calcul de la capacité portante des murs en maçonnerie de petits éléments sous charges verticales, Thèse de Mécanique

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Calcul de la capacité portante des murs en maçonnerie de petits éléments sous charges verticales. Mécanique des structures [physics.class-ph]. Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, 1995. Français. ￿pastel-00569146￿ hlS/8UV»Cw) A/S /? 4 ?<V r«) HPTTT7 O T ? présentée à i'ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES par Mourad LATEB pour obtenir le titre de : DOCTEUR DE L'ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES spécialité : Sciences et Techniques du Bâtiment % Sujet de la thèse : CALCUL DE LA CAPACITE PORTANTE DES MURS EN MAÇONNERIE DE PETITS ELEMENTS SOUS CHARGES VERTICALES Soutenue le 28 mars 1995 MM, P. DE BUHAN F. BUYLE - BODIN M. COUSIN J.M. REYNOUARD R. COLAS J.-D. MERLET P. DELMOTTE devant le jury composé de : Président Rapporteur Rapporteur Directeur de thèse Examinateur Examinateur Examinateur ae E.N.P.C. INV01244 TABLE DES MATIERES INTRODUCTION GENERALE............................................................................... 1 CHAPITRE 1 : ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE 4 1-1 Généralités .......4 1-2 Résistance de la maçonnerie 7 1-2.1 Facteurs influants sur la résistance de la maçonnerie 7 1-2.1.1 Mode d'essai en compression 7 1-2.1.2 Effet de la mise en oeuvre 8 1-2.1.2.1 Effet de la succion..... 9 1-2.1.2.2 Qualité d'exécution des joints 9 1-2.2 Présentation des études effectuées sur les maçonneries 10 1-2.2.1 Modèle de PAGE ....10 1-2.2.2 Modèle de SHAAN....... 14 1-2.2.3 Modèle de HENDRY......... 16 1-2.2.4 Modèle de HISLDORF..... 19 1-2.2.5 Formule de l'EUROCODE 6 (EC6) 22 1-2.3 Analyse critique........... ...22 1-3 Etude des facteurs structurels 23 1-3.1 Les méthodes théoriques...... 25 1-3.1.1 Méthode d'ANGERVO (maçonnerie)......... ..........27 1-3.1.2 Méthode de FAESSEL (béton armé) 29 1-3.1.3 Méthode de KUKULSKI (béton),............... ......31 1-3.1.4 Méthode de POUSHANCHI (maçonnerie) 36 1-3.2 Les méthodes simplifiées 38 1-3.2.1 Règlement Français (D.T.U 20.1). 38 1-3.2.2 Règlement Européen (EC6) 39 1-3.3 Analyse critique ...........41 CHAPITRE 2 : ETUDE EXPERIMENTALE 43 2-1 Introduction ............................................................................................43 2-2 Choix et définition des matériaux...... ..................44 2-2.1 Les blocs................. ............................................................44 2-2.2 Les mortiers........................................................... 45 2-3 Préparation des assemblages et des trumeaux.. ....................45 2-4 Dispositif d'acquisition et de traitement des données .......46 2-5 Essais d'identification (blocs et assemblages) Al 2-5.1 Essai de compression centrée sur blocs... ............48 2-5.2 Résultats des essais de compression sur blocs ....48 2-5.2.1 Résistance à la compression .....49 2-5.2.2 Courbes contraintes et déformations (a-s).......... 49 2-5.3 Essai de traction par fendage sur blocs 51 2-5.4 Essai de compression sur assemblages 52 2-5.4.1 Dispositif de mesure des déformations 54 2-5.5 Résultats des essais sur assemblages 55 2-5.5.1 Résistance à la compression: 55 2-5.5.2 Courbes (a-s).... 57 2-5.6 Détermination des caractéristiques mécaniques réelles du mortier 59 2-5.6.1 La méthode indirecte 59 2-5.6.2 La méthode directe. 61 2-5.6.3 Comparaison des résultats des deux méthodes......... 64 2-6 Essai excentré sur assemblages: mise au point d'un dispositif expérimental ....65 2-6.1 Description du dispositif expérimental...... .....................66 2-6.2 Dispositif de mesure des charges ....68 2-6.3 Dispositif de mesure de la courbure........... ......70 2-6.4 Précision des mesures de l'excentricité et de la courbure........ 70 2-6.5 Procédure de mise en charge 72 2-6.6 Avantages de ce type d'essai............ ..............73 2-6.7 Résultats des essais excentrés sur assemblages.................... 74 2-6.7.1 Courbes effort-excentricité-courbure ...74 2-6.7.2 Mode de rupture .........................................................78 2-6.8 Fonctionnement et améliorations possibles du dispositif expérimental..................... 80 2-7 Essai de compression sur trumeaux.... .........80 2-7.1 Dispositif de mesure des déformations .....81 2-7.2 Proposition d'une méthode d'évaluation de l'excentricité initiale .83 2-7.3 Résultats des essais sur trumeaux ...84 2-7.3.1 Résistance à la compression 84 2-7.3.2 Courbes de comportement (a-s) 86 2-7.3,3 Déformées des trumeaux...................... 87 2.7.3.4- Mode de rupture des trumeaux..... 88 2-8 Conclusions .................90 CHAPITRE 3 PROPOSITION D'UNE METHODE DE CALCUL DE LA CAPACITE PORTANTE DES MURS ELANCES 92 3-1 introduction 92 3-2 Approche théorique de la stabilité: Définition du critère de rupture par instabilité géométrique 93 3-3 Proposition d'un critère de rupture par fendage de la maçonnerie 99 3-3.1 Hypothèses..... 99 3-3.2 Principe du modèle.... 99 3-3.2.1 Cas des charges centrées 101 3-3.2.2 cas des charges excentrées 106 3-4 Méthode de calcul de la capacité portante des maçonneries proposée 108 3-4.1 Introduction............ 108 3-4.2 Hypothèses de calcul,. 108 3-4.3 Calcul des lois excentricité-courbure-effort normal........ 109 3-4.3.1 Principe de base... 109 3-4.3.2 Organigramme de la méthode...... 111 1 3-4.3.3 Courbes e ( - ,N ) 113 "r 3-4.4 Détermination de la déformée... 114 3-4.4.1 Principe de base 114 3-4.4.2 Mise en équation 115 3-4.4.3 Résolution 117 3-4.5 Détermination de la charge de ruine Nmax 121 3-4.5.1 Organigramme.. 121 3-4.5.2 Résultats..... 123 3-4.6 Programme 124 3-5 Conclusions 125 a Longueur des blocs utilisés c Hauteur des blocs h Epaisseur de la section hu Epaisseur utile de la section e v Epaisseur du joint de mortier vertical eh Epaisseur du joint de mortier horizontal Ma Moment appl iqué Mr Moment résistant N Effort normal e Excentricité / Moment d'inertie de la section L Longueur de l'élément porteur (p Coefficient d'affaiblissement À Elancement géométr ique de l'élément 1 - Courbure de l'élément fléchi r y'«» Rotation initiale de l'élément ALM Déplacement total de l'assemblage, ALb Déplacement de la brique, ALm Déplacement du joint, LM Base de mesure de l'assemblage, Lb Longueur des blocs incluse dans la base de mesure de l'assemblage, Lm Epaisseur du joint. ] INTRODUCTION GENERALE Dés l'Antiquité la maçonnerie fut largement utilisée comme un matériau de construction pour sa solidité, ses qualités esthétiques et sa souplesse d'emploi. Ses capacités mécaniques, particulièrement en compression, ont été exploitées en grande partie à partir de l'expérience [1]. Beaucoup plus récentes, les techniques de construction en acier et en béton armé ont pourtant bénéficié dés leur apparition de règles détaillées de conception et de dimensionnement qui ont largement avantagé l'utilisation de ces techniques par rapport à la maçonnerie dont les règles de calcul sont très simplifiées, empiriques et rarement homogènes d'un pays à l'autre. On peut expliquer ce retard par la très grande diversité des produits existants ( blocs pleins, creux, perforés, etc.) et souvent différents d'un pays à l'autre. La maçonnerie en général a un comportement mécanique très complexe, dû essentiellement à son hétérogénéité. Son comportement est fonction des caractéristiques mécaniques des matériaux constitutifs ainsi que de l'interaction entre ses différents constituants. Une difficulté supplémentaire réside dans la grande diversité de structure interne des produits, ce qui induit autant de comportements mécaniques particuliers qu'il est nécessaire d'examiner cas par cas. De plus, le comportement mécanique de la maçonnerie est très influencé par ¡a nature de la sollicitation appliquée et par les conditions de mise en oeuvre. Les procédés de fabrication, les conditions da séchage et de cuisson et la composition granulométrique des matériaux constitutifs jouent un rôle prépondérant et engendrent un comportement aléatoire des éléments qui rend la modélisation et l'expérimentation délicates. 2 Le domaine d'utilisation des maçonneries, qui était jusqu'à ces toutes dernières années par excellence celui de la maison individuelle ( plus de 90% d'entre elles sont réalisées en maçonnerie de petits éléments ) [2], est appelé à s'élargir à celui des petits collectifs qui sont réalisés la plupart du temps en béton banché. Mais cette évolution n'est possible que si l'on peut mettre à la disposition des projeteurs de véritables règles de dimensionnement des éléments en maçonnerie. Or, ces règles sont à l'heure actuelle incomplètes (règles dites simplifiées), voire inexistantes dans certains cas. Le C.S.T.B. depuis longtemps est intervenu dans ce domaine. Un effort important est engagé et notamment sur le plan expérimental. Notre recherche entre dans ce cadre de travail, en mettant l'accent sur l'aspect modélisation. Cette modélisation servira ultérieurement à l'élaboration de règles de calculs plus rationnelles. Afin de pouvoir prendre en compte tous les paramètres qui entrent en jeu et pour se rapprocher le plus possible des phénomènes réels, nous avons retenu comme objectif l'élaboration d'un modèle de calcul de la capacité portante des structures élancées en maçonnerie. Ce modèle devra être capable de prendre en compte outre l'influence des joints de mortier horizontaux et verticaux qui présentent des singularités locales propres, la ruine par instabilité géométrique due en particulier à l'élancement. Dans le premier chapitre, nous présentons une étude bibliographique critique des principales méthodes existantes sur l'étude du comportement des éléments élancés sous chargement centré et excentré et les différentes approches proposées pour la caractérisation de la maçonnerie et principalement la maçonnerie de petits éléments. Le deuxième chapitre est consacré à ia campagne d'essais réalisées. Les essais effectués dans cette étude sont classés en trois catégories: les essais d'identification des caractéristiques mécaniques des matériaux constitutifs de la maçonnerie. Après EULER deux grandes voies d'étude du phénomène de flambement se développent parallèlement. Certains tentent de franchir le fossé séparant la théorie de la barre parfaite des résultats obtenus sur des colonnes réelles, tandis que, par ailleurs, d'autres s'engagent vers une poursuite logique des travaux d'EULER sur le comportement inélastique des colonnes. A la fin du XSXe siècle, ENGESSER [5] étendit ce raisonnement au domaine plastique en écrivant que, lorsque la colonne fléchit sous l'effet d'une petite perturbation, la variation de la contrainte longitudinale est liée à la déformation par : da = Et(a),ds où E.((T ) est !e module tangent correspondant à la contrainte a. Comme la distribution de la contrainte est uniforme avant la flexion, £(((1 ) a la même valeur en chaque point, il suffit donc de remplacer, dans le calcul d'EULER, le module de YOUNG par le module tangent. On obtient ainsi la contrainte critique du module tangent. CONSIDERE [6] avait déjà remarqué que, les décharges étant supposées élastiques, la variation de la contrainte est donnée par: da = E.de sur les fibres extérieures qui se déchargent lors de la flexion, et par: da = Et(a).de sur les fibres intérieures qui, au contraire, se surchargent. Il en avait déduit que la contrainte critique est de la forme: TT.E, a = x- où Er est un module d'élasticité apparent, compris entre Et et E. Er est appelé module réduit. 6 Dans les années 1940 cependant, plusieurs essais, dont la plupart sur des colonnes en aluminium, viennent jeter la suspicion quant à la validité de l'approche par le module réduit. En 1947, SHANLEY [7], [8] montre que l'incompatibilité entre les deux modèles provient du concept de départ et que la charge de flambement d'une colonne idéale, dépourvue de toute imperfection géométrique, est donnée par la théorie du module réduit, mais que pour les colonnes réelles présentant une imperfection, même petite, la charge de ruine n'excède que de peu celle donnée par la théorie du module tangent. Dans le domaine de l'étude de la capacité portante des murs, de nombreux travaux ont été faits, ils ont en général abouti à l'établissement de normes ou de méthodes de calcul. La comparaison des résultats qu'elles donnent et qui sont très divers, est difficile. Les hypothèses de base des études faites sont en effet souvent différentes et l'approche du problème, soit théorique soit empirique, s'appuie sur des méthodes et des moyens expérimentaux très divers. De plus, les méthodes empiriques ne donnent de résultats valables qu'à l'intérieur des limites de l'expérimentation qui a servi de base à leur établissement et cette limitation revêt un double aspect: elle concerne aussi bien les matériaux étudiés qui sont spécifiques aux pays concernés, que l'étendue du domaine de variation des différents paramètres structurels ou mécaniques qui interviennent. Il est à noter que du fait de l'antériorité des bases de calcul d'éléments en béton armé, établies sur une abondante recherche, certaines méthodes de calcul des maçonneries utilisent Ses hypothèses de calcul empruntées à ces techniques. Dans ce chapitre, nous présentons une synthèse des principales méthodes proposées pour l'étude du comportement des éléments élancés sous chargement centré et excentré et les différentes approches caractérisant la maçonnerie. Dans chaque cas, nous indiquons les hypothèses adoptées et le principe de la méthode. 