Brevet Blanc, Schémas de Mathématiques

Télécharge Brevet Blanc et plus Schémas au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Brevet Blanc n°1 – Épreuve de mathématiques Collège Victor Hugo – Puiseaux Année Scolaire 2014-2015 Brevet Blanc Première Session Épreuve de Mathématiques Durée : 2 heures Matériel autorisé : calculatrice, matériel de géométrie Page 1 sur 7 Brevet Blanc n°1 – Épreuve de mathématiques Exercice 1 : Un pâtissier a préparé 840 financiers et 1 176 macarons. Il souhaite faire des lots, tous identiques, en mélangeant financiers et macarons. Il veut utiliser tous les financiers et tous les macarons. 1. Sans faire de calcul, expliquer pourquoi les nombres 840 et 1 176 ne sont pas premiers entre eux. Les nombres 840 et 1 176 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous les deux pairs. 2. Le pâtissier peut-il faire 21 lots ? Si oui, calculer le nombre de financiers et le nombre de macarons dans chaque lot. 840 ÷ 21 = 40 et 1176 ÷ 21 = 56. Le pâtissier peut faire 21 lots contenant chacun 40 financiers et 56 macarons. 3. Quel est le nombre maximum de lots qu’il peut faire ? Quelle sera alors la composition de chacun des lots ? Le pâtissier souhaite faire des lots tous identiques en utilisant tous les financiers et tous les macarons. Le nombre de lots doit donc être un diviseur commun du nombre de financiers et du nombre de macarons. Pour avoir un maximum de lots, on doit calculer le Plus Grand Diviseur Commun du nombre de financiers et du nombre de macarons. Calculons le PGCD de 840 et 1 176 par l'algorithme d'Euclide : a b r 1176 840 336 840 336 168 336 168 0 Exercice 2 : Cédric s’entraîne pour l’épreuve de vélo d’un triathlon. La courbe ci-dessous représente la distance en kilomètres en fonction du temps écoulé en minutes. Page 2 sur 7 Le PGCD est le dernier reste non nul donc PGCD(840 ; 1 176) = 168. Il peut donc faire au maximum 168 lots contenant chacun 840 ÷ 168 = 5 financiers et 1 176 ÷ 168 = 7 macarons. Brevet Blanc n°1 – Épreuve de mathématiques 2. Calculer la longueur LM correspondant à la zone éclairée par les deux sources de lumière. On arrondira la réponse au décimètre. Dans le triangle MFC rectangle en C, on a : tan M̂FC= MC CF soit tan 33 °= MC 5 donc MC=5×tan 33 ° On en déduit : LM =PL+MC−PC=4 tan 40°+5 tan 33°−5,5≈1,1 L'arrondi au décimètre de la longueur LM est 1,1 m. 3. On effectue des réglages du spot situé en F afin que M et L soient confondus. Déterminer la mesure de l’angle M̂FC . On arrondira la réponse au degré. M et L doivent être confondus donc MC=PC −PL≈5,5−3,4=2,1 m. On a donc : tan M̂FC= MC CF ≈ 2,1 5 donc M̂FC≈arctan(2,1 5 )≈23 L'arrondi au degré de l'angle M̂FC est 23°. Exercice 5 : Dans cet exercice, on considère le rectangle ABCD ci-contre tel que son périmètre soit égal à 31 cm. 1. a. Si un tel rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur ? Le périmètre P du rectangle ABCD de longueur AB et de largeur BC est donné par la formule : P = 2 × AB + 2 × BC soit 31 = 2 × 10 + 2 × BC donc 31 = 20 + 2 × BC donc 31 – 20 = 2 × BC donc 11 = 2 × BC donc BC= 11 ÷ 2 = 5,5 La largeur du rectangle ABCD de longueur 10 cm et de périmètre 31 cm est 5,5 cm. b. On appelle x la longueur AB. En utilisant le fait que le périmètre de ABCD est de 31 cm, exprimer la longueur BC en fonction de x. On reprend la formule de la question a. P = 2 × AB + 2 × BC soit 31 = 2x + 2 × BC donc 2 × BC = 31 – 2x En divisant par deux, on obtient : BC = 15,5 – x Page 5 sur 7 Brevet Blanc n°1 – Épreuve de mathématiques c. En déduire l’aire du rectangle ABCD en fonction de x. L'aire du rectangle ABCD est AB × BC = x(15,5 – x) 2. On considère la fonction f définie par f (x) = x(15,5−x). a. Calculer f (4). f(4) = 4 × (15,5 – 4) = 4 × 11,5 = 46 b. Vérifiez qu’un antécédent de 52,5 est 5. f(5) = 5 × (15,5 – 5) = 5 × 10,5 = 52,5 Sur le graphique ci-dessous, on a représenté l’aire du rectangle ABCD en fonction de la valeur de x. À l’aide de ce graphique, répondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approchées : a. Quelle est l’aire du rectangle ABCD lorsque x vaut 3 cm ? L’aire du rectangle ABCD lorsque x vaut 3 cm est de 37,5 cm². b. Pour quelles valeurs de x obtient-on une aire égale à 40 cm² ? On obtient une aire égale à 40 cm² pour x ≈ 3,3 et x ≈ 12,2. c. Quelle est l’aire maximale de ce rectangle ? Pour quelle valeur de x est-elle obtenue ? L'aire maximale de ce rectangle est d'environ 60 cm² ; elle est obtenue pour x ≈ 7,75. 3. Que peut-on dire du rectangle ABCD lorsque AB vaut 7,75 cm ? Lorsque AB = 7,75 cm, BC = 15,5 – 7,75 = 7,75 cm donc le rectangle ABCD est un carré. Page 6 sur 7 Brevet Blanc n°1 – Épreuve de mathématiques Exercice 6 : En se retournant lors d’une marche arrière, le conducteur d’une camionnette voit le sol à 6 mètres derrière son camion. Sur le schéma, le triangle grisé correspond à ce que le conducteur ne voit pas lorsqu’il regarde en arrière. Données : AB = 1,50 m et BC = 6 m Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 m derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir ? Expliquer. La fillette est positionnée verticalement au niveau du segment [DE] à 1,40 m de [AB]. Les droites (BE) et (AD) sont sécantes en C Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : EC BC = DC AC = DE AB soit 4,6 6 = DC AC = DE 1,5 donc DE= 1,5×4,6 6 =1,15 La fillette mesurant seulement 1,10 m, elle se situe à l'intérieur du triangle grisé donc le conducteur ne pourra pas la voir. Page 7 sur 7 D E