Télécharge Corrigé du Contrôle Continu no 1 et plus Exercices au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! DUT GEA 1e année Mathématiques financières, S2 Année universitaire 2018/2019 Corrigé du Contrôle Continu no 1 Exercice 1 Soit (un)n∈N la suite arithmétique de premier terme u0 = 117 et de raison r =−3. 1. Calculer u4 et u35. Puisque (un)n∈N est arithmétique, on a pour tout n ∈ N : un = u0 +nr, avec ici u0 = 117 et r =−3. Ainsi, u4 = u0 +4r = 117−4×3 = 105 et u35 = u0 +35r = 117−35×3 = 12. 2. Pour quelle valeur de n a-t-on un = 54 ? Justifier. Pour n ∈ N, on a : un = 54 ⇐⇒ 117−3n = 54 ⇐⇒ 3n = 117−54 = 63 ⇐⇒ n = 63 3 = 21. Ainsi, un = 54 pour n = 21. Exercice 2 Soit (un)n∈N la suite arithmétique telle que u6 = 224 et u14 = 112. 1. Déterminer la raison r puis le terme initial u0 de (un)n∈N. Puisque (un)n∈N est arithmétique, on a pour tout n ∈ N : un = u0 +nr, et on sait, ici, u6 = 224 et u14 = 112. On a donc : −112 = 112−224 = u14 −u6 = u0 +14r − (u0 +6r ) = u0 +14r −u0 −6r = 8r. On en déduit que la raison de (un)n∈N est : r = −112 8 =−14. Puisque 224 = u6 = u0 +6r = u0 +6× (−14) = u0 −84, on obtient que le terme initial de cette suite est : u0 = 224+84 = 308. 2. La suite (un)n∈N est-elle croissante ? Décroissante ? Justifier. La suite (un)n∈N est (strictement) croissante puisqu’elle est arithmétique de raison (strictement) positive. Exercice 3 Soit (un)n∈N la suite géométrique telle que u2 =−2 et u5 = 686. 1. Déterminer la raison q puis le terme initial u0 de (un)n∈N. Puisque (un)n∈N est géométrique, on a pour tout n ∈ N : un = u0qn , 1 et on sait, ici, u2 =−2 et u5 = 686. On a donc : −343 = 686 −2 = u5 u2 = u0q5 u0q2 = q3. On en déduit que la raison de (un)n∈N est : q = 3p−343 =−7. Puisque −2 = u2 = u0q2 = u0 × (−7)2 = u0 ×49, on obtient que le terme initial de cette suite est : u0 = −2 49 . 2. La suite (un)n∈N admet-elle une limite ? (Justifier). Dans l’affirmative, déterminer cette limite. La suite (un)n∈N n’admet pas de limite puisqu’elle est géométrique de raison q =−7 ≤−1. Exercice 4 Soit (un)n∈N la suite géométrique de terme initial u0 = 5 et de raison q = 0,9. On note : Sn = n∑ k=1 un = u1 +u2 +·· ·+un . 1. Calculer S3 et S25. Rappelons que pour une suite géométrique (un)n∈N, on a : Sn = n∑ k=1 un = u1 1−qn 1−q . Ici, u0 = 3, donc u1 = 5q = 5×0,9 = 4,5 et on obtient : S3 = u1 1−q3 1−q = 4,5 1−0,93 1−0,9 = 12,195 et S25 = u1 1−q25 1−q = 4,5 1−0,925 1−0,9 = 41,7695. 2. Pour quelles valeurs de n a-t-on un ≥ 0,1 ? Pour n ∈ N, on a : un ≥ 0,1 ⇐⇒ 5×0,9n ≥ 0,1 ⇐⇒ 0,9n ≥ 0,1 5 = 0,02 ⇐⇒ n ln(0,9) = ln(0,9n) ≥ ln(0,002) ⇐⇒ n ≤ ln(0,02) ln(0,9) ' 37,13 (car ln(0,9) < 0). Ainsi, on a un ≤ 0,1 pour tout n ≤ 38. Exercice 5 Soit (un)n∈N la suite telle que u0 = 6 et, pour tout n ∈ N : un+1 = un + 6−u2 n 2un . 2