1-2 Résistance de la maçonnerie: ? Il est nécessaire de souligner que la notion de "résistance de la maçonnerie" n'est pas comprise de la même façon par tous les auteurs. Certains déterminent cette résistance d'éprouvettes de hauteur d'étage, d'autres utilisent de petites éprouvettes. Dans ie premier cas, la résistance obtenue est la résistance du mur, qui est directement utilisable puisque elle intègre l'influence de l'élancement. Dans le second cas, on obtient la résistance du matériau que l'on doit connaître si l'on veut utiliser les méthodes théoriques à l'aide desquelles on introduira l'influence de l'excentricité et de l'élancement. Ces méthodes sont établies dans l'hypothèse de la connaissance de la résistance à la compression simple d'un matériau homogène. Sur ce dernier point, on peut noter que, pour des murs de maçonnerie, certains essais montrent que l'influence des facteurs structurels (élancement et excentricité) peut dépendre non seulement de ¡a loi de comportement, seule caractéristique par laquelle les propriétés mécaniques du matériau interviennent dans les formules (et qui est suffisante dans le cas des matériaux homogènes) mais aussi d'autres facteurs tels que: l'effet de succion, la qualité de îa mise en oeuvre, etc. 1-2,1 Facteurs influants sur la résistance de la maçonnerie: 1-2.1.1 Mode d'essai en compression: Dans ie cas de la résistance à la compression des produits en maçonnerie et en particulier les produits en béton cellulaire, il est connu que des produits du même matériau mais de dimensions différentes ont des résistances différentes alors que les murs construits avec ces produits développent des résistances mécaniques très proches. Par souci de simplification et pour éviter la confusion dans l'exploitation des résultais d'essais le facteur de forme est introduit. 10 • la qualité d'exécution des joints verticaux n'affecîe pas sensiblement la résistance à la compression par contre elle n'est pas négligeable dans le cas de charges horizontales. Les travaux de HUREZ [14] ont montré une différences de Tordre de 10% entre la résistance à la compression des murs en maçonnerie avec les joints verticaux remplis et non remplis en chargement vertical centré. • l'épaisseur excessive du joint horizontal à tendance à réduire sensiblement la résistance des maçonneries [15],[16]. 1-2.2 Présentation des études effectuées sur les maçonneries : Dans ce paragraphe nous présentons les approches les plus récentes et les plus importantes proposées pour la caractérisation de la maçonnerie de petits éléments. 1-2.2.1 Modèle de PAGE : a- Hypothèses : • comportement mécanique élastique linéaire des briques, • comportement non-linéaire du mortier des joints, • briques et joint de mortier isotropes et homogènes, • frottement de Coulomb entre briques et joints. b- Principe : A.W. PAGE [17] en 1978 a étudié Se comportement des panneaux de maçonnerie en briques pleines sous des sollicitations dont une direction principale forme un angle 8 avec le plan du joint horizontal (6 varie entre 0° et 90°). 11 Cette expérimentation a été réalisée avec des éprouvettes de 500x210x45 crr)3. Les résultats expérimentaux montrent que ¡e comportement global de ¡a maçonnerie est non-linéaire. D'après PAGE, cette non-linéarité provient essentiellement des joints de mortier qui constituent des plans de faiblesses dans ¡a structure, Ceci est dû d'une part aux phénomènes de glissement, frottement et décollement qui se manifestent dans ¡e joint et d'autre part aux caractéristiques de déformabiîité non-linéaires des joints de mortier, Les caractéristiques mécaniques des joints sont déduites indirectement en retranchant à la déformation globale du panneau en maçonnerie îa partie concernant les briques considérées isolément (figure 1.2). ' li Eb2 Figure 1.2- Courbes représentant la non-linéarité du comportement de la maçonnerie [17]. 12 Le déplacement tota! de l'assemblage est égal au déplacement dû à la brique et à celui dû au joint de mortier. (1) ALM = AL, + AL. A L M : déplacement total de l'assemblage, ALb : déplacement de !a brique, AL ra : déplacement du joint, LM : base de mesure de l'assemblage, Lb : longueur des blocs incluse dans la base de mesure de l'assemblage, Lm : épaisseur du joint. En termes de déformation, l'équation (1) peut s'écrire: (2) CM * L M = = Cb * Lb T Cm " Lm La déformation du mortier peut être déduite par soustraction de l'équation (2) connaissant les déformations de l'assemblage et de la brique. £ M • L M '— £h • L b (3) E m = z JLjm Cette technique est aussi appliquée lorsque le chargement fait un angle 6 avec le plan du joint. La brique a été considérée comme homogène et isotrope afin de calculer le module de cisaillement G, une valeur moyenne de module d'YOUNG. Eb est approché par : . . . Ebi + Eb2 ( 4 ) Jbbmoya. = Ceci implique que le module de cisaillement G peut être déduit par la méthode classique utilisée pour ¡es matériaux isotropes telle que : G Clbim* 2-(l + v) Si y est la déformation au cisaillement (rotation), on ai y LM — ( ~ ) ' Lb (6) y, = — (jr" T 15 1-2.2-2 Modèle de SHAAN: a- Hypothèses: • comportement mécanique élastique linéaire de !a brique et du mortier, • brique orthotrope et homogène, • joint de mortier isotrope, • contact parfait entre les briques et les joints de mortier. b- Principe: R. SHAAN en 1987 [19] a réalisé un travail similaire à celui de PAGE, mais cette fois avec des briques creuses de terre cuite. Différentes qualités et épaisseurs des joints ont été utilisées ainsi que différentes orientations du plan de joint par rapport à la direction du chargement. Contrairement aux résultats de PAGE, cette étude expérimentale a montré que le comportement de la maçonnerie est très influencé par la présence des joints de mortier qui sont souvent à l'origine de la rupture. La figure 1.5 montre les trois principaux modes de rupture trouvés. • rupture par fendage des joints de mortier lorsque la contrainte est parallèle au plan du joint. • rupture par traction transversale, la fissuration étant parallèle au chargement et perpendiculaire à la surface libre du panneau lorsque la direction de la contrainte appliquée est normale au plan du joint. • rupture par traction dans le plan du panneau et parallèle à la surface libre lorsque la contrainte biaxiale est appliquée. 16 i C 1—\f 1) rupture par fendage des joints (mode 1) 2) rupture par traction (mode 2) rupture par traction dans le pian (mode 3) Figure 1.5- Mode de rupture selon SCHAAN [19]. Un calcul analytique en élasticité anisotrope a montré un accord qualitatif avec les résultats expérimentaux. Par contre les relations contraintes et déformations calculées analytiquement semblent être assez éloignées des résultats expérimentaux, ceci en particulier dans le cas biaxial. Enfin, R. SHAAN a effectué une simulation numérique par éléments finis. Ce calcul a été mené en prenant l'hypothèse de l'élasticité du comportement des briques et des joints de mortier. Notons que les briques ont été modéîisées comme un matériau orthotrope en contact parfait avec les éléments isotropes des joints de mortier. Nous constatons que cette modélisation ne prend pas en compte les caractéristiques anélastiques des briques (fissuration et écrasement) car il les considère comme un matériau élastique. Ceci ne lui a pas permis de profiter des critères de rupture trouvés expérimentalement. 17 En plus, l'hypothèse de l'adhérence parfaite entre les briques et les joints de mortier n'est pas réaliste. A cela s'ajoute enfin le fait que son modèle ignore les caractéristiques de déformabilité non-linéaires propres aux joints de mortier. Malgré cela l'auteur trouve un certain accord qualitatif avec les résultats expérimentaux. Il trouve également que l'ensemble des résultats obtenus par son modèle numérique est en général plus proche des résultats expérimentaux que de son calcul analytique. 1-2.2.3 Modèle de HENDRY: a- Hypothèses: • comportement mécanique élastique linéaire de la brique et du joint, • briques et mortier isotropes et homogènes, • contact parfait entre les briques et les joints de mortier. b-Principe: HENDRY en 1981 [20] propose un modèle théorique pour la maçonnerie en brique pleine basé sur une analyse élastique. Dans cette étude le comportement des briques et du mortier est supposé élastique et linéaire. Les briques sont placées les unes sur les autres et entrecoupées par des joints de mortier. Cet ensemble subi une force de compression simple, normale au plan du joint horizontal (voir figure 1.6). 20 Le frottement entre briques et mortier empêche que les dilatations transversales des deux éléments soient indépendantes. Une telle interaction crée un état de compression axiale et de traction latérale biaxiaie dans le mortier. La capacité portante de la structure peut donc être supérieure à celle correspondant à la contrainte limite uniaxiale du mortier. La rupture a lieu par traction dans les briques. HISLDORF met donc- en évidence le caractère biphasique du matériau en question et affirme que la rupture a lieu lorsque ¡a contrainte efficace maximale Gy = U • GYM est supérieure à la résistance à la compression de la brique. U est un coefficient empirique appelé coefficient de non-uniformité, il est fonction de la contrainte appliquée et de la résistance du mortier. Sur la figure 1.8 est représenté le critère de rupture de HISLDORF pour les panneaux en maçonnerie soumis à une compression simple. La droite A représente, en acceptant la théorie de MOHR, l'interaction des contraintes de compression Gy — U • GyM et de traction Gxb = <5* associée à la rupture de la brique. L'équation de la droite est; CTxb = G* - Rb. • (1 ) Où Rb est la résistance uniaxiale à la compression de la brique et Rbt est sa résistance biaxiaie pour G,b — Gzb. Les contraintes Rb et Rbt agissent en même temps sur la couche de mortier. La droite C représente le comportement en régime triaxial de compression du mortier et correspond à Sa contrainte latérale de la brique suffisante pour confiner le mortier. Le point Gxb = G-.b = 0 indique la résistance uniaxiale à la compression du mortier. HISLDORF adopte pour la résistance triaxiale du mortier la relation ci-dessous en considérant que le comportement triaxial du mortier peut être représenté par la relation (formule habituellement utilisé pour le béton [22]). Gv = Rm+4.lG2 21 où CT2 = ex™ = Œzm est la contrainte latérale de compression , ay !a contrainte de compression et Rm ia résistance uniaxiale de compression du mortier. critère de rupture <iy=Uaym Figure 1.8- Critère de rupture selon HISLDORF [21]. L'équilibre entre la résultante des contraintes latérales dans la brique et le mortier donne : CTxb Lb- CT Lb est l'épaisseur du bloc et Lm l'épaisseur du mortier. 1 Puisque a™ = <3i = — ( C T V - Km), l'équation de la droite C est: Gxb ~ A-JIT 4.1-Lb (CTy — R n ) La contrainte locale de rupture est définie par le point d'intersection des droites A et C: _. , K.bî + CX • Km s a> = R b ( ) KJ« + ot • Ivb avec a = -L/m 4jTL 22 A S'aide du coefficient U on a ia valeur moyenne de la contrainte de rupture: RM = (jyM = —, On obtient finalement: U RM = — •( Y U R< + a • R La théorie de HISLDORF constitue une contribution importante puisqu'elle permet de prendre en compte d'une façon relativement simple l'hétérogénéité de la maçonnerie. La difficulté principale réside dans l'évaluation expérimentale de Rbt et U. 1-2.2.5 Formule de J'EUROCODE 6 (EC6): L'EUROCODE 6 [23] propose une formule empirique de calcul de la résistance de la maçonnerie en fonction des caractéristiques mécaniques de ses composants: f __ Yf f» 0 65 n 0 25 k - ^ lb im Où ft, est ia résistance à la compression des blocs. C'est en fait une valeur d'essai corrigée par plusieurs facteurs en particulier le facteur de forme, f m est la résistance moyenne à la compression du mortier et K une constante qui tient compte du groupe de classification des éléments de maçonnerie. Dans le cas des maçonneries à joints minces, l'EC6 propose la formule suivante: fk = o.8fr L'influence des facteurs de forme est explicitement prise en compte dans le projet EC6 qui propose des valeurs numériques principalement justifiées sur la base de résultats d'essais très limités qui ne peuvent donc pas être utilisées pour tous les types de produits et en particulier pour les produits creux. Remarquons également l'absence de proposition sur l'influence de l'épaisseur du joint de mortier. 25 Certains chercheurs estiment que l'hypothèse des articulations ne correspond pas à la réaüté; dès lors, ils sont amenés à étudier les murs comme s'il s'agissait des montants d'un portique. On peut noter également que le schéma (a) de la figure 1.9, impliquant des charges parfaitement centrées, est souvent considéré comme ne représentant pas la réalité. En effet, par suite de l'hétérogénéité des matériaux, l'axe géométrique de élément n'est pas un axe de symétrie mécanique et ce décalage entre ces deux axes constitue une excentricité à laquelle va s'ajouter l'excentricité due aux défauts et imperfections de montage (défaut d'aplomb, de planéité). Ces méthodes de calculs se différencient par le degré d'exactitude que l'on peut espérer du résultat obtenu (méthodes exactes ou théoriques ou méthodes approchées ou simplifiées), par l'importance des moyens matériels à mettre en oeuvre (de l'ordinateur puissant ou calcul manuel simple) et par la complexité des cas qu'elles permettent d'étudier. 