Applications linéaires, matrices, déterminants - Correction , Exercices de Mathématiques

Télécharge Applications linéaires, matrices, déterminants - Correction et plus Exercices au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit u: IR — IR? définie pour tout x = (x1,X2,x3) € IR par u(x) = (Xi + %2 + X3, 241 + X2 — X3) 1. Montrer que u est linéaire. 2. Déterminer ker(u). Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit f:IR? — IR? définie par f(x, y,2) = (x +y +2,-x + 2y + 22) On appelle B = (e:,e2, e3) la base canonique de IR$ et B' = (f,, f2) la base canonique de IR2. 1. Montrer que f est une application linéaire. 2. Donner une base et la dimension de ker(f) et une base et la dimension de Im(f). Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3. Soit f:R$ — IR? définie pour tout vecteur u = (x, y,z) € RŸ par: fu) =(-2x+y+2x—2y +2) 1. Montrer que f est une application linéaire. 2. Donner une base de ker(f), en déduire dim(Im(f)). 3. Donner une base de Im(f). Allez à : Correction exercice 3 Exercice 4. On considère l'application A: IR? — IR? définie par : h(x,y) = (x — y, 3x + 3y) 1. Montrer que h est une application linéaire. 2. Montrer que h est ni injective ni surjective. 3. Donner une base de son noyau et une base de son image. Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5. Soit f l’application linéaire f:IR$ — IR° définie par : FC X2X3) = (Xi — X3, 2% + X2 — 3X3, —X2 + 2X3) Et soit (e:,e2,e3) la base canonique de RS. 1. Calculer f(e;), f(e2) et f(e3). 2. Déterminer les coordonnées de f(e;), f(e2) et f(ez) dans la base canonique. 3. Calculer une base de ker(f) et une base de Im(f). Allez à : Correction exercice S Exercice 6. Soit f:IR$ — IR$ définie pour tout vecteur u = (x, y,z) € RŸ par : fu) =(-2x+y+2,x-2y+2,x +y—2z) 1. Montrer que f est une application linéaire. Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2. Donner une base de ker(f), en déduire dim(Im(f)). 3. Donner une base de Im(f). Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7. Soit B = (e,,e,,e3) Soit f:R° — R* l'application linéaire définie pour tout u = (x, y,z) € R* par : fu) = (6x — 4y — 4z,5x — 3y — 4z,x — y) 1. Montrer qu’il existe un vecteur a € RŸ, non nul, tel que ker(f) = Vect(a), déterminer un vecteur qui convient. 2. Soitb=e;+e;etc=e;—ez a. Calculer f(b) et f(c) b. En déduire que {b, c} est une base de Im(f). On pourra utiliser une autre méthode. 3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant Im(f). 4. A-t-on ker(f) im(f) = R$ ? Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Soit B = (61, 62,63, 4) la base canonique de R* et B' = (fi, f2, f3) la base canonique de RS. Soit u: R* — IR$ une application linéaire définie par u(e) = fi — fi +2fai u(e2) = 2f + f2 — 3fsiu(es) = 3f. — fs et u(e4) = fi — 2f2 + 5fs 1. Déterminer l’image par u dans vecteurs x = (x1,%2, X3,X4) 2. Déterminer une base de ker(u) et sa dimension de ker(u). 3. Déterminer une base de Im(u) et sa dimension. Allez à : Correction exercice 8 Exercice 9. Soit u: R* — R* l'application définie pour tout x = (x4,%2, X3,X4) € R* par : U(x) = (Xi — X2 + 3, 0,X4 + X2 — X3 + X4,X4) Soit E = {(x1,X2, X3, Xa) € Rf,x3 + %2 — X3 +244 = 0} 1. Donner une base de ker(u) et sa dimension. 2. Donner une base (La plus simple possible) de ]m(u) et sa dimension. 3. A-t-on ker(u) @Im(u) = R‘? 4. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R*, en donner une base et sa dimension. 5. A-t-on ker(u) E = R{? Allez à : Correction exercice 9 Exercice 10. On appelle B = (e1,e2, e3, e4) la base canonique de R{. Soit u: R* — IR* qui, à un vecteur x = (x1,X2,X3,X4) € IR* associe le vecteur u(x) € IR“ définit par : u(x) = (Xi — 2x2 + 2X3 + 2Xa Xa + 222 — X3 + 2X4, —Xn + X2 — 2X3 — 2X4, —X4 + X2 — X3 — Xa) On admettra que u est une application linéaire. 1. Déterminer une base du noyau de u. 2. Déterminer une base de l’image de u. 3. Déterminer une ou plusieurs équations caractérisant Zm(u). Allez à : Correction exercice 10 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Allez à : Correction exercice 19 Exercice 20. Soit B = (e:,e2) la base canonique de R2. Soit u un endomorphisme de IR? tel que u(e;) = e, + e, et tel que dim(ker(u)) = 1 1. Déterminer u(e,) en fonction d’un paramètre a € R. 2. Déterminer l’image d’un vecteur x = (x:,x>) € IR en fonction de a. 3. Déterminer une base du noyau de ker(u). Allez à : Correction exercice 20 Exercice 21. Soit f:R* — R l'application définie pour tout x = (x1,X2,X3,X4) € R* par FC) = Xi + 2 + X3 + X4 On appelle B = (e:,e2,e3,e4) la base canonique de R. 1. Calculer les images des vecteurs de la base canonique par f. En déduire la dimension de im(f). 2. Déterminer la dimension de ker(f) et en donner une base. Allez à : Correction exercice 21 Exercice 22. Soit u l’application de IR” dans R définie pour tout X = (x1,X2, ….,Xh) par : U(x) = x +X2 + + x 1. Montrer que u est une application linéaire. 2. Déterminer les dimensions de Jm(u) et de ker(u). Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23. Soit u une application linéaire de E dans E, E étant un espace vectoriel de dimension n avec n pair. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes (a) u? = 0% (où 0; est l’application linéaire nulle) et n = 2 dim(Im(u)) @) Im(u) = ker(u) Allez à : Exercice 24. Question de cours Soit u une application linéaire de E vers E. Montrer que : u est injective si et seulement si ker(u) = {0x}. Allez à : Correction exercice 24 Exercice 25. Soit u: E — E une application linéaire et À un réel. 1. Soit E, = ker(u — Aid). Calculer u(x) pour x € E; Montrer que est un sous-espace vectoriel de E. 2. Soit F © E un sous-espace vectoriel de E, montrer que u(F) est un sous-espace vectoriel de E. 3. Si # 0, montrer que u(E}) = E3 Allez à : Correction exercice 25 Exercice 26. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension respectives n et p 5 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Soit u: E — F une application linéaire 1. Montrer que si n < p alors u n’est pas surjective. 2. Montrer que si n > p alors u n’est pas injective. Allez à : Correction exercice 26 Exercice 27. Soit f:E — F une application linéaire Montrer que : Allez à : Correction exercice 27 ker(f) N im(f) = f(ker(f?)) Exercice 28. Soient f et g deux endomorphisme de IR*. Montrer que f(ker(g ° f)) = ker(g) NIm(f) Allez à : Coretion exercice 28 Exercice 29. Soit u un endomorphisme de E un espace vectoriel. 1. Montrer que ker(u) € ker(u?). 2. Montrer que Im(u?) € Im(u). Allez à : Exercice 30. Soit u un endomorphisme de E, un espace vectoriel. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes @ ker(u) N im(u) = {0;} Gi) ker(u) = ker(uou) Allez à : Exercice 31. Soit u: RP — IR?, une application linéaire, e = (e:,.…,e,) la base canonique de IR? et f = (f,.…., fa) la base canonique de IR9. L p=3,q=2 u(es) = fi +2f2, ue) = 2f — fretu(ez) = —f + f2 a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1,X2,x3) par u. b) Déterminer la matrice de u de la base e dans la base f. c) Déterminer le noyau et l’image de u. 2. p =3 et q = 3, dans cette question e = f u(e;) = 3e: + 2e, + 2e3, u(e2) = 2e, + 3e, + 2e, etu(ez) = 2e: + 2e: + 363 a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1,X2,x3) par u. b) Déterminer la matrice de u de la base e dans la base e. c) Déterminer le noyau et l’image de u. Allez à : Correction exercice 31 Exercice 32. Soit u: RP — IR, une application linéaire, e = (e1,.…,e,) la base canonique de RP et f = (fi, …., fa) la base canonique de IR9. 1L p=2,q=3 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 1 0 A=Mat,s(u)=|-1 2 _ 1 1 a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1,x2) par u. b) Déterminer l’image de la base e (c’est-à-dire u(e,) et u(e>)). c) Déterminer le noyau et l’image de u. 2. p =4,q = 4, dans cette question e = f 1 0 2 —1 —1 2 0 —1 A= Mate,ç(u) =Ù4 14 0 2 3 7 -5 a) Déterminer l’image d’un vecteur x = (x1,X2,Xx3,x4) par u. b) Déterminer l’image de la base e (c’est-à-dire u(e:), u(e:), u(ez) et u(es) ). c) Déterminer le noyau et l’image de u. Allez à : Correction exercice 32 Exercice 33. Soit u: R? — IR, une application linéaire, e = (e1,.…,e,) la base canonique de RP et f = (fi, …., fa) la base canonique de IR9. 1. p=3etq = 3 dans cette question e = f. Soit x = (x1,X2, X3) € R° U(x) = (Xi + X2, 21 — X3, 3X1 + X2 — X3) (On admet que u est une application linéaire). a) Déterminer l’image de la base e (c’est-à-dire u(e.), u(e:), et u(ez) ). b) Déterminer la matrice de u de la base e dans la base e. c) Déterminer le noyau et l’image de u. 2. p=3etq = 3 dans cette question e = f. Soit x = (x1,X2,x3) € R° U(x) = (Xi + X2X1 + X2,X1 + 2) (On admet que u est une application linéaire). a) Déterminer l’image de la base e (c’est-à-dire u(e.), u(e:), et u(ez) ). b) Déterminer la matrice de u de la base e dans la base e. c) Déterminer le noyau et l’image de u. Allez à : Correction exercice 33 Exercice 34. Soit f:R* — R$ l’application linéaire dont la matrice dans les base canonique de IR* et RŸ est 1 2 1 3 A= ( 1 2 1 ) 1 —2 5 —-11 1. Déterminer une base du noyau de f. 2. Déterminer une base de l’image de f. Quel est le rang de À ? Allez à : Correction exercice 34 Exercice 35. Déterminer le rang de la matrice > Il DrRoR Pre PrhRhR BRRk Prrkh Allez à : Correction exercice 35 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2. 4. 5. 6. Montrer que E = {x € R°,u(x) = x} est un sous-espace vectoriel de IR$. Montrer que la dimension de E est 1 et donner un vecteur non nul a de E. Montrer que F = {(x1,X2,X3) € IR°,—2x1 + 2X2 + 3x3 = 0} est un sous-espace vectoriel de RS. Donner une base (b,c) de F. Montrer que B’ = (a, b,u(b)) est une base de RŸ. Montrer que E @ F = R$. Déterminer la matrice R de u dans la base B". Allez à : Correction exercice 44 Exercice 45. Soit B = (e1,e2,e3) la base canonique de RS. Soit u l’application linéaire qui a un vecteur x = (x:,x2, X3) € IRŸ associe le vecteur AShESWRE= Alle: Zà: U(x) = (x — 2X3,2X1 — X2 + 4x3, X3 — X2 + 3X3) Déterminer la matrice À de u dans la base canonique. Déterminer une base (a, b) de ker(u — Id). Donner un vecteur c tel que ker(u) = vect(c). Montrer que B' = (a, b,c) est une base de RS. Déterminer la matrice D de u dans la base B'. Montrer que /m(u) = ker(u — Id) Montrer que ker(u) ® Im(u) = R$. Exercice 46. nESDbRE 6. 