) en “remplaçant” naïvement x par ´8 b) à l’aide de la calculatrice en complétant le tableau de valeurs ci-dessous : x ´1 ´10 ´20 ´25 ´30 lnp1`exq ex 26 CHAPITRE 8. LES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES Exercice 8.15: Étudier les fonctions f définies par : a) fpxq “ e´x2 b) fpxq “ px2 ´ 6q e´2x c) fpxq “ ex p6 ´ exq d) fpxq “ e 2 x2 ´ 4 9 Primitives et intégrales 9.1 «À quoi ça sert ?» Un peu d’histoire: Isaac Newton (1643-1727) xa b y y “ fpxq Les calculs d’aire de figures géométriques simples comme les rectangles, les polygones et les cercles sont décrits dans les plus anciens documents mathématiques connus. La première réelle avancée au-delà de ce niveau élémentaire a été faite par Archimède, le génial savant grec. Grâce à la technique d’Archimède, on pouvait calculer des aires bornées par des paraboles et des spirales. Au début du XVIIe siècle, plusieurs mathé- maticiens ont cherché à calculer de telles aires de manière plus simple à l’aide de limites. Cependant, ces méthodes manquaient de généralité. La découverte majeure de la résolution générale du problème d’aire fut faite indépendamment par Newton et Leibniz lorsqu’ils s’aperçurent que l’aire sous une courbe pouvait être obtenue en inversant le processus de dérivée. Cette découverte, qui marqua le vrai début de l’analyse, fut répandue par Newton en 1669 et ensuite publiée en 1711 dans un article intitulé De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitas. Indépen- damment, Leibniz découvrit le même résultat aux environs de 1673 et le formula dans un manuscrit non publié daté du 11 novembre 1675. Notre objectif dans ce chapitre sera de pouvoir calculer l’aire d’un do- maine sous une courbe y “ fpxq bornée entre deux droites verticales d’équation x “ a et x “ b. 9.2 3 exemples pour débuter xx1 x2 x3x0 h y a) Soit la fonction f définie par fpxq “ h où h représente une constante. Nous désirons calculer l’aire Apxq sous la courbe y “ h comprise entre la borne x0 “ 0 et la deuxième borne variant x “ x1, x2, x3, . . . ‚ si x “ x1 ùñ Apx1q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‚ si x “ x2 ùñ Apx2q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‚ si x “ x3 ùñ Apx3q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En généralisant pour tout x, Si fpxq “ h ùñ Apxq “ hx 27 28 CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES x y y “ mx x1 x2 x3x0 x y y “ mx ` h x1 x2 x3x0 b) Soit la fonction f définie par fpxq “ mx où m représente la pente de la droite. Nous désirons calculer l’aire Apxq sous la courbe y “ mx comprise entre la borne x0 “ 0 et la deuxième borne variant x “ x1, x2, . . . ‚ si x “ x1 ùñ Apx1q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‚ si x “ x2 ùñ Apx2q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . etc. . . En généralisant pour tout x : Si fpxq “ mx ùñ Apxq “ 1 2 mx2 c) Soit la fonction f définie par fpxq “ mx ` h. Nous désirons calculer l’aire Apxq sous la courbe y “ mx ` h comprise entre la borne x0 “ 0 et la deuxième borne variant x “ x1, x2, . . . ‚ si x “ x1 ùñ Apx1q =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‚ si x “ x2 ùñ Apx2q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . etc. . . En