1-3.1 Les méthodes théoriques : Ces méthodes en faisant intervenir le moment, la courbure et la loi de comportement des matériaux, se rapprochent des phénomènes réels. La solution théorique consiste en la résolution de l'équation différentielle de la déformée : d2e _ N.e dx2 ~ El qui introduit Ses effets dits du second ordre et dont l'intégration se heurte à des difficultés sérieuses lorsque le produit El n'est pas constant (dépend de x). La fissuration, variable selon la section considérée entraîne des variations de I; de plus, si, comme c'est le cas le plus souvent, le matériau a une loi de comportement non-linéaire, Se module de déformabilité "moyen" dans une section dépend alors de la répartition des contraintes dans cette section. 26 De multiples méthodes sont donc nées pour contourner ces obstacles. Cependant la majorité des méthodes considèrent comme seul critère de rupture de l'élément le dépassement de sa résistance à la compression de la section à mi-hauteur ce qui constitue une limite importante de ces méthodes. Nous ne considérons dans notre étude que les méthodes les plus importantes et qui permettent de saisir les phénomènes de ruine par instabilité géométrique déterminants qui échappent à beaucoup d'autres méthodes. Parmi ces méthodes, certaines proposent une résolution analytique directe de l'équation différentielle et de la déformée et donnent des solutions analytiques en fonction des excentricités et des conditions aux limites pour les éléments élancés. Une de ces méthodes est due à ANGERVO [24] qui donne une forme integrable à l'équation différentielle en supposant que le matériau n'a pas de résistance à la traction et en lui attribuant une Soi de comportement non-linéaire. D'autres évitent l'intégration de l'équation différentielle de la déformée, en faisant une hypothèse sur la déformée de l'élément comprimé. L'hypothèse d'une déformée sinusoïdale a ainsi servi de base à la méthode mise au point par HALLER [25]. C'est également elle qui a servi de support à la méthode de FAESSEL [26]. Une autre méthode est le résultat des travaux de LEW1CKI [27] qui suppose que le béton peut être doué de résistance à la traction et qui admet, pour la loi de comportement du béton une expression exponentielle dépendant de trois paramètres. La représentation de la variation du produit El par une fonction linéaire permet de donner à l'équation différentielle de la déformée une forme integrable. La méthode de KUKULSK! [28] suit les mêmes principes retenus par LEWÎCKI mais au lieu d'utiliser l'expression linéaire de la variation de la rigidité El, il définit la courbure sous la forme géométrique: il contourne ainsi la difficulté que constitue la prise en compte d'une rigidité El variable, fonction de l'effort normal et de l'excentricité. 1-3.1.1 Méthode d'ANGERVO (maçonnerie): 27 a- Hypothèses: • charge excentrée appliquée selon le schéma (b) de la figure 1.9, • moment d'inertie variable le long de l'élément, • résistance à la traction nulle du matériau, • structure sans courbure initiale, • répartition linéaire des déformations dans la section, • comportement élastique en compression du matériau avec une loi quelconque mais choisie de telle façon que l'intégration de l'équation différentielle de la déformée soit possible. b- Principe de la méthode: La forme choisie pour l'équation différentielle de la déformée est la suivante: d2e __ N U.A. JC/O n où Sn est le moment statique de la zone comprimée de la section calculé par rapport à l'axe des déformations nulles. La fonction de déformation adoptée est définie par l'équation suivante: G 1 G L E ~ 2 - + 1 V s, dans laquelle St et <Ts sont liées à Su et R (déformation ultime et résistance à la compression du matériau) par les relations: ki et l<2 sont des constantes R et G = — b- Principe de la méthode: 30 Cette méthode s'applique exclusivement à des poteaux en béton armé de section constante, articulés aux extrémités. La déformée est une onde sinusoïdale dont l'équation est: y - V o ^ y - s i n — y est l'ordonnée de la déformée, y0 l'ordonnée de la fibre moyenne avant déformation, ym la flèche à mi-hauteur et L la longueur de l'élément. L'équation ci-dessus s'écrira dans la section médiane: e = e0 + y en désignant par: e0 : excentricité initiale (avant application de îa force extérieure), e : excentricité de !a force extérieure à l'état d'équilibre. La courbure - étant la dérivée seconde de (y — y<>) par rapport à x, La flèche r devient une fonction linéaire de la courbure : - I ]L r % La sécurité au fiambement est vérifiée en recherchant un état de contrainte dans la section médiane tel que l'effort normal interne soit au moins égal à l'effort normal N appliqué et que l'excentricité interne soit au moins égale à l'excentricité externe e. La figure 1.12 en donne un exemple. Sur ce réseau de courbes excentricité-courbure à effort donné constant, on peut tracer ¡a droite (A) 1 U d'équation e - e + y = e H qui correspond à une excentricité initiale r n2 et un élancement donné. 31 Les points El, E2 et E3 représentent des états d'équilibre stables. Au point U, la courbe N=Cst. est tangente à la droite (A). En ce point, l'effort normal interne est égal à l'effort normal N appliqué et l'excentricité interne est égale à l'excentricité externe e. Au delà du point U, si on augmente la courbure, on se déplace sur la droite (A) vers les valeurs décroissantes de l'effort normal. Le point U représente donc un état ultime de flambement. t EXCENTRICITE EFFORT NORMAL REDUITE e /h REDUIT N / B ( T „ C0UR3URE REDUITE h/r Figure 1.12- Courbes excentricité-courbure pour différentes valeurs de N. 1-3.1.3 Méthode de KUKULSKI (béton) : Cette méthode, élaborée lors d'un séjour de son auteur au C.S.T.B a été retenue par la commission XIII du C.E.B comme base de détermination de la fonction de flambement des murs en béton non armé à section rectangulaire. a- Hypothèses: 32 • charge excentrée appliquée selon le schéma (b) de la figure 1.9, • moment d'inertie variable le long de l'élément, • structure sans courbure initiale, • répartition linéaire des déformations dans la section, • résistance à la traction non nulle du matériau, • loi de comportement non-linéaire en compression du matériau, b- Principe de ta méthode: La loi de comportement du béton utilisée est celle adoptée par LEWICKI [27) et qui s'exprime par ¡a relation: G = — = n - k ( l - e 7 ) R - sa g - — et a = — k R Eo est le module de déformation initial du béton, R la résistance à la compression et n et k des coefficients d'ajustement. Le principe de la méthode consiste à contourner la difficulté que représente la variation du produit El de l'équation différentielle de la déformée en donnant à celle-ci son expression géométrique (figure 1.13): u c As S2 — Si dx2 h h Formule dans laquelle S2 et s. sont les déformations unitaires des fibres extrêmes dans la section x et h l'épaisseur de la section. 35 k ' 1,10 Figure 1.15- courbes des valeurs de cp en fonction de l'élancement. Sur le diagramme de la figure 1.15, on distingue quatre zones: zone I: ia section n'est pas fissurée au moment de la rupture en compression du béton, zone II: la rupture est atteinte par épuisement de la résistance en compression. La section est déjà fissurée, zone III: ia rupture se produit par perte de la stabilité du mur, zone IV: la rupture est conditionnée par la résistance à la traction du matériau. 36 1-31.4 Méthode de POUSHANCHi (maçonnerie): Cette méthode est directement issue de celle de KUKULSKI. En revanche, elle bénéficie largement de l'expérience acquise et des réflexions qui ont été menées jusqu'ici par LEWICKi [27], KUKULSKI [28] et LUGEZ [30], [31] d'une part et tire partie au maximum des moyens de calculs numériques actuels d'autre part. a- Hypothèses: • charge excentrée appliquée selon le schéma (b) de la figure 1,9, • moment d'inertie variable le long de l'élément, • résistance à la traction nulle du matériau, • loi de comportement non-linéaire en compression du matériau, • structure sans courbure initiale, • répartition linéaire des déformations dans l'épaisseur de l'élément. b- Principe de ia méthode: Comme nous l'avons mentionné, le principe de la méthode est emprunté de celle de KUKULSKI [28], et qui consiste à tourner la difficulté d'intégrer l'équation différentielle en lui donnant son expression géométrique: d 2 e À8 _ £ 1 - 8 2 dx2 h h Mais la résolution analytique de cette équation n'est envisageable que dans un nombre très limité de cas (produits pleins, loi de comportement linéaire, etc.). C'est pourquoi la méthode proposée abandonne la recherche analytique d'une solution générale de l'équation différentielle de la déformée au profit d'une double intégration numérique de l'équation. On résout l'équation par une double intégration numérique, ce qui suppose une discrétisation préalable des déplacements horizontaux aux noeuds (extrémités) de ces éléments (figure 1.16). 37 Figure 1.16- Discrétisation de l'élément élancé. Mais pour cela, il est nécessaire de connaître la répartition de la variation de déformation Ae sur toute la hauteur de la structure, donc la déformée qui est précisément l'inconnue que l'on cherche. La détermination de la déformée (ou de la mise en évidence d'une instabilité de la structure par flambement) passe donc par un schéma itératif décrit ci- dessous: 1-pour une excentricité initiale e0 et un élancement géométrique fixés, on se donne une valeur de l'effort N; 2-connaissant l'effort N et l'excentricité e0, on détermine une valeur initiale Ae en passant par un calcul itératif, selon la méthode de NEWTON-RAPHSON. 3-calcul analytique d'une première déformée à partir de cette première valeur de As , que l'on suppose constante sur toute la hauteur du mur, par résolution de l'équation de la déformée par une double intégration : C —- C o i X * i J„/ "~~ \ . ) * "nTïT 1-3.2.2 Règlement Européen (EC6) [23]: 40 La valeur de la charge verticale par unité de longueur d'un mur simple est donnée par: xr (p.t.fk M = , Y M où (p est un facteur de réduction tenant compte de l'élancement et de l'excentricité, t ¡a hauteur de la section, fk la résistance caractéristique à la compression de la maçonnerie et yM le coefficient partiel de sécurité qui tient compte des propriétés des matériaux et de leur mise en oeuvre. La valeur du facteur de réduction peut être obtenue comme suit: au sommet ou à la base du mur: <p. = l - 2 - - t où e, sera calculée en fonction des moments créés par la charge horizontale, de la charge apportée par les planchers et de l'excentricité accidentelle. - à mi-hauteur du mur, la valeur du facteur de réduction est donnée par la formule: cp™ = A • e 2 ou: A et u sont des valeurs tirées d'essais. A = 1 - 2 • — et u = t f ^2 — 31-—- 4! ümk est l'excentricité à mi-hauteur. Eue est calculée en tenant compte des moments au sommet, de l'excentricité résultant des charges horizontales, de la charge verticale, de l'excentricité accidentelle et de l'effet de fluage. h« est la hauteur utile du mur. Elle est évaluée à partir des conditions aux limites et ter son épaisseur utile. On prend ensuite la plus petite des deux valeurs de (p pour déterminer la résistance du mur. I! est à noter que les formules précédentes reposent sur l'hypothèse d'un diagramme rectangulaire de la distribution des contraintes dans la section sollicitée à l'état ultime. 1-3.3 Analyse critique: Les méthodes reposant sur des bases théoriques supposent comme donnée essentielle la connaissance de la résistance à la compression simple du matériau. Or celie-ci peut différer de la résistance mesurée sur les éprouvettes habituelles et que l'on introduit pratiquement dans le caicui. De plus la valeur de la résistance prise pour référence n'est pas la même pour tous les auteurs. On a vu également que le schéma (b) de la figure 1.9 correspondant au cas d'excentricité égale et de même sens est utilisé par la majorité des méthodes. En fait on connaît mal les phénomènes qui ont leur siège à proximité immédiate des extrémités du mur et seule une expérimentation permettrait de décider si l'on doit considérer les extrémités du mur comme encastrées ou articulées. De plus, certaines méthodes adoptent des hypothèses de départ sur l'allure de la déformée, d'autres ne sont valables que pour des formes géométriques simples et en particulier rectangulaire, mais surtout il est à constater que la majorité des méthodes proposées ne sont applicables que dans le cas de murs monolithes. Elle ne peuvent donc prendre en compte l'hétérogénéité de la maçonnerie traditionnelle de petits éléments. 42 Quant aux méthodes simplifiées, eue ne peuvent décrire fidèlement les phénomènes puisqu'elles négligent certains facteurs et qu'elles ne tiennent pas compte de leurs influences mutuelles. Elles présentent l'inconvénient de fournir des formules dont le domaine d'application est limité à telle géométrie de la section ou à tel matériau. De plus la plupart d'entre elles ne font pas intervenir l'influence du type et de l'épaisseur du mortier du joint. C'est pourquoi la mise au point d'une méthode de calcul capable de tenir compte des caractéristiques des différents matériaux constitutifs de la maçonnerie est nécessaire. 45 sont montés avec un mortier hydraulique et les blocs de béton cellulaire autoclave de type "SiPOREX" qui sont montés avec un mortier colle pour des joints minces. Tous ces blocs proviennent d'usines bénéficiant de la norme NF. Pour chaque type de bloc, on dispose de blocs entiers, et de demi- blocs (nécessaires pour le montage des maçonneries à joints décalés). 