Chapitre 3.3 – L'énergie potentielle gravitationnelle, Lectures de Calcul

Télécharge Chapitre 3.3 – L'énergie potentielle gravitationnelle et plus Lectures au format PDF de Calcul sur Docsity uniquement! Chapitre 3.3 – L’énergie potentielle gravitationnelle Le travail fait par une force gravitationnelle constante Le travail gW effectué par une force gravitationnelle constante dépend du déplacement vertical d’un objet. On peut exprimer le déplacement à partir d’une une hauteur initiale iy et d’une hauteur final fy : fig mgymgyW −= où gW : Travail effectué par la force gravitationnelle (J). m : Masse de l’objet qui subit le travail de la gravité (kg). g : Champ gravitationnelle (N/kg). iy : Hauteur initiale de l’objet (m). fy : Hauteur finale de l’objet (m). Preuve : Considérons un bloc qui effectue un déplacement s le long d’un plan incliné sous la présence d’une force gravitationnelle mg constante. Évaluons l’expression du travail gW effectué par la gravité sur le bloc en considérant que le travail calculé sera positif, car le déplacement sera vers le bas du plan incliné du plan et que la force gravitationnelle est orienté vers le bas (travail positif lorsque le déplacement et la force sont dans le même sens) : θ θ H s mg y yi yf ( )θcossFWg = ⇒ HFWg = (Remplacer ( )θcossH = ) ⇒ ( )fig yyFW −= (Remplacer fi yyH −= , car 0g >W ) ⇒ ( )fig yymgW −= (Remplacer mgF = ) ⇒ fig mgymgyW −= ■ (Distribution de mg) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 1 Note de cours rédigée par Simon Vézina Théorème de l’énergie cinétique avec énergie potentielle gravitationnelle À partir du travail de la force gravitationnelle gW , nous pouvons modifier le théorème de l’énergie cinétique en y incluant un terme d’énergie potentielle gU associé à la hauteur d’un objet par rapport à un point de référence y = 0. Ce nouveau terme correspond à une énergie emmagasinée dans « la gravité ». Elle est libérée lorsque que l’objet réduit sa hauteur : 0 y m g 2 2 1 mvK = mgyU g = v ( )my autregg WUKUK iiff ++=+ tel que mgyU =g où iK et fK : Énergie cinétique initiale et finale de l’objet (J). iU g et fU g : Énergie potentielle gravitationnelle initiale et finale (J). m : Masse de l’objet qui subit le travail de la gravité (kg). g : Champ gravitationnelle (N/kg). y : Position verticale de l’objet selon l’axe y où l’axe est positif vers le haut (m). autreW : Travail total effectué sur l’objet par les autres forces (J). Remarque : 1) L’expression mgyU =g est valide seulement si l’axe y est dans le sens contraire de la force gravitationnelle. Ex : Axe y vers le haut, champ gravitationnel vers le bas. 2) L’énergie potentielle gravitationnelle dépend du système d’axe (où est situé 0=y ). 3) La physique de la gravité se manifeste uniquement lorsqu’il y a une variation de l’énergie potentielle gravitationnelle. Preuve : À partir du théorème de l’énergie cinétique, séparons le travail effectué par la gravité et le travail effectué par les autres forces afin d’y inclure un terme d’énergie potentielle gravitationnelle : totWKK if += ⇒ autreg WWKK if ++= (Séparer les travaux) ⇒ ( ) autreWmgymgyKK fiif +−+= (Remplacer fi mgymgyW −=g ) ⇒ autreWmgyKmgyK iiff ++=+ (Isoler termes finaux et initiaux ensemble) ⇒ autregg WUKUK iiff ++=+ ■ (Remplacer mgyU =g ) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 2 Note de cours rédigée par Simon Vézina Preuve : Évaluer l’expression de la hauteur y d’un pendule en considérant y = 0 comme étant le point le plus bas correspondant à θ = 0 : ( )θcosLLy −= ⇒ ( )( )θcos1−= Ly ■ Situation 5 (Chapitre 3.4) : Un pendule. Une balle dont la masse est de 0,2 kg est accrochée au bout d’une corde dont la longueur L est de 40 cm. On accroche la corde au plafond et on lâche la balle (vitesse initiale