Télécharge Corrigé examen d’algèbre 1 et plus Examens au format PDF de Algèbre linéaire sur Docsity uniquement! [ Baccalauréat S Amérique du Nord 4 juin 2009 \ EXERCICE 1 5 points Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population. Partie A : Étude de la progression de l’épidémie pendant 30 jours Au début de l’épidémie on constate que 0,01 % de la population est contaminé. Pour t appartenant à [0 ; 30], on note y(t ) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours. On a donc y(0)= 0,01. On admet que la fonction y ainsi définie sur [0 ; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie : y ′ = 0,05y(10− y). 1. On considère la fonction z définie sur l’intervalle [0 ; 30] par z = 1 y . Démontrer que la fonction y satisfait aux conditions { y(0) = 0,01 y ′ = 0,05y(10− y) si et seulement si la fonction z satisfait aux conditions { z(0) = 100 z ′ = −0,5z +0,05 2. a. En déduire une expression de la fonction z puis celle de la fonction y . b. Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l’entier le plus proche. Partie B : Étude sur l’efficacité d’un vaccin Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92 % des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10 % des individus sont malades. On choisit au hasard un individu dans cette population. 1. Montrer que la probabilité de l’évènement « l’individu n’est pas vacciné et tombe malade » est égale à 0,08. 2. Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n’est pas vacciné ? EXERCICE 2 5 points Partie A : Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b. A. P. M. E. P. Baccalauréat S • Si u > 0 sur [a ; b] alors ∫b a u(x) dx > 0. • Pour tous réels α et β, ∫b a [αu(x)+βv(x)]dx =α ∫b a u(x)dx+β ∫b a v(x)dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f (x)6 g (x) alors ∫b a f (x)dx 6 ∫b a g (x)dx. Partie B On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f (x) = e−x 2 et on définit la suite (un) par : u0 = ∫1 0 f (x) dx = ∫1 0 e−x 2 dx pour tout entier naturel n non nul, un = ∫1 0 xn f (x) dx = ∫1 0 xne−x 2 dx 1. a. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], 1 e 6 f (x)6 1. b. En déduire que 1 e 6u0 6 1. 2. Calculer u1. 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 06 un . b. Étudier les variations de la suite (un). c. En déduire que la suite (un) est convergente. 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un 6 1 n +1 . b. En déduire la limite de la suite (un). EXERCICE 3 5 points On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. A B C D E F I J GH K + + + Amérique du Nord 2 4 juin 2009