7. Soit u l’endomorphisme de IR$ défini pour tout x = (x1,x2,x3) par u(x) = (—10x3 + 3x2 + 15X3, —2X1 + 3X3, — 6% + 2X2 + 9x3) Déterminer la matrice À de u dans la base canonique de RŸ. Déterminer la dimension du noyau et de l’image de u. On donnera un vecteur directeur a de ker(u). A-t-on ker(u) ® Im(u) = R ? Déterminer un vecteur b tel que a = u(b). Montrer que E_, = {x € R$,u(x) = —x} est un sous-espace vectoriel de IRŸ, déterminer un vecteur directeur de E_; que l’on notera c. Montrer que 8’ = (a, b,c) est une base de RŸ. Déterminer la matrice 4’ de u dans la base B" et donner la relation reliant À et A’. Allez à : Correction exercice 46 Exercice 47. 1. 2. 3. Soit B = (e1,82,63,e4) la base canonique de R{. —6 -3 0 6 : : : 4 : 6 3 0 —6 Soit f l'endomorphisme de IR dont la matrice par rapport à la base B est : À = 0 0 3 3 0 0 O0 0 Soit B' = (a, b, c, d) une famille de R“ définie par : a=e; —€, b=e, —e,; —e3,c = 2e, — 2e, +e;+e,et d = —e; + 2e; Montrer que B' = (a, b,c, d) est une base de R‘. Calculer f (a), f(b), f(c) et f(d) et les exprimer dans la base 8’ = (a, b, c, d). Déterminer la matrice de f dans la base B’. Allez à : Correction exercice 47 Exercice 48. 10 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé FHDbE 5. Soit B = (e1,82,63,e4) la base canonique de R{. Soit u un endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est —3 -2 3 0 3 1 -3 —1 1 0 —1 —1 —1 —-1 2 —-1 A= On pose : a=(-—1,1,0,—1), b= (1,—2,—1,1), c = (—2,3,1, —-1) et d = (2,—1,0,1) Montrer que B' = (a, b,c, d) est une base de R‘. Donner la matrice de passage P de B à B'. Calculer P1. Calculer u(a), u(b), u(c) et u(d) dans la base B/. Déterminer la matrice T de u dans la base B’. Calculer N = T + I, puis N* et en déduire (A + 1)*. Allez à : Correction exercice 48 Exercice 49. HnESPRE 6. Soit u un endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique, B = (e1,e2, e3,e4), est —7 6 6 6 0 2 0 0 AZ 3 23 —6 3 6 5 Soient a, b, c et d quatre vecteurs a=—2e; —-e3—63—ex b=e;—es; C = 2e, +e3+es:d = 3e, + e3 + 2e4 Montrer que B' = (a, b,c, d) est une base de R“. Calculer u(a),u(b},u(c) et u(d) dans la base 8° = (a, b,c,d) En déduire la matrice D de u dans la base B. Déterminer la matrice P de passage de B à B'. Calculer P1, Calculer PAP. Allez à : Correction exercice 49 Exercice 50. SRE DE 7. Soit B = (e1,82,63,e4) la base canonique de R{. Soit u un endomorphisme de IR‘ dont la matrice dans la base canonique est : 1 0 —1 1 _[1 0 11 A6 1 1 0 1 —1 0 On pose a = e, +e+es, b = e,,c = u(b) et d = u?(b). Montrer que B' = (a, b,c, d) est une base de R‘. Donner la matrice de passage P de B à B'. Calculer P71. Calculer u(a), u(b), u(c) et u(d) dans la base B/. Déterminer la matrice N de u dans la base B". Calculer N* et en déduire A. Donner une base de ker(u) Donner une base de Im(u). Allez à : Correction exercice 50 Exercice 51. 11 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Soit B = (e1,e2,63,e4) la base canonique de R Soit u l’endomorphisme de IR‘ dont la matrice dans la base canonique est : 1 —1 0 O0 _fo o o o A=| 2 0 11 -1 0 O0 0 Déterminer un vecteur a non nul tel que ker(u) = vect(a) Déterminer un vecteur b tel que a = u(b) Déterminer un vecteur c tel que u(c) = —c Soit d = (—1,0,0, —1), montrer que B’ = (a, b, c, d) est une base de R* Calculer u(d) dans la base B'. Déterminer la matrice T de u dans B'. Quel est le rang de À. Soit f = 2e; —e; —ez3+es = (2,—-1,—1,1) Calculer u(f), u?(f), u®(f) et on admettra que 8” = (f,u(f),u2(f),u*(f)) est une base de R* 9. Calculer u*(f) et montrer que u*(f) = —2u$(f) — u2(f) En déduire la matrice C de u dans la base B”. 10. Montrer que C et T sont deux matrices semblables (c’est-à-dire qu’il existe une matrice R, inversible, telle que T = R71CR Allez à : Correction exercice 51 Exercice 52. Soit B = (e1,e2,63,e4) la base canonique de R Soit u l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique est : 3 —1 1 —3 ginnS be L[1 1 1 1 A0 1 1 0 1 0 0 —1 1. Donner une base (a, b) de ker(u). 2. Donner un vecteur c qui engendre E, = {x € R‘,u(x) = x} 3. Déterminer un vecteur d € ker((u — id)?) et d € ker(u — id), on pourra calculer (A — 1)?, en déduire que d vérifie u(d) = Àc + d, où À est un réel qui dépendra du vecteur d que vous avez choisit. 4. Montrer que B’ = (a, b, c, d) est une base de R{. 5. Déterminer la matrice T de u dans la base B'. (en fonction de À) Allez à : Correction exercice 52 Exercice 53. Soit B = (e1,62,63, 4) la base canonique de R* Soit u un endomorphisme de IR dont la matrice dans la base B est : 2 1 0 1 _f1 0 0 1 A=Ù 0 0 1 0 -3 1 0 2 Déterminer un vecteur a qui engendre le noyau de u. Soit À € R. Montrer que E) = {x € R‘,u(x) = Àx} est un sous-espace vectoriel de R{. Trouver un vecteur directeur b de E_,. Déterminer une base (c, d) de E:. Montrer que B' = (a, b,c, d) est une base de R‘. 5. Déterminer la matrice de u dans la base B". Allez à : Correction exercice 53 FHDbE 12 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Déterminer la matrice À de u dans B. Déterminer le noyau de u. On notera P, un vecteur directeur du noyau. Donner une base de l’image de u. Déterminer un polynôme P, tel que u(P;) = P, Montrer que B' = (1,P:, P2) est une base de IR,[X]. 7. Déterminer la matrice D de u dans la base B'. Allez à : Correction exercice 60 Exercice 61. Soit f:IR,[X] — IR[X] définie par f(P) = P —(X—2)P' Montrer que f est une application linéaire Montrer que f est un endomorphisme de R>[X]. Déterminer le noyau et l’image de f. Déterminer la matrice de f dans la base (1,X, X?). Montrer que B' = (1,X — 2,(X — 2)2) est une base de R,[X]. Déterminer la matrice de passage P de B à B'. Calculer P-1. 7. Quelle est la matrice de f dans la base B'. Allez à : Correction exercice 61 Exercice 62. Soit B = (1,X, X?) la base canonique de R:[X] Soit u l’application qui a un polynôme de IR, [X] associe le polynôme de IR[X] définie par : u(P) = 2XP — X2P' . Montrer que u est un endomorphisme de R,[X1]. ShES D ShESPR 1 2. Déterminer la matrice À de u dans la base canonique. 3. Déterminer la dimension de ker(u). 4. Déterminer une base et la dimension de Im(u) Allez à : Correction exercice 62 Exercice 63. Soit u : R,[X] — IR[X] une application définie pour tout P € R,[X] par u(P)=P+(1-—X)P'+2P" On appelle P, = 1—X,P, = 1 et P3 = 1+2X — X°? On appelle B = (1,X, X?) la base canonique de IR,[X] et B' = (P1, P2, Ps) Montrer que u est une application linéaire. Montrer que u est un endomorphisme de R;[X]. Déterminer la matrice À de u dans la base canonique. Montrer que B' est une base de R2[X]. 5. Déterminer la matrice D de u dans la base B'. Allez à : Correction exercice 63 Exercice 64. Soit u: R,[X] — IR[X] définie par FSbE 1 u(P)=Z (XP + XP —P Montrer que u est un endomorphisme de R,[X] Déterminer une base (P., P) de ker(u). Déterminer P, tel que Im(u) = Vect(P3). Montrer que (P:, P2, P;) est une base de IR, [X1. 15 SRE Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 5. Déterminer la matrice de u dans la base (P:, Pz, Pa). Allez à : Correction exercice 64 Exercice 65. Soit R[X] = {ao + a X + a2X2,a; € R} l’espace des polynômes réels de degré au plus 2 et soit B = (1,X, X?) la base canonique de R,[X] ? On considère l'application F:R2[X] — R[X] Pr f(P) Où f(P)CX) = PCX +1) — P(X) = ao + @1(X + 1) + @2(X + 13° — (ao + &X + a2X?) 1. Montrer que f est linéaire. 2. Montrer que la matrice À de f par rapport aux bases B et B est : 0 1 1 A=|[0 0 2 0 0 0 3. Montrer que B’ = (1,X —1,(X — 1)(X — 2)) est une base de R,[X]. 4. Trouver la matrice B de f par rapport aux bases B' et 8’. Allez à : Exercice 66. Partie I Soit g une application de R; [X] dans R? définie par : g@P) = (PCD,P()) 1. Montrer que g est une application linéaire. 2. Déterminer une base du noyau et déterminer l’image de g. Partie II Soit À une application linéaire de IR: [X] dans R? définie par : R(P) = (PCD,P(D) 3. Montrer que h est bijective. Allez à : Correction exercice 66 Exercice 67. Soit C(R) l’espace vectoriel des fonctions continues de IR vers R. Soient a et b les fonctions définies par : x DL OX a(x) = —— et b(x)= —— On pose H = Vect(a,b) et F = {f e H,f(In(2)) = 0} 1. Déterminer la dimension de H 2. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de H. 3. Quelle est la dimension de F ? 4. Soit @: H — IR? définie pour f € H par EN) = Fin), fAn(2) a) Montrer que @ est une application linéaire b) Montrer que @ est un isomorphisme. Allez à : Correction exercice 67 Exercice 68. Soit M, (R) l’espace vectoriel des matrices à coefficient dans KR à n lignes et n colonnes. Soit 4, (IR) l’ensemble des matrices antisymétriques de M, (R). C'est-à-dire les matrices qui vérifient TA = —A. 16 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Soit S,(R) l’ensemble des matrices symétriques de M, (IR). C’est-à-dire les matrices qui vérifient (A = A. 1. Montrer que 4, (IR) et S, (IR) sont des sous-espaces vectoriels de M, (R). t =t, Pour toutes matrices À € M, (IR), montrer que _ e SA (R) et que ee E A;(R). En déduire que Æ,(R) + S,(R) = M, (R). At-on A, (R) ® SA(R) = MA(R) ? mn ES D Soit À = GC 3). décomposer À en une somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique. Allez à : Correction exercice 68 Exercice 69. Soit M; (R) l’espace vectoriel des matrices à deux lignes et deux colonnes. Soit p l’endomorphisme de M; (IR) définie pour toute matrice A de M, (IR) par p(4)=A-tA 1. Rappeler la dimension de M,(R). 2. Déterminer le noyau de ®, quel est sa dimension ? 3. Déterminer l’image de ®. En déduire que pour toute matrice À € M; (R) il existe À € IR et une matrice J, à déterminer tel que p(A) = AJ. Allez à : Exercice 70. 1 1 1 1. Calculer| a b c b+c a+c a+b 2. 1 1 1 a) Calculer|b oc d b? c? d? 1 1 1 1 1 1 1 b) Montrer que a L a Le =(b—a)(c-a)(d-a)|b oc d\|.puis calculer a b% c° d° bed 1 1 1 1 a b d a? b? 2 d? aÿ b3 c$ dÿ Exercice 71. Soit A = R À à Rose a 1. Calculer À = det(A) 2. Déterminer les valeurs de a, b, c et d qui annule A. Allez à : Correction exercice 71 Exercice 72. Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Correction exercice 2. 1. Soient u = (x,y,z)etu' = (x’,y',z') deux vecteurs de RS et soient À et À’ deux réels Au +Z'u' = (4x + 2x", y + 2'y',Az + X'z') Qu + Au’) = (2x + 2x + y + d'y" + 2 + V2! (x + x) + 207 + A'y°) + 2(4z +121) = (AG +y +2) +2 + y" +2), (x + 2y +22) + (x + 2y +22) = A(x+y+2,-x+2y +22) +2'(x'+y'+2",-x" + 2y" +221) = Af(u) + 1'f(u) Donc f est linéaire. 