généralisant pour tout x : Si fpxq “ mx ` h ùñ Apxq “ 1 2 mx2 ` hx Exercice 9.1: Soit la fonction f définie par fpxq “ 2x. Déterminer l’aire Apxq définie sous la courbe dans les 3 cas suivants : a) entre x0 “ 0 et x1 “ 10 b) entre x0 “ 0 et x2 “ 20 c) entre x1 “ 10 et x2 “ 20 Exercice 9.2: Soit la fonction f définie par fpxq “ 2x ` 4. Déterminer l’aire Apxq définie sous la courbe dans les 3 cas suivants : a) entre x0 “ 0 et x1 “ 2 b) entre x1 “ 2 et x2 “ 6 c) entre x0 “ 0 et x2 “ 6 CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES 31 Exercice 9.6: Déterminer f sachant que : a) ż fpxq dx “ 5x2 ´ 3x ` c b) ż fpxq dx “ x ´ 1 x ` c c) ż fpxq dx “ ? x ` c Exercice 9.7: x1 2 3 4 5 6 y ´4 ´3 ´2 ´1 1 2 3 On a représenté ci-contre une fonction f définie sur l’intervalle r0 ; 6s. a) Sachant que f est la dérivée d’une fonction F définie sur r0 ; 6s, déduire le tableau de croissance de F . b) Retrouver, parmi les 4 esquisses proposées ci-dessous, celles pouvant correspondre à F . x1 2 3 4 5 6 y ´2 2 4 6 ´1 1 3 5 ❶ x1 2 3 4 5 6 y ´3 ´2 ´1 1 2 ❷ x1 2 3 4 5 6 y ´2 2 4 6 ´1 1 3 5 ❸ x1 2 3 4 5 6 y ´5 ´4 ´3 ´2 ´1 1 2 3 ❹ 32 CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES Calculs de primitives: La recherche d’une primitive n’est pas toujours facile, ni toujours possible. Celles proposées ci-dessous découlent directement des règles de dérivation : ` fpxq ˘ gpxq˘1 “ f 1pxq ˘ g1pxq ① ż ` fpxq ˘ gpxq˘ dx “ ż fpxq dx ˘ ż gpxq dx ☞ ż x4 5 ´ 3x3 2 dx “ ż x4 5 dx ´ ż 3x3 2 dx “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` k ¨ fpxq˘1 “ k ¨ f 1pxq ② ż k ¨ fpxq dx “ k ¨ ż fpxq dx ☞ ż 17 ¨ x´5 dx “ 17 ¨ ż x´5 dx “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . `pfpxqqn ˘1 “ n ` fpxq˘n´1 ¨ f 1pxq ③ ż ` fpxq˘n ¨ f 1pxq dx “ 1 n ` 1 ` fpxq˘n`1 ` c ☞ ż ` 3x2 ` 5x ´ 1 ˘3 ¨ p6x ` 5q dx “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` efpxq ˘1 “ efpxq ¨f 1pxq ④ ż efpxq ¨ f 1pxq dx “ efpxq `c ☞ ż 2x ex2 dx “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ln ` fpxq˘ ¯1 “ 1 fpxq ¨ f 1pxq ⑤ ż f 1pxq fpxq dx “ lnp|fpxq|q ` c ☞ ż 8 4x ´ 3 dx “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ sin ` fpxq˘ ¯1 “ cos ` fpxq˘ ¨ f 1pxq ⑥ ż cos ` fpxq˘ ¨ f 1pxq dx “ sin ` fpxq˘ ` c ☞ ż x ¨ cos ` x2˘ dx “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ cos ` fpxq˘ ¯1 “ ´ sin ` fpxq˘ ¨ f 1pxq ⑦ ż sin ` fpxq˘ ¨ f 1pxq dx “ ´ cos ` fpxq˘ ` c ☞ ż sin p´xq dx “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES 33 Exercice 9.8: Déterminer les primitives suivantes : a) ż 3x2 ` 5x ´ 3 dx b) ż xp2x ´ 4q dx c) ż xpx ` 3qpx ´ 3q dx d) ż px ` 3q3 dx e) ż p1 ´ 2xq2 dx f) ż ` 3x2 ` x ˘3 p6x ` 1q dx g) ż x ` 4x2 ` 3 ˘4 dx h) ż ? x ` 3 dx i) ż 1? 3x ` 1 dx j) ż 2 x dx k) ż 1 3x ` 1 dx l) ż 3 e3x dx m) ż 2x ex2`x ` ex2`x dx n) ż 4x ` 2 x2 ` x ` 1 dx o) ż 2x cos ` 3x2˘ dx p) ż 2 sinpxq cospxq dx Exercice 9.9: Déterminer la fonction f sachant que : a) f 1pxq “ 3x2 ´ 4 et fp5q “ 54 b) f 1pxq “ 5 ´ x et fp´2q “ ´fp2q Exercice 9.10: On considère la fonction f définie sur R´t´1 ; 3u par : fpxq “ 2x ´ 7 x2 ´ 2x ´ 3 a) Préciser pourquoi la primitive de f n’est pas directement calculable. b) Déterminer a et b vérifiant que : fpxq “ 2x ´ 2 x2 ´ 2x ´ 3 ` a x ` 1 ` b x ´ 3 c) En déduire une primitive de f . d) Montrer que F pxq “ 9 4 ln |x`1|´ 1 4 ln |x´3|`c est également une primitive de f . 