2-2.2 Les mortiers; Afin d'étudier ¡'influence du type de mortier sur le comportement des éléments en maçonnerie, trois classes de mortier ont été étudiées. Le mortier M30, le mortier M5 et le mortier colle. Les mortiers M30 et M5 conformément à la norme Européenne 998.2, sont destinés au montage de maçonneries de blocs de béton et le mortier colle au montage des maçonneries de blocs de béton cellulaire. Ces mortiers se distinguent par leurs composition en ciment, chaux et sable et donc par leurs résistance mécanique: • mortier M30: Il est caractérisé par une résistance à la compression supérieure à 30 Mpa. • mortier M5: Caractérisé par une résistance à la compression supérieure à 5 Mpa. • mortier colle: Il s'agit d'un mortier prêt à l'emploi adapté pour ie montage des blocs de béton cellulaire. Ses constituants principaux sont: ciment blanc, chaux grasse, sable siliceux et un rétenteur d'eau cellulosique. 2-3 Préparation des assemblages et des trumeaux: Les différents éléments sont réalisés dans un hall abrité où, sans être constantes, les conditions d'ambiance (15 à 25 °c, 40 à 70% d'humidité relative) n'atteignent cependant jamais des valeurs excessives. 46 Les joints de mortier de ciment sont bourrés avec le plus grand soin et réalisés avec un cadre de calibrage assurant l'uniformité de l'épaisseur du joint. Les joints de mortier de colle sont réalisés avec une spatule adaptée qui permet d'avoir un joint mince d'environ 3 mm d'épaisseur. Il faut noter que pour chaque gâchée des éprouvettes de mortier ont été coulées dans des moules métalliques et destinées à l'identification du mortier. Les trumeaux sont exécutés sur des semelles métalliques UPN 300 sur lesquelles est d'abord coulé un lit de mortier. Les blocs sont ensuite montés au fil à plomb, avec décalage des blocs d'un demi-bloc à chaque assise. A la partie supérieure du trumeau, est réaJisé un chaînage légèrement armé, destiné à assurer la répartition des efforts lors du chargement. Pour les trumeaux en béton cellulaire, le chaînage est constitué d'un profilé métallique suffisamment rigide. Enfin, il faut préciser que la totalité de ces éléments a été réalisée par le même maçon de façon à éliminer dans la mesure du possible, le paramètre main-d'oeuvre. 2-4 Dispositif d'acquisition et de traitement des données: Les signaux électriques, transmis par les instruments de mesure (capteur de déplacement, capteur de force, jauges d'extensomètrie, thermocouple, capteur de pression, extensomètre, etc.) sont reçus et traités par ¡a chaîne suivante: 47 - une centrale d'acquisition des données de type "HP. 3497 A ou 3421 A", - un logiciel d'acquisition et de traitement des données (A.D.E.S), spécialement conçu parle C.S.T.B., - un micro-ordinateur (HP. 85 ou HP. 86) ou un P.C. zénith 386/16 assurant: • la réception des données lues par la centrale et leur traitement aboutissant aux valeurs des paramètres mesurés ( déplacements, rotations,etc.), • le stockage, l'impression et l'enregistrement des paramètres calculés. • la commande des tables traçantes numériques donnant l'évolution des paramètres de pilotage de l'essai. • une ou plusieurs tables traçantes numériques reproduisant, en fonction des charges appliquées, pour les besoins de la conduite de l'essai, les paramètres les plus importants de la maquette. centrale d'acquisition C HPIB <=#=> PC 3 « y i h ~| conditionneurs des capteurs capteurs capteurs imprimante 1 r / 7 / / traceur à plumes stockage des données ' ' ''• SCHENK sene 59 verms servovalve groupe hydraulique s\stème numérique d'asNer\ isseinent des vérins Figure 2.1- Schéma du système d'acquisition et de traitement des données. 50 25 20 + a 2 15 5 10 o o * expérimentation '•""" lissage O.OOE+00 2.00E-04 4.Q0E-04 6.00E-04 8.00E-04 1.00E-03 1.20E-03 1.40E-03 1.60E-03 1.80E-03 Déformations Figure 2.3- Courbe a-e moyenne des blocs de béton. 0.00E+00 5.00E-04 • experimentation (bloc) lissage .00E-03 I.50E-03 2.00E-03 2.50E-03 3,OOE-03 Déformations Figure 2.4- Courbe a-e moyenne des biocs de béton cellulaire. 51 Par analogie avec la loi de comportement adoptée généralement pour le béton, nous avons modélisé la courbe contrainte-déformation moyenne par une fonction parabolique de la forme; 2 a — E, : module de rigidité initia! du bloc, Les coefficients a et b sont calculés en utilisant une régression linéaire utilisant la méthode des "moindres carrés" pour la moyenne des courbes expérimentales. 2-5.3 Essai de traction par fendage des blocs: Des essais de rupture par fendage ont été réalisés sur des blocs entier dans le sens de pose (figure 2,5). Ce mode de rupture a été constaté lors des essais sur trumeaux en charge centrée et excentrée. I N _,,.,règles en bois I / I Figure 2.5- Essai de fendage sur bloc. 52 La résistance à îa traction est donnée par la formule [33]: 2.N CJbt = , Tt.h.b où N est la charge de rupture en compression, h l'épaisseur du bloc et b sa hauteur. Le tableau 2.2 donne les résultats des essais de fendage réalisés. Type de bloc béton de ciment Charge de rupture (KN) 86 103 106 Contrainte de rupture par fendage (Mpa) 1.82 2.2 2.24 Résistance moy. à la traction par fendage (Mpa) 2.10 Coefficient de variation % 11 Tableau 2.2- résultats des essais de fendage. 2-5.4 Essai de compression sur assemblages: Les essais de compression centrée sur assemblages ont été faits pour déterminer la rigidité apparente de la maçonnerie (bloc+joint de mortier) et également afin d'étudier ¡'influence du type de mortier et de l'épaisseur du joint sur la résistance à ¡a compression des assemblages. Les assemblages utilisés sont constitués de deux blocs superposés entrecoupés par un joint de mortier. La figure 2.6 montre un schéma de l'assemblage étudié. 55 Figure 2.7- Photographie du dispositif de mesure des déformations de l'assemblage. 2-5.5 Résultats des essais sur assemblages: 2-5.5.1 Résistance à la compression: Le tableau 2.4 résume les résultats des essais d'écrasement sur assemblages pour les trois types de mortier étudiés. Dans ce tableau est donné également les valeurs de résistance à l'écrasement des éprouvettes de mortier confectionnées lors du montage des assemblages. 56 Type de bloc béton de ciment béton cellulaire Caractéristiques des joints Type de mortier M30 M5 colle Epaisseur (cm) 1 2 1 - Résistance de la maçonnerie Rjyç valeurs moyenne (Mpa) 15.1 16.5 14.0 4.3 Coef. de variation % 11,3 10.6 9 10 Rapport R M / R b 0.63 0.68 0.60 0.95 Résistance du mortier (Mpa) 18.6 8.20 11.5 Tableau 2.4- Résultats des essais d'écrasement des assemblages. L'analyse des résultats de ce tableau montre que l'influence de la résistance du mortier sur celle de l'assemblage est faible. Nous pouvons expliqué ceci par l'état de confinement dans lequel se trouve ¡e joint de mortier dû d'une part à sa faible épaisseur par rapport à la hauteur des blocs et d'autre part à sa faible rigidité devant celle des blocs. Ce résultat concorde avec les travaux de KHALAF, HENDRY et FAIRBAIRN [34]. Les résultats d'essais montrent également pour le cas du mortier M30, la faible différence entre ¡es résistances des assemblages d'épaisseur 1 et 2 cm. R Le rapport —— de la résistance de l'assemblage par rapport à ia résistance des blocs varie de 0.6 à 0.68. Ce résultat est en accord avec les travaux de HUREZ [14], SCHUMACHER [35] et READ [36]. Pour le béton cellulaire, la résistance de l'assemblage est très proche de celle du bloc. Leur rapport est de Tordre de 0.95. Ceci est dû d'une part au fait que la résistance du mortier colle est supérieure à celle du bloc et d'autre part à la petite granulomere du sable constitutif du mortier et à la texture assez fine des blocs. En effet, ceci fait que les points de concentration de contraintes sur les blocs sont rares sinon inexistants et ceci permet alors aux blocs d'épuiser toute leur résistance. 2-5.5.2 Courbes (cr-s): 57 Les figures 2.8 et 2.9 ci-dessous montrent les relations contraintes et déformations des assemblages de blocs de béton pour une base de mesure de 100 mm et de 40 mm. Ces courbes mettent en évidence l'influence de la longueur de la base de mesure sur les déformations. La proportion du joint dans les deux bases de mesure n'est pas la même. Par exemple, un joint de 2 cm d'épaisseur représente 50% de la base de 40 mm alors qu'il ne représente que 20% pour la base de 100 mm. D'une façon générale, nous constatons que le joint de mortier "accentue" la non-linéarité du comportement des assemblages par sa faible rigidité. 16,00 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 # t • • V • • • % • % • a 0 « BH/ •• • _ / • m m m/s . •••/• v Base 100 mm • A Base 40 mm 2,00 0,00 m— 0,00E + 0 1.00E-03 2,00E-Q3 3,00E-03 4,00E-03 5,00E-03 6,00E-03 7,00E-03 déformation Figure 2,8- Courbes (a-e) de l'assemblage de mortier M30. 60 2-5.6.1 La méthode indirecte: La méthode indirecte consiste à déterminer !es caractéristiques mécaniques du joint de mortier à partir des résultats d'essais sur assemblages en utilisant l'approche proposée par PAGE (paragraphe 1-2.2.1). La déformation du mortier est donnée par ia formule suivante: 6 M • L/M — £b • JLb Cffl — T L j m ou SM : déformation de ¡'assemblage, St. : déformation de la brique, 8m : déformation du joint, L M = 100 mm : base de mesure de l'assemblage, Lb = 1 0 0 m m : base de mesure du bloc, Lm : épaisseur du joint. La formule s'écrit alors: (E.V — SA) • Lu + £* • Lm Cm — Les figures 2.11 et 2.12 montrent les courbes (a-e) obtenues par cette formule pour les mortiers M30 et M5. Sur ces figures sont montrés également les résultats sur assemblages et sur blocs. 61 Bloc Assemblage Joint M30 0,00 0,00E + 0 1 f 00E03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03 5.00E-Q3 6,00E-03 7,00E-03 déformation Figure 2.11- Courbe (o-e) de calcul du mortier M30. CS Q. § CD £ 'S c o u Assemblage Joint M5 essai issage calcul 0,00E + 0 2.00E-03 4,0QE-03 6,00E-03 8,00E-03 1.00E-02 1,2ÛE-02 1,40E-02 1,60E-02 Déformation Figure 2.12- Courbe (o-e) de calcul du mortier M5. 62 2-5.6.2 La méthode directe: La méthode directe consiste à faire des essais sur des éprouvettes de mortier découpées directement dans les joints des assemblages après durcissement. Cette méthode permet de tenir compte de l'effet de succion. Afin de faciliter le décollement du joint, sans perturber les mouvements d'eau entre les matériaux, un film de papier absorbant très fin, a été interposé entre Se joint et les faces de pose des blocs. Les essais de compression ont été faits sur des éprouvettes de 4x4x2 cm3. L'épaisseur des joints utilisés étant de 2 cm, l'élancement géométrique des éprouvettes de mortier est alors égal à 2. Après rectification des faces de pose, les éprouvettes ont été instrumentées avec des jauges de déformation dans le sens du chargement pour déterminer la loi de comportement et transversalement pour la mesure du coefficient de poisson. La base de mesure est de 15 mm et l'incertitude de la mesure est de ±0.001. L'influence du type de support sur les caractéristiques mécaniques du mortier des joints a également été mis en évidence par cette étude. Trois types de supports ont été utilisés: • moule métallique: Il s'agit du moule habituellement utilisé pour la confection des éprouvettes de mortier pour l'essai d'écrasement normalisé. Dans ce moule, l'eau reste dans le mortier puisqu'il n'y a pas de succion. • bloc à enduire: Ce sont des blocs tirés du même lot que ceux utilisés pour les essais de la recherche. Ces blocs sont destinés à être enduits. • bloc apparent: Ce sont des blocs destinés à rester apparent. Ils sont caractérisés par la présence d'un hydrofuge de masse dans le béton qui ¡imite la succion, une petite granulométrie et une texture fine. 65 La méthode indirecte a tendance à sous-estimer !a valeur du module d'élasticité initial du mortier; caractéristique mécanique très importante dans ¡"étude du comportement des structures. De plus, elle ne peut mettre en évidence la rupture qui peut survenir au niveau du joint de mortier. Les résultats de cette méthode ne peuvent donc être utilisés que dans le cas d'une étude globale du comportement des maçonneries. La méthode directe par contre, a l'avantage de nous donner les caractéristiques mécaniques intrinsèques du mortier, données nécessaires pour une modélisation plus fine du comportement des maçonneries. 1,20E + 01 Méthode directe 1,00E + 01 - Méthode indirecte - 8,00E + 00 - „ * " CL „ * S. <* £ 6,00E + 00 « " c * o » ° 4.00E+ 00 2,00E + 00 " Mortier M30 0,00E + 00 " 0,00E + 00 5,00E-Q4 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 Déformation Figure 2.14- Courbes (a-s) du mortier M30 obtenues avec chacune des deux méthodes. 66 2-6 Essai excentré sur assemblages: mise au point d'un dispositif expérimentai Dans les maçonneries de petits elements, la présence des joints horizontaux influence considérablement le comportement de ¡a maçonnerie. Le joint de mortier est souvent un point de faiblesse et provoque des rotations importantes de l'élément et en particulier sous charge excentrée. La tendance à la rotation est influencée par: • la nature du mortier du joint, • l'épaisseur du joint, • le type de bloc (plein, creux, etc.), • les dimensions des blocs et en particulier l'épaisseur. L'influence de chacun des paramètres, comme l'épaisseur du joint, ne peut être étudiée séparément du fait des interactions mutuelles entre ¡es blocs et les joints de mortier. Il est donc nécessaire d'étudier le comportement du joint de mortier dans son "milieu". Les assemblages utilisés sont constitués de deux demi-blocs entrecoupés par un joint de mortier. L'essai consiste donc à étudier pour un effort normal donné, maintenu constant, la variation de l'excentricité de l'effort (ou du moment) avec la courbure des matériaux constitutifs de l'assemblage. !l permet également d'étudier l'influence du type de mortier, de l'épaisseur du joint et des blocs sur la déformahïlité des matériaux utilisés. Pour maintenir te chargement constant tout en provoquant un moment à la tête de l'assemblage, nous avons été amenés à étudier et à concevoir un dispositif expérimental spécifique. 