2. u = (x,y,2) Eker(u) & (x+y+2,-x+2y+22) =(00)& DD a 0 Li Pa 0 ES PLo+l 3y+3z=0 = —Z u = (0,—z,z) = z(0,—1,1) On pose a = (0, —1,1), a est une base de ker(f). ImQu) = vect(f(e:), f(e2), f(es)) F1) = (À, -D = fi — fa f(e2) = (1,2) = fi + 2f2 et fes) = (1,2) = fi + 2f2 ImQu) = vect(fi — f2, fi + 2f2 fi + 2f2) = vect(fi — f2, fi + 2f2) fi — f2 et fi + 2f2 ne sont pas proportionnels ils forment donc une famille libre de Im(f), comme c’est une famille génératrice de Im(f), c’est une base de Im(f)et donc dim(Im(f) = 2. Remarque Im(f) = R2. Allez à : Exercice 2 Correction exercice 3. L Au +Z'u' = (4x + d'x',Ay + 2'y',Az + Az) Qu + Au") = (2x + 2x") + (y + 2'y°) + (Az + 2°), (4x + x") — 2(y + 2'y') + (2 +21), (Qx + 2x) + (y + y") — 2(42 + 27')) = (A(-2x + y +2) +4(-2x + y" +2"), A(x — 2y +2) + (x — 27" +2") = A(-2x+y+2x—2y+2)+ (2x +y'+2',x" —2y" +21) = f(u) + 4'f(u) Donc f est linéaire. ueker(f) & f(u) = 0m & (-2x+y+2x-2y+7z)=(00) D Li 2x+y+z=0 +0 x Sutnt —3y + 3z = 0 [e, sf2z u = (Z,2,2) = 2010 Donc ker(f}) = Vect(a) avec a = (1,1,1). D’après le théorème du rang dim(ker(f) + dim(/m(f) = dim(R) & 1 + dim(/m(f) = 3 & dim(Im(f) = 2 3. Donc /m(f) = IR2. Une base est ((1,0),(0,1)) Allez à : Exercice 3 Correction exercice 4. L Soitu=(x,y)etu’ = (x’,7"), Au + d'u = (Ax +%'x",2y +4'y') hQu + Zu’) = (4x + x! — (y + y"), —3(Ax + 2x) + 3(y + 1'y)) = (AG — y) + (x! — y), (3x + 3y) + (3x! + 3y')) = À(x — y,—3x + 3y) + 2'(x'— y',—3x" + 3y") = Ah'u) + 2'h(u’) F 2x+y+z=0 x—2y+z=0 Donc h est linéaire. 20 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2. h(1,1) = (0,0) = (0,0) et pourtant (1,1) Æ (0,0) donc À n’est pas injective. On va montrer que (1,0) n’a pas d’antécédent. Supposons qu’il existe u = (x, y) tel que (1,0) = L 1=x-7y 1=x-7y hQ) & (0) = Gr, + an ef 173,6 2, ses L [ 0 c’est impossible x=y donc h n’est pas surjective. h est un endomorphisme donc h est injectif si et seulement si À est surjectif. Ici, À n’est pas injectif donc h n’est pas surjectif. x—y=0 —3x+3y=0 Donc u = (x, x) = x(1,1), (1,1) est u vecteur non nul qui engendre ker(h), c’est une base de ker(h) h(e)=(1-0,-3x1+3X0)=(1,-3)=e -3e et R(e>) = ((0 —1,-3 x 0 + 3 x 1) = (—1,3) = —e, + 3e, Im(h) = Vect(h(e:),h(e2)) = Vect(e; — 3e3,—e, + 3e) = Vect(e; — 3e) €, — 3e, est un vecteur non nul qui engendre Im(h), c’est une base de Im(h). Allez à : Exercice 4 Correction exercice 5. L f(a)=(120)=1xXe +2e:+0Xez f(e2) = (0,1,-1)=0xXe +1Xe-1Xez et f(ez) = (—1,-—3,2) = —1 x e; — 3e, + 2e; 3. u= Gay) Eker() & (= y, 3x + 39) = (0.0) & | Sx=y 1 2. Les coordonnées de f(e,) dans la base (e:,e,,e3) sont G) 0 0 Les coordonnées de f(e,) dans la base (e1,e2, e3) sont ( 1 ) —1 —1 Les coordonnées de f(e3) dans la base (e1,e, e3) sont (=) 2 3. X1—X3 = 0 X1—X3=0 X1 = 0 u = (%,%2,X3) € ker(f) fe + X2 — 3X3 = voa] X2 — X3 = 0 -f = 0 —X2 + 2X3 = 0 —X2 + 2X3 = 0 X3 = 0 Donc ker(f) = {0ms} Première méthode : Im(f) = Vect(f(e1), f(e2),f(e3)) Puis on regarde si la famille (f(e:), f (e2), f(es)) est libre. 1 0 —1 0 dif (e1) + a2f(e2) + a3f (es) = Om © di G) +@2 ( 1 ) +4&3 (=) = (o) 0 —1 2 0 & —a3=0 es {243 + a — 3a3 = 0 —@2 + 243 = 0 Il s’agit du même système que ci-dessus donc 4, = &, = &3 = 0. Cette famille est libre et elle engendre Im(f) c’est une base de Im(f), on en conclut que dim(Im(f)) = 3 et que Im(f) = R$. Deuxième méthode (plus compliquée) : Im(f) = Vect(f(e:),f(e2),f (es)) = Vect(e; + 262,6; — 3, —e; — 3e + 263) = Vect(e; + 262,6 — e3, —e; — 3e, + 2e3 + e1 + 2e) = Vect(e; + 262,62 — e3,—e2 + 263) = Vect(e; + 2e2,e; —ez — e, + 2e3,—e2 + 263) = Vect(e; + 2e,e3,—e2 + 2e3) 21 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé = Vect(e; + 262,63, —e, + 2e3 — 263) = Vect(e; + 262,63, —e2) = Vect(e; + 2e,e3,e2) = Vect(e:,ez,e2) = Vect(e:,e2,ez) Donc une base de Im(f) est (e1, e2,e3) et bien sur Im(f) = R$. Troisième méthode : Avec le théorème du rang, dim(ker(f)) + dim(Im(f) = dim(R$) = 3, comme dim(ker(f)) = 0, dim(Im(f)) = 3 donc Im(f) = IRŸ et une base de Im(f) est (e:,e2,e3). Allez à : Exercice 5 Correction exercice 6. L Au + Au = (Ax+ 2x, y +1y,1z +27) fQu+ Zu) = (-2Gx + x) + Qy + 2 y) + (42 +22), (x + 4x) — 2(y +27) + (2422), Qx+ 2x) + Qy +25) —2(2+47)) = (AC-2x + y +2) +4 (2x + y +2), (x — 2y +2) +2 -2y +2), A(x+y—27) +1(X +y — 27) = ÀA(-2x+y+2x—2y+2,x+y — 22) +A(-2x +y +2,x —2y +2,x + y 22) = Af(u) +4'f(u) Donc f est linéaire. 2. u € ker(f) & f(u) = Op: & (—-2x+y+2,x —2y +2,x + y —2z) = (0,0,0) Li(—2x+y7+2=0 L —2x+y+z=0 SL, ever sin] ENeEr sfr ef; Lalx+y-22=0 2L3+Ll 3y-32=0 777 777 u = (2,z,2) = (11,1) Donc ker(f}) = Vect(a) avec a = (1,1,1). D’après le théorème du rang dim(ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(R) & 1 + dim(/m(f) = 3 & dim(Im(f)) = 2 3. Première méthode fa)=(-211) et f(e)= (1-21) Sont deux vecteurs de l’image de f, ils ne sont pas proportionnels ils forment donc une famille libre de vecteurs dans un espace de dimension 2, c’est une base. Deuxième méthode F(e1) = (211); f(e2) = (1, 2,0) et f(ez) = (11, 2) Im(f) = Vect(f(e:), f(e2),f(es)) (F(e1), f(ez), f(e3)) est une famille génératrice de Im(f), le problème est de savoir si cette famille est libre. Soit on fait « comme d’habitude », c’est-à-dire que l’on écrit qu’une combinaison linéaire de ces trois vecteurs est nulle A f(e1) + 22f (e2) + A3f(e3) = 0m © A2 LD + 2(1,—2,1) + 43(1,1, 2) = (0,0,0) Li(—24 + 2 +3 = 0 Li —2À + +43 = 0 L=i 68-2444 =0 &2Lit+lil —34 +343 = 0 ef 2 L3UA+4-243=0 2L13+LÙ 34 —343=0 2778 Donc pour tout À, € R af (e1) + A3f(e2) + A3f(e3) = Oms Si on prend À3 = 1 22 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Li (Xi + 2X2 + 3X3 — X4 = 0 x = (x, X2,%3,%4) E ker(u) & L: Le +X — 2x4 = 0 La 2x1 — 3x2 — Xx3 + 5X4 = 0 Li Xi + 2X2 + 3X3 —X4 = 0 Le = uit | Sa + 3% — 3x 5 0e fe ti T0 L3—2LÙ —7x2 — 7x3 + 7x4 = 0 278 47 2% + 2(—2x3 + X4) + 3x3 — x4 = 0 Xi = —X3 — X4 e| X2 = —X3 + X4 e{ X2 = —X3 + X4 Donc = (x — XX + XX, X4) = X3(—1,—1,1,0) + x4(—1,1,0,1) Si on pose a = (—1,—1,1,0) et b = (—1,1,0,1), ces deux vecteurs n’étant pas colinéaires, et comme il engendre ker(u) ils forment une base de ker(u), et dim(ker(u)) = 2 3. D’après le théorème du rang dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(R*) Donc dim(/m(u)) = 2, u(e,) et u(ez) ne sont pas colinéaires, ils forment donc une libre libre à deux vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 2, c’est une base. Allez à : Exercice 8 Correction exercice 9. L X1 — X2 + X3 = 0 0=0 X —X2 +X3 = 0 x = 0 X = (x%1,X2,X3,X4) € ker(u) & men neo fs + X2 — X3 0e À = X3 Xa = 0 xa = 0 Xa = 0 Donc x = (0,x3,x3,0) = x3(0,1,1,0), si on pose a = e, + e, alors ker(u) = vect(a) et donc la dimension de ker(u) est 1. u(e;) = (1,0,1,0) = e + e3; u(ez) = (—1,0,1,0) = —e; +e3; u(ez) = (1,0, —1,0) = e; — es; u(es) = (0,0,0,1,1) = e3 + €4 Im(u) = Vect(e: + e3,—e1 + 3,61 — e3,e3 + e4) = Vect(e: + e3,e1 — e3,e3 + €4) Car u(e:) = —u(e:) Im(u) = Vect(e; + e3,e1 — e3 + e1 + e3,e3 + e4) = Vect(e + e3,2e1,e3 + ea) = Vect(ez,e,e3 + e4) = Vect(ez,e1,e4) Cette famille est une sous-famille d’une famille libre, elle est libre (et génératrice) donc c’est une base de Im(u) Autre méthode, d’après le théorème de rang dim(ker(u) + dim(Im(u)) = dim(IR*) = dim(Im(u)) = 3 Par conséquent (e1 + e3,e1 — e3,e3 + e4) est une famille génératrice à trois vecteurs dans un espace de dimension trois, c’est une base et donc dim(Im(u)) = 3. 3. Comme dim(ker(u) + dim(/m(u)) = dim(R*) Le tout est de savoir si a = e, + e; appartient à Im(u), si c’est le cas ker(u) € Im(u) et il n’y a pas de somme directe et sinon ker(u) N Im(u) = {0m4} et il y a somme directe. Soit on montre que (e2 + e3, €1 + €3,€1 — €3, e3 + €) est libre et donc une base de IR‘ puisqu'il s’agit d’une famille libre à 4 vecteurs dans un espace de dimension 4 et on a ker(u) @iIm(u) = R* Soit ker(u) + Im(u) = vect(e:,e3,e4, e2 + e3) = Vect(es, 62, e3,e3) = R* Ce qui montre que ker(u) Im(u) = R*. 4 0+0—-0+0=0 donc 0m EE. 25 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Soient x = (X1,X2,X3, X4) € E et y = (31,ÿ2, V3, Ya) € E,ona Xi + X2 — X3 + Xa = 0 et Y1+Y2 — Ya +ya = 0 Pour tout et y réels x + ny = (Axa + y, Âx2 + UY2, Axa + Ha, AX4 + UV) Os + 471) + O2 + 12) — (xs + 13) + (Axa + Ya) = Cu +%2 — X3 + %4) + HO + V2 — Ya +94) = 0 Ce qui montre que Àx + uy € E donc E est un sous-espace vectoriel de R*. X = (X1,X2,X3,X4) € E, on a Xi + x2 — X3 + X4 = 0 donc x = —X2 + X3 — X4 X = (—X2 + X3 — X4, X2,X3, Xa) = X2(—1,1,0,0) + x3(1,0,1,0) + x4(—10,0,1) On pose b = (—1,1,0,0), c = (1,0,1,0) et d = (—10,0,1), la famille (a, b,c) engendre E —a+B—-y=0 ab + Bc + yd = 0m & &(—1,1,0,0) + 8(1,0,1,0) + y(—10,0,1) = Om 8 2 ù 7=0 a=0 s{B=0 y=0 Ce que signifie que (b, c, d)) est une famille libre. Par conséquent (b, c, d) est une base de E. 5. ker(u) = Vect(a) avec a = e; + e3 = (0,1,1,0) donc 0 +1 —-1+0=O0cequimontequea EE, autrement dit ker(u) € E, on n’a pas : ker(u) @Im(u) = R Allez à : Exercice 9 Correction exercice 10. L Li [Xi —X2 + 2X3 + 2X4 = 0 X1 + 2X2 — X3 + 2X4 = 0 L x = (X,X2, X3,X4) E ker(u) = La = + 2 — 233 — 2x4 = 0 La —-Xi+X2—X3 —Xx4 = 0 Li X1 — X2 + 2X3 + 2X4 = 0 L oh 3-35 0 # Feb L3+L: 0=0 = x La+ Li X3 +4 = 0 1773 X1 = X3 — 2X3 + 2x3 X1 = X3 s X2 = X3 [2x Xa = —X3 X4 = —X3 X = (ra, Xa 3, —X3) = X3(1,1,1, —1) ker(u) est la droite engendrée par e1 + € + €3 — 4 Im(u) = Vect(u(e:),u(e:),u(ez),u(es)) u(e;) = (1,1, —1,—1) u(e;) = (—1,2,1,1) u(ez) = (2,—1,—2,—1) u(es) = (2,2,—2,—1) D’après le théorème du rang dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(R*) Ce qui entraine que dim(/m(u)) = 3 Première méthode On regarde si la famille (u(e,),u(e2),u(ez),u(es)) est libre 26 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé L.(a—-B+2y+28=0 L,) a+2B8-y+285=0 L;]-a+B-2y-28=0 La =a+B-y-8=0 Li a—B+2y+26 =0 au(e:) + Bu(ez) + yu(ez) + 8u(es) = Om © a—B+2y+26 =0 a = =} Lo Li 38-3720 82 al8=y L3+ Li 0=0 5=— 5=—y La + Li 7+6=0 nn La famille n’est pas libre, pour y = 1, cela donne la relation u(e;) +u(ez) + u(ez) — u(es) = Or Soit u(e:) +u(ez) +u(ez) = u(es) Alors Im(u) = vect(u(e:),u(e),u(ez),u(es)) = Vect(u(e:),u(e:),u(ez),u(e:) +u(e;) + u(ez)) = Vect(u(e;),u(ez),u(es)) Comme (u(e,),u(e,),u(ez)) est une famille génératrice à trois vecteurs dans un espace de dimension 3, c’est une base. Deuxième méthode €; +e2+e3—e, E ker(u) Par conséquent u(e + e2 + e3 — ea) = Os Ce qui entraine que u(e;) +u(ez) + u(ez) — u(es) = Or Et on conclut de la même façon. X = (X1,X2,X3,X4) € Im(u) = Vect(u(e:),u(e:),u(ez)) es 4(a,B,y) € R°,x = au(e;)+ Bu(ez) + yu(es) & (a, 8,7) € R°,(x1,X2, X3,X4) = a(1,1,—1, —1) + B(—1,2,1,1) + y(2, —1,—2, 1) & 3(a,p,y) LL (a-B+27y=x Li a—B+2y+20 =x L,) a+2B-y=x Li—L) 38—-3y=-x, + x. ‘L3]-a+B-27=x SACBN ER +1, F 0x dx, ? La -a+B—-Y=xX4 La+L Y+8=x+2X4 Li a—B+2y+20=Xx L—L;) 38-37 =-x;+x L3 + Li Y+È=xXi1+x4 La + Li 0=x+x3 € R° 8 4(a,B,y) € Ce qui montre que mu) = {(x1,X2, X3,X4) € Rf,x1 + X3 = 0} Allez à : Exercice 10 Correction exercice 11. 1. La matrice de f o f dans la base B est Mat&(f) X Matg(f) _7 8 6 7 8 6\/-7 8 6 1 0 0 Or Matg(f) =[-6 7 6 |donc Matg(f?)