36 CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES x y y “ fpxq a b À la limite, nous pouvons “espérer” obtenir la valeur exacte de l’aire A : A “ lim nÑ`8 n´1 ÿ i“0 f pxiq ¨ ∆x Définition: On appelle intégrale définie de la fonction f pour x allant de a à b le calcul de la limite : lim nÑ`8 n´1 ÿ i“0 f pxiq ¨ ∆x que l’on notera : ż b a fpxq dx ‚ Les nombres a et b sont appelés bornes d’intégration et x variable d’intégration. ‚ dx est un symbole exprimant que l’on intègre par rapport à x et il correspond au symbole ∆x de la somme précédente. CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES 37 Exercice 9.12: Reproduire la démarche précédente afin d’approximer l’aire sous la parabole à l’aide de rectangles (bordé par la gauche puis par la droite). Le bu t de ce t ex er ci ce es t d’ ap pr ox im er la va le ur de l’a ire ha ch ur ée so us la co ur be y “ x 2 po ur x Pr 0; 8s A pp ro xi m on s ce tt e ai re po ur ∆ x ““ “ 1 A pp ro xi m on s ce tt e ai re po ur ∆ x ““ “ 1{{ { 2 x 2 4 6 8 y 102030405060 y “ x 2 x 2 4 6 8 y 102030405060 y “ x 2 A ire ch er ch ée « A ire ch er ch ée « www.javmath.ch 38 CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES Constatation: L’usage de la définition de l’intégrale définie ż b a fpxq dx “ lim nÑ`8 n´1 ÿ i“0 f pxiq ¨ ∆x se révèle être très peu pratique, car demandant des calculs très longs. Cependant, pour certaines fonctions (pas toutes), il existe une alternative plus simple, l’utilisation de la primitive donnée par le théorème suivant : Théorème: Théorème fondamental du calcul intégral : Soit une fonction f continue définie sur l’intervalle ra ; bs. Alors ż b a fpxq dx “ F pxq ∣∣∣b a “ F pbq ´ F paq où F est une primitive de f . Exemple 3: a) ż 4 0 x dx “ 1 2x2 ` c ∣∣∣4 0 “ p8 ` cq ´ p0 ` cq “ 8 On voit sur cet exemple que la constante c n’a pas d’influence. On se permettra alors de ne plus l’indiquer. b) ż 7 2 1 x dx “ lnp|x|q ∣∣∣7 2 “ lnp7q ´ lnp2q “ ln ˆ 7 2 ˙ c) ż 1 0 e´u du “ . . . . . . . . ∣∣∣1 0 “ . . . . . . . . Exercice 9.13: Calculer les intégrales définies suivantes : a) ż 4 1 x2 dx b) ż 3 0 3x2 dx c) ż 5 1 x2 2 dx d) ż 1 0 3x3 5 dx e) ż 2 0 2x3 ´ 3x2 ` x ´ 3 dx f) ż 2 ´1 u2 ` 1 du g) ż 2 ´2 v3 ´ 3v dv h) ż 3 ´3 3x2 5 ` 4 dx i) ż π 0 sinpxq dx j) ż π ´π cosp2xq dx CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES 41 Exercice 9.18: Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse. a) ż c a fpxq dx “ ż b a fpxq dx ` ż c b fpxq dx si b P ra ; cs et fpxq ě 0 b) ż b a fpxq dx ě 0 si fpxq ě 0 sur ra ; bs c) ż b a fpxq dx ě ż b a gpxq dx si fpxq ě gpxq sur ra ; bs Exercice 9.19: On voudrait niveler (à plat) le terrain représenté ci-dessous. d 100 200 300 400 500 600 h 40 80 120 160 200 d [m] 0 400 600 h [m] 125 125 200 a) À l’aide des 3 pts obtenus par un géomètre, déterminer la fonction du 2e degré qui modélise au mieux ce terrain. b) À quelle hauteur faut-il situer le terrain nivelé pour que les remblais équilibrent exactement les déblais ? Remarque: L’exercice précédent