67 2-6.1 Description du dispositif expérimentai: Le dispositif expérimenta! est constitué de deux poutres métailiques en croix suffisamment rigides pour transmettre ¡es efforts appliqués à l'assemblage. Ce dispositif permet de tester des éléments en maçonnerie d'une largeur maximale de 500 mm et d'une épaisseur maximale de 300 mm. Ces dimensions sont choisies de façon à pouvoir essayer une large gamme de produits en maçonnerie ( ou tout autre matériau d'ailleurs ) et en particulier les éléments creux où ia géométrie interne ne permet pas de réduire les dimensions des échantillons par découpage comme c'est le cas pour les éléments pleins. Le moment qui s'exerce sur l'assemblage est créé par deux efforts appliqués sur ¡es poutres. L'effort principal N est transmis le long de l'axe de la presse de 5000 KN par une rotule à la poutre. L'effort N est centré. L'effort P est appliqué par l'intermédiaire d'un vérin hydraulique d'une capacité de 50 KN. La figure 2.15 montre !e schéma simplifié du dispositif. capteur de forcex poutre supérieure tige filetée D14 venn poutre inferieure- zzèz. N assemblage de maçonnerie capteurs de déplacement plateau supérieur de !a presse rotules auxiliaires ,plateau inférieur de la presse Le=480 mm N ± Figure 2.15: Schéma simplifié du dispositif expérimental. 70 A chaque palier de chargement, ¡a valeur de l'excentricité de l'effort total appliqué est calculée par îa formule suivante: Le-P e = N + P où L e est la distance entre les points d'application des deux efforts N et P. 2-6.3 Dispositif de mesure de la courbure: Le dispositif de mesure de la courbure est composé de deux paires de capteurs de déplacement de type L10R d'étendue de mesure de 5 mm. La base de mesure est respectivement de 150 mm pour la mesure de la courbure des assemblages et 40 mm pour les mesures locales au niveau du joint. A chaque palier de chargement, la valeur de la courbure est calculée avec la formule suivante reliant les déformations des fibres extrêmes de l'assemblage à la courbure: 1 __ E l - E2 où Si et £2 sont respectivement, les déformations de la fibre comprimée et de la fibre moins comprimée ou tendue et h' Sa distance entre les axes des capteurs. 2-6.4 Précision des mesures de l'excentricité et de la courbure: Les capteurs utilisés sont de type L10R. Leur course est de 5 mm sur laquelle les défauts de linéarité sont très faibles. La précision peut être estimée à 0.001 de la pleine échelle. L'erreur absolue commise sur une mesure est de ±0.002 mm. 71 a- cas de ia courbure: 1 81-82 A l i - A h Al r h' l.h' l.h* Al, et Ai, sont les variations dimensionnelfes des capteurs de déplacement. L'erreur relative commise sur la courbure est: .1 5 ( r ^ _ 5(A1) ôl 61V A Al 1 h' r ou: h ' -220 ± 5 mm : si l'on veut comparer les essais sur deux corps d'épreuve différents, / = 150 ± 2 m m : base de mesure des déformations de l'assemblage, Al < 5 mm : course des capteurs L10R utilisés, S(A1) = 0 . 0 4 : erreur absolue sur la mesure des déformations. d'où: —£-< + + = 0.05 = 5% X 5 150 220 r Si l'on désire comparer deux valeurs d'un même essai : ôh = 0 i ô(-) -^-< 0.02 = 2% ( - ) r 72 b- cas de l'excentricité: Le-P e = N + P L'erreur relative commise sur la mesure de ¡'excentricité est donnée par: 8e SP , SLe Ô(N + P) °T" s* e P Le (N + P) Or, on peut écrire: 5(N + P) ôP SN ~(N+p)"~y+iÑ" Et l'erreur relative s'écrit finalement: ôe „" ôP ôLe SN — < 2 • — + + — e P Le N Où: SP P l'étalonnage du vérin réalisé au C.S.T.B) ÔN 0.005 erreur relative sur l'étendue de mesure (valeur donnée par = 0.006 erreur relative sur l'étendue de mesure (valeur donnée par îe N dernier étalonnage de la presse réalisé au CSTB) L e — 480 ± 10 m m distance entre les points d'application des efforts peut être évaluée à 10 mm près en tenant compte des rotations parasites du dispositif. D'où l'erreur relative commise sur la mesure de l'excentricité est: ^ < 0.04 = 4% e 75 Les figures 2.18,2.19 et 2.20 ci-dessous montrent l'allure générale des 1 courbes e ( - , N ) pour différentes charges appliquées, r D'une façon générale, Sa forme de ces courbes est comparable à l'allure générale des courbes des lois de comportement des matériaux élastoplastiques avec une partie linéaire suivie d'une partie non-linéaire. La courbure et l'excentricité maximales sont d'autant plus petites que la charge totale appliquée est grande. E £ c © Ü X 200 KN 0.00E+00 5.00E-0Ó 1 .OOE-05 1.5QE-Q5 2.00E-05 2.50E-05 3.00E-05 3.50E-05 Courbure (mm-1) Figure 2.18- Courbes e ( - , N ) des assemblages pour le mortier M30. r 76 O.OŒ+00 l.OOE-05 2.00E-05 3.00E-05 4.00E-Q5 5„00E-05 6.00E-05 Courbure (mm-1) Figure 2.19- Courbes e ( - , N ) des assemblages pour ¡e mortier M5. r 60 100 KN 5 0 .. - •-•"" "" 150 KN * 200 KN 10 - • •'' 0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 Courbure ¡mm-1) 1 Figure 2.20- Courbes e ( - , N ) des assemblages de béton cellulaire. r E E 40 .2 'o +•* c ai o X 30 20 77 1 La figure 2,21 ci-dessous montre les courbes e ( - ,N) de l'assemblage des r mortiers M30 et M5 pour une charge totale de 100 KN. Ces courbes mettent en évidence l'influence importante du type de mortier sur la courbure des assemblages, On constate en effet, qu'à courbure égale, l'excentricité résultante est supérieure pour le cas du mortier M30. Ceci est dû à sa grande rigidité par rapport au mortier M5. 50 r 45 o 40 E 35 \Q) ô\J .1 25 ï 20 f © I o 15 t x 5 0 r , - n M30 M5 Charge totale 100 KN Q,Q0E+00 1 .OOE-05 2.GÛE-05 3.00E-05 4.00E-05 5.00E-05 Ó.QQE-05 Courbure (mm-1) 1 Figure 2.21- Influence du type de mortier sur les lois e(~,N) . r 1 La figure 2.22 présente ¡es courbes e ( - ,N ) de l'assemblage et du joint r de mortier pour une charge totale de 150 KN pour le cas du mortier M30. Sur cette figure, nous constatons que la courbure de l'assemblage est plus petite que celle du joint de mortier. 80 Figure 2.24- Vue de la rupture de la face tendue de l'assemblage pour une charge de 300 KN. 2-6.8 Fonctionnement et améliorations possibles du dispositif expérimental : L'analyse des résultats d'essais montre que le fonctionnement du dispositif est satisfaisant. L'étendue de son champ d'applications est vaste. En effet ce dispositif peut servir à la mesure de la résistance à la traction sous charge verticale excentrée des éléments en maçonnerie. Cependant des améliorations peuvent être apportées en particulier au niveau de l'asservissement du vérin et de la presse. L'asservissement du vérin utilisé est manuel de ce fait les imprécisions sur les valeurs des paliers des charges sont importantes et le nombre de points de mesures est faible. Nous pouvons améliorer le fonctionnement du dispositif en reliant l'asservissement du vérin à celui de la presse, et en prévoyant une saisie en continue des résultats pour améliorer la précision du modèle. 81 2-7 Essai de compression sur trumeaux: Les trumeaux ont été essayés sous charges centrées ou excentrées sous une presse Losenhausen de 5000 KN. Des rotuies auxifiaires ont été interposées entre éléments d'essais et plateaux de la presse pour permettre d'une part une libre rotation des extrémités du trumeau et d'autre pour que l'excentricité de la charge soit aussi précisément définie que possible. Il est à noter que pour ces essais de validation, nous nous sommes ¡imités à l'étude de trumeaux montés avec des joints de mortier M30 de 1 cm d'épaisseur. Le tableau 2.6 résume le programme d'essai sur trumeaux. Nbre. d'essai 2 2 2 1 1 Caractéristiques des maquettes Type de bloc béton de ciment béton cellulaire Type de mortier M30 colle Dimensions (cm) 15x100x240 15x90x240 15x90x240 Excentricité initiale (mm) 0 25 40 0 25 Schéma - LM^ 3±c Mt Tableau 2.6- Programme d'essai sur trumeaux. 2-7.1 Dispositif de mesure des déformations: Le dispositif de mesure des déformations comporte des capteurs électriques de déplacement de type L10R d'une plage de mesure de ±5 mm. L'erreur de mesure de ces capteurs est de ±0.02 mm. Ces derniers ont été fixés sur une règle en aluminium placée le long de l'axe du trumeau à l'aide d'un appui couteau à la partie haute du trumeau et d'un appui rotule à sa base. 82 Cette règle matérialise ainsi S'axe initial de îa tranche verticale du trumeau. Ces capteurs permettent ainsi les mesures des déformations globales du trumeau et des flèches en haut, en bas et à mi-hauteur du trumeau. La base de mesure des déformations globales est de 1980 mm. Des capteurs de déformations locales ont été également placés sur les faces de parement au droit des joints de mortier à mi-hauteur du trumeau. Ils sont constitués par des capteurs de type L2R. La base de mesure étant de 100 mm. La figure 2.25 montre un schéma du dispositif adopté. A— *4 —cr3— vue de coré face ¡aue I Ü I I — l f 10 I I | vue de celé face impaire f.'.-y.'."-.-:- •.--•:•.•:•.•:•.•:•:•-"-.•.:.;.>:•:•:-:-:•:-:-:-.-:-:-::-::-:-: :-:-:-:-•-: :-:-:•_:• -; -_- : : f "" ~ " - - i — "~" Í Jn ¡ ! 1 s ! -L 1 UH 4M— 17-=±d—JL. m- Figure 2.25- Dispositif de mesures des déformations des trumeaux. 85 2-7,3 Résultats des essais sur trumeaux: 2-7.3.1 Résistance à ia compression: Le tableau 2.7 donne les principaux résultais des essais sur trumeaux. Caractéristiques des maquettes Type de bloc béton de ciment béton cellulaire Type de mortier M30 mortier colle Excentricité initiale (mm) 0 25 40 0 25 Cont. moy. de rupture (Mpa) 12.6 10.4 5.65 4.20 4.0 Flèche mesurée (mm) 1.43 2.57 6.21 0.25 2.72 Tableau 2.7- Résultats des essais sur trumeaux. L'analyse des résultats de ce tableau montre que l'influence de l'excentricité sur la résistance des trumeaux est importante. La chute de résistance du mur excentré de 40 mm par rapport à celle du mur centré est de l'ordre de 45%. La figure 2.26 montre la variation de !a résistance des murs de blocs en béton avec l'excentricité de la charge. Le rapport de la résistance du mur sous charge centrée par rapport à celle de l'assemblage est d'environ 0.8 et de 0.5 par rapport à la résistance des blocs. Ceci met en évidence l'influence importante de l'élancement et surtout des joints verticaux puisque la ruine du mur se produit par fendage. Pour le béton cellulaire, la résistance du mur reste proche de celle du bloc. Leur rapport est de l'ordre de 0.95. 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 Excentricité (mm) Figure 2.26- Variation de la résistance du mur avec l'excentricité. Ce tableau présente également les valeurs moyennes de la flèche à mi-hauteur des murs pour les différents cas d'excentricité. Du fait que les capteurs de déplacement ont été retirés avant que survienne la rupture, ces valeurs ne représentent pas les flèches maximales à la rupture des murs. Nous constatons pour le cas d'une charge centrée, une flèche du mur d'environ 1.43 mm. Ce résultat montre que malgré ¡es précautions prises, les imprécisions sur l'excentricité avec laquelle les charges sont effectivement appliquées aux corps d'épreuve par la presse sont importantes. 2-7.3,2 Courbes de comportement (a-e): A partir des mesures faites par les capteurs de déplacement globaux sur les trumeaux, nous avons tracé les courbes a-e pour ¡es différents cas d'excentricité de !a charge. La figure 2.27 montre l'allure de ces courbes. 87 Nous remarquons que l'excentricité de ¡a charge augmente la concavité de la courbe a-e. Les déformations en compression et en traction augmentent avec l'excentricité. Ceci peut être expliqué par !es effets du second ordre qui s'amplifient avec l'excentricité de ia charge et l'élancement, Nous constatons également que pour une excentricité de 25 mm correspondant à la limite du noyau central de la section droite du mur, les déformations de la face tendue du trumeau restent faibles et proche de zéro au début du chargement. face tendue *• * mur centré • A • essai — lissage e= 25 mm e= 40 mm r>-> face comprimée -0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 Déformations Figure 2.27- Courbes a-e globale des trumeaux en bloc pour différentes excentricités. 2-7.3.3 Déformées des trumeaux: Les déformées ont été tracées à partir des mesures faites à chaque palier de chargement. L'examen des déformées est intéressant à divers égards. Les figures 2.28 et 2.29 en donnent une représentation pour íes divers cas de chargement. 90 Dans le cas de l'excentricité de 40 mm, des fissures horizontales sont apparues sur la face tendue avant que ne se manifeste le début d'écrasement du mortier et des blocs sur la face comprimée. La ruine des murs se produit par un déversement latéral. Notons qu'en raison de l'allure dynamique du phénomène, il n'a pas été possible d'observer de façon détaillée le comportement au voisinage de la rupture. Notons également l'absence de fissures verticales dans le mur. Figure 2.30- Vue après rupture d'un mur sous charge centrée. 9! 