=|-6 7 6 |[-6 7 6 |=[0 1 0]=1 0 0 —1 0 0 -1/\0 0 -1 0 0 1 2. ILexiste g telle que g ° f = Id donc f est bijective et f-1 = f. Allez à : Exercice LI Correction exercice 12. 1. Soitu = (x,y,2,t),u' = (x',y',z',t') deux vecteurs et À et 2’ deux réels. 27 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Correction exercice 15. 1. u(x) = u(xie; + X2e2 + X3ez) = xiu(e:) + xzu(e2) + xzu(ez) = X1(2e1 + e2 + 363) + x2(e2 — 363) + x3(—262 + 263) = 2Xie3 + (xs + X2 — 2x3 )e2 + (3x1 — 3X2 + 2X3)es = (2Xx1,X%4 + X2 — 2X3, 3x3 — 3x2 + 2x3) 2. f(0ms) = Ops = 2 X ps = Os EE Soient x et y deux vecteurs de E, alors u(x) = 2x et u(y) = 2y Soient À et y deux réels uQx + ay) = Aux) + pu(y) = A(2x) + (27) = 2(Ax + uy) Donc Àx + uy € E et E est un sous-espace-vectoriel de IR$ f(0ms) = Oms = —0ps = Os EF Soient x et y deux vecteurs de F, alors u(x) = —x et u(y) = —y Soient À et y deux réels uQx + ay) = Au() + au(y) = (x) + 4(-y) = -(Ax + 17) Donc Àx + uy € F et F est un sous-espace-vectoriel de RS. xEeE eu(x)=2xe (2xi,X%4 + X2 — 2X3, 3x1 — 3X2 + 2x3) = 2(X1,X2, X3) 2x, = 2x. cfa fees te TE 3x1 — 3x2 + 2x3 = 2X3 1 2 3 Donc x = (x1,X1,X3) = x1(1,1,0) = x1(e1 + e2) ei + e2 # Os, il s’agit d’une base de E. xeFeu(x)=-xe (2x,3x — X2, 3x3 — 3X2 + 2X3) = —(x1,X2, X3) 2X1 = —X 3x1 = 0 x =0 entries era 20 sn, 3x1 — 3x2 + 2X3 = —X3 3x1 — 3X2 + 3x3 = 0 2 3 Donc x = (0,x3,x3) = X3(0,1,1) = x3(e2 + e3) €2 + €3 # Ows, il s’agit d’une base de F. dim(E) + dim(F) = 1+1=2 Donc il n’y a pas somme directe. Allez à : Exercice 15 Correction exercice 16. 1. Soient u, u' deux vecteurs de E_;, alors f(u) = —u et f(u') = —u'. Soient À, 2’ deux réels. fQu + 2'u) = f(u) + 2'f(u) = A(-u) + A(-u') = -(u +2'u") La première égalité car f est linéaire, la seconde car u et u’ sont dans E_:, La troisième montre que Âu + d'u’ € E_; F(0rs) = Os = —0rs La première égalité car l’image du vecteur nul par une application linéaire est toujours le vecteur nul, la seconde égalité montre que Os € E_1. E_; est un sous-espace vectoriel de RS. Soient u,u’ deux vecteurs de E;, alors f(u) = u et f(u') = u’. Soient À, À’ deux réels. fQu + 2'u’) = 2f(u) + 1'f(u') = Zu + Au’ La première égalité car f est linéaire, la seconde car u et u’ sont dans E1, La seconde montre que Au + d'u’ € EF; F(0Rs) = Op 30 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé La première égalité car l’image du vecteur nul par une application linéaire est toujours le vecteur nul, cela montre aussi que Os € E1. E, est un sous-espace vectoriel de IR$. 1 2 2 2 1 2 Fes — e2) = f(e1) — f(e2) = 734 +3e2 +3 — (a 322 0) = —€1 +2 = —(e1 — 2) Donce;, —-e EE; 1 2 2 ( 2 1 Fes — e3) = f(e1) — f(es) = 734 +32 +363 — 34 +32 ) = —e +e3 = —(e —e3) Donce;, —-e, € E_; FCe1 +e2+ e3) = f(e1) + f(e2) + f(es) 1 =gatae tits tan rer tres tre tre Tes tetes Donce; +e +e:€E 3. Les vecteurs e, — e ete, — e4 ne sont pas proportionnels, ils forment une famille de E_;, donc la dimension de E, est supérieur ou égal à 2. E; a un vecteur non nul, donc sa dimension est supérieur ou égal à 1. 4. SoitueE_,NE;,f(u) = —uet f(u) = u donc —u = u, ce qui signifie que le seul vecteur de E_, nn E, est le vecteur nul. EnNE = {0m} 5. dim(E_, + E1) = dim(E_;) + dim(E;) — dim(E_; NE) = dim(E_;) + dim(£Æ,) >22+1=3 Comme E+E cR On a dim(E_1 + E1) <3 Finalement dim(E_1 + E1) =3 Remarque : cela entraine que dim(ÆE_;) = 2 et dim(E;) = 1 L’intersection de ces sous-espaces vectoriels étant réduit au vecteur nul on a E:1@E =R* 6. On peut calculer f2(e), f2(e2) et f2(e3) pour s’apercevoir que ces vecteurs valent respectivement e:, e, et e3. Mais c’est long. Autre méthode D’après la question précédente (e1 — e2,e1 — e3,e1 + €, + e3) est une base de RS. (Une base de E_; collée à une base de FE; donne une base de RŸ si et seulement si E_, ® E; = R°). Tous les vecteurs de IR? s’écrive de manière unique comme une combinaison linéaire de ces trois vecteurs, il suffit de montrer que f?(e; — e>) = e1 — e2, f?(e — e3) = e1 — e3 et que f?(e1 + e2 + ex=e +e+e Là, j’ai fait long, en fait il suffit de montrer les égalités ci-dessous FC — €2) = FFC — e2)) = f(-C@ — e2)) = —f(e; — e) = —(—(@ — e2)) — € — €2 Care, —-e € E_; FC — €3) = FFC — es)) = f(-C@ — es)) = —f(e; — e3) = —(—(@ — es)) — € —€3 Care; —-e3 € E_; F?(e1 + € + e3) = f(F(e: + e2 +e3)) = fes +ez+es) = e; +e;+es Care +e +e€E Par conséquent f? = idms Cela montre que f 71 = f et que f est bijective. 31 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Remarque : Avec les matrices on retrouve ce résultat plus facilement. Allez à : Exercice 16 Correction exercice 17. 1. 2 +241 0 La+2p+z=y= 3 3 3 2a—28+y=0 2 1 2 aa + Bb = yc = 0m À—a+-B+-y=0e)-2a+B +27 =0 3 3 3 a—2B+2y=0 1 2 2 32 38 + 37= 0 Li 2a—2Bf+y=0 a=0 se nt | —B +3y =0 -f5=0 213 — Li y=0 y=0 (a, b, c) est une famille libre à trois vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 3, c’est une base de R$. u(x) = u(xie; + Xe + Xsez) = xiu(e:) + xzu(e2) + xzu(ez) = X1(3e1 + e2 — 3) + x2(e1 + 762) + x3(—e — €3) = [3x1 + %2 — Xales + [a + 7X2]e2 + [xs — xsles = (3x4 + X2 — Xa,X1 + 7X2, —X1 — X3) 3. a=5(2,-2,1) donc 1 1 ua) =5GBX2-2-124+7X(-2)-2-1) =3(8.-12,-8) = (1, 4,1) 3a—3c=3Xx 10-20 —3%x 1022) = (2,—2,1) — (1,2,2) = (1, —4,—1) On a bien u(a) = 3a — 3c b =i(2L —2) donc u(b) = 26 X2+1-—(-2)2+7,-2-—(-2))= 200) = (3,3,0) 1 1 3b+3c=3x2(21-2) +3 x2(122) = (21,2) + (122) = (3,30) On a bien u(b) = 3b + 3c c= 1(1,2,2) donc 73 1 1 u()=3B+2-214+7X2,-1-2)= (815,3) = (LS, -1) 1 1 1 -3a+3b+3c=-8x2(2-21)+3x2(21-2)+3x2(12,2) = —(2,-—2,1) + (21,2) + (1,2,2) = (1,5,-1) On a bien u(c) = —3a + 3b + 3c Allez à : Exercice 17 Correction exercice 18. 1. Soient u = (x,y,z)etu' = (x',y',z') deux vecteurs de IR et deux réels À et 2’ Au +Z'u' = (4x + 2'x',Ay + 2'y",1z + 121) = (X,Y,2) 32 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Donc u est linéaire 2. u(e;) = u(ez) = ++ = u(e,) = 1 donc dim(Jm(u)) = 1 D’après le théorème du rang dim(ker(u)) + dim(Jm(u)) = dim(R*) & dim(ker(u)) = n —1 Allez à : Exercice 22 Correction exercice 23. Supposons (a) Si y € Im(u) alors il existe x € E y = u(x) alors u(y) = u2(x) = 04 alors y € Ker(u) Donc Im(u) € ker(u) D’après le théorème du rang dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(E) & dim(ker(u)) +5 =n<e dim(ker(u)) => Im(u) € ker(u) et ces deux espaces ont la même dimension, donc ils sont égaux. Supposons (b) D’après le théorème du rang dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dimE & 2dim(Im(u)) =n & 2rg(u)=n Pour tout x € E, u(x) € Im(u) donc u(x) € ker(u) donc u(u(x)) = 04 donc u? = Og. Allez à : Exercice 23 Correction exercice 24. Si u est injective alors si x € ker(u) & u(x) = 0; & u(x) = u(0Z) = x = 0; car u est injective, ce qui montre que ker(u) = {0}. Si ker(u) = {04} alors u(x) = u(y) & u(x) - u(y) = 0; S u(x-y)= 0 >x—-y= 0% car ker(u) = {0}, et donc x = y ce qui montre que u est injective. Allez à : Exercice 24 Correction exercice 25. L (u—Zid;)(x) = 0% & u(x) — Ax = 04 & u(x) = Ax u(0;) = 0; =AX0;20;€E Soient x; et x deux vecteurs de E3, on a u(x:) = x, et u(x2) = Ax2 Soient «, et «; deux réels. u(@Xi + @2X2) = au(x) + au(x) = 1x + d2ÂX2 = A(diXA + A2X2) Donc &;,x1 + &2x2 € En E} est un sous-espace vectoriel de E. 2. Fest un sous-espace vectoriel de E donc 04 € F par conséquent u(0;) = 04 € u(F) Pour tout x; et x, dans F. Pour tout «&, et & réels. On a &X1 +42X2 EF Soient y; et y2 dans u(F), il existe x; et x2 dans F tels que y1 = u(x:) et y2 = u(x2) Alors MY + @Y2 = Gui) + au(x) = U(MX + 2X2) Car u est linéaire, donc M Y1 + @2Y2 = U(MX1 + 2X2) EU(F) Car ax + 2x2 EF. Par conséquent u(F) est un sous-espace vectoriel de E. 3. Six e Eà alors x = Fu(x) =u (x) € u(E2) donc E3 € u(E:) Si y e u(E)) il existe x € Ea tel que y = u(x) donc y = Àx € F3, ce qui montre que u(E3) € E3 Finalement u(E) = Ej 35 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Allez à : Exercice 25 Correction exercice 26. 1. Supposons que u soit surjective, alors mu) = F par conséquent dim(/m(u)) = p et d’après le théorème du rang dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(E) & dim(ker(u)) +p =n & dim(ker(u)) = n—p < 0 Ce qui n’est pas possible, donc u n’est pas surjective. 2. Supposons que u soit injective, alors ker(u) = {04} par conséquent dim(ker(u)) = 0 et d’après le théorème du rang, comme /m(u) € F entraine que dim(Im(u)) < p dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(E) & dim(Im(u)) =n & n = dim(Im(u)) <p Ce qui n’est pas possible, donc u n’est pas injective. Allez à : Exercice 26 Correction exercice 27. Soit y € ker(f) N im(f), il existe x € E tel que y = f(x), et f(y) = 0x Donc f?(x) = f(f(x)) = f(y) = 0% donc x € ker(f?), comme y = f(x), y € f(ker(f?)) On a montré que ker(f) Nim(f) € f(ker(f?)) Soit y € f(ker(f?)), il existe x € ker(f?) tel que y = f(x), ce qui montre que y € Im(f) et comme FO) = F(FQ)) = 20) = Oz on a y € ker(f) On a montré que f(ker(f?)) € ker(f) N im(f) Et donc Allez à : Exercice 27 Correction exercice 28. Soit y € f(ker(g ° f)), il existe x € ker(g o f) tel que y = f(x) Donc y € Im(g), D'autre part x € ker(g ° f) donc (g ° f)(x) = g(f(x)) = Om», par conséquent g(y) = g(f(x)) = Or, ce qui montre que y € ker(g). On a donc y € ker(g) N Im(f), on a montré que f@ker(g ° f)) € ker(g) N Im(F) ker(f) N im(f) = f(ker(f?)) Soit y € ker(g) NIm(f) y € Im(f) donc il existe x € IR" tel que y = f(x) y € ker(g) donc g(y) = Om On en déduit que Omr = g(y) = g(f(x)). ce qui montre que x € ker(g » f) et comme y = f(x) cela montre que y € f(ker(g ° f)). Allez à : Correction exercice 29. 1. Soit x € ker(u), u(x) = 0%, donc u?(x) = u(u(x)) = u(0%) = 04 donc x € ker(u?), ce qui montre que ker(u) € ker(u?) 2. Soit y € im(u?), il existe x € E tel que y = u2(x) = u(u(x)), autrement dit il existe x’ = u(x) tel que y = u(x'), ce qui montre que y € im(u). Allez à : Exercice 29 Correction exercice 30. 36 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Supposons que ker(u) N im(u) = {04} et montrons que ker(u) = ker(u o u) Si x € ker(u) alors u(x) = 04 alors u(u(x)) = u(0%) = 0 alors x € ker(u e u) Cela montre que ker(u) € ker(u o u) Si x € ker(u e u) alors u(u(x)) = 0%, on pose y = u(x) € Im(u) et comme u(y) = 04. y € ker(u) N im(u), d’après (i) y = 0; et donc u(x) = 0; ce qui signifie que x € ker(u) Cela montre que ker(u ° u) € ker(u) et finalement ker(u) = ker(u ou) Supposons que ker(u) = ker(u ° u) et montrons que ker(u) N Im(u) = {0g} Soit y € ker(u) N Im(u), il existe x € E tel que y = u(x) et u(y) = 04, cela entraine que u(u(x)) = 0%, autrement dit x € ker(u o u), d’après (ii) x € ker(u) donc y = u(x) = 0, cela montre bien que ker(u) N im(u) = {05} Allez à : Exercice 30 Correction exercice 31. 