Télécharge CORRECTION DL n 6 : et plus Exercices au format PDF de Physique sur Docsity uniquement! CORRECTION DL n ◦ 6 : PSI 2021/2022 Pour le 3 Janvier q 1 — Le PFD appliqué au système {comète} donne : m~a(t ) =−G mMs R2 ~ur ⇐⇒ −mRθ̇(t )2 =−G mMs R2 mRθ̈(t ) = 0 ⇐⇒ θ̇ = cste = √ GMs R3 En passant cette dernière expression au carré, on trouve : θ̇2 = 4π2 T 2 = GMs R3 ⇐⇒ T 2 R3 = 4π2 GMs Pour une orbite elliptique, la formule se généralise à T 2 a3 = 4π2 GMs . On en déduit la valeur numérique de la période de Churry (il manquait la valeur de G et la masse du soleil dans le sujet !) : Te = √ 4π2 ×5,25×1033 6,7×10−11 ×2×1030 = √ 15,4×1014 = 3,9×107s = 1,25ans q 2 — On se place dans la base cylindrique. Le moment cinétique de la comète a pour expression : ~σ=−−→ OM ∧m~v = r~ur ∧ (ṙ~ur + r θ̇~uθ) = r 2θ̇~uz D’après le théorème du moment cinétique appliqué à la comète : d~σ dt = r~ur ∧−G mMs R2 ~ur =~0 (la force d’ttraction gravitationnelle est une force centrale). On en déduit donc que le moment cinétique de la comète est un vecteur constant. Etant donné que les vecteurs positions et vitesses sont nécessairement perpendiculaires au vecteur σ, on en déduit que le mouvement est plan. La constante des aires C vaut C = r 2(t )θ̇(t ) . q 3 — L’expression de l’énergie mécanique du système est : Em = 1 2 mv2 −G mMs r = 1 2 mṙ 2 + 1 2 mr 2θ̇2 −G mMs r = 1 2 mṙ 2 + 1 2 m C 2 r 2 −G mMs r On en déduit l’expression de l’énergie potentielle effective : Eeff(r ) = 1 2 m C 2 r 2 −G mMs r 1 Pour les faibles valeurs de r , on a : Eeff(r ) ≈ 1 2 m C 2 r 2 > 0 Aux grandes valeurs de r , on a : Eeff(r ) ≈−G mMs r < 0 La courbe est donc de la forme : q 4 — La trajectoire circulaire est obtenue lorsque ṙ = 0, c’est à dire lorsque r ne peut prendre qu’une seule valeur. On a alors : dEeff dr (r = r0) = 0 ⇐⇒−m C 2 r 3 0 +G mMs r 2 0 = 0 ⇐⇒ r0 = C 2 GMs On a alors : Ec (r0) = 1 2 m C 2 r 2 0 = m(GMs)2 2C 2 , Ep (r0) =−G mMs r0 =−m(GMs)2 C 2 On en déduit le théorème du Viriel : Ec (r0) =−Ep (r0) 2 =−Em(r0) . q 5 — rmin et rmax sont solutions de l’équation : Em = Eeff(r ) = 1 2 m C 2 r 2 −G mMs r ⇐⇒ Emr 2 +GmMsr − 1 2 mC 2 = 0 Le discriminant de cette équation vaut : ∆= (GmMs)2 +2EmmC 2 Or, pour un mouvement elliptique, Em > Em(r0), on a donc : ∆> (GmMs)2 −2 m(GMs)2 2C 2 mC 2 ⇐⇒∆> 0 Les deux solutions vérifient : rmin =−GmMs 2Em + p ∆ 2Em rmax =−GmMs 2Em − p ∆ 2Em DL n◦6 ; 2 / 3