peut se généraliser en un théorème classique d’intégration : Le Théorème de la moyenne : Pour toute fonction f continue sur un intervalle ra ; bs, il existe un réel c compris entre a et b vérifiant : fpcq “ 1 b ´ a ż b a fpxq dx Graphiquement, une interprétation de ce théorème est que l’aire algébrique sous la courbe y “ fpxq est égale à celle d’un rectangle de base ra ; bs et dont la hauteur est l’ordonnée d’un point “moyen” de la courbe. Dans l’exercice précédent, il existe même 2 valeurs de c vérifiant ce théorème qui sont : c1 “ . . . . . et c2 “ . . . . . . 42 CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES 9.6 Le calcul de l’aire géométrique entre deux courbes Exemple 5: Calculer l’aire géométrique du domaine borné compris entre les courbes : y “ x2 et y “ ? x Constatation: Dans ce dernier exemple, nous avons calculé l’aire entre deux courbes à l’aide du calcul : A = « aire de la plus haute » – « aire de la plus basse » Généralisons ceci dans le théorème suivant : Théorème: x y y “ fpxq y “ gpxq A a b Soit f et g deux fonctions continues sur ra ; bs, telle que fpxq ě gpxq sur ra ; bs. Alors l’aire A du domaine borné par les graphes de f et de g entre les droites x “ a et x “ b vaut : A “ ż b a fpxq dx ´ ż b a gpxq dx “ ż b a fpxq ´ gpxq dx Question: Cette formule est assez convaincante lorsque les 2 fonctions f et g sont toutes deux situées dans les 2 premiers quadrants. Qu’en est-il dans le cas où g et éventuellement f prennent des valeurs négatives ? Doit-on modifier des signes ? CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES 43 Réponse: Non, il n’est pas nécessaire de “corriger” la formule. On peut imaginer translater les graphes de f et g d’une même constante k de telle sorte que fpxq ` k ě 0 et gpxq ` k ě 0 pour tout x P ra ; bs. Observons ceci sur la figure suivante : y y “ fpxq y “ gpxqA xa b ùñ y y “ fpxq ` k y “ gpxq ` kA xa b Exercice 9.20: Calculer l’aire géométrique du domaine délimité par les deux courbes a) y “ x2 ´ 4x ` 5 et y “ 5 ` 2x ´ x2 b) y “ x3 ´ x4 et y “ x ´ x2 c) 2x2 ` x ` 4y ´ 3 “ 0 et x ´ 4y ´ 1 “ 0 Exercice 9.21: Calculer l’aire géométrique du domaine compris entre les droites x “ 1, x “ 2, l’asymptote oblique et le graphe de la fonction f définie par fpxq “ x3 ´ 1 x2 . Exercice 9.22: Déterminer l’aire de la ré- gion grisée. x y -2 y “ 2 x`3 y “ 3 x`5 I Exercice 9.23: Calculer l’aire géométrique du domaine compris entre les droites x “ 1, x “ 2, y “ 3x et la courbe d’équation y “ 3x4 ` 1 x3 . Exercice 9.24: Calculer l’aire géométrique du domaine compris entre la courbe y “ x3 ` 2x2 ` x et la parabole d’axe parallèle à Oy, donnée par trois de ses points Ap´2 ; ´2q, Bp´1,5 ; 0q, Cp0 ; 0q. 46 CHAPITRE 9. PRIMITIVES ET INTÉGRALES Exercice 9.31: Soit la fonction f définie sur ED“ r0 ; 18s par fpxq “ 2x ´ 2. Cette fonction bornée délimite avec l’axe Ox un domaine. Déterminer la valeur de c pour laquelle la droite d’équation x “ c coupe ce domaine en deux parties de même aire. Exercice 9.32: Déterminer a P R˚ ` pour que l’aire du domaine limité par la courbe d’équation y “ a2 ´ x2 4 et l’axe Ox soit égal à 8. 