1. a) u(x) = u(xie; + X262 + Xse3) = xiu(ei) + xau(e2) + xzu(ez) = (A + 2f2) +x2(2f — fe) + x3(—f + 2) = (a +222 — 2x3) + (2x — X2 + 3) f2 = Ga + 2% — X3, 2% — X2 + X3) b) u(e;) u(ez) ues), A = Mat,(u) = ( 2 -h 1 2 1 1 fr c) X = (X1,X2,x3) € Ker(u) & u(x) = Op Xi __ f0 1 2 —1 _ [0 RE 0 SAX= (5) L G 1 1 )(x) 7 (5) L Gi —X2 + x) (o) L —X3= —X3= e tie X3 0, Li pire X3 = 0 Li (2x3 —X2 +X3 = 0 7 Li —2L; | —5x, + 3x3 = 0 3 1 M +2X Ex — 2x3 = 0 HE EX ° 3 ° 3 X2= 5% 2 = 5% Donc x = (-irsêrax) = (135), on en déduit que ker(u) = Vect(a) avec a = (-13,5). On en déduit que dim(ker(u)) = 1 et d’après le théorème du rang : dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(R®) & dim(/m(u)) = 2 Or Im(u) est un sous-espace vectoriel de IR? donc Im(u) = R?. Une autre méthode est d’écrire que : Im(u) = Vect(u(e;),u(ez),u(ez)) Puis, avec le théorème du rang, de dire que la dimension de cet espace est 2, il suffit donc de trouver deux vecteurs non colinéaires dans Zm(u), soit par exemple (u(e:),u(ez)) ou (u(e:),u(ez)) ou encore (u(e2),u(ez)), pour trouver une base (libre plus le bon nombre de vecteurs égal base). Mais je pense que si on ne remarque pas que Im(u) = IR? on a raté quelque chose parce que cela signifie que u est surjective. a) Soit x = X161 + X262 + X363 = (X1,X2,X3) 37 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé X = (—X2,X2, —2x2) = x2(—1,1, —2) a=(-1,1,—2), ker(u) = Vect(a). D’après le théorème du rang dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(R®) & dim(Im(u)) = 3 —1= 2 Il suffit de trouver deux vecteurs non colinéaires (qui forment donc une famille libre) dans Im(u), par exemple : u(e,) et u(e:) (on aurait pu prendre u(e,) et u(e3) ou u(e,) et u(ez)). Im(u) = Vect(u(e:),u(ez)) Il est totalement inutile de chercher une relation entre u(e,), u(e:) et u(e;) car le théorème du rang donne la dimension de l’image de u. 2. a) ei = (1,0,0) = u(e;) =(1,1,1) = ei +e +es e2 = (0,1,0) = u(e:) = (111) =e; +e2+ez ez = (0,0,1) = u(ez) = (0,0,0) = Os b) u(e:) u(e;) u(ez) 1 1 0\ Mat,(u) = 1 1 | & e3 1 1 0 c) x = (x1,X2,x3) € ker(u) & u(x) = Op © (Xi + X2, Xi + X2,2%1 + X2) = (0,0,0) & x1 + x2 = 0 Un vecteur de ker(u) est de la forme x = (x, —X1,X3) = x1(1, —1,0) + (0,0,1)x3 Si on pose a = (1,—1,0) et b = (0,0,1), Ker(u) = Vect(a, b) a et b sont deux vecteurs non proportionnels de Ker(u) ker(u), cette famille engendre ker(u) il s’agit donc d’une base de ker(u). Pour l’image, pas besoin du théorème du rang, on pose c = (L11) Im(u) = Vect(c,c,0ms) = Vect(c) Im(u) est la droite engendrée par c. Allez à : Exercice 33 Correction exercice 34. 1. soit x € Rtet X = | > |ses coordonnées dans la base canonique. 4 1 2 1 3 x 0 X1 + 2X2 + X3 + 3x4 = 0 s eker() à 4x = Ou» [1 1 2 1) ? =(o)= {tea 20 1 2 5 —-11 0 X1 — 2X2 + 5X3 — 11X4 = 0 X4, Li (Xi +2Xx2 + Xx3 + 3x4 = 0 X1 + 2X2 + X3 + 3x4 = 0 un) —X2 + X3 — 2x4 = 0 -| —X2 + X3 — 2x4 = 0 L3 — Li (—4x2 + 4x3 — 14x4 = 0 —2X2 + 2X3 — 7x4 = 0 —X2 + X3 — 2x4 = 0 X2=X en, = 0 2, =0 X = (—3x3,X%3,X3, 0) = X3(—3,1,1,0) On pose = (—3,1,1,0) ker(f) = Vect(a), c’est une base de ker(f). 2. D’après le théorème du rang Xa + 2X2 + X3 + 3X4 = 0 Xi = —3X3 <| dim(ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(IR*) Donc dim(Im(f)) = 3 40 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Comme Im(f) € R° On a Im(f) = R° Et rg(A) = 3 Allez à : Exercice 34 Correction exercice 35. A est la matrice d’une application linéaire de IR5 dans IR4. X1 X1 ï LIEN) Pi ptninnn X + X2 + Xa + X4 + XS = X= & Eker(4)& 11 5 1 21 & = ol jeta + as + 2x 4x = 0 xs 2 1 1 1 1 xs 0 2X3 +X2 + X3 + Xa + Xs = 0 Li (Xi + X2 + 2X3 + Xa + Xs = 0 Li Xi + X2 + 2X3 + Xa + Xs = 0 21 ee = 0 Le 2 —X2 — 3X3 — Xa — Xs = 0 La Vs + Xo + X3 + 2X4 + Xs = 0 L3—L —X3 +X4= 0 Xa + X2 + 2X3 + Xa + Xs = 0 Xi = —X2 — 2X3 — Xa — Xs -| —X2 — 3X3 — Xa — Xs = 0 -| X2 = —3X3 — Xa — Xs X3 = X4 X3 = X4 Xi = —X2 — 2X4 — Xa — Xs Xi = —(—4X4 — Xs) — 2X4 — Xa — Xs -| X2 = —3X4 — Xa — Xs -| X2 = —4X4 — Xs X3 = X4 X3 = X4 X1 = X4 s Le = 4x4 —Xs X3 — X4 Donc Gi X2X3 XXe) = (4, —4%4 — Xe, X4, Xa,Xs) = X4(1, —4,1,1,0) + x$(0,—1,0,0,1) Les vecteurs (1,—4,1,1,0) et (0, —1,0,0,1) ne sont pas proportionnels et ils engendrent le noyau, donc ker(A) est de dimension 2. D’après le théorème du rang dim(ker(4)) + dim(/m(A)) = 5 Ce qui montre que rang(A) = dim(Im(A)) = 3. Allez à : Exercice 35 Correction exercice 36. L 13x; — 8x2 — 12x33 = y 13x31 — 8X2 — 12Xx3 = V1 Y=AXeAX=y7e fs — 7x, — 12x, = y, e Ll2— 12L fe — 12x3 = 132 — 12Y 6X1 — 4x2 — 5X3 = V3 2L3 — Le —X2 + 2X3 = 2Y3 — V2 13x1 — 8x2 — 12X3 = y: 13x31 = y1 + 8x2 + 12%3 5x2 — 12X3 = 13y2 — 127; 22 tete 12 —2X3 = 10y3 — 5y2 + 13y2 — 12Y: X3 = 6ÿ1 — 4y2 — 5y3 13x13 = y1 + 8x2 + 12(6ÿ1 — 4y2 — 573) & 45X2 = 13y2 — 121 + 12(6y1 — 4y2 — 5y3) = 60y1 — 35y2 — 6073 X3 = 61 — 4Y2 — 53 13x1 = 73y1 — 48y2 — 603 + 8(12y1 — 7y2 — 1273) ps = 1697, — 104y, — 156; s ee tu e X2 = 12 — 72 — 12y3 X2 = 1291 — 7y2 —12y3 X3 = 6ÿ1 — 42 — 53 X3 = 6ÿ1 — 4ÿ2 — 5y3 41 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé %1 = 13y1 — 8y2 — 123 X1 13 —8 —12\/Y1 Se fe =l2n-7»-12»%e (+) = (2 —7 -) G:) X3 = 6ÿ1 — 4Y2 — 5Y3 X3 6 —4 —5/\y3 13 —8 —12 Donc 471 = (2 —7 1) = A 6 —4 —5 Le mieux aurait été de changer les rôles de x; et x; dans le premier système. 2. A?=1I donc 42" = (42) =" = Jet A2*1 = AA = A. Allez à : Exercice 36 Correction exercice 37. 1 et 2. 0 1 1\/0 1 1 2 1 1 4=|1 0 1}][1 0 1]=|1 2 1]=A+21 donc P(X) =X?-X-—2 1 1 0/\1 1 0 1 1 2 1 1 1 3. Ma 2 2e AA DS 20 AXE ane 4 ES 1 1) 1 1 1 0 1 1\/X1 J1 X2 + X3 = V1 AX=YS|1 0 1}[X2]=|Y2)=jxX1+x3 = 1 1 0/ x J3 X1 + X2 = Vs Ici il y a un problème pour appliquer le pivot de Gauss parce qu’il n’y a pas de termes en x; dans la première ligne, il y a deux façons d’arranger ce problème, soit on intervertit x,et x, soit on intervertit la ligne 1 avec une ligne où il y a un x, c’est ce que nous allons faire. Lfe+x=yi L(x +X3 = V2 Li X1 +X3 = V2 LiM+x3=Ye L X2+X3=Y1 © Li X2 + X3 = Yi Lg ai 4x2 =ys Li +x2 =Ys L3-L X2 — X3 = V2 + Vs Xi = —X3 + Li X +X3 = V2 2 = ie es e Li X2+X3 = es 1 1 1 La — Li —2X3 = 1 —Y2+ V3 X3 = 71 +392 373 1 1 1 1 1 1 Xi = “(5 +392 ) + y2 Xi = 7221 +32 +393 x 1 1 1 1 1 1 : o m=-fGntn-sn)+ne 277) 392+393 o a 1 1 1 1 1 1 X3 991 +392 293 X3 991 +392 293 1 1 2 2 2 1 si 1 |” [2 72 2 | 1 1 1)% 2 2 Donc 1 1 1 2 2 2 ai=|1i 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 Allez à : Exercice 37 42 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 1 1 —1 Pi=|-1 1 0 0 —1 1 u(a) u(b) u(c) 1 0 0 \a D=|0 —1 O0 })b 0 O0 —1/c D'où 7. D = P-TAP Allez à : Exercice 41 Correction exercice 42. 1. Soient x = (x1,x2) et x’ = (xi,x2) deux vecteurs de IR? et soient À et 2’ deux réels. FOX + 2x") = f(x + 2x, Axe + d'x2) = (x + xs — (Axe + l'x2), La + ai + (A2 + 2'x2)) = (Ga — 2x2) + A'(xi — x), A + 22) + Lx + x)) = (Xi — X2 2% +22) + 2'(xi — xx + x2) = Af (x) +4 f(x) f est une application linéaire de IR2 dans IR? donc f est un endomorphisme de IR2. 2. a=( 5) : Xi —X2 = 0 X1—X2=0 er 2 rekrpe flo +1 2x, =0 L X2 = 0 Donc ker(f) = {0m} On en déduit que f est injective, comme de plus, f est un endomorphisme, f est surjective et donc Im(f) = R2. (On aurait pu aussi invoquer le théorème du rang) b) Du a) on tire que f est bijective et donc inversible (cela signifie la même chose). c) V1 = Xi — X2 Y= F0 8 O2) = fOu22) & 1,72) = 204 +2) fe =X +2 1 1 X2=X1— == y, — spin 5 2 1 1 t 5 #27 3)+392 V1 1 +Y2=2X X=5Y +57 1 1 1 27 72% %=3)1 +372 1 1 2777) +592 ° 1 1 Hi +372 Donc f71(y1,y2) = Ga + 2 5 + 232), ou, en changeant les rôles de x et de y : D 1 1 1 1 FC, 2%2) = Ga +3%2-7% +3%2) ELA = 12 1) h 0 4. La matrice d’une homothétie est de la forme H = G h . . _ fcos(a) —sin(«) . __, fcos(&) —sin(a)\ _ est de la forme R = (eo cos(a) } Alors RH = (CD cos(a) ) = (; cos(a) —h re) hsin(a) hcos(a) hcos(aæ) = 1 hsin(«) = 1 } = hI et la matrice d’une rotation d’angle « Donc | , donc (hcos(a))* + (hsin(a))* =12+127Seh=2Sh=V2ouh=-V2 45 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 1 cos(æ) = —— Sih = —V2 alors 2 donc & = = modulo 2. sin(æ) = 7% 4 1 cos(æ) = — Sih = V2 alors 2 donc & = ? modulo 27. sin(æ) = 5 4 5. det(a,b) = Fi 5 = 2 # 0 donc (a, b) est une base de R?. 6. Les coordonnées de f(a) dans la base (e,,e2) sont ( 5) () = C) donc f(a) = 2e, =a+b Les coordonnées de f(b) dans la base (e;, e,) sont ( 71) (2) = (2). donc f(a) = 2e, =a—b 1 1 0 7. Matg/(P) = (} 5) Allez à : Exercice 42 Correction exercice 43. L 1 2 2 —1 —-1 —2 1 1 1 Donc (a, b, c) est une base de R° 1 2 2 1 —1 —2|= 0 0 —1 1 2 2 P= ( —1 +) 1 1 1 1 2 2 Xi Vi Li (xs + 2x2 +2X3 = PX=Ye ( -1 +) (x) = G:) s BE — X2 — 2X3 = V2 1,1 1/\% Ya L3U Xi +X2+X3 = V3 Li F + 222 + 2X3 = Yi f° = —2X2 — 2X3 + Yi det(a, b, c) = [l 2]=-c1+2=140 —1 “ eL+l X2 =ntre X2 = Yi + V2 Ls +L —X3 = V2 + Ya X3 — —Y2 — V3 Xi = 21 — 2y2 +272 +2Y3+ X17 1 +2y3 -| X2 = Yi + Y2 fran X3 — —Y2— V3 X3 — —Y2— Y3 —1 0 2 P-t= ( 1 1 0 ) 0 —1 —-1 3. Les coordonnées de u(a) dans la base B sont 1 4 4 1 1 2 20) 0) 0 2 3 1 1 Donc u(a) = a Les coordonnées de u(b) dans la base B sont 1 4 4 2 2 Ge 2 20) 0) 0 2 3 1 1 Donc u(b) = c Les coordonnées de u(c) dans la base B sont G + 2670) 46 Donc Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Donc u(c) = —b Par conséquent a) 1 0 2\/1 4 4\/1 2 2 P-1AP = ( 1 1 0 NC: —3 “s) (4 -1 +) 0 —1 —1/\0 2 3/\1 1 1 —1 0 2\/1 2 —2 1 0 0 -(: 1 " )(< —2 i}=(e 0 )=8 0 —1 —1/\1 1 —1 0 1 0 1 0 O0\/1 0 1 0 0 R?= ( 0 ) (o =) = ( 1 0 ) 0 1 o/\o 0 0 O0 —1 1 0 0 0 0 1 0 0 g= rat (0 —1 s ](0 —1 o)=(e 1 o)=4 0 0 —1/\0 0 —1 0 0 1 c) R=P-14P A =PRP-1 A® = PRPTIPRPTIPRP-PRP- = PR'P-I = PIP-1 =] b) roo R Donc Allez à : Exercice 43 Correction exercice 44. —3 1 4 1 A=Matg(u)=| 2 —1 —2 —4 2 5 2. u(0ps) = Os donc Ops EE SointxeEetyeE et À et u deux réels, u(Ax + uy) = Au(x) + uu(y) = Àx + uy, donc Àx + uy € E, E est un sous-espace vectoriel de RS. 3 1 4 Xi Xi —3X1 + X2 + 4x3 = Xi X = (Xi X2,X3) ere (: 1 +) (+) -(x)-| 2% — X2 — 2X3 = X2 —4 2 5 / Va X3 —A4Xx + 2X2 + 5X3 = X3 Lan + 2x2 + 4x3 = 0 La + 2x2 + 4x3 = 0 se AM = (A = M EI 2x1 -2x—-2x%3=0 el; —4X +2X2+4x3=0 L: X1—X2—X3=0 —2X1 + X2 + 2x3 = 0 Li — 4x + Xx2 + 4x3 = 0 x =X situ) 3x, = 0 er 2L3 Li x =0 2 Une base de E est le vecteur a = (1,0,1) et bien sur dim(E) = 1. 