2-8 Conclusions: L'étude expérimentale d'identification réalisée a permis de déterminer les différentes caractéristiques de déformabilité des matériaux utilisés: loi de comportement, contraintes et déformations ultimes. D'une façon générale, le comportement des blocs et des assemblages est sensiblement non-linéaire. Ces essais ont mis en évidence également l'influence du type de mortier sur la résistance à la compression des assemblages. La détermination des caractéristiques mécaniques du mortier des joints a également été menée. Les essais sur des éprouvettes découpées dans les joints de mortier après durcissement ont mis en évidence l'influence des phénomènes de succion des blocs sur les caractéristiques mécaniques du mortier. Cette étude a montré également que la détermination de la loi de comportement du mortier à partir de celle des assemblages en utilisant l'approche proposée par PAGE sous-estime !a valeur du module d'élasticité initiai du mortier. Le dispositif expérimental mis au point a permis d'étudier l'influence de l'excentricité et de la courbure à effort maintenu constant, sur la déformabilité des assemblages de maçonnerie ainsi que les modes de rupture observés et également l'influence du type de mortier sur la déformabilité des assemblages. L'analyse des résultats d'essais a montré que le fonctionnement du dispositif est satisfaisant. Cependant des améliorations peuvent être apportées et en particulier au niveau de l'asservissement du vérin et de la presse. L'étude expérimentale sur trumeaux de hauteur d'étage de mortier M30 a aussi été présentée. Les données expérimentales ainsi rassemblées ont permis de cerner l'influence de l'excentricité sur le comportement des éléments élancés ainsi que les modes de rupture observés. 92 CHAPITRE 3 PROPOSITION D'UNE METHODE DE CALCUL DE LA CAPACITE PORTANTE DES MURS ELANCES. 3-1 Introduction: La difficulté de l'étude des structures élancées comprimées réside dans leur comportement non-linéaire qui résulte d'une part d'une cause géométrique, les flèches engendrant des moments du second ordre dans les éléments comprimés et d'autre part du comportement mécanique non-linéaire des matériaux constitutifs. Dans les murs en maçonnerie de petits éléments, la difficulté est encore accentuée par la présence des joints et en particulier les joints horizontaux. En effet, le comportement des joints pose un certain nombre de problèmes parmi lesquels celui de leur influence sur la résistance des murs. Les joints déterminent en effet, le schéma de fonctionnement du mur, puisque c'est d'eux que dépendent le mode de distribution des efforts sur les éléments et Se degré plus ou moins élevé de la continuité entre les blocs superposés. De plus, par les singularités qu'ils comportent et par les effets secondaires qu'ils engendrent, ils peuvent provoquer de sensibles réductions de la résistance des murs élancés. La prise en compte de l'hétérogénéité de la maçonnerie est donc nécessaire à une analyse plus fine de son comportement. Dans ce chapitre, nous présentons la méthode de calcul développée dans le cadre de cette étude. Elle permet de prendre en compte le caractère anisotrope de la maçonnerie en considérant le mortier du joint comme un matériau qui participe du point de vue structurel à !a résistance de la maçonnerie. 95 JVL = g(-,N) r La déíerminaíion de l'effort critique peut se faire par résolution numérique des 1 1 équations non-linéaires M , = f ( - , N ) et Mr = g ( - , N ) . r r Graphiquement, la solution revient à déterminer le point de tangence des courbes de variation des moments M , et de M , en fonction de la courbure. C'est le critère adopté par le Comité Européen du béton (C.E.B) [37]. L'interprétation graphique de ce phénomène est donnée ci-dessous. Sur la figure 3.2 ci-après est représenté le réseau de courbes de variation du moment résistant Mr en fonction de la courbure pour différentes valeurs de l'effort appliqué. Sur ce réseau est tracé également la courbe (D) représentant ¡a variation du moment appliqué M en fonction de ¡a courbure de la section m pour une excentricité initiale donnée et à un élancement donné. 96 Moment (ou excentricité) moment du second ordre Mu moment du premier ordre M( Courbure Figure 3.2- Critère de rupture par instabilité du mur dans le diagramme moment-courbure. Sur cette figure, la courbe (D) coupe la courbe du moment résistant en fonction de la courbure de la section m correspondant à N-) en deux points d'équilibres E-¡ et E2. Au point El correspond un état d'équilibre stable. Cela signifie que le moment résistant Mr équilibre le moment des forces appliquées M. . De plus, si nous déformons légèrement ce mur à effort normal constant en lui imposant une augmentation de la flèche et donc de la courbure, le moment résistant croît plus vite que le moment appliqué. dM< SM, > 97 Au point E2, îe moment appliqué croit plus vite que le moment résistant; c'est le point d'équilibre instable. < d\ m in Vrj a \TJ Pour une certaine valeur de l'effort appliqué N2, !a courbe du moment résistant en fonction de la courbure correspondante est tangente à la courbe (D). N2 est l'effort critique, Il représente la valeur maximum de l'effort pour lequel l'équilibre stable est encore possible. Au delà de cette valeur, il n'y a plus de point de contact entre les deux courbes, donc aucun équilibre n'est possible. C'est la divergence de l'équilibre. Au moment de la divergence de l'équilibre, la section la plus sollicitée n'est pas épuisée en flexion composée, puisque, à effort normal constant, le moment interne peut encore y croître, mais moins vite que le moment des forces extérieures. La charge critique peut être également déterminée graphiquement sur la courbe de variation de l'effort normal appliqué en fonction de la flèche maximum ym à mi-hauteur du mur pour une excentricité initiale et un élancement donnés. L'allure générale de cette courbe est montrée sur la figure 3.3. L'effort de rupture par instabilité géométrique est caractérisé par le dN A point de tangence horizontale à cette courbe ( = U). dym IOC« Sous l'action de la charge verticale N, le mortier et íes blocs se déforment. En considérant que les blocs sont plus rigides que le mortier, le mortier des joints horizontaux "H" tend à se déformer latéralement plus que les blocs. Avec cette déformation latérale, le joint vertical "V" est soumis à des forces horizontales qui tendent à le séparer des blocs alors que le joint horizontal "H" est confiné. Il en résulte alors des contraintes de traction entre les blocs et les joints de mortier verticaux et des contraintes de traction dans le bloc. N fîiuuimiuininft f=F ^rr?m^m^^ 4-^-v .»wmfttegg » W^fT^'i^^^i^WFgS'T M ^ m. r i r -i '"*"»iy>miwßvm S¿M.,&.:, 5 ^ | w jy^ i . yu^agg ; Figure 3.4- Schéma du mur en maçonnerie. La figure 3.5 montre l'état des contraintes dans un élément représentatif du muren maçonnerie. 101 KM 5-K xm y CTxm @y Oh Kb Figure 3.5- Distribution des contraintes dans un élément bloc-joint. 3-3.2.1 Cas des charges centrées: Les déformations locales latérales dans le bloc et les joints de mortier sont exprimées par les relations élastiques linéaires suivantes: Dans le bloc: (1) Ovb Œb £xb = — • Vb H AZjb H/b • Dans le mortier horizontal: (2) Oxmh ~~ * Vm ~~~" ™ F F Dans le mortier vertical: (3) ökb bxfflv ~ — F 102 Avant fissuration, la compatibilité des déformations latérales permet d'écrire: (4) Eraih ' \<ï "+" Cv j 8xb ' 3 + Etmv - Cv D'où (5) — (<5M. Vm - Gkm)( a + ev) = — (cxb * u + ab) • a + — • ev t m ü b l_/m L'équilibre des forces verticales dans le bloc et dans le joint vertical donne: (6) OÇM • (a + ev) = a* • a + cw • a En négligeant le terme (J,™ • e, devant ĉ b • a, l'équation (8) s'écrira: (7) OVM — Qyb a + ev L'équilibre des forces latérales dans le joint vertical donne: (8) *3<m — VAb Des équations (5), (7) et (8), la contrainte latérale dans le bloc est donnée par: (9) Okb — Oyb dm Vm — Vb l + Eb ( Cv w Ç v ^ + — • i + Va eh v a y J En posant Vm ~ Vb M 1 + Eb ( Q, c C £Z/m — V \ a eh A' 1 + 105 La figure 3.7 montre ¡'influence de l'épaisseur du joint horizontal sur la résistance de la maçonnerie. Il apparaît également que l'épaisseur excessive du joint horizontal est défavorable à la résistance de la maçonnerie. 12 S .£ a> g c c o JU/m Vb = 0.18, vm = 0.25 Cv = 10 mm a = 500, c = 2 0 0 m m T3 u c m W 'S OC 0 — - 10 20 30 Epaisseur du joint horizontal (cm) 40 50 Figure 3,7- influence de l'épaisseur du joint horizontal sur la résistance de la maçonnerie. La figure 3.8 montre l'influence du rapport — des modules d'élasticité des blocs et du mortier des joints sur ¡a résistance de la maçonnerie. Cette figure montre que lorsque le rapport — est égal ou supérieur à 1, son influence sur la résistance de la maçonnerie devient faible. En revanche lorsque ce rapport est inférieur à 1, son influence est importante. 106 «o a. S 12 .2 m § 10 o Ci- ta E 8 SS TJ Oí o c « "w MS) ce 16 - Vb = 0.18, vm = 0„25 Cv = 10 mm, eh = 10 nim a = 500, c = 200mm 14 O — O 2 4 6 8 10 Eb F Eb Figure 3.8- Influence d e — sur la résistance de la maçonnerie. 3-3.2.2 cas des charges excentrées: Le modèle précédent est également applicable dans le cas où ¡es charges appliquées sont excentrées dans la zone comprimée de la section droite du mur. On considère que la répartition des contraintes est uniforme sur une certaine épaisseur hc de la section du mur. La figure 3.9 ci-dessous montre la répartition des contraintes dans la section droite du mur. 107 Figure 3.9- Diagramme des contraintes dans la section du mur sous charge excentrée. Le ca!cu! de l'épaisseur hc se fait en considérant que !a répartition de la contrainte de compression a i de ¡a fibre extrême la plus comprimée résultant de l'effort appliqué N excentré de e est uniforme sur l'épaisseur hc. N = <3\-a-hc La valeur de hc est alors: N hc = G i - f l 1Î0 Soit à déterminer les déformations d'une section soumise à un effort N excentré de e. Du fait de la non-linéarité du comportement du matériau, le calcul des valeurs des déformations ne peut se faire que par un processus itératif. En supposant connues les déformations aux extrémités de la section et la loi de comportement a(e) du matériau, l'effort développé N et l'excentricité de ¡a charge e peuvent être calculés par les expressions suivantes: N = JE(j(s).ds M = Lcy(e).8.de M e = — N M étant le moment de l'effort N par rapport à la fibre la plus comprimée. De plus, en raison de l'hypothèse de la conservation de ¡a planéité des 1 sections droites, les déformations extrêmes 81 et 82 et la courbure - de cette r section sont liées par la relation: 1 81 — 82 r~~¡r~ On définit ainsi, numériquement, les lois excentricité-courbure à effort normal donné. Il s'agit de lois "locales" valables pour une section et un matériau donnés. La méthode numérique utilisée pour le calcul des déformations est une extension de ¡a méthode de NEWTON-RAPHSON. I l l 3-4,3.2 Organigramme de ta méthode: L'organigramme de la figure 3.11 ci-dessous présente les grandes lignes de ce programme. Les étapes du calcul de ce programme sont résumées comme suit; 1- Lecture des données géométriques et mécaniques des différents matériaux constitutifs du mur. 2- Choix d'une valeur de l'effort normal N pour la détermination de la loi 1 e ( - , N ) . Le pas de l'effort choisi est de 20 KN. r 3- Choix d'une valeur de l'excentricité e avec laquelle l'effort est appliqué. Le pas de calcui est de 2.5 mm. 4- Détermination des déformations des fibres extrêmes de la section par la méthode numérique de NEWTON-RAPHSON et calcul de la courbure correspondante de la section considérée. 5- Vérification des critères de rupture: • Comparaison de la déformation du côte tendu e2 et de la déformation ultime en traction. Si celle-ci n'est pas atteinte, la section n'est pas fissurée. Si elle est atteinte, la section est fissurée, calcul de la section utile. • Comparaison de la déformation du côte comprimé s-] et de la déformation ultime en compression simple. Si celle-ci n'est pas atteinte, retour à l'étape 2 pour ie pas suivant de la charge. Si elle est atteinte, passage à l'étape 8. • Vérification de ¡a rupture de la maçonnerie par fendage avec ie modèle proposé. 1 6- Enregistrement des résultats obtenus e ( ~ , N ) . r ' 7- Reprise du calcul pour la valeur suivante de l'excentricité. 112 Lecture des données; * géométriques: hauteur, largeur, épaisseur des matériaux * mécaniques: IOI(CJ-E) en traction et en compression contrainte et déformation ultime * excentricité, initiale e W k=l. n 1 f Choix du pas de calcul de la charge initialisation de N ( valeur au point précédent + 6 N ) i=l, m Choix du pas de calcul de l'excentricité initialisation de e-( valeur au point precedent + 8 e ) calcul des déformations par la méthode de Newton Raphson k=k+1 Enregistrement des résultats Figure 3.11- Organigramme du programme Curve. Calcul des lois e ( - , N ) . r 115 Bin) _ J * _ n a ft 1 ¡ ~—_. A x(n) •i xfij Ax(3) A x(2j A x(1) t._h_ 6(0) Figure 3.13- Discrétisation du muren tronçons. 3-4.4.2 Mise en équation: Dans la position d'équilibre du poteau déformé, chaque section est soumise à: • un effort normal N, • un moment de flexion, somme du moment du premier ordre calculable d'après les équations élémentaires de l'équilibre et du moment du second ordre, égal au produit de la charge N par la flèche à priori inconnue. Comme on peut le voir sur la figure 3.14, le moment total en un point quelconque i est alors: (. X,:A M(1) = M(o). 1 +M(»i — + N - y V L J L X(¡) 116 Comme M<¡) = N em, on peut écrire: Cm — [Cd) — C(o) ' x,,) + e(o, + y, y( i) étant la flèche au point i considéré. £(n) Min (n ) N-y, (•) Mo Mi ¡0) Figure 3.14- Schéma du mur et de la distribution des efforts, La flèche y,o peut s'écrire sous la forme d'un développement de TAYLOR en se limitant aux termes du second degré): y<o = y ( , - .) + y \ , - . ) . Ax( i) + y"(i Ax(o' La dérivée première de l'équation précédente peut s'écrire en se limitant aux termes du second degré: y\ i) = y',¡ -1 , + y" ( . - u • Ax(1) 117 Soit encore: 1 (AX(„): y„, = y„-,) + y',1-n.