10 Application des intégrales 10.1 Les intégrales pour calculer des volumes de révolution a b y = f (x) L’objectif de ce chapitre est de vous présenter une (parmi de multiples) applica- tion du calcul intégral. Il s’agira de calculer le volume de solides généré par la révolution autour de l’axe Ox d’une portion de courbe y “ fpxq comprise entre x “ a et x “ b. a b x y x Méthode des disques: a b xxi f(x i) x L’idée est la même que lorsque l’on cherchait l’aire sous une courbe. On va découper l’intervalle ra ; bs en n sous-intervalles de largeur identique : rx0 ; x1s, rx1 ; x2s, . . . , rxn´1 ; xns, avec x0 “ a et xn “ b. La largeur de chaque sous-intervalle est égale à la largeur de l’in- tervalle ra ; bs divisé par le nombre de sous-intervalles, c’est-à-dire : ∆x “ pb ´ aq{n. Pour chaque i “ 0, 1, ..., n ´ 1, on dessine un rectangle ayant comme base le segment rxi ; xi`1s et comme hauteur fpxiq. Lorsqu’ils tourneront autour de l’axe Ox, chacun de ces rectangles va définir un cylindre très fin (presque un disque) de volume : V “ π ¨ rfpxiqs2 ¨ ∆x. Le volume du corps de révolution sera la somme des volumes de tous ces cylindres : V “ lim nÑ8 n ÿ i“1 π rf pxiqs2 ∆x Qui se traduira (passage à la limite) en : V “ π ż b a rfpxqs2 dx 47 48 CHAPITRE 10. APPLICATION DES INTÉGRALES Exemple: But: retrouver la formule “connue” du volume du cône: r h x r h0 Recherche de la fonction Expression du volume du cône: Volume = x y 0 h f(x) Expression du volume “d’une tranche” x y f(x ) x Δx Volume = x y r y x r x y r x y x y r h Démarche générale 0 0 y CHAPITRE 10. APPLICATION DES INTÉGRALES 51 Exercice 10.4: Esquisser l’objet obtenu par la révolution de la surface grisée autour de Ox puis calculer son volume : x2 6 y 3 5 ① x4 y 3 4 ② Exercice 10.5: Mêmes consignes x y y “ x2 ´ 3x ` 8 ① y “ ´x2 ´ x ` 12 x y ② y “ x2 y “ x x y y “ a 3 ´ x y “ a 2 ´ x ③ x21{2 y y “ 1 x ④ 52 CHAPITRE 10. APPLICATION DES INTÉGRALES A Bibliographie Bibliographie 1. CRM, Analyse (1997), Édition du Tricorne 2. H. Bovet, Analyse (1999), Polymaths ou sur Payot online https://www.payot.ch/Detail/analyse-hubert_bovet-2080002732756 Site Web 1. Le site companion de ce polycopié : www.javmath.ch Avec une version pdf de ce polycopié et quelques exercices supplémentaires ou animations. 2. Le site Nymphomath de Didier Müller : http://www.nymphomath.ch/MADIMU2/ANALY/INDEX.HTM Support de cours en pdf avec des exercices et leurs solutions 3. Une partie mathématique du site du collège Sismondi proposé par Serge Picchione : https://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione Support de cours en pdf avec des exercices et leurs solutions 53 II ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Exercice 7.6: ‚ Appeler x la 1re coordonnée de P . (supposez-la positive) ‚ La hauteur du rectangle y s’obtient à l’aide de l’équation de AC : y “ ´2x ` 6. ‚ Apxq “ ´4x2 ` 12x. ‚ Il s’agit d’une fct du 2e degré "X", son max s’obtient rapidement à l’aide de x “ ´ b 2a . Exercice 7.7: ‚ Appeler x la 1re coordonnée du point P cherché. ‚ La distance s’obtient à l’aide de la norme # — OP ou th. de Pythagore : dpxq “ a x2 ` px2 ´ 9q2. ‚ Puis d1pxq “ xp2x ` ? 34qp2x ´ ? 