3. Il est clair que le vecteur nul est dans F. Soient x € F et y € F et À et y deux réels Ax + py = (4x + y, Âx2 + Hÿ2, xs + HY3), 204 + 1ÿ1) + 2x2 + 12) + 3(x3 + 1y3) = (224 + 2x2 + 3X3) + U(—2y1 + 2V2 + 3y3) =0 Donc Ax + uy € F. F est un sous-espace vectoriel de RS. 3 x: X=(M4X2X)EFSXx= (2 +xux2 3) = x2(1,1,0) +7 02 On pose b = (1,1,0) et c = (3,0,2) 47 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Première méthode 3 X1 On pose X = (o) et Xp = (x) les coordonnées de a et de b dans la base canonique et on résout le 2 X3 —10 3 15\/X% 3 u(b)=as AX, LE 0 s (x) = (o) 6 2 9/\x% 2 C’est long Deuxième méthode On remarque que u(e,) = a donc un vecteur b qui vérifie u(b) = a est par exemple b = e; Remarque : Ce n’est pas le seul mais l’énoncé demande « un vecteur b tel que u(b) = a » 5. u(0ps) = Oms = —0ms donc Ops € E_1 Soit x; € E_setx2 EE_,on au(x) = —x; et u(x2) = —x2, alors pour tout 4,,4, € Ron a UGxa + 2222) = Aus) + Bu) = (x) + 222) = Aix + A2X2) système Donc Aix + 2% € Es Et E_, est un sous-espace vectoriel de R$ Autre méthode : E_; = ker(u + id) donc E_, est un sous-espace vectoriel de IR$. X1 On pose Xe = (x) les coordonnées de c dans la base canonique X3 —10 3 15\/X Xi —10x1 + 3x2 + 15X3 = —X: u(c)=-ce AX;= (= 0 s (x) (5) — 221 + 3x3 = —X2 —6 2 9/\% X3 — 6% + 2X2 + 9x3 = —X3 o [a + 3x2 + 15x3 = 0 Fan + 2x2 + 5x3 = 0 Çé +2 + 5% = 0 —2X,+X2+3x3=0 ei-2x, + +3x% =0e 22 +2 + 3x3 = 0 — 6x1 + 2x2 + 10x3 = 0 — 3x1 + X2 + 5x3 = 0 Li (—3x1+Xx2 + 5x3 = 0 —6X3 + X2 + 5X3 = 0 X2 = X3 Lu %1 — 2x3 = 0 s{ 2 = 2x3 ef = 2x; X = (2%3,%3,X3) = X3(2,1,1) On prend c = (2,1,1) eton a E_3 = Vect(c) 2 3a+2y=0 aæ=0 aa + Bb +yc = 0m & a(3,0,2) + B(0,1,0) + y(2,1,1) = (0,0,0) B+y=0 e b = 0 2a+y=0 y =0 (a, b, c) est une famille libre dans un espace vectoriel de dimension 3, c’est une base de R. 7. u(a) = Ops,u(b) = a,u(c) = -c 0 1 O0 A'=|[0 0 0 0 0 —1 A! = PAP 3 0 2 P=|0 1 1 2 0 1 50 Donc Allez à : Exercice 46 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Correction exercice 47. 1 1 2 —1 1 -1 -2 2 1 1 1 1. det(a,b,c,d) = o 1 1 o!--|-1 1 2}en développant par rapport à la dernière 0 0 1 0 0 10 ligne. Puis det(e;,e:,ez, e4) = — 1 ,| = —1, de nouveau en développant par rapport à la dernière ligne. Ce déterminant est non nul donc (ei, es, es, ei) est une base de R*. 2. —6 —3 0 6 1 —3 s ci s nnclabaceReon-l 6 3 0 —-6|[-1|_|3 Les coordonnées de f(a) dans la base B sont : 0 0 -3 3 o 1=lo 0 0 0 0 0 0 f(a) = —3e; + 3e, = —3(e; —e;) = -3a —6 —-3 0 6 1 —3 s ci s onclabaeR con 6 3 0 —-6|[-1|_1| 3 Les coordonnées de f(b) dans la base B sont : 0 0 -3 3 153 0 0 0 0 0 0 f(b) = —3e; + 3e, + 3ez = —3(e, —e — ez) = —3b —6 —3 0 6 2 0 s ci s onclabaceReon-l 6 3 0 —-6|1[-2|_[0 Les coordonnées de f(c) dans la base £ sont : 0 0 -3 3 1 Il 0 0 0 0 1 0 FC) = Om —6 —3 0 6 —1 0 fée 3 0o -6\f 2 | fo Les coordonnées de f(d) dans la base B sont : 0 0 -3 3 o |=lo 0 0 0 0 0 0 FC) = Om —3 0 0 0 _f 0 —-3 0 0 3. May (D= T6 6 0 0 0 0 0 0 Allez à : Exercice 47 Correction exercice 48. —1 1 —-2 2 —1 1 —-1 2 1 —2 3 —1]_|1 —2 0 —1 1 Oo! |O —1 —1 1 —1 1 —1 1 Puis en développant par rapport à la troisième ligne : Ci C CG CG CG CG+CQG —1 —-1 2 —1 —1 1 1 1 —1 1 1 0 —1 0 1 —1 0 0 T , en additionnant , C3 + C> 1 1. det(a,b,c,d) = con det(a, b, c,d) = —(—1) =1#0 Donc (a, b, c, d) est une base de R‘. —1 1 —-2 2 1 —2 3 —-1 0 —1 1 0 —1 1 —1 1 2. P= 51 Applications linéaires, matrices, déterminants Li fi + x — 2x3 + 2x4 = Xi X=PXx'ePx' =Xe Li] x — 2x, +3x3 —x4 = x La —X2 + X3 = X3 La Lx +25 — 2x5 +24 = Xa Li Xi + X2 — 2x3 + 2X4 = Xi Li + Li —XS HXS + X4 = Xi + X2 La xs + xl = X3 Li+lL —X2 + 2x5 = X2 + X4 L; Xi + X2 — 2x3 + 2x4 = Xi 8 Li —X2 + X3 + X4 = Xi + X2 L3 — Li —X4 = Xi — X2 + X3 La — Li X3 — X4 = Xi + X4 L; donne xX4 = X1 + X2 — X3 La donne x3 = —X4 + X4 + X4 = X2 — X3 + X4 Pascal Lainé L; donne x? = X3 + X4 — X3 — Xo = X2 — X3 + X4 Æ Xi + Xo — X3 — Xi — Xo = X2 — 2X3 + X4 L; donne Xi = Xy — 2x4 + 2X4 — Xi = X2 — 2X3 + Xa — 2(X2 — X3 + X4) + 2 (x + X2 — X3) = Xi + X2 — 2X3 — X4 1 1 —-2 -1 on ere [0 1 -2 1 D'où l’on déduit que PT? = 0 1 1 1 1 1 —1 0 3. Les coordonnées de u(a) dans la base (e:,e2,e3,e4) sont Donc u(a) = e, —ez+es; =-(e; +e>2—e,) =-a Les coordonnées de u(b) dans la base (e:,e2,e3, e4) sont Donc u(b) = —2e, +3e; +e;3-2e,=a—b Les coordonnées de u(c) dans la base (e:,e2, e3,e4) sont Donc u(c) = 3e, — 5e, —2e3+2e, =b-—c Les coordonnées de u(d) dans la base (e:,e2, e3,e4) sont Donc u(d) = —4e, + 4e, +e3— 2e, =c-d 4. —1 1 0 | 0 —1 1 T= 0 0 —1 0 0 0 Autre méthode 52 _3 2 —3 3 1 —1 3 3 1 —1 —-1 3 3 1 —1 —-1 3 1 —1 3 —3 —1 —3 —1 —3 —1 —3 —1 2 0 —1 —1 —1 —1 —1 —1 —1 —1 | | J | —X Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé —7 6 6 6\ /-2 0 2 3 1 —1 —1 —1\ /-4 0 —2 _ _ 0 2 0 0 —1 1 0 0 1 0 —1 —1 —2 2 0 1 _ 1 _ PTAP=P -3 3 2 3/]1-1 0 1 1} |o -1 2 —1 —2 0 —1 —6 3 6 5/ \-1 -1 1 2 1 0 —2 07/7 \-2 —-2 —-1 2 0 0 0 _fo 2 o 0 7 |o 0 —1 0 0 0 0 —1 Allez à : Exercice 49 Correction exercice 50. 1 c=u(b) = u(e;) = e; + e>, voir la matrice. 1 0 —1 1 1 1 L ne .li 0 =1 1\f1|\_f1 Les coordonnées de d = u(c) dans la base B sont : o 1 -1 1/lol=l1 0 1 —1 0/ \0 1 RENE det(a, b, c, d) = =|1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 En développant par rapport à la quatrième colonne. 1 1 1 11 det(a,b,c,d)=|1 0 1 =| 1151#0 1 0 0 En développant par rapport à la troisième ligne. Donc (a, b, c, d) est une base de R‘. 1 1 1 1 _f1 0 1 1 z P= 1 0 0 1 0 0 0 1 x + Xo + X3 +4 = Xi x=Pxerr=xe) MG ta EX Xi +X4 = X3 X4 = X4 Xe = XX NS XX — (Xs — X4) — (to — X3) —X4 Xi = X3 — X4 5 XX XXI XX 8 270472 Xi = X3 — X4 = X3 — X4 X3 = X2 — X3 X4 = X4 X4 = X4 0 0 1 —1 La Li -1 0 0 Donc P7 = 0 1 —1 0 0 0 0 1 1 0 —1 1 1 0 n . nelt 0 1 1\f1| fo 3. Les coordonnées de u(a) dans la base f sont o 1 1 1/l117{0o 0 1 —1 0 0 0 Donc u(a) = Ori u(b) = c, on a aussi u(b) = e; + e, c’est donné par la deuxième colonne de la matrice, on en besoin plus tard. u(c) = u(u(b)) = u?(b) = d, u(d) = u(u?(b)) = u?{u(b))) = u?(e, + e2) = u(u(es) +u(e;)) = u(es +8: +e3+e4) = u(e:) + u(e:) +u(ez) + u(es) = e, = a Il suffit de faire la somme des quatre colonnes pour trouver les coordonnées de u(d) dans la base B. 55 —3 0 —1 —2 aura Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 4. 0 0 0 1 0 0 0 0 (is 0 0 1 0 5. 0 0 0 1\/0 0 0 1 0 0 1 0 (iris) (ss 0 1 0 o}|o 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0/\o 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0\/0 0 1 0 0 0 0 0 wsl[9 0 0 0\f0o 0 0 01_fo 0 0 0 0 0 o o}|o 0 0 o 0 0 0 0 0 1 0 0/\o 1 0 0 0 0 0 0 Or À = PNP-2 donc 4* = (PNP-1)* = PNP-2PNP-IPNP-IPNP 1 = PN#P-1 = 0 6. Soit x € R*, il s’exprime sous la forme x = xia + x2b + x3c + x4d dans la base B'? 0 0 O0 1\ /* 0 x4 0 1 0 0 0 o\|x 0 0 0 x € ker(u) & u(x) = 0m Se NX =08 0 10 0 “ =5)e {x T0 0 0 1 0/ \x, 0 D 0 Donc x = x: a, ker(u) est la droite vectorielle engendrée par le vecteur a. 7. Im(u) = Vect(u(a),u(b},u(c),u(d)) = Vect(Oms,c, d, a) = Vect(a,c,d) (a, c,d) est une famille (car (a, b, c, d)) est libre) et génératrice de Im(u), c’est une base de Im(u). Allez à : Exercice 50 Correction exercice 51. 1. Soit x = (X1,x2,X3,X4) € ker(u) —X1 —X2=0 x =0 0=0 u(x) = 0m © 2 += 0) =0 —x1 = 0 8 7% x = (0,0,x4,X4) = x4(0,0,1,1) On pose a = (0,0,1,1) 2. On cherche les vecteurs x = (x, X2,X3,x4) tels que a = u(x) 1 1 0 O0\/x 0 xx = 0 0 0 0 O1\[X 0 0=0 UQO=a SA = Sn 6 1 1] li) 2 as + 21 —1 0 0 0/7 \X 1 —X = X = —1 s X2=1 Xa=1+% On prend un x; quelconque, x3 = 0 par exemple On pose b = (—1,1,0,1) 3. Première méthode En regardant la matrice, il est clair que u(e3) = —e3, donc c = e; convient Deuxième méthode On cherche les vecteurs x = (x1, X2, X3, X4) tels que u(x) = —x HE —X1 % = 0 u(x)=-xe Lau x +2 = x, PJ EX X2 = Xa =0 x = —%4 X4 = 2X x = (0,0,x3, 0) = x3(0,0,1,0) = x3e3 56 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 4. ù 7 ù o 0 0 —1] [0 0 —1 det(a, b,c,d) = =-(-1)11 1 0[=]1 1 0 1 0 10 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 En développant par rapport à la première ligne 0 —1 0 0 [0 1 O0 —1|[_ 11 1|_ det(a, b, c,d) = 1 0 1 ol” l =1#0 1 1 0 1 En développant par rapport à la première ligne Par conséquent Best une base de R{. 5. Les coordonnées de u(d) dans la base B sont —1 —1 0 0\/-1 1 0 —1 _[0 0 0 0 0 |_[o|_|[0o| fo : AXE 2 0 1 1]l 0-11)": o | Xe Xa —1 0 0 0/ \-1 1 0 —1 Donc u(d)=c-d 6. On en déduit que 0 1 0 0 _[0 0 0 0 T= 0 0 —1 1 0 0 O0 —1 7. Le rang de À est le même que celui de T, la matrice T a trois colonnes libres, (les seconde, troisième et quatrième) donc son rang est 3, donc le rang de À est 3. 8. Les coordonnées de u(f) dans la base B sont —1 —-1 0 0 2 —1 _fo o o olf-1|\ fo AK = 2 0 1 1]| 1)" | 2 1 0 0 o/\1 2 Donc u(f) = —e; — 2e3 — 2e, Les coordonnées de u?(f) dans la base B sont —1 —1 0 0 —1 1 2y _| 0 0 0 0 0 |_f0 AX=| 2 0 1 1/|-2]"|2 —1 0 0 0 —2 1 Donc u?(f) = e: +2e3+e4 Les coordonnées de u%(f) dans la base B sont —1 —-1 0 0 1 —1 3y — 2 _|0 0 0 0 0 | _|0 A3X, = A(4%X;) = 2 o 111 = A(AX;) = _3 —1 0 0 0 1 —1 Donc u*(f) = —-2e, — 4e; — 2e, ip det(fu(fu (PF) = 2 2 _3l=|-2 -2 -3 1 2 nil 2 1 En développant par rapport à la deuxième ligne, puis en remplaçant la deuxième colonne par elle-même plus la première colonne et la troisième par elle-même moinss la première colonne 57 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2 —1 0 1 X1 0 x: X = (X1,X2,X3,X4) E ker(u) & u(x) = 0m S AX=0S 5 ù ‘ 5 a = ù —3 1 0 —2/ \X 0 2X3 — X2 + X4 = 0 2X1 —X2 +X4 = 0 ur X2 + Xa = 0 Xi +X4 = 0 X1 = —X4 1 = —X4 L X3 = 0 L X3 = 0 -| so —3X1 + X2 — 2x4 = 0 — 3x1 + X2 — 2x4 = 0 3X4 + X2 — 2x4 = 0 X2 = —X4 X1 = —X4 ds X3 = 0 X2 = —X4 À (a X2, X3,X4) = (xas —X a, 0,%4) = x4(—1, —1,0,1) a = (—1,—1,0,1) engendre ker(u). 2. u(0m:) = Omi = A0m+, donc Or € Er Soient x et y deux vecteurs de Æ3, on a u(x) = Àx et f(y) = Ày Par conséquent u(ax + By) = au(x) + Bu(y) = ax + BAy = A(ax + By) Ce qui montre que ax + By € Er E est un sous-espace vectoriel de IR‘. 3. 2 —1 0 1 1 X1 _ _ _ 1 0 0 1 X2 | _|[X X=(X,X2%3%4) EE eu(x)=-xSeAX=-Xe 0 0 1 0 x = x —3 1 0 —2/ \X X4 2X1 — X2 + X4 = —X 3X1 — X2 + x4 = 0 3x = + 2x3 = 0 Xi + X4 = —X2 Xi +X2+Xxa = 0 … = s _ Six +X2+X4 = 0 X3 = —X3 2x3 = 0 2x, = 0 — 3x + X2 — 2X4 = —X4 —3X1 + X2 — Xa = 0 37 3x1 —X2+X4=0 3x1 —X2+X4=0 X2 = X1 el;+l) 4i1+24=0 e Xa = —2X; ei X3 = 0 X3 = 0 X3 = 0 XZ (2 Las Xa) = (21,0, 2%) = x1(1,1,0, —2) b = (1,1,0,—2) engendre E_:. 2 —1 0 1 1 X1 x: x: X = (X,X2,X3,%4) EE Su(x)=xeAX=XS : ù ‘ : x = x —3 1 0 —2/ \X X4 2X3—X2+X4=X X1—X2 + Xa = 0 Xi + X4 = X2 X1—X2 + Xa = 0 n Xi — X2 + Xa = 0 o X3 = X3 L 0=0 PL l-3 +2 — 3x4 = 0 —3X1 + X2 — 2X4 = X4 —3X1 + X2 — 3x4 = 0 Li Xi — X2 + Xa = 0 {5 = —X4 © Li +31) —2x, = 0 x2 = 0 X = (Xi, X2, X3,X4) = (—24,0,X3,X4) = X3(0,0,1,0) + x4(—1,0,0,1) On pose c = (0,0,1,0) et d = (—1,0,0,1), (c, d) engendrent E;, de plus ils ne sont pas proportionnels, donc ils forment une famille libre, c’est une base de E;. 4. Première méthode —1 1 —1 1 det(a, b, c,d) = 0 0 1 —2 En développant par rapport à la troisième colonne oroo 60 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Lif-1 1 —1] Li+l:[0 -1 0 det(a,b,c,d)=L2|-1 1 ol= L |-1 1 o|= [2 7] =_120 L311 2 1 La 1 —2 1 En développant par rapport à la troisième colonne Donc (a, b, c, d) est une base de R. Deuxième méthode —a+B—-8=0 —a+B—-8=0 —ê =0 ô —a+B=0 a=p a=$ a aa + Bb + yc + 6d = Om y=0 s y=0 ses y=0 ses y a—2B+8=0 a—2B+8=0 —B+8=0 B (a, b, c, d) est une famille libre à 4 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 4, c’est une base. 5. D’après les questions précédentes on a u(a) = Op:; u(b) = —-b;u(c) =c etu(d) = d Donc u(a) u(b) u(c) u(d) 0 0 0 o\a Matgr(u) = | 0 -1 0 0 \b 0 0 1 0 Jc 0 0 0 1/4 Allez à : Exercice 53 Correction exercice 54. L C1 C2 C3 Ca Ci C2 C3—-C Ca+QG 1 0 1 —1 1 0 0 0 L12 1 3 det(as,@,a3,c)=|2 1 3 —-1]=12 1 —1 1]=L2/3 1 5 3 1 5 -1 3 1 —2 2 L31-2 0 -3 0 —2 1 1 sc s ans la base LB s —2 3 —-2 —2 2 |_f2 2. Les coordonnées de u(a;) dans la base B sont _2 2 1 2 3 13 0 0 0 1 —2 —2 Donc u(a;) = e1 + 2e: + 3e3 — 2e, = &@ —1 2 —-2 —2 0 0 sc s ans la base Rs —2 3 —-2 -21\[1|_|1 Les coordonnées de u(a;) dans la base B sont 2 2 1 ill 0 O0 0 1 0 0 Donc u(a>) = e2 + e3 = &2 —1 2 —-2 —2 1 1 sc s ans la base Rs —2 3 —-2 —2 3 |_[ 3 Les coordonnées de u(a) dans la base f sont 22 1 s JS 0 O0 0 1 —3 —3 Donc u(az) = e; + 3e, + 5ez — 3e, = a3 61 S0mo© Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé —1 2 —-2 —2 —1 1 —2 3 —-2 —-2 —1 1 Les coordonnées de u(c) dans la base £ sont D 2 1 1 0 0 0 1 0 0 Donc u(c) = e +e:+e3 = —c 1 0 0 O0 _fo 1 0 o D= 0 0 1 O0 0 0 0 —1 3. u(a)=a EF, u(a;) =a€eFetu(a;) =a3 €F, (a:,4,a3) est une base de F donc pour tout x € F,u(x) €eF. Pour tout x € F, v(x) = u(x) € F, et v est linéaire donc v est un endomorphisme de F. u(a;) u(a) us) Mat (asazas)(V) = ( ‘ ) & 0 0 1/ & 4. (@,@2,&3) est une base de F, (c) est une base de Vect(c), et (a, 42,43, c) est une base de R{, donc R#=F @ Vect(c) 5. Par définition de la somme directe, pour tout x € R* il existe un unique f € F et un unique g € Vect(c) tel que x = f + g. u(x) = u(f + 9) = u(f)+u(g) = f - 9 Allez à : Exercice 54 Correction exercice 55. L 10-41 -3 —12 à 7 _3 12 _3 12 _ = (-10- 5 ë ; 712 10 5 7_àl F2 7-5 7 = (—10 — 2)[-—A(7 — 2) — 14] — 5[-3(7 — À) + 24] + 6(—21 — 121) = (—10 — 2)(42 — 72 — 14) — 5(3 + 34) — 126 — 721 = —1042 + 70 + 140 — 4% + 742 + 141 — 15 — 154 — 126 — 72A = -À$-322-32-1=-(1+1)* Si A = —1 alors À — ÀI = À +1 n’est pas inversible. X1 Soit x = (x1,X2,X3) et X = (x) ses coordonnées dans la base canonique. X3 —9 —3 —-12\/X 0 x eh) © X El D à (A DAS 0 © [5 1 7 ](x:)=(0) 6 2 8 X3 0 —9x; — 3x2 — 12x3 = 0 3X1 + X2 + 4X3 = 0 L -| 5Xa + X2 + 7x3 = 0 ef + +76 = 0e PER EE =0 G+2% +8 =0 Untx tar =0 205% +224 7% 5 0 3x1 + X2 + 4x3 = 0 2 = . parerso, 1 2 3 . 3% + x + 4x3 = 0 Lil 2x + 3x =0 M => 3 2 = —-35X3 2 X2 = + X3 ME 7% Donc x = (-Éxsbrax) = (3,12) 62 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Il y a plusieurs méthode possible, la plus basique est de montrer que (a, b, f@)) est une base de RŸ, on passe, c’est trop facile. Deuxième méthode, soit x € E; N N_:, xeE ef =xz f(f@))= ft =xexeN e f?(x) = -x, cela entraine que —x=xe x= 0ms, autrement dit E N N_1 = {0ms} Comme dim(£;) + dim(N_;) = 1+2 = 3 = dim(R), on en déduit que E; @ N_; = R$. Remarque : Sans rien faire de plus on peut en déduire que B” est une base. 4. Il faut d’abord calculer f(a), f(b) et f(f(b)) dans la base (a, b, f(b)) f(a) =acaæraeE. f() = f(b) çà c’est sûr !et f(F(b)) = f2(b) = -b On en déduit la matrice de f dans la base (a, b, f(b)) f@) f@) f@) ( 0 1) 3 0 0 1 o 1 o/ 0) 5.11 faut calculer f2(a), f2(b) et f2(f(b)) dans la base (a, b,f(b)) F?(a) = f(F(a)) = f(a) = a F?() = —b FF) = FO) = f(F°G)) = f(-b) = -fb) Donc la matrice est fF'Q@) F@) FE, ( 0 o) 3 0 -1 0 o o 1/0) Autre méthode la matrice de f? est la matrice de f au carré Allez à : Exercice 56 1 0 O\ /1 0 0 1 0 0 0 0 —1})[0 0 —1}=|[0 —-1 0 0 1 0/ \0 1 0 0 0 —1 Correction exercice 57. 1. On appelle X,, les coordonnées de e; dans la base canonique Les coordonnées de u(e:) dans la base canonique sont 2 2 1 -2\ /0 2 Lo 1 o o\fil_f1 AXe=| 3 0 -2 2 [ol=lo 1 1 1 —1/ \o 1 Les coordonnées de u2(e,) dans la base canonique sont 2 —2 1 —2\ /-2 0 1 0 0 1 —3 0 —2 2 0 1 —1 1 —1/ \-1 Les coordonnées de u%(e,) dans la base canonique sont 2 —2 1 —2\ /-4 —2 0 1 0 0 1 —3 0 —2 2 4 1 —1 1 —1/ \-2 Montrons que (e-,u(e2),u?(e),u*(e;)) est libre 65 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 0 —2 —4 —2 0 2 300 1 1 1 1 |_Jo ae) + Bu(e2) + yu?(e2) + ôu*(ez) = Om © & 0 +p 0 +y 4 +6 o |=lo 0 —1 — 1 0 —28-4y-28=0 f-28-268=0 gi8s0 B+5=0 a+B+y+ô=0 a+B+5=0 ie "= 4y =0 7y=0 —B-2y+8=0 —B+ô=0 po Es a=0 B=0 s y=0 ô=0 (e2, u(ez),u?(e:),u(e,)) est une famille libre à 4 vecteurs dans un espace de dimension 4, c’est une base. Les coordonnées de u‘#(e,) dans la base canonique sont 2 —2 1 —2\ /-2 —8 —4 0 1 0 0 0 1|-f1)-,f1 | fi —3 0 —2 2 0 8 4 0 1 —1 1 —-1 1 —4. —2 0 Donc u“(e,) = —e, + 2u?(e;) u(ez) u?(ez) uŸ(ez) u*(e2) 0 O0 O0 —1 2 1 0 0 o | ue) C= 2 0 1 0 2 | u*(e) 0 O0 1 0 u°(e) 3. On cherche les vecteurs x = (x, X2,X3,x4) tels que u(x) = x 2 2 1 —2\ /% X1 2x4 — 22% + X3 — 2X4 = Xi 0 1 o o ||x X2 X2 = X2 UDEXSAEXS 6 2 2 [le] le] ) 230-2422 1 —1 1 —1/ \X X4 X1 — X2 TX3 — X4 = X4 Li (Xi — 2X2 + X3 — 2x4 = 0 Li Xi — 2X2 + X3 — 2X4 = 0 212] —3x1 — 3x3 +2xX,=0 el;+3L —6X2 — 4x4 = 0 L3UXi —Xx2 + X3 — 2x4 = 0 Lg —L; X2=0 X1 + X3 = 0 X3 = —X -| Xa = 0 -| Xa = 0 X2=0 X2 = 0 x = (x1,0,—x4, 0) = x1(1,0, —1,0) 4. Les coordonnées de u(b) dans la base canonique sont 2 —2 1 —2 1 2 1 1 0 1 0 0 —1 —1 0 —1 ARE 3 0 2 2 0 | |-1 1) 00 JT XtX 1 —1 1 —-1 1 1 0 1 Les coordonnées de u(c) dans la base canonique sont 2 —2 1 —2 1 —1 1 _Lfo 1 0 o o |_fol_ fol_. AXe= —3 0 —2 2 1) 1) 1/7 Xe 1 —1 1 —1 1 Donc u(c) = —c 5. On cherche les vecteurs x = (x, X2,X3,x4) tels que u(x) = c — 66 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 2 —2 1 —2\ /X 1 X1 Do y 0 1 0 0 X | [0 | [x u(x)=c-xSseAX=X-Xe 3 9 2 2 = x 1 —1 1 —1/ \X 1 X4 2X1 —2X2 +X3 — 2x4 = 1x 3x1 — 2X2 + X3 — 2X4 = 1 X2 = —X2 e 2x2 =0 —3X1 — 2x3 + 2X4 = —1 —X3 —3X3 — X3 + 2x4 = —1 X1—X2 + X3 —Xa = 1 —X4 Xi1—X2tX3= 1 patiTiuet x =0 27 _ _ = — L nue) pars te 1 X+x=1 17 3 S—3(1—x3) — xs +2X4 = 16 {2x4 =2—-2x3 Six = 1 —-X3 X1=1-2X% X=1-Xx X1=1—-X%3 Prenons x3 = 0 par exemple, alors d = (1,0,0,1) On peut montrer que la famille 8" est libre et rappeler qu’elle a 4 vecteurs dans un espace de dimension 4 ou alors calculer le déterminant x2 = 0 X2 = 0 x2 = 0 1 1 0 —1 0 1 0 0 det(a, b, c,d) = 1 0 1 1 1 1 1 0 On développe par rapport à la seconde ligne 1 0 —1 det(a,b,c,d)=+(—-1)|-1 -1 1 1 1 0 Puis par rapport à la première ligne —1 1 —1 —-1 det(a, bc, d) = —(f5 Or 1)=-1-0=1#0 Donc B"' est une base. u(a) u(b) u(c) u(d) 1 1 0 0\a 0 1 0 0 |b T= 0 0 —1 1 JC 0 0 0 —1/ d . On pose 0 -2 —4 -2 1 1 1 1 2={6 0 4 o 0 —1 —2 1 La matrice de passage de B à B', on À = QCQ"1 Et 1 1 0 —1 0 —1 0 0 P= —1 0 —1 1 1 1 1 0 La matrice de passage de B à B"',on a À = PTP-1 Donc QCQT1 = PTP1 Ce qui équivaut à C = QIPTP IQ = (PQ) T(P IQ) Ce qui montre que C et T sont semblables. 67 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Et b bb b =——X?2 ——=——(Xx2- = —— — 1) P=-SXIH+DX SSP 2X +1) = (X—1) Le noyau de u est la droite vectorielle engendrée par le polynôme P, = (X — 1)? 4. D’après le théorème du rang dim(ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(R;[X]) Donc dim(/m(u)) = dim(R,[X]) — dim(ker(u)) = 3 —1 =2 u(1) =2 et u(X) = 1 + X sont deux polynômes non proportionnels de l’image de u, ils forment donc une famille libre dans un espace de dimension 2, (2,1 + X) est une base de Im(u). 5. SoitP=ax?+bX+c 0=a a=0 MP) = Be Gus DK +b4 2e ant +4 ce fou hp [au 0 b+2c=c c=—b P=bX-b=b(X-1) P,=Xx-1 6. a—B+y=0 aæ=0 a+B(X-1)+7(X-1)/ =0Sa-p+7y+(8—2y)X+yX? | B—2y=0 -5=0 y=0 y =0 B' est un famille libre à trois vecteurs dans un espace de dimension 3, c’est une base de R,[X] 7. u(1) =2x1,u(P,) = P;etu(P;) = 0, donc u(i) u(P;) u(P:) Allez à : Exercice 60 2 0 O\ 1 D={|0 1 0)" 0 O0 0/ P; Correction exercice 61. 1. Soient P,,P, € R,[X], soient À,,1, € R FO Pi + 2P2) = QiPi + 2P2) — (X = 2)(iP + A2P2) = MPa + A2P2 — (X — 2) Pi + A2P2) = AP; — (X —2)P5) + A2(P2 — (X — 2)P;) = A f(P1) + A2f(P2) Donc f est linéaire. 2. f est un endomorphisme si l’image de IR,[X] par f est IR,[X], autrement dit il faut que l’image d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 soit un polynôme de degré inférieur ou égal à 2. Première méthode f(aX? + bX + c) = aX? + bX + c—(X — 2)(2aX + b) = aX?+bX +c—(2aX? + bX — 4aX — 2b) = —-aX? + 4aX + c — 2b C’est bon, f est un endomorphisme de R,[X] (parce qu’il est clair que f est linéaire d’après la première question). Deuxième méthode d’P<2=d°P'<1 Donc d(X-2)P <1+1=2 Par conséquent d°f(P) <2 Troisième méthode Comme f(aX? + bX + c) = af(X2) + bf(X) + cf(L), il suffit de vérifier que d°f(X2) < 2, df(X) < 2 et que d°f(1) < 2, ce qui est le cas car FX) =X2-(X—2)x2X = -X2+4X; 70 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé fH=X-(X-2)x1=2; fH)=1-(X-2)xX0=1 —a =0 Peker(f)e f(P)=0æ-aX?+4aX+c-2b=0æ!) 4a=0 se{t= c-2b=0 °=2b P=bX+2b=b(X +2) Les polynômes de ker(f) sont proportionnels au polynômes X + 2, il s’agit d’une droite vectorielle dont une base est le polynôme X + 2. D’après le théorème du rang dim(ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(R[X]) & 1 + dim(/m(f)) =3 & dim(Im(f)) = 2 FO?) = -X2+4X; f(X) = 2 Ces deux polynômes ne sont pas proportionnels, ils forment une famille libre de Im(f) qui est de dimension 2, c’est une base de Im(f). Remarque : f(1) = 1 est proportionnel au vecteur (polynôme) f(X) = 2. 4. FC?) = 4x XX: f(x) = 2% f()=1 Par conséquent fQ) f@) FG?) A = Mat p=fi 2 0, = Mat(ixx2)0) = ( 0 1) X X2 0 0 —1 5. axX1+B(X-2)+y(X-2)?=0e a + BX—2B +yX?—4yX + 4y = 0 y=0 y =0 nantes 0e| B—4y=0 == a—28 +4y =0 a=0 B' est une famille libre à trois vecteurs dans un espace de dimension 3, c’est une base. 6. 1 X-—2 (X-—2)? pafi 2 4 — X ( 1 ) 2 0 0 1/X 1 -2 4\/ü Ji Xi — 2X2 + 43 = Yi Xi = 2X2 — 4x3 + Yi meer e(o 1 “)(e)=(:)-| X2 7 A3 = V2 -| X2 = 4x3 + V2 0 0 1 X3 Y3 X3 = V3 X3 = V3 %1 = 22 + 4y3) — 4y3 + ya Xi = V1 + 272 + 4y3 X1 -| X2 = V2 + 4y3 -| X2 = V2 + 4y3 =() X3 = V3 X3 = V3 X3 1 2 4/1 ={o 1 1)0) 0 0 1/ \ys 1 2 4 p=(i 1 1) 0 0 1 Remarque : On rappelle que P-1 est la matrice de passage de B' à B, cela signifie que 1=1 X=2X1+1X(X-—2) X?=4X1+4X(X-2)+1X(X—2)2 71 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé f@)=1 fX-2)=X-2-(X-2)X1=0 F(X-2))=(K-2)-(X—-2)x2(X —2) = -(X —-2) Donc FQ) f(X-2) f((X—2)) 1 D ST 0 0 1) &-2 Deuxième méthode On calcule 1 2 4\/1 2 O0 1 —-2 4 1 2 4\/1 0 —4 D=P"14P=|0 1 4][0 0 4 0 1 —4]=10 1 4})[0 O0 4 0 O0 1/\0 O0 —1/\0 O0 1 0 0 1/\0 0 —1 1 0 O0 =[0 0 0 0 0 —1 On trouve bien sûr le même résultat (cela fait partie du cours). Allez à : Exercice 61 Correction exercice 62. 