ÁX(o y\,> = y\ , . „ • AX(o T(, - i) Y i, - i) Ä OU y(i) et y ( i o désignent respectivement ¡a flèche aux tronçons (i) et (i-1) y'(i) et y'f¡ ¡> désignent respectivement la rotation des tronçons (i) et (M) 1 r<. désigne la courbure du tronçon (i-1) d - D AX(i) désigne la longueur du tronçon (i), (dans le bloc ou dans le joint). 3-4.4.3 Résolution: Soit à déterminer la déformée d'un élément élancé sous l'action d'une charge N excentrée de e. Nous supposons, pour simplifier le problème que les excentricités en tête et en pied du mur sont égaies. L'objet étant la construction de la courbe charge-flèche à mi-hauteur du mur. On se donne une valeur de la rotation initiale y\<» à la base du mur. Les déformations et les flèches des tronçons successifs peuvent alors se déduire de proche en proche de la façon suivante: La courbure de chaque tronçon est déterminée connaissant la charge et l'excentricité du tronçon précédent par la méthode de NEWTON-RAPHSON. et les critères de rupture sont vérifiés pour chaque tronçon. 120 ys Lecture des données; * géométriques: hauteur, largeur, épaisseur des matériaux nombre de tronçon dans chaque element (bloc & joint) * mécaniques: loi (a-e)en traction et en compression contrainte et déformation ultime * excentricités initiales à ¡a tête et à la base du mur Choix de la valeur de ia charge N iter=l V choix de ia valeur de ¡a rotation de la base de l'élément changement de N i= 1, n nombre de tronçon calcul des déformations par la méthode de Newton-Raphson (veification des critères de résistance de la maçonnerie) calcul de la flèche, de la courbure et de l'excentricité des tronçons par les formules suivantes: y<.. = yi.-.) + y\.-.) Axr» ^ — ¿ - y'<.) - y'( r ( , - n Xr„ • • A x ( , > Ci» = (e(n-, - e<oi)-— + e<„) + y( l i=i+l iter=iter+l calcul de la valeur initiale de la rotation y'(iter - 2 ) - y ' ( i t e r - 1) y'(iter) = y'(iter - 1) +- y ( n ) ( i t e r - l ) - y ( n ) ( i t e r - 2 ) Enregistrement dies résultats N-Yffl Figure 3.16- Organigramme du programme ELAN. Calcul de la déformée du mur. 121 3-4.5 Détermination de la charge de ruine Nmax: Cette partie du programme détermine Sa charge de ruine du mur. La ruine peut survenir soit par instabilité géométrique telle que définie au paragraphe 3,2, soit par épuisement de la résistance à la compression, soit encore par rupture parfendage de la maçonnerie (paragraphe 3.3). La valeur de la charge de ruine Nmax peut être relevée sur le diagramme de variation de l'effort normal appliqué en fonction de ¡a flèche maximum produite au niveau de la section médiane. Le diagramme de variation de l'effort appliqué en fonction de la flèche à mi-hauteur ym peut être établi point par point en augmentant progressivement l'effort N. Lorsque ce dernier dépasse la valeur de Nmax, aucun équilibre ne sera possible, plus précisément, l'équilibre de la section m ne pourra être vérifié. SI est nécessaire de réduire dés lors le pas de calcul de N pour évaluer la valeur de Nmax avec le plus de précision. 3-4,5.1 Organigramme: La figure 3.17 montre l'organigramme de calcul de l'effort maximum que peut supporter le mur en maçonnerie. 122 Données: * géométriques: hauteur, largeur, épaisseur des matériaux * mécaniques: 1OÍ(<J-E) en traction et en compression contrainte et déformation ultime * excentricités initiales à la tête et à ia base du mur k=l Choix du pas de calcul de la charge initialisation de N ( valeur au point precedent + 8 N ) Figure 3,17- Organigramme du programme de calcul ELAN. Calcul de Nmax. Recherche de Nmax Í25 3-5 Conclusions: Dans ce chapitre, ont été développées S'approche théorique du modèle proposé, ainsi que les différentes étapes du calcul utilisé dans Sa méthode. Le programme CURVE, permet de déterminer les courbes 1 caractéristiques e(—,N) pour une section et un matériau donné. Ces courbes r permettent l'étude de la variation des déformations extrêmes ( ou courbure ) de la section en fonction de l'excentricité et de la charge appliquées. Le programme ELAN calcule la capacité portante des murs élancés en maçonnerie. La capacité portante est la charge pour laquelle l'un des critères de rupture suivants est atteint: • critère de rupture par instabilité géométrique, • critère de rupture par écrasement de la section comprimée la plus sollicité, • critère de rupture par fendage de la maçonnerie. Ce dernier dépend à la fois des caractéristiques mécaniques et géométriques des matériaux constitutifs. 126 CHAPITRE 4 COMPARAISONS DES RESULTATS THEORIQUES ET EXPERIMENTAUX 4-1 Introduction; Le modèle de calcul de la capacité portante des murs en maçonnerie proposé au chapitre précédent est basé sur un certain nombre d'hypothèses concernant aussi bien ies îois de comportement des matériaux constitutifs de ¡a maçonnerie que l'interaction entre les différents matériaux, par conséquent, seules les confrontations avec les résultats expérimentaux peuvent les justifier. Comme toute évaluation de ce genre, celle-ci a pour but essentiel d'étudier la validité de la méthode proposée. Pour cela elle ne se limitera pas aux seules valeurs de résistance à la rupture de la structure mais elle visera également à exploiter au maximum tes données expérimentales disponibles et la vérification de ia sensibilité du modèle aux différents paramètres qui interviennent. La validation de la méthode se fera en deux étapes: 1- validation du modèle de calcul numérique des courbes excentricité-courbure à 1 effort normal donné e(—,N) connaissant la loi de comportement et les r caractéristiques géométriques des matériaux constitutifs de la structure. Cette validation permettra ia généralisation du processus à d'autres valeurs de l'effort appliqué que celles qui ont fait l'objet d'essais. 2- validation du modèle de calcul de la déformée des murs en maçonnerie élancés et leur capacité portante, connaissant l'excentricité de l'effort appliqué et l'élancement de la structure ainsi que les caractéristiques mécaniques et géométriques des différents matériaux constitutifs. 127 4-2 Courbes effort-excentricité-courbure e ( - , N ) : r 4-2.1 Introduction: Les courbes e ( - ,N ) à effort normal constant expérimentales sont r comparées aux courbes de calcul dans le cas des assemblages de mortier M30, M5 et des assemblages de béton cellulaire. Les lois de comportement adoptées sont celles tirées des essais d'identification sur assemblages en charge centrée sur ¡a base de mesure des déformations de 100 mm. L'équation générale est de la forme parabolique dont les coefficients sont calculés par la méthode des moindres carrés. Gc = a-& + b- Se2 où: a = E>: module d'élasticité initial, 4-2.2 Données mécaniques (paramètres du modèle) Les données mécaniques des ¡ois de comportement utilisées dans les calculs sont résumées dans le tableau ci-dessous. La résistance à la traction des différents matériaux est considérée nulle. L'influence de la prise en compte de cette résistance est étudiée dans le paragraphe 4-2.4 suivant. 130 60 50 (m U lj «as ci t 'SI 4-» c u X LU 40 30 20 10 1 0 0 KM _. -"-"" • 2 0 0 KN A 3 0 0 KN A ô " essai — calcul A A ù. A 0 d':- * à 0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 0,00006 Courbure (mm-1S Figure 4.2- Courbes e ( - , N ) expérimentales et théoriques des assemblages r de mortier M5. La figure 4.3 montre également une comparaison des courbes 1 e ( - , N ) expérimentales et de calcul pour le cas d'assemblages de béton r cellulaire. D'une façon générale la concordance est satisfaisante. ¡31 60 50 H too KIM 40 - „,- 150 KN . ' - - - A 30 - • / ^ - - ' • A • essai 20 - .•-' A « 200 KN ___- — calcul 10 - , ' ^ - - - - " " 0 «ell T , h 0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002 0,000025 0,00003 Courbure (mm-1¡ Figure 4.3- Courbes e ( - ,N ) expérimentales et théoriques des assemblages de r béton cellulaire. 4-2.4 Influence de la résistance à la traction des matériaux : Les lois de comportement adoptées pour les matériaux sont, selon l'usage, déduites des essais de compression centrée sur des éléments peu élancés. Ceci ne permet pas de connaître la résistance à la traction des matériaux qui, dans la réalité n'est pas nulle. Or lorsque l'excentricité de la charge appliquée est élevée, des zones tendues apparaissent sur certaines sections. L'étude de l'influence de la prise en compte de la résistance à la traction dans !es calculs numériques est donc nécessaire. Rappelons que dans le cas des assemblages de maçonnerie, la valeur de résistance à la traction prise en compte dans les calculs est ia plus faible des valeurs de la résistance à la traction des matériaux et de l'adhérence mortier-bloc. 132 E E Les données expérimentales en traction tirées des essais sur trumeaux réalisés ont permis d'estimer la déformation en traction à la rupture à 250.10~6. Cette valeur correspond au début d'ouverture des joints horizontaux du mur. Elle sera utilisée en supposant que le matériau a un comportement élastique linéaire en traction. Le module d'élasticité est supposé égal au module initial de la Soi de comportement en compression du matériau. La figure 4.4 ci-dessous représentant la variation de l'excentricité en fonction de la courbure des assemblages de mortier M30 pour une charge totale de 100 KN montre que l'influence de la prise en compte de la résistance à la traction est négligeable sur le comportement des matériaux et en particulier au voisinage de la rupture. La prise en compte de la résistance à la traction dans les calculs a pour effet d'augmenter la valeur de l'excentricité à partir de laquelle la section commence à se fissurer. La prise en compte de la résistance à la traction à tendance à diminuer légèrement la courbure pour une excentricité donnée de la charge. 60 50 r 40 - • "3 30 "c o LU 20 10 Sans résistance à la traction Avec résistance à ta traction charge totale 100 KN 0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002 0,000025 0,00003 0,000035 Courbure (mm-1) Figure 4.4- Influence de la résistance à la traction du matériau sur les courbes e(- ,N). r 135 Charge totale 100 KN 0,4 0,35 S itr ic ité r é d u ite (e i o X LU 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 - ."" k - A - • v. à m :LA m - "A Z* * ~::A • £- 0 A *' . • 0,000005 "0,00001 Courbure (mm-lî ...... — - — * h = 200 mm h = 250 mm — - • — h = 150mm ! • ^ F\ ^ \ • • •• • I! Ik h= 100 mm 0,000015 0,00002 1 Figure 4.6- Influence de î'épaisseur des blocs sur les Sois e ( - , N ) , r Nous remarquons qu'à excentricité réduite égale, les courbures correspondantes sont d'autant plus petites que l'épaisseur des blocs utilisés est grande. Ce résultat met en évidence l'influence importante de l'épaisseur sur la stabilité des éléments élancés. On constate par exemple, pour l'excentricité réduite de 0.15 que le passage d'une épaisseur de 150 mm à 100 mm double la valeur de la courbure correspondante. 4-2.7 Conclusion: 136 La comparaison présentée montre d'une manière générale une bonne correspondance entre les résultats de calcul et expérimentaux. Celle-ci est d'ailleurs tout à fait satisfaisante dans le cas des assemblages de mortier M30. En revanche, dans le cas des assemblages de mortier M5, des divergences apparaissent pour les fortes valeurs d'excentricité. Ces divergences sont dues à la faible rigidité du mortier qui s'écrase. Nous avons également montré que l'influence de la prise en compte de 1 la résistance à la traction dans les calculs des lois e ( - ,N ) est négligeable pour r le cas des assemblages utilisés. Il n'en est pas de même de l'influence de la valeur du module d'élasticité initial. En conséquence, le modèle numérique de calcul des lois e ( - ,N ) r proposé CURVE peut donc être appliqué à d'autre valeurs de l'effort normal appliqué. 4-3 Essai sur trumeau de hauteur d'étage: 4-3.1 Introduction: Les résultats théoriques de la simulation avec le modèle ELAN développé sont comparés aux résultats d'essais centrés et excentrés sur trumeaux de hauteur d'étage réalisés dans la campagne expérimentale. 137 Deux types de calculs numériques ont été étudiés: - Dans le premier nous considérons la maçonnerie comme un matériau homogène avec des caractéristiques mécaniques moyennes. La loi de comportement du matériau maçonnerie homogénéisée est tirée des essais en compression centrée sur assemblages de mortier M30 avec un dispositif de 100 mm de base de mesure. - Le deuxième type de calcul est fait en considérant la maçonnerie comme un matériau hétérogène. Dans ce cas, nous considérons ¡es caractéristiques mécaniques et géométriques des différents matériaux bloc et mortier des joints. La loi de comportement et les valeurs des déformations et contraintes ultimes des blocs sont tirées des essais de compression centrée sur blocs réalisés et celles du mortier des joints sont tirées des essais de compression centrée sur des éprouvettes 4x4x2 cm3 récupérées des joints de mortier après durcissement. 4-3.2 Données mécaniques (paramètres du modèle): De la même façon que précédemment, l'équation générale des lois de comportement adoptées est de forme parabolique dont les coefficients sont calculés par la méthode des moindres carrés. Les trumeaux de hauteur d'étage modéîisés sont d'environ 2400 mm de hauteur et constitués de 10 rangées de blocs de 200 mm de largeur et de 11 lits de mortier de 10 mm d'épaisseur. L'épaisseur des joints verticaux est prise égale à 10 mm. La semelle en béton sur laquelle est construit le mur ainsi que le chaînage en béton qui couronne ce dernier ont environ 150 mm d'épaisseur. Ils sont supposés constitués du même matériau que les blocs utilisés. 