34q 2 ? x4 ´ 17x2 ` 81 . Exercice 7.8: ‚ Appeler x le rayon du cylindre, la hauteur du cylindre s’obtient à l’aide de la formule du volume du cylindre. ‚ La quantité de matière est associée à l’aire totale du cylindre : A “ 2πrh ` 2πr2. ‚ On obtient Apxq “ 2πx3 ` 3,5 x puis A1pxq “ 4πx3 ´ 3,5 x2 . Exercice 7.9: ‚ En exprimant les dimensions du parallélogramme en fonction de x, on obtient MN “ 6 5x et la hauteur du parallélogramme = 4 5p5 ´ xq. ‚ On obtient Apxq “ ´24 25x2 ` 24 5 x. Son max s’obtient à l’aide de x “ ´ b 2a . Exercice 7.10: a) Poser un système d’équations et le résoudre. b) ‚ x étant la 1re coordonnée de P , on obtient : Apxq “ px2 ` 1qp2 ´ xq. ‚ Puis A1pxq “ ´3x2 ` 4x ´ 1. ‚ Ne pas oublier de contrôler ce qui se passe au bord de ED. Exercice 7.11: ‚ Appeler x la hauteur de la zone imprimée. ‚ On obtient Apxq “ px ` 10q ˆ 600 x ` 6 ˙ . ‚ Puis A1pxq “ 6 ´ 6000 x2 . Exercice 7.12: ‚ Appeler x le nbre de poiriers ajoutés. ‚ Rendement : Rpxq “ p60 ` xqp480 ´ 5xq. ‚ Il s’agit d’une fct du 2e degré "X", son max s’obtient rapidement à l’aide de x “ ´ b 2a . ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS III Exercice 7.13: ‚ Appeler x le rayon du cercle de base, h la hauteur du cône. ‚ On exprime le volume en fonction de h par : Vphq “ 1 3πp100 ´ h2q ¨ h. ‚ Puis V 1phq “ π 3 p100 ´ 3h2q. Exercice 7.14: a) Appeler x la base du rectangle, on obtient Vpxq “ π 4 p30x2 ´ x3q. b) Appeler x la base du rectangle, on obtient Apxq “ πp30x ´ x2q. c) Appeler x la base du rectangle, on obtient Apxq “ πp30x ´ 1 2x2q. Exercice 7.15: ‚ Appeler x la longueur de la face avant du tiroir, sa hauteur h “ 250 x . ‚ En tenant compte des prix, on obtient Ppxq “ 30 ` 1,6x ` 800 x . ‚ Puis P 1pxq “ 1,6x2 ´ 800 x2 . Exercice 7.16: ‚ Appeler x la hauteur la photo, y ´ 2 la largeur de celle-ci. ‚ On obtient Apxq “ 10x ´ x2. ‚ La fct à optimiser est du 2e degré "X", son max s’obtient en x “ ´ b 2a . Exercice 7.17: ‚ Prix de revient = coût essence + salaire chauffeur. Ppvq = 15 ¨ ˆ 600 v ` v 3 ˙ ¨ 2 ` 26 ¨ ˆ 1500 v ˙ “ 571000 v ` 10v. ‚ Puis P 1pvq “ 10pv2 ´ 51700q v2 . Exercice 7.18: ‚ P 1pαq “ 0 ðñ v2 0 g psinp2αqq1 “ 0 ðñ 2v2 0 g cosp2αq “ 0. Exercice 7.19: ‚ Apαq “ 2 ¨ cospαq ¨ sinpαq ùñ A1pαq “ 2 ` cos2pαq ´ sin2pαq˘ ‚ A1pαq “ 0 ðñ sin2pαq “ 1 2 ou cos2pαq “ 1 2 pselon la substq. Exercice 7.20: ‚ base du ∆ : b “ 2 sinpαq ‚ hauteur du ∆ : h “ 1 ` cospαq * ùñ Apαq “ sinpαq ¨ ` 1 ` cospαq˘ ‚ A1pαq “ 0 ðñ cospαq “ 1 2 ou cospαq “ ´1 IV ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Exercice 7.21: ‚ temps pour AP : tAP “ dist. vit. “ 9 4 cospαq ‚ temps pour PB : tPB “ dist. vit. “ 15 ´ 9 tanpαq 5 , / / . / / - ùñ . . . ùñ tpαq “ 9 4 cospαq ` 15 ´ 9 tanpαq 5 ‚ t1pαq “ 9 4 `pcospαqq´1˘1 ` 1 5 ` 15 ´ 9 tanpαq˘1 “ 9p5 sinpαq ´ 4q 20 cos2pαq Exercice 7.22: ‚ temps pour AB : tAB “ dist. vit. “ 4 cospαq 2 ‚ temps pour BC : tBC “ dist. vit. “ 4α 4 , / / . / / - ùñ tpαq “ 2 cospαq ` α ‚ t1pαq “ 0 ðñ α “ π 6 ps’agit-il vraiment d’un min ??q Exercice 7.23: Pour la partie a), substituez ci-dessous a par 10. ‚ Volume “ 2a3cospαq ‚ Volume “ a3 cospαq ¨ sinpαq ‚ V 1pαq “ a3` cos2pαq ´ sin2pαq ´ 2 sinpαq˘ ‚ V 1pαq “ 0 ðñ 2 sin2pαq ` 2 sinpαq ´ 1 “ 0 (à résoudre avec la formule) Réponses finales du Chapitre 7 Exercice 7.1: Les carrés doivent avoir un côté d’env. 3,28 cm. Exercice 7.2: Le produit minimum vaut -36. Exercice 7.3: Les dimensions sont 2 ? 3 3 km et ? 3 2 km. Exercice 7.4: Ap6 ; 0q pour une aire max de 3 ? 3 u2. Exercice 7.5: Les dimensions sont 2 ? 3 et 8/3. Exercice 7.6: On obtient les points P p3{2 ; 0q et P p´3{2 ; 0q, les abscisses sont donc x “ ˘3{2. Exercice 7.7: Les points cherchés sont P ´ ´ ? 34 2 ; ´1 2 ¯ ou P ´? 34 2 ; ´1 2 ¯ . Exercice 7.8: Le rayon vaut env. 6,53 cm et la hauteur vaut env. 13,06 cm. ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS VII Exercice 8.3: Si fpxq “ ex alors f 1pxq “ ex D’ailleurs, à une constante près, c’est la seule fonction qui admet elle-même pour propre dérivée. Exercice 8.4: Si fpxq “ lnpxq alors f 1pxq “ 1 x Exercice 8.5: ED Zéros f 1pxq a) R aucun 5 e5x b) R aucun 2x ex2 c) R˚ aucun ´ 1 x2 e1{x d) s ´ 8 ; 5{4r en x “ 1 4 4x ´ 5 e) s ´ 8 ; 0 r Y s 1 ; `8r en x “ 1 ˘ ? 5 2 2x ´ 1 xpx ´ 1q f) R˚ aucun p2x ´ 1q e1{x g) s 0 ; `8 r en x “ e lnpxq h) s 0 ; e r Y s e ; `8r en x “ e2 1 xplnpxq ´ 1q2 i) R en x “ lnp2q ou x “ 0 p2 ex ´3q ex Exercice 8.6: a) P p1 ; eq y “ e ¨x b) P pe ; 1q y “ 1 e ¨ x Exercice 8.7: a) Cp10q – 3,33 ; Cp20q – 5,48 ; Cp30q – 5,14 ; Cp70q – 3,53 b) C 1ptq “ 110p3 ´ lnptqq t2 La capacité max. de 5,48 litres est atteinte à l’âge de 20,09 ans Exercice 8.8: a) lim xÑ nbre fpxq ¨ gpxq “ `8 lim xÑ nbre fpxq gpxq “ indeterminé b) lim xÑ nbre fpxq ¨ gpxq “ `8 lim xÑ nbre fpxq gpxq “ indeterminé c) lim xÑ nbre fpxq ¨ gpxq “ ´8 lim xÑ nbre fpxq gpxq “ indeterminé d) lim xÑ nbre fpxq ¨ gpxq “ 0` lim xÑ nbre fpxq gpxq “ indeterminé e) lim xÑ nbre fpxq ¨ gpxq “ 0` lim xÑ nbre fpxq gpxq “ indeterminé f) lim xÑ nbre fpxq ¨ gpxq “ 0´ lim xÑ nbre fpxq gpxq “ indeterminé VIII ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS g) lim xÑ nbre fpxq ¨ gpxq “ indeterminé lim xÑ nbre fpxq gpxq “ 0 h) lim xÑ nbre fpxq ¨ gpxq “ indeterminé lim xÑ nbre fpxq gpxq “ 8 Exercice 8.9: Pour tout n P N on a lim xÑ`8 ex xn “ `8 et lim xÑ`8 xn ex “ 0` Exercice 8.10: Pour tout n P N on a lim xÑ`8 lnpxq xn “ 0` et lim xÑ`8 xn lnpxq “ `8 Exercice 8.11: a) indéterminé du type „`8 `8 „ . x 10 100 230 . . . ex { lnpxq „ 9566 „ 5,8 ¨ 1042 „ 1,4 ¨ 1099 . . . ùñ lim xÑ`8 ex lnpxq “ `8 b) indéterminé du type „ 0` ¨ p´8q „ . Tableau de valeurs, on obtient 0´ c) indéterminé du type „ p`8q ¨ 0` „ . Tableau de valeurs, on obtient 0` d) indéterminé du type „ p`8q ¨ 0` „ . Tableau de valeurs, on obtient 0` Exercice 8.12: a) lim xÑ`8 lnpxq e2x “ „ lnp`8q e`8 „ “ „`8 `8 „ ind. mais podium. ùñ lim xÑ`8 lnpxq e2x “ 0` b) lim xÑ`8 e´x ln ` x3˘ “ „ e´8 ¨ lnp`8q „ “ „ 0` ¨ p`8q „ ind mais podium ùñ lim xÑ`8 e´x ln ` x3˘ “ lim xÑ`8 ln px3q ex “ „ lnp`8q e`8 „ “ 0` c) lim xÑ´8 e´x x “ „ e`8 ¨p´8q „ “ „ p`8q ¨ p´8q „ “ ´8 d) lim xÑ´8 ex lnp´xq “ „ e´8 ¨ lnp`8q „ “ „ 0` ¨ p`8q „ ind. posons t “ ´x pdonc x “ ´tq “ lim tÑ`8 e´t lnptq “ lim tÑ`8 lnptq et “ „ lnp`8q e`8 „ podiumùñ lim xÑ´8 ex lnp´xq “ 0` ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS IX e) lim xÑ´8 x3 e3x´5 “ „ p´8q3 ¨ e´8 „ “ „ p´8q ¨ 0`„ indeterminé posons t “ ´x pdonc x “ ´tq “ lim tÑ`8p´tq3 e´3t´5 “ lim tÑ`8 ´t3 e 3t`5 “ „´83 e`8 „ podiumùñ lim xÑ´8 x3 e3x´5 “ 0´ f) lim xÑ0` e1{x x2 “ „ e`8 0` „ “ `8 g) lim xÑ0` e1{x x2 “ „ e`8 ¨ 0`„ “ „ p`8q ¨ 0`„ indeterminé posons t “ 1{x pdonc x “ 1{tq “ lim tÑ`8 et ¨ 1 t2 “ „ e`8 p`8q2 „ podiumùñ lim xÑ0` e1{x x2 “ `8 h) lim xÑ0` e´1{x x “ „ e´8 0` „ “ „ 0` 0` „ indeterminé posons t “ 1{x pdonc x “ 1{tq “ lim tÑ`8 e´t 1{t “ lim tÑ`8 t et “ „`8 e`8 „ podiumùñ lim xÑ0` e´1{x x “ 0` Exercice 8.13: a) 0 b) e1{2 c) 1 d) 0 e) lnp3q f) ´8 Exercice 8.14: Des éléments de réponses pourront être vus ensemble à votre demande. Exercice 8.15: a) x´2 ´1 1 2 y 0,5 1 ‚ ED“ R ‚ pas de zéro ‚ AH en y “ 0 ‚ f 1pxq “ ´2x ¨ e´x2 ‚ Max p0 ; 1q ‚ Ord. origine en y “ 1 XII ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Exercice 9.9: a) fpxq “ x3 ´ 4x ´ 51 b) fpxq “ ´1 2x2 ` 5x ` 2 Exercice 9.10: a) La fonction f n’est pas du type f “ g1 g mais presque !! b) a “ 5{4 et b “ ´5{4 c) F pxq “ ln ˇ ˇx2 ´ 2x ´ 3 ˇ ˇ ` 5 4 ln |x ` 1| ´ 5 4 ln |x ´ 3| ` c d) Montrer, par exemple, que fpxq “ 9{4 x ` 1 ` ´1{4 x ´ 3 Exercice 9.11: Il suffit de vérifier que F 1pxq “ fpxq Exercice 9.12: ‚ Si ∆x “ 1 alors 140 ď Aire ď 204 ‚ Si ∆x “ 1{2 alors 155 ď Aire ď 187 En fait, cette aire vaut en réalité ż 8 0 x2 dx “ 170,6̄ Exercice 9.13: a) x3 3 ∣∣∣∣4 1 “ 21 b) x3 ∣∣∣3 0 “ 27 c) x3 6 ∣∣∣∣5 1 “ 62 3 d) 3x4 20 ∣∣∣∣1 0 “ 3 20 e) x4 2 ´ x3 ` x2 2 ´ 3x ∣∣∣2 0 “ ´4 f) u3 3 ` u ∣∣∣2 ´1 “ 6 g) v4 4 ´ 3v2 2 ∣∣∣∣2 ´2 “ 0 h) x3 5 ` 4x ∣∣∣3 ´3 “ 174 5 i) ´ cospxq ∣∣∣π 0 “ 2 j) 1 2 sinp2xq ∣∣∣π ´π “ 0 Exercice 9.14: a) ´p1 ´ xq4 4 ∣∣∣∣2 0 “ 0 b) 2px ` 1q? x ` 1 3 ∣∣∣∣3 0 “ 14 3 c) ´1 x ` 1 2x2 ∣∣∣∣3 1 “ 2 9 d) 1 2 sin px2q ∣∣∣2π 0 “ 1 2 sin p4π2q e) ´ p1 ´ x2q ? 1 ´ x2 3 ∣∣∣∣1 0 “ 1 3 f) ´ e´2u 2 ∣∣∣∣2 ´3 “ e6 2 ´ e´4 2 g) lnp5q 3 h) ´3 4 px2 ` 1q2 ∣∣∣∣1 0 “ 9 16 La donnée du g) “cache” une nouvelle propriété du calcul intégral. L’avez-vous repéré ? ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XIII Exercice 9.15: A “ 65 Exercice 9.16: a) A “ 256 27 b) A “ 63 20 c) A “ 253 12 Exercice 9.17: a) a “ 4, b “ 0, c “ 0. b) Il s’agit de vérifier que : F 1pxq “ ` ´ 4 px2 ` 2x ` 2q e´x ˘1 “ fpxq c) A “ 8 ´ 40 e´2 Exercice 9.18: Elles sont les trois vraies. On peut les justifier par des esquisses de fonctions et leur surface sous la courbe. Exercice 9.19: a) hpdq “ 1 1600d2 ´ 1 4d ` 125 b) h “ 1 600 ż 600 0 „ 1 1600d2 ´ 1 4d ` 125 ȷ dd “ 125 m Exercice 9.20: a) A “ 9 b) A “ 1{2 c) A “ 9{4 Exercice 9.21: A “ 1{2 Exercice 9.22: A “ lnp2q Exercice 9.23: A “ 3{8 Exercice 9.24: Parabole : y “ ´2x2 ´ 3x et A “ 4{3 Exercice 9.25: a) a “ 1 et b “ ´1 b) ż 1 ´ 1 x ` 1 dx “ x ´ lnp|x ` 1|q ` c c) A “ ż 2 0 fpxq dx “ ż 2 0 1 x ` 1 dx “ lnp|x ` 1|q ∣∣∣2 0 “ lnp3q d) xG “ 1 A ż 2 0 x x ` 1 dx “ 1 lnp3q ż 2 0 1 ´ 1 x ` 1 dx “ 1 lnp3q ” x ´ lnp|x ` 1|q ı2 0 “ 2 ´ lnp3q lnp3q e) yG “ 1 2A ż 2 0 ˆ 1 x ` 1 ˙2 dx “ 1 2 lnp3q ż 2 0 1 px ` 1q2 dx “ 1 2 lnp3q ż 2 0 px ` 1q´2 dx “ 1 2 lnp3q „ ´1 x ` 1 ȷ2 0 “ 1 3 lnp3q Ainsi : Gp0,82 ; 0,30q XIV ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Exercice 9.26: A “ 10{3 Exercice 9.27: A “ 5 ? 2 ´ 1 – 6,07 Exercice 9.28: a) k “ 6 b) k “ 7 c) k “ 2 d) k “ 4 Exercice 9.29: a “ 2 ? 2 Exercice 9.30: m “ 3{2 Exercice 9.31: c “ 13 Exercice 9.32: a “ 3 ? 3