nulle) alors que la corde tendue fait un angle θ = 70o avec la verticale (schéma ci-contre). On désire déterminer les modules (a) de la vitesse de la balle lorsque la corde passe à la verticale et (b) de la tension à cet instant. Évaluons la hauteur initiale de la balle par rapport à son point le plus bas étant lorsque la corde sera à la verticale afin d’utiliser la relation ( )( )θcos1−= Ly : ( )( )ii Ly θcos1−= ⇒ ( ) ( )( )°−= 70cos140,0iy ⇒ m2632,0=iy Évaluons le module de la vitesse finale de la balle à l’aide du théorème de l’énergie cinétique : agg WUKUK iiff ++=+ (Théorème de l’énergie cinétique) ⇒ ( )0gg ++=+ iiff UKUK ( 0a == TWW , car sT  ⊥ ) ⇒ ( ) ( )iiff mgymvmgymv +     =+      22 2 1 2 1 ( 2 2 1 mvK = , mgyU g = ) ⇒ if gyv =2 2 1 (Simplifier m, 0=iv , 0=fy ) ⇒ ( )( )2632,08,9 2 1 2 =fv (Remplacer valeurs numériques) ⇒ m/s271,2=fv (Évaluer fv ) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 5 Note de cours rédigée par Simon Vézina Évaluons la tension dans la corde à l’aide de la 2e loi de Newton et de l’accélération centripète étant donné que la balle du pendule se déplace sur une trajectoire circulaire : '' rr maF =∑ (2e loi de Newton) ⇒ CmamgT =− (Remplacer) ⇒ ( )gamT += C (Isoler T) ⇒       += g r vmT 2 ( rva /2 C = ) ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )      += 8,9 40,0 271,22,0 2 T (Remplacer val. num.) ⇒ N539,4=T (Évaluer T) Le travail du frottement cinétique lors d’un glissement le long d’une pente à inclinaison non constante Lorsqu’un bloc glisse le long d’une pente dont l’inclinaison θ n’est pas constante, la force de frottement cinétique cf  varie en raison d’une force normale ( )θcosmgn = qui dépend de l’inclinaison de la pente. Cependant, le travail fW évalué le long de la pente peut être évalué grâce à l’équation : xmgWf ∆−= cm Où fW : Travail du frottement cinétique (J). cm : Coefficient de frottement cinétique. m : Masse de l’objet qui glisse (kg). g : Accélération gravitationnelle, 9,8 m/s2. x : Déplacement horizontal le long de la pente (m). x∆ y∆ gm n iv v fv f  θ sd xd θ Preuve : Effectuons le calcul du travail de la force de frottement en considérant que la force normale n’est pas constante tout au long des déplacements sd : ∫ ⋅= sfWf  dc ⇒ ( )∫ ⋅−= ssnWf dˆcm (Frottement cinétique snf ˆcc m−= ) ⇒ ( )∫−= smgW cf dcos θm ( sss dˆd ⋅= et ( )θcosmgn = ) ⇒ ∫−= xmgW cf dm ( ( )θcosdd sx = ⇒ xmgW cf ∆−= m ■ ( xx =∫d ) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 6 Note de cours rédigée par Simon Vézina Exercice 3.4.12 L’angle maximal d’un pendule. Avec une balle de 0,4 kg et une corde de 0,5 m, on crée un pendule que l’on accroche au plafond. On fait osciller le pendule et on observe que le module de la vitesse de la balle est égal à 1,5 m/s au point le plus bas de sa trajectoire. Aux deux extrémités de l’oscillation, quel est l’angle que fait la corde avec la verticale? Solution 3.4.6 L’angle maximal d’un pendule. Système d’axe : Prenons l’axe y vertical vers le haut avec y = 0 à la position où la balle est le plus bas dans sa trajectoire circulaire. Moment initial : Balle dans la trajectoire où sa position est la plus basse. Moment final : Balle dans la trajectoire où sa position est la plus haute. Avec la conservation de l’énergie : ncif WEE += ⇒ nciiff WUKUK ++=+ ⇒ nciiff Wmgymvmgymv ++=+ 22 2 1 2 1 ⇒ 2 2 1 if mvmgy = ( 0,0,0 === ncif Wyv ) ⇒ g v y i f 2 2 1 = ⇒ ( ) ( )8,9 5,1 2 1 2 =fy ⇒ m115,0=fy Puisque la corde possède une longueur de 0,5 m, nous pouvons évaluer l’angle de la corde par rapport à la verticale à l’aide de la position m115,0=fy : ( )( )ff Ly θcos1−= ⇒ ( ) L y f f =− θcos1 ⇒ ( ) L y f f −=1cos θ ⇒ °= 65,39fθ Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome A Page 7 Note de cours rédigée par Simon Vézina