140 Sur la figure 4.8 ci-dessous, nous constatons également , pour !e cas d'excentricité de 25 mm, une bonne concordance des résultats des deux types de calcul avec les résultats d'essais pour les déformations des fibres comprimées et tendues. Cette concordance semble être moins bonne pour le cas du matériau homogénéisé. s - A  expérimentation mat. hétérogène mat. homogenise -4,00E-04 -2,00E-04 0,00E + 00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1.20E-03 Déformation Figure 4.8- Courbes (cr-e) expérimentale et théorique des trumeaux sous charge excentrée (e=25 mm). La figure 4.9 montre que pour une excentricité de 40 mm, ¡e cas d'un matériau hétérogène semble mieux suivre l'évolution de la courbe (a-s) expérimentale. e = 25 mm a. c 'S c o o Face tendue Face comprime 141 G. I Oí e 'S a - • M C O o ^ A > . A"'- Face tendue ^ 3,5 3 2,5 \ 2 \ A V 0,5V - - - i— - / A e = 40 mm Face 4 V àT À expérimentation "u— mat. hétérogène mat. homogénisé comprimée -8.00E-04 -6,00E-04 -4,00E-04 -2,00E-04 O.OOE + 0 2.00E-G4 4.0GE-04 6.00E-04 8,00E-04 1,00E-03 Deformation Figure 4.9- Courbes (a-e) expérimentale et théorique des trumeaux sous charge excentrée (e = 40 mm). 4-3.3.2 Flèche à mi-hauteur La figure 4.10 montre la variation de la flèche mesurée et de la flèche calculée à mi-hauteur du mur dans les cas des matériaux homogénéisé et hétérogène en fonction de la contrainte moyenne appliquée pour différents cas d'excentricité de ¡a charge. Pour éviter la destruction du dispositif expérimental et pour des raisons de sécurité des personnes, les capteurs de déplacement ont été retirés avant que survienne la rupture des murs: la confrontation entre les résultats théoriques et expérimentaux ne portera pas sur les valeurs à la rupture de la flèche à mi- hauteur du trumeau, mais sur l'allure de la variation de cette flèche en fonction de la contrainte moyenne. 142 mur centré 12 10 e = 25 mm ^ • A expérimentation ———— mat. hétérogène mat. homogenise e = 40 mm Figure 4.10- Courbes contrainte-flèche à mi-hauteur expérimentales et théoriques des trumeaux pour différents cas d'excentricité. D'une façon générale, nous constatons une bonne concordance entre les valeurs expérimentales et de calcul. Pour l'excentricité initiale de 2 mm, Ses valeurs de calcul dans le cas du matériau hétérogène est très proche des valeurs d'essais sur mur centré et semble suivre l'évolution de la flèche avec Sa charge. Pour le cas du matériau homogénéisé, Sa concordance entre les valeurs de calcul et d'essais est moins bonne et en particulier pour les fortes contraintes. Pour les cas d'excentricité de 25 et 40 mm, l'écart entre les valeurs d'essais et de calcul s'accentue avec l'augmentation de la contrainte dans la section. Ceci peut être expliqué probablement par un fonctionnement défectueux des rotules auxiliaires qui fait qu'on peut considérer les conditions d'appuis comme des semi-encastements. La légère reprise de rigidité de la structure montrée par les résultats d'essais confirme cette hypothèse. Î45 horizontaux du mur. Elle sera utilisée en supposant que le matériau a un comportement élastique linéaire en traction. Le module d'élasticité est supposé égale au module initial de la loi de comportement en compression du matériau. La figure 4.12 ci-dessous montre l'influence de la prise en compte de la résistance à la traction des différents matériaux sur la variation des déformations de la face tendue du mur en fonction de la contrainte moyenne appliquée pour le cas d'une excentricité de 40 mm. Matériau hétérogène ss a. S A Essai Sans résistance à la traction S n--- Déformation ultime en traction 25.E-6 c ——v» o Déformation ultime en traction 2S0.E-6 Face tendue e = 4 0 m m -Q-k- -7,00E-Û4 -6,00E-04 -5,00E-04 -4,00E-04 -3,00E-04 -2.00E-04 -1,00E-04 0,00E + 00 1,00E-04 Déformation Figure 4.12- Influence de la résistance à la traction du matériau sur Ses courbes (os)- Ce résultat montre que Sa concordance est bonne dans le cas où la résistance à ¡a traction est supposée nulle. Pour évaluer cette résistance, nous avons procédé à une correction de la valeur de déformation en traction qui permet un calage des valeurs de calcul avec les résultats d'essais. La figure 4.12 montre que le calage est satisfaisant pour une valeur de déformation de 25.10"6 correspondant à une contrainte d'adhérence de 0.2 Mpa (le module d'élasticité en traction étant le même qu'en compression). 146 4-3.6 Influence de la valeur du module de rigidité initial du mortier Une simulation a été réalisée en considérant que le module d'élasticité initial du mortier est égal au double de la valeur déduite des essais d'identification sur mortier, Le coefficient b de la loi de comportement et Sa déformation ultime de la loi de comportement étant considérés constants. La résistance à la traction est supposée négligeable. Les figures 4.13 et 4.14 illustrent l'allure de ces courbes pour les différents cas simulés. « a 2 c o o Face tendu e = 25 mm -5,00E-04 expérimentation Em=10990Mpa Em=21980Mpa Face comprimée 5 f00E-G4 1.00E-03 Déformation 1,50E-03 2,00E-03 Figure 4.13- Influence de la valeur du module d'élasticité initial du mortier sur les lois (G-E) pour une excentricité de 25 mm. 147 12 10 e = 25 mm expérimentation Ero=10990Mpa Em=21980Mpa -4 5 Flèche (mm) Figure 4.14- Influence de la valeur du module d'élasticité initial sur la loi charge- flèche à mi-hauteur du mur pour une excentricité de 25 mm. Les résultats de calcul montrent que ¡a valeur du module d'élasticité initiai du mortier n'a pas une influence importante sur l'allure des courbes charge-flèche. Ce résultat confirme les constatations faites lors des essais d'écrasement sur assemblages de mortier M30 et M5. 150 L'analyse des résultats montre qu'en ce qui concerne la valeur de calcul de ¡a flèche à mi-hauteur des murs, la solution se stabilise à partir de 10 éléments de discrétisation et qu'au delà de 50 éléments, la solution est sensiblement constante, 4-3.9 Conclusion: La comparaison entre les résultats expérimentaux et les valeurs calculées par le modèle ELAN permet de conclure à une concordance d'ensemble relativement satisfaisante avec cependant quelques exceptions liées entre autres à la dispersion des résultats d'essais, aux conditions de fonctionnement des rotules auxiliaires qui altèrent les conditions de transmission de l'effort de la presse. La comparaison a également montré que le calcul en considérant l'hétérogénéité de la maçonnerie est meilleure que pour le cas d'une structure homogénéisée. 4-4 Comparaison avec les règles de calcul (EC6) : Un des débouchés immédiats de cette recherche est en fait, la validation et l'adaptation des règles de calcul existantes pour les éléments élancés en maçonnerie. L'enjeu économique et technique est capitale. Dans ce paragraphe, les résultats de notre méthode seront confrontés aux résultats de ¡a méthode proposée dans le règlement EUROPEEN (EC6) qui est désormais adopté par tous les pays de Sa communauté. Il est à noter que le reproche majeur qui peut être fait à ces règles est leur empirisme. Les formules proposées sont pour l'essentiel des courbes enveloppes tracées à partir des résultats expérimentaux sur un certain nombre de maçonneries en usage dans certains pays uniquement ( Grande Bretagne, Allemagne et Italie ). 151 4-4.1 Résistance de la maçonnerie: Les valeurs de la résistance à la compression de Sa maçonnerie en blocs en béton données par la formule de l'EUROCODE sont comparées aux valeurs calculées par le modèle simplifié basé sur un critère de rupture par fendage de la maçonnerie. Calcul avec la formule de l'EC6: La résistance de la maçonnerie est donnée par le formule: fk = K-fr-fra° 25 où fb : résistance à la compression des blocs, fm : résistance moyenne à la compression du mortier, K : constante qui tient compte du groupe de classification des éléments. La résistance à la compression fb des blocs est égale à la valeur moyenne d'essais corrigée par un facteur de forme ô qui tient compte des dimensions des éprouvettes utilisées et par un coefficient ß qui tient compte de l'état d'humidité des blocs. Dans notre cas: La valeur de résistance moyenne obtenue des essais sur blocs est de 24 Mpa ß=1 ( les blocs étaient laissés à l'air libre dans le hal! d'essai ) 0=1.25 ( valeur correspondant aux dimensions 15x20 cm2 des blocs ). D'où fb = 30 Mpa 152 La résistance moyenne d'essai à la compression du mortier est: fra est 10.75 Mpa K = 0 ( cas des blocs pleins utilisés) La valeur de la résistance de la maçonnerie est finalement: fk = 11.56 Mpa Calcul avec le modèle simplifié proposé: La valeur de la résistance à la compression de la maçonnerie est donnée dans le modèle simplifié proposé par la relation: RM = K±ii a + e M + Vb Nous rappelons que ce modèle est basé sur une interaction mutuelle des matériaux blocs et joints de mortier et suppose que la ruine se produit par fendage vertical (paragraphe 3-3). Avec: M = Eb JJ*m Vm - Vb 1 + Eb ^Cv C ^ _ + _ ev 1 + V. a J Dans notre cas, nous considérons les valeurs des paramètres ci-dessous: 155 Sur la figure 4.17 représentant ia variation du facteur de réduction (pm en fonction de l'élancement et de l'excentricité réduite de l'EUROCODE, nous avons représenté les résultats de calcul le modèle ELAN. e/h 15 20 25 30 Elancement Figure 4-17 Comparaison entre les valeurs du facteur (pm données par Î'EC6 et celles données par le modèle ELAN. On constate une bonne concordance des résultats des deux méthodes. L'allure générale des deux méthodes est comparable. Dans le cas d'une excentricité réduite de 0.01 correspondant à 2 mm d'excentricité de la charge, le modèle développé donne des résultats plus proche des phénomènes constatés lors d'essais sur murs. En effet, on constate une diminution brusque de la résistance à la compression au delà d'un élancement de 16 qui correspond à 156 une hauteur d'étage de 2400 mm. La ruine de la structure se produit par fendage vertical. Pour les autres cas d'excentricité, on constate le même mode de rupture par épuisement de la résistance à la compression de !a fibre la plus comprimée. 4-5 Conclusion du chapitre: Cette première étude de validation du modèle a donné des résultats très satisfaisants. Le modèle a montré en effet son aptitude à simuler le comportement des maçonneries de petits éléments. La plupart des comparaisons entre les résultats expérimentaux et numériques montrent une bonne concordance. La prise en compte des caractéristiques mécaniques intrinsèques des différents matériaux constitutifs du mur a donné des résultats plus satisfaisants que dans le cas de maçonnerie considérée comme matériau homogénéisé. Cependant le calcul en considérant les différents matériaux a montré d'une façon générale, que Sa résistance à la compression est sous-estimée et ceci du fait que la déformation ultime en compression du mortier est atteinte. En réalité, le mortier se trouve confiné dans un volume délimité par le joint et sa résistance réelle dans l'ouvrage est supérieure à celle donnée par les essais isolés. La comparaison des résultats du modèle avec ceux donnés par le projet d'EUROCODE est satisfaisante. Mais du fait qu'il s'agit d'une formule enveloppe établie par confrontation par défaut avec un ensemble de résultats d'essais, il serait sans doute intéressant de confronter directement les résultats du modèle avec d'autres résultats d'essais. 157 CONCLUSION GENERALE Dans cette recherche est développé un modèle de calcul de la capacité portante des murs en maçonnerie de petits éléments sous charges verticales. Le modèle est capable de prendre en compte l'influence des discontinuités mécaniques introduites par les joints horizontaux et verticaux. En effet, l'introduction dans le modèle de facteurs comme l'épaisseur des joints , les rigidités des différents matériaux et des paramètres structuraux tels que l'élancement et l'excentricité des charges appliquées permet incontestablement une simulation du comportement proche de la réalité. D'une manière générale, on a pu constater une bonne correspondance entre résultats théoriques et expérimentaux en particulier dans le cas où l'on considère la maçonnerie comme un matériau hétérogène, ainsi que la tendance de la méthode à sous-estimer la charge de rupture des éléments élancés. Cette tendance n'est d'ailleurs pas propre à la méthode proposée. Ceci peut s'expliquer par le fait que la loi de comportement déterminée par les essais sous chargement centré a une forme moins convexe qu'elle ne devrait l'être. L'homogénéisation rend la tâche expérimentale de caractérisation des maçonneries très délicate et nécessite obligatoirement des essais sur des maquettes de dimensions relativement grandes. De plus en raison du coût de l'instrumentation, des précautions à apporter à leur réalisation et du nombre important de maquettes nécessaires du fait de la dispersion importante des résultats d'essais généralement constatée, l'utilisation du modèle qui considère séparément les caractéristiques mécaniques des différents matériaux constitutifs parait très prometteuse. [15] AJ . FRANCIS, C.B HORMANN and LE. JEREMS, The Effect of Joint Thickness and other factors on the Compressive Strength of Brickwork, Proceedings of the Second international Brick Masonry Conference (Stoke- on-Trent) 1971. [16] S. RENDER, M.E. PHILLS, The effect of unit aspect ration on the axiai compression strength of Masonry, J, of the British Masonry Society, Masonry Internationa!, N° 8, July 1986. [17] A. W. 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