1. Soient P, et P, deux polynômes de R,[X] et soient 1; et 4, deux réels. UP + 22P>) = 2X(P, + 22) = X2(AP; + d2Po) = 2X (AP: + A2P>) — X2(AP! + A2P3) = À,(2XP, — X2P!) + A,(2XP> — X2P5) = Asu(P;) + Au(P:) Donc u est linéaire. Soit P = aX?+bX+cER[X], P' = 2aX +b u(P) = 2X(aX? + bX + c) — X2(2aX + b) = 2aX° + 2bX? + 2cX — 2aX° — bX? = bX? +2cX € R2[X] Donc u est un endomorphisme de IR,[X]. 2. u(1) = 2X, u(X) = 2X2 — X2 = X2 et u(X?) = 2X% — 2X5 = 0 Par conséquent ui) u(X) u(x?) 0 0 0 1 A= G 0 ) X 0 1 0/ x? 3. Soit P = aX? +bX +c eker(u), u(P) =bX?+2X=0S8b=c=0 Donc P = aX?, une base de ker(u) est X? et dim(ker(u)) = 1. Im(u) = Vect(u(1),u(X),u(X2)) = Vect(2X,X2,0) = Vect(2X,X?) = Vect(X,X?) (X, X?) est une sous-famille d’une famille libre, c’est une famille libre et génératrice de m(u) c’est une base de Im(u) et dim(Im(u)) = 2 Allez à : Exercice 62 Correction exercice 63. L UP; + 2P2) = A3P1 + 2P5 + (1 = X)(aPi + A2P2) + 2(4:3P + A2P2)" = AP; + 22P5 + (1 —X)(aPi + 22P5) + 2(P; + 2P5) = AP + (1—X)P; + 2P;) + 2(P2 + (1 — X)P5 + 2P51) = Aiu(P;) + Azu(P2) u est une application linéaire. 72 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Correction exercice 66. 1. Soient P,,P, € R;[X], A, ER 9 Pi + A2P2) = (GP + 2P2)(), Pi + 22P>)(-D) = (4P:(-1) + 2P:(-10),4P:(1) + 2P(D) = A(Pi(-1),P10)) + A2(P2(-1),P,(D)) = À19(P;) + A29(P2) Donc h est linéaire. 2. Soit P € ker(g). (P(—-1),P(1)) = (0,0) & Po Un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 qui s’annule en —1 et en 1 est de la forme P = (aX + b)(X + 1)(X — 1) = aX(X2— 1) + b(X2—1) (X(X2 — 1),X2 — 1) forme une famille libre (car les polynômes ne sont pas proportionnels) qui engendre ker(g), c’est une base de ker(g). Une base RŸ est (1,X,X2,X%) 90) = (D;g@) = (-1:9g(@X?) = (1);:9(X°) = (11) L'image de g est engendré par (1,1) et (—1,1) (ces vecteurs ne sont pas proportionnels) ils forment donc une famille libre, bref c’est une base de Jm(g), comme 1m(g) € IR? et qu'ils ont la même dimension, on en déduit que 1m(g) = R°. 3. La linéarité de h est évidente (voir 1°)). Soit P = aX + b € R,[X] un vecteur de ker(h), fon =0 {a +b=0 P(1)= 0 a+b=0 Le noyau de h est réduit au vecteur nul, de plus d’après le théorème du rang dim(ker(h)) + dim(Jm(h)) = dim(R,[X]) & dim(Im(h)) = 2 Donc Jm(h) = R;[X], autrement dit À est surjective, finalement h est bijective. Allez à : Exercice 66 Correction exercice 67. 1. a et b ne sont pas proportionnelles donc (a, b) est libre, de plus (a, b) est une famille génératrice de H donc c’est une base de H, d’où dim(H) = 2. 2. Soit 68 l'application nulle, 6r(In(2)) = 0 donc 0m € F Soient f, € F et f> € F, donc f,(In(2)) = 0 et f,(In(2)) = 0 et soient À,, À, deux réels fi +2f2)(n(2)) = 4f(n(2)) + 2f2(n(2)) = À x 0 + A2 X 0 = 0 Donc fi, + Af € F, F est un sous-espace-vectoriel de H. 3. On rappelle que sa=b=0 1 en@+e-MQ 242 5 hnQ) = —>—— = — = 1 em) _ em) 2-5 3 Sh(n(2)) = ——— = — = 75 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé feH AueR, f = Aa+yub uERVvxER f(x) = 2Aa(x) +ub(x) LES eat = 0 © LC) = 0 fAn(2)) = 0 Au ER VxeR f(x) = a(x) +ub(x) { Aa(In(2)) + mb(In(2)) = 0 IAUER,VxEeR f(x) = 2Aa(x) + b(x) se 5 3 Aj+47=0 IAUER,VxEeR f(x) = Aa(x) + ub(x) s 3 | Ash 3 3 S ER VxER, f(x) = —gua(x) + ub(x) & 344 E R,f = u(Ea + b) F est un espace de dimension 1 dont une base est ia + b. 4. a) Soient f, € H et f, € H et soient 1,, À deux réels. Eh + fr) = (if + 2f2)C (2), if + 2f2)(n(2)) = (Ah) +2f(-h02),4f(-M(2) +2f(-1M(2) = Ah), f(n(2) +L((-n(2),f(n(2) = e() + 29 (2) Donc @ est une application linéaire. b) Soit f e ker(p), 11H ER VxeR f(x) = Aa(x) + ub(x) : L : f(—In(2) = 0 9(P) = (0.0) & (FC-In(2),FAn(2)) = (0.0) & À FQn(2) 20 22 3 face» +nb(—in(2)) = 0 737447 0 5 fe =0 Aa(In(2)) + mb(In(2)) = 0 5 3 u=0 À; + HZ =0 Donc f = 6m, le noyau de @ est réduit au vecteur nul donc o est injective, d’après le théorème du rang dim(ker(g)) + dim(/m(o) = dim(H) & dim(Im(æ) = 2 Ce qui montre que @ est surjective, finalement @ est surjective donc bijective. Allez à : Exercice 67 Correction exercice 68. 1. Soient À € A, (R) et B € A, (IR) et soient À et deux réels. La matrice nulle O vérifie (O0 = —0 (24 + uB) = A'A + utB = A(—A) + u(—B) = —-(24 +uB) Donc A, (R) est un sous-espace vectoriel de M, (IR). Soient À € S,(Rj}et B € S, (IR)et soient À et 4 deux réels. La matrice nulle O vérifie 0 = O (24 + uB) = ‘A + utB = 24 +uB = A +uB Donc $, (IR) est un sous-espace vectoriel de M, (R). 2. (ES) = 2 (CA + ((C4)) = E(CA + 4) donc 2 /7 2 A+tA + € S,(R) (£) = (CA — 4(E4)) = 2 (CA — 4) = —2(4 — 14) donc LT € A, (R) 3. Pour toute matrice À : 1 1 A =;4 + ‘A) +;U4 — tA) Donc A,(R) + S,(R) = M,(R). 76 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 4. Soit À € A, (R) NS, (R). ‘A = —A et ‘A = À donc 4 = —A d’où A = 0. An (R) N S(R) = {0} et AA (R) + SA (R) = MA (R) entraine que 4; (IR) D SA(R) = MA(R). ssjasni((t D+0 D) e RIu nm æ nNIu CNE 1 1 PETER D)- C1 À est la somme de À, € S, (MR) et de 4, € An(R). Allez à : Exercice 68 Correction exercice 69. 1. dim(M(R))=2x2=4 2. Soit A = ( ” € ker(d) d4)=0SA-A=0& ($ dr = NÉTEC az = o)+8G o)+4G 1) La famille de matrices (G DC CG ) engendre ker(®) et QG +8G +76 D=G de y=G der=8=r=0 Montre que cette famille est libre, elle forme donc une base de ker() et dim(ker(®)) = 3 . a c 3. Sot4=(S 5) = a)-( JG? 5 )=6-0(0 7) Par conséquent l’image de @ est la droite engendrée par la matrice J = (° mi) Donc 1 0 Im(@) étant une droite, toute matrice de cette image est proportionnelle à J. Allez à : Exercice 69 Correction exercice 70. 1. 1 1 1 1 0 0 1 0 0 a b c |=| a b-a c—-a|=(b-a)(c-a)| a 1 1[=0 b+c a+c a+b b+c a—-b a-—-c b+c —1 -—1 2. a) Li la ls ll ll 1 0 0 1 1 1[-|1 0 0 [=G-pad-blp 1 1 b c d b c—-b d—b p2 b d+b 2 c? del lb? c2-b db? c+b a+ = (c-b}(d-b)(d—c) b) 77 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé 1 f(x?) = (2 HXHXDX (EX EX EX) X2X +5 (1 +X+X24+X8+X1) x2 = 2X2+XS+XT-2X —A4X2—2XS$ —2XT 1 +X+X24+XS EXT = 1 — X — X? Fa + BX + yX?) = af(1) + BF(X) + r FC?) € R.IX] Car f(1) € R:[X]. F(X) € R.[X] et f(X2) € R,[X] FO) FD FU), g=fè 1 1 ( 0 =) x 1, 0 1% 1 3. Les coordonnées de P, = 1 + X + X? dans la base B sont (1) 1 1 Les coordonnées de P, = 1 + X dans la base B sont fi) 0 2 Les coordonnées de P, = 2 + X + X2? dans la base B sont (1) 1 1 12 111 1 0 1 En développement par rapport à la troisième ligne. Donc (P5, P:, P2) est une base de R[X]. det(P, Pa, Pr) = =| ‘+ 11=-1#0 4. 2 1 —1\/1 0 Les coordonnées de f(P,) dans la base B sont ( 0 =) (1) = (o) 1, 0 —1/\ 0 Donc f(P5) = 0 2 —1 —1\ /1 1 Les coordonnées de f(P,) dans la base B sont ( 0 =) (1) = (1) 1, 0 —1/\0 1 Donc f(P)=1+X+X2=P 2 1 —1\/2 2 Les coordonnées de f(P,) dans la base B sont ( 0 =) fi) = fi) 1, 0 —1/\ 1 Donc f(P)=2+X+X2=P, Donc fo) f(P) f(P2) pm [0 1 NN À : ( 0 ) PT 0 0 17 Pz 5. T'=Q'"!BQ" Troisième partie QBQ'=Q"AQ &00"BQQ "= AS (Q'Q") B(Q'Q"*) = A Donc À et B sont semblables. Allez à : Exercice 72 Correction exercice 73. 1. Six € ker(v) alors v(x) = 0, alors v(v(x)) = v(0;) = 0; donc x € ker(v?), cela montre que ker(v) € ker(w?), de même si x € ker(v?) alors v2(x) = 0;, alors v(v2(x)) = v(0%) = 04 donc x € ker(v), cela montre que ker(v?) € ker(v) et ainsi de suite. 80 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Xi 2. Soit x = (X1,X2,X3,X4) et X = a ses coordonnées dans la base canonique. X4, 0 1 0 1 1 0 x E ker(u+idm) & (4+0)X*=08e T ‘ : 5 a = ù 0 0 0 2 X4 0 X2 +x4 = 0 X2 = 0 x =x —X1 +2Xx3 +3x4 = 0 tx 0, =0 L X2 —X4=0 X2 = 0 Er 2x4 = 0 x = 0 ‘ x = (x,0,x1,0) = x:(1,0,1,0) 0 1 0 1 0 1 0 1 —1 0 1 5 2_[—1 0 1 3 |f-1 0 1 3 |_[ O0 O0 O0 4 AH = 6 1 0 1] 0 1 0 -1] 71 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 4 —1 0 1 5\/x 0 x: x € ker((u + idm)?) & (A+DX=06 n ù ‘ î x |= ù 0 0 0 4/ \X 0 —X1 + X3 + 5x4 = 0 4x4 = 0 (Ra u+xtuz=0 © Xa = 0 4x4 = 0 x = (1,2%, X4, 0) = x1(1,0,1,0) + x2(0,1,0,0) ((1,0,1,0), (0,1,0,0)) est une famille de vecteurs non proportionnels (donc libre) qui engendrent ker((u + idm+)?), il s’agit d’une base de ker((u + idm:)?). 0 1 0 1 —1 0 1 5 0 0 0 0 3_|[-1 0 1 3 0 0 0 4\_fo o o o U+D°= 0 1 0 —-1}|-1 0 1 1} |0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 O0 4 0 0 0 8 0 0 0 O\/x 0 3 3v — 0 0 o olfx2\ fo x € ker((u +idm)) & (A+IŸX=0S 0o o o ollxl=lo & x4 = 0 0 0 0 8/ \X 0 X 2 (Gi %2:%3, 0) = x3(1,0,0,0) + x2(0,1,0,0) + x3(0,0,0,1) = X161 + X282 + X3e3 (61, 82,63) est une famille (évidement libre) qui engendre ker((u + idms)*), c’est une base de ker((u + idms)°). 0 1 0 1\/0 0 0 0 4_{ 01 3 fo _fo o 0 o += 6 3 0 —1)l0 ={0o o 0 o o o o 2/\o 0 0 e x Eker((u +idm)t) & (A+DX=0e SSSS6oce SSS0C6oce SSSSCHmece 0 0 0 0 16 0 X1 0 X2 0 NE) 16/ \X4 0 ker((u + idms)?) = ker((u + idmi)*) p=3 a) a =(1,0,1,0)et X, = Sronr 81 Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé X1 x: b) On pose b = (X1,x2,X3, X4) et et Xy = a ses coordonnées dans la base canonique X4 0 1 0 1 X1 1 = è _ 1 0 1 3 |fxX\_[o a= (u +idm)(b) & (A+DX, = Xe o 1 0 1/1": 0 0 0 2 X4 0 X2+Xxa=l X2=1 = —X1 + X3 + 3x4 = 0 1+%3=0 Ni X2—Xa= 1 =1 x = 0 2x4 = 0 =0 4 On prend, par exemple x3 = 0, b = (0,1,0,0). (u + idm:)2(b) = (u + idm+) ° (u + idm)(b) = (u + idm)(@) = Omt Donc b € ker((u + idm)?) D'autre part, a et b ne sont pas proportionnels ils forment une famille libre d’un espace de dimension 2, c’est une base de ker((u + idm:)?). Xi c) On pose € = (x, X2,X3, X4) et Xe = x ses coordonnées dans la base canonique X4, 0 1 0 1 1 0 _ . _ —1 0 1 3 X2 | _|1 b=(u+idm})(c) s (A+DX=X,e o 1 0 1x "lo 0 0 0 2 X4 0 X2 + Xa = 0 X2=0 Xi + X3 + 3X4 = 1 Xi +X3 = 1 x =% +1 es &) x2=0 X2 —Xa = 0 X2 = x 0 2x4 = 0 X4 = 0 47 On prend, par exemple x; = 0, c = (0,0,1,0) X3 = X x Eker((u +idm)?) & {re =0 X3=X Les composantes de c ne vérifient pas {re = 0 donc c € Ker((u + idm:)?), de plus (a, b) est une famille libre de ker((u + idm:)2) par conséquent (a, b, c) est une famille libre, elle a trois vecteurs dans un espace vectoriel de dimension trois, c’est une base de ker((u + idm+)?). d)a= (u +idm:)(b) & a = u(b)+b = u(b)=a-b b=(u+idm)(c) & b=u(c)+ceu(c)=b-c 4. les coordonnées de d dans la base canonique sont —1 1 0 1 —1 —-1 1 3 0 1 —1 -1 0 0 0 1 Éorrh l Éorrh Donc u(d) = d 5. x € ker((u + idm)°) & x4 = 0 Les composantes de d ne vérifient pas x, = 0 et (a, b,c) est une famille libre de ker((u + idm:)*) donc (a, b, c,d) est une famille libre, elle a quatre vecteurs donc c’est une base de IR‘. 6. u(a) “o “on u(d) 1 o\ 4 T= {0 à ï o\? 0 0 -